Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

15.5. Метод де Витта–Фаддеева–Попова

33

онал (15.5.22) очень быстро осциллирует за исключением области вблизи fα = 0, так что этот функционал действует как дельта-фун- кция, воспроизводя калибровочное условие Ландау ∂μAμ = 0, åñòå-

ственно приводящее к пропагатору, удовлетворяющему соответствующему условию ∂μ αμ,βν = 0. При ненулевых значениях ξ функционал

B[f] не отбирает калибровочных полей, удовлетворяющих какомуто конкретному калибровочному условию, наложенному на поле Aαμ.

Обычно ссылаются на пропагатор (15.5.25) как на пропагатор в «обобщенной калибровке Фейнмана» или «обобщенной ξ-калибровке». Ча-

сто хорошей стратегией является вычисление физических амплитуд с произвольным ξ, и последующая проверка в конце вычислений, что результат от ξ не зависит.

С одной оговоркой фейнмановские правила становятся теперь очевидными. Вклады вершин извлекаются из слагаемых со взаимодействием в исходном лагранжиане L, пропагаторы калибровочного поля даются выражением (15.5.25), а пропагаторы полей материи вычисляются как и раньше. Конкретно, трилинейное взаимодействие в L имет вид

−1 Cαβγ (∂μ Aαν − ∂νAαμ )Aβμ Aγ ν

2

èсоответствует вершине, к которой прикреплены три линии век-

торных бозонов. Если эти линии несут (входящие) импульсы p, q, k, а также лоренцовские и калибровочные индексы μα, νβ, ργ, òî â

соответствии с приавилами Фейнмана в импульсном пространстве, вклад такой вершины в подынтегральное выражение равен

i(2π)4 δ4 (p + q + k) [−iCαβγ ]

× [pνημλ − pλ ημν + qλ ηνμ − qμ ηνλ + kμ ηλν − kνηλμ ].(15.5.26)

Кроме того, член взаимодействия А4 в L, имеющий вид

−1 CεαβCεγδ Aαμ Aβν Aγ μ Aδ ν

4

соответствует вершине, к которой прикреплены четыре линии векторных бозонов. Если эти линии несут (входящие) импульсы p, q, k,

34	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

l, а также лоренцовские и калибровочные индексы μα, νβ, ργ è σδ,

вклад такой вершины в подынтегральное выражение равен

i(2π)4 δ4 (p + q + k + l) × − CεαβCεγδ (ημρηνσ − ημσ ηνρ )

− Cεαγ Cεδβ (ημσ ηρν − ημνησρ) − CεαδCεβγ (ημνηρσ − ημρηνσ ) .(15.5.27)

(Напомним, что структурные константы Cαβγ включают множители

констант связи, так что множители (15.5.26) и (15.5.27) – соответственно, первого и второго порядка по константам связи.)

Единственное усложнение в фейнмановских правилах, с которым мы до сих пор не имели дела, это наличие в (15.5.21) множителя Det F, который не постоянен в произвольных калибровках. Переходим к рассмотрению этого множителя.

15.6. Госты

Посмотрим, как модифицируются фейнмановские правила для неабелевых калибровочных теорий с учетом множителя Det F в формуле (15.5.22). Для этого напомним, что, как показано в разделе 9.5, детерминант любой матрицы F αx,βy можно выразить как

функциональный интеграл

X L

∏ dω*

O L

∏ dω

O

Det F

Y M

(x)P M

α

(x)P exp(iI

GH

),

(15.6.1)

Y Mα

x

α

P Mα

x

P

Z N

,

Q N

,

Q

ãäå

IGH ≡ z d4xd4y ω*α (x)ωβ (y)Fαx,βy .

(15.6.2)

Здесь ω*α è ωα — набор независимых антикоммутирующих класси-

ческих переменных, а константа пропорциональности не зависит от поля. (Чтобы воспроизвести множитель Det F, полевые переменные ωα è ω*α необходимо выбрать фермионными. Если бы они были бо-

зонными, то функциональный интеграл (15.6.1) был бы пропорционален (Det F)–1.) Ïîëÿ ω*α è ωα не обязательно связаны операцией

комплексного сопряжения. Действительно, в разделе 15.7 мы увидим, что для некоторых целей следует предположить, что ω*α è ωα

15.6. Госты

35

являются независимыми действительными переменными. Наличие множителя Det F эквивалентно включению IGH(ω,ω*) в полное эффективное действие и интегрированием по «полям» ω è ω*. Иначе

