Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1

100

á®áâ®ï­¨ï 1 ¢ á®áâ®ï­¨¥ 2, ¯à¨ç¥¬ í«¥ªâà®­ á ¯®«®¦¨â¥«ì­®© í­¥à£¨¥© § ¬¥­ï- ¥âáï ®¤­¨¬ ¨§ í«¥ªâà®­®¢ á ®âà¨æ ⥫쭮£® \ä®­ ". நá室¨â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¡¬¥­ ⮦¤¥á⢥­­ë¬¨ ç áâ¨æ ¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ¨¬¥¥â ®âà¨æ ⥫ì­ë© §­ ª, ª ª ¨ ¤®«¦­® ¡ëâì ¯® ¤«ï ä¥à¬¨®­®¢. ® ¬ë ­¨£¤¥ ­¥ ¨á- ¯®«ì§®¢ «¨ ® ¯à¨­æ¨¯ 㫨! ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ®âà¨æ ⥫쭮£® §­ ª ¢ (4.29), ¯à®¨§®è¥¤è¥¥ ¨§ á ¬®£® ¬¥â®¤ ¯®áâ஥­¨ï ¯à®¯ £ â®à K+, ®¡¥á- ¯¥ç¨¢ ¥â ­ ¬ ¯à ¢¨«ì­ãî áâ â¨á⨪ã! ¡®¡é¥­¨¥ íâ¨å à áá㦤¥­¨© ¤«ï ¯à®æ¥áᮢ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¯®à浪 ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¤ ¥â ¥é¥ ®¤­® ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ® á¢ï§¨ ᯨ­ ¨ áâ â¨á⨪¨ [31].

¬¯ã«ìá­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥.

áç¥âë ॠ«ì­ëå § ¤ ç §­ ç¨â¥«ì­® 㤮¡­¥¥ ¯à®¢®¤¨âì ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥- ­¨¨. ய £ â®à K+ ­ 室¨âáï ª ª à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï:

^
(ir ; m)K+(2; 1) = i (2; 1)			(4.34)
¢¥¤¥¬ äãàì¥ - ®¡à § K+, ª®â®àë© ®¡®§­ 稬 S+(p), ⮣¤ :
K+(2; 1) = Z d4pe;ip(x2;x1)S+(p)			(4.35)
£¤¥ ddp = dp0d3p. ¯¥à â®à (i ^	m) ¬®¦­® ¢­¥á⨠¯®¤ ¨­â¥£à « ¢ ¢¨¤¥ (^p	;	m),
r ;
¤«ï -ä㭪樨 ­ ¯¨á âì äãàì¥ - ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥:

(x2 ; x1) = Z	d4p
		e;ip(x2	;x1)
	(2 )4

®£¤ «¥£ª® ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï S+(p):

	S+(p) =			i			1
			(2 )4			p^; m
â® ¢ëà ¦¥­¨¥ 㤮¡­® ¯¥à¥¯¨á âì â ª:
S+(p) =	i p^+ m 1						=		i p^ + m
	(2 )4 p^+ m p^; m							(2 )4 p2 ; m2

(4.36)

(4.37)

(4.38)

£¤¥ ã竨, çâ® p^2 = p p = p20 ;p2 = p2, â ª çâ® §­ ¬¥­ â¥«ì ¢ (4.38) 㦥 ­¥ ᮤ¥à¦¨â ¬ âà¨æ. ®®â¢¥âá⢥­­®:

K+(2; 1) =	i		Z d4pe;ip(x2;x1)				p^ + m
	(2 )4						p2 ; m2
¢¥¤¥¬, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, ¨­â¥£à «:
I+(2; 1) =			1	Z	d4p	e;ip(x2;x1)
		(2 )4				p2 ; m2

(4.39)

(4.40)

101

¨á. 4-4

®£¤ (4.39) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­® ª ª:
^
K+(2; 1) = i(ir2	+ m)I+(2; 1)	(4.41)

®¤áâ ¢«ïï (4.41) ¢ (4.34), ­ 室¨¬, çâ® ¨­â¥£à « I+ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î:

( + m2)I+(2; 1) = ; (2; 1)

(4.42)

â.¥. ï¥âáï, ä ªâ¨ç¥áª¨, ä㭪樥© ਭ ãà ¢­¥­¨ï «¥©­ - ®à¤®­ . ¯¨á ¢ ®â¤¥«ì­® ¯à®áâà ­á⢥­­ë¥ ¨ ¢à¥¬¥­­ë¥ ª®®à¤¨­ âë, ¯¥à¥¯¨è¥¬ I+ ª ª:

1

1

e;ip0(t2;t1)eip(r2;r1)

I+(x2 ; x1) =

Z;1 dp0 Z d3p

(4.43)

(2 )4

p02 ; p2 ; m2

® §¤¥áì ¢®§­¨ª ¥â ¯à®¡«¥¬

{ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨

p02 ; p2 ; m2 = 0, â.¥. ¯à¨ p0 =

p2 + m2 Ep. ®í⮬㠨­â¥£à « ­ã¦­®

¤®®¯à¥¤¥«¨âì ¯à ¢¨«®¬ \®¡å®¤ " íâ¨å íâ¨å ¯®«îᮢ. à ¢¨«® ¥©­¬ ­

á®á⮨⠢

§ ¬¥­¥:

p

m

! m ; i

> 0

! +0

(4.44)

®£¤ ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì ­ è ¨­â¥£à