говоря, для произвольных фиксирующих калибровку функционалов fα(x) получаем

		X L	O		L		O
	T{OA . . . } V	Y M∏ dψ n (x)P			M ∏ dAαμ (x)P
		Y Mn,x	P		Mα,μ,x		P
		Z N	Q		N		Q
	L	O					(15.6.3)
	× M∏ dωα (x)dω*α (x)P expbiIMOD [ψ, A, ω, ω*]g OAL,
	Mα,x	P
	N	Q
	ãäå IMOD – модифицированное действие
		X L	1		O
	IMOD = Y ML −			fα fα P		+ IGH .	(15.6.4)
			2ξ
		Z N			Q

Ïîëÿ ωα è ω*α являются лоренцовскими скалярами (по край-

ней мере, в ковариантных калибровках), но подчиняются статистике Ферми. В данном случае связь между спином и статистикой реально не нарушается, так как не существует описываемых этими полями частиц, которые могли бы возникать в начальном или конечном состояниях*. По этой причине ωα è ω*α называются полями

«гостов» и «антигостов»**. Из (15.6.2) следует, что действие подчиняется закону сохранения величины, называемой «числом гостов» или «гостовским числом», равным +1 для ωα, –1 äëÿ ω*α è 0 äëÿ âñåõ

остальных полей.

Фейнмановские правила для гостов проще всего выглядят в случае, когда «матрица» F может быть записана в виде

* Формально теорема о связи спина и статистики не нарушена, потому что эти поля нарушают условие теоремы о дефинитности метрики гильбертова пространства состояний. — Прим. ред.

** Английские термины «ghosts» и «antighosts», буквально «духи» и «антидухи», в контексте калибровочных1 теорий чаще переводятся калькой «госты» и «антигосты». Термин «духи» обычно используют в более общем контексте для обозначения полей с индефинитной метрикой. — Прим. ред.

36	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
	F = F0 + F1 ,	(15.6.5)

ãäå F 0 не зависит от поля и нулевого порядка по константе связи, а F 1 зависит от поля и пропорциональна первой или более высокой степени константы связи. В этом случае пропагатор гостов равен

αβ (x, y) = dF0−1 i	(15.6.6)
	αx,βy

а вершины для гостов должны извлекаться из члена с взаимодействием

′	= z d	4		4	*	(15.6.7)
IGH			xd		yωα (x)ωβ (y)bF1gαx,βy .

Например, в рассмотренной в предыдущем разделе обобщенной ξ-калибровке имеем

fα = ∂μ Aαμ

(15.6.8)

и для бесконечно малого калибровочного параметра λα формула

(15.1.9) принимает вид:

Aμ = Aμ + ∂μ λ + C λ Aμ

αλ α α αγβ β γ ,

òàê ÷òî

Fαx,βy	=	δ∂μ Aαλμ (x)
		δλβ (y)		λ =0
= 9δ4 (x − y) + Cαγβ					∂		Aγμ (x)δ4 (x − y)
								.
					∂xμ

Это выражение имеет вид (15.6.5), где

		bF0 gαx,βy = 9δ4 (x − y) δαβ ,
	bF1 g	αx,βy	= −Cαβγ	∂		Aγμ (x)δ4 (x − y)		.
				∂xμ

(15.6.9)

(15.6.10)

(15.6.11)

Из формул (15.6.6) и (15.6.10) видим, что пропагатор гостов имеет вид

15.6. Госты	37
αβ (x, y) = δαβ (2π)-4 z d4p(p2 − iε)-1 eip×(x- y) ,	(15.6.12)

так что в данной калибровке госты ведут себя как бесспиновые фермионы нулевой массы, преобразующиеся по присоединенному представлению калибровочной группы. Используя формулы (15.6.7) и (15.6.11) и интегрируя по частям, находим, что слагаемое в действии, описывющее взаимодействие гостов, имеет вид

I′	=	X d4xC	αβγ	∂ω*α		Aμω	β	.	(15.6.13)
					μ
GH		Y		∂x		γ
		Z

Это взаимодействие соответствует вершинам, к которым прикреплены одна выходящая и одна входящая линии гостов и одна линия векторного бозона. Если эти линии несут (входящие) импульсы p, q, k, соответственно, а калибровочное поле несет векторный индекс μ, то по правилам Фейнмана в импульсном пространстве вклад та-

кой вершины в подынтегральное выражение равен

i(2π)4 δ4 (p + q + k) × ipμCαβγ .

(15.6.14)

Госты распространяются вдоль петель, причем к каждой вершине вдоль петель подсоединена одна линия векторного бозона. Кроме того, каждая петля гостов вносит дополнительный знак «минус», что обычно для фермионных полевых переменных.

Лишний знак «минус» для гостовских петель позволяет счи- тать, что каждое гостовское поле ωα вместе со связанным с ним антигостовским полем ω*α представляют нечто вроде отрицатель-

ной степени свободы. Эти отрицательные степени свободы необходимы потому, что при использовании ковариантных пропагаторов калибровочных полей мы завышаем результат. Физические степени свободы — это число компонент Aμα(x) за вычетом числа параметров Λα(x), необходимых для описания калибровочного преобразова-

íèÿ *.

Подведем итоги. В обобщенной ξ-калибровке модифицирован-

ное действие (15.6.4) может быть записано в виде

IMOD = z d4x LMOD,

(15.6.15)

* Фактически, вдвое больше. — Прим. ред.

38 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

где модифицированный лагранжиан имеет вид

				1	μν		1	μ	ν
	LMOD	= LM	−		Fα	Fαμν −		d∂μ Aα id∂νAα i
				4			2ξ
									(15.6.16)
		− ∂μω*α ∂μωα + Cαβγ d∂μω*α iAγμωβ .

Важно, что этот лагранжиан перенормируем (если этим свойством обладает лагранжиан материи) в том элементарном понимании, что его слагаемые содержат произведения полей и их производных массовой размерности четыре или меньше *. (Кинемати- ческое слагаемое − ∂μω*α∂μωα в (15.6.16) фиксирует массовую размерность полей ω è ω* равной единице, как у обычного скаляр-

ного или калибровочного поля.) Однако, перенормируемость не сводится к подсчету индекса расходимости. Необходимо, чтобы для каждой расходимости существовал контрчлен, который ее устраняет **. В следующем разделе мы рассмотрим замечательную симметрию, которую затем используем в разделе 17.2 для того, чтобы показать, что неабелевы калибровочные теории действительно перенормируемы в указанном смысле. Более того, эта симметрия может заменить подход де Витта–Фаддеева–Попова, которому мы пока что следовали.

15.7. БРСТ симметрия

Хотя описанный в двух предыдущих разделах метод де Вит- та–Фаддеева–Попова явно демонстрирует лоренц-инвариантность теории, он все же базируется на выборе калибровки и, следовательно, затемняет лежащую в основе теории калибровочную инвариантность. Это становится серьезной проблемой при попытках

* Говорят, что теория (или лагранжиан) перенормируема по индексу (см. т. I). Под массовой размерностью понимается размерность членов в лагранжиане, выраженная в степенях массы. — Прим. ред.

** Эта недостаточно четкая авторская фраза подразумевает, что соответствующим образом подобранные контрчлены должны иметь структуру исходного действия, иными словами, имеется в виду мультипликативная перенормируемость (см. ниже начало раздела 17.2). — Прим. ред.

15.7. БРСТ симметрия

39

доказать перенормируемость теории. Ведь калибровочная инвариантность ограничивает форму тех слагаемых в лагранжиане, которые могут выполнять роль контрчленов для поглощения ультрафиолетовых расходимостей. Но если мы фиксировали калибровку, то откуда мы знаем, что калибровочная инвариантность по-прежнему ограничивает возможные расходимости?

Примечательно, однако, что даже после выбора калибровки функциональный интеграл все еще обладает симметрией, связанной с калибровочной инвариантностью. Эта симметрия была открыта в 1975 году Бекки, Руэ и Сторой 10 (и независимо Тютиным 11) через несколько лет после работы Фаддеева, Попова и де Витта, и в честь своих первооткрывателей называется БРСТ симметрией. Мы опишем ее примерно так, как это было сделано в первоначальных работах, как побочный продукт развития метода Фаддеева, Попова и де Витта. Однако мы увидим, что БРСТ симметрия может рассматриваться и как замена подхода Фаддеева, Попова и де Витта. Из выражений (15.6.3) и (15.6.4) следует, что фейнмановские правила для неабелевой калибровочной теории можно получить из интеграла по путям по полям материи, калибровочным полям и полям гостов с модифицированным действием, которое можно записать в виде

IMOD = IEFF + IGH = z d4x LMOD,								(15.7.1)
L		≡ L −	1	f f	+ ω*		,	(15.7.2)
			2ξ
	MOD			α α	α	α
где, по определению,
α (x) ≡ z d4 y Fαx,βy[A, ψ] ωβ (y) .								(15.7.3)

Это отвечает выбору фиксирующего калибровку функционала в (15.5.21) в виде

B[f] expF	−	i	X d4x f f		I	(15.7.4)
G			Y	α α J
H		2ξ Z			K

Для наших целей полезно переписать B[f] как интеграл Фурье:

40	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

X L			O	L iξ
B[f] = Y M	∏ dhα (x)P expM
Y Mα		,x	P	N	2
Z N			Q

X	O	L X	4	O	(15.7.5)
Y	hαhα P expMiY d			x fαhα P .
Z	Q	N Z		Q

Теперь мы должны брать функциональный интеграл по полю hα

(его часто называют «полем Наканиши–Лаутрупа»11à), а также по полям материи, калибровочным, гостовским и антигостовским полям с новым модифицированным действием

	X	4	F		1	I
INEW	= Y d		x G L + ω *α	α + hα fα +		ξhαhα J .	(15.7.6)
					2
	Z		H			K

Это модифицированное действие калибровочно неинвариантно. Оно и должно быть таковым, если мы хотим использовать его в функциональных интегралах. Однако действие инвариантно относительно преобразования БРСТ симметрии, параметризованного бесконечно малой константой θ, которая антикоммутирует с ωα, ω*α и всеми фермионными полями материи. При заданном параметре θ

БРСТ преобразование имеет вид

	δθψ = itαθωα ψ,				(15.7.7)
	δθ Aαμ = θDμωα	= θ[∂μωα + Cαβγ Aβμω γ ] ,			(15.7.8)
	δ	ω*	= −θh ,		(15.7.9)
	θ	α		α
	δθωα = −		1	θCαβγ ωβω γ ,	(15.7.10)
			2
		δθhα = 0.			(15.7.11)

(Напомним, что в фермионных функциональных интегралах нет никакой связи между ωα è ω*α, так что выражение (15.7.9) не должно быть сопряженным к (15.7.10).) Поскольку hα инвариантно относи-

тельно БРСТ преобразований, мы можем, не нарушая БРСТ инвариантности действия, по желанию заменить гауссовский множитель exp( 21 iξ z hαhα ) в (15.7.5) на произвольный гладкий функционал от hα, что приводит к произвольному функционалу B[f]. Однако для

целей диаграммных вычислений и перенормировки полезно оставить B[f] в гауссовой форме.

15.7. БРСТ симметрия

41

При проверке инвариантности действия (15.7.1) весьма полезно заметить сначала, что преобразование (15.7.7)–(15.7.11) является нильпотентным. Это означает, что если F — некоторый функционал от ψ, A, ω, ω* и h, и sF определено равенством

δθF ≡ θsF,	(15.7.12)
òî *
δθ (sF) = 0	(15.7.13)
или эквивалентно
s(sF) = 0.	(15.7.14)

Можно непосредственно проверить эту нильпотентность, когда δθ действует на одно поле. Во-первых, при действии на поле

материи

δθsψ = itαδθ (ωα ψ) = − 1 iCαβγ tαθωβω γ ψ − tαtβωαθωβψ

2

=− 1 iCαβγ tαθωβω γ ψ + tαtβθωαωβψ. 2

Произведение ωαωβ во втором слагаемом справа антисимметрично1

ïî α è β, поэтому можно заменить tαtβ в этом слагаемом на [tα,tβ],

так что это слагаемое сокращается с первым:

ssψ = 0.

(15.7.15)

Далее, действуя на калибровочное поле, имеем:

δθsAαμ = δθDμωα

=∂μδθωα + Cαβγ δθ Aβμωγ + Cαβγ Aβμδθωγ =

*В первых работах по БРСТ симметрии функционал B[f] был оставлен

ââèäå (15.7.4), òàê ÷òî hα в (15.7.9) заменяется на –fα/ξ, и БРСТ преобразование было нильпотентным только при действии на функции от ωα, калибровочных полей и полей материи, но не на функции от ω*α.

42 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

F

1

= θG

−

Cαβγ ∂μ (ωβωγ )

+ Cαβγ (∂μωβ )ω γ

2

H

+ C

C A

ω

ω

−

1

C

C

A ω

ω

I

γ

αβγ

ε J

αβγ

βδε

δμ

ε

2

γδε βμ

δ

K

F

1

1

= θG

Cαβγ (∂μωβ )ω

γ +

Cαβγ

(∂μω γ )ωβ

2

H

2

− C

C

A

ω

ω

−

1

C

C

A ω

ω

I .

αβγ

δμ

β

αβγ

δ

γδε

ε

2

γδε βμ

ε J

K

Первые два слагаемых в последнем выражении сокращаются в силу антисимметрии Cαβγ ïî β è γ, а третье и четвертое слагаемые сокра-

щаются в силу тождества Якоби (15.1.5), так что

ssAαμ = 0.	(15.7.16)
Из формул (5.7.9) и (15.7.11) немедленно вытекает, что
ssω*α = 0	(15.7.17)
è
sshα = 0.	(15.7.18)

Окончательно

δθsωα = − 1 Cαβγ δθ (ωβωγ )

2

=1 θdCαβγ Cβδεωδωεωγ + Cαβγ Cγδεωβωδωε i

4

=1 θCαβγ Cγδε −ωδωεωβ + ωβωδωε ,

4

что с учетом свойст симметрии произведения ωβωδωε при переста-

новке индексов равно нулю в силу тождества Якоби:

ssωα = 0.

(15.7.19)

Рассмотрим теперь произведение двух полей ϕ1 è ϕ2, каждое из которых или оба сразу могут быть полями ψ, A, ω, ω* èëè h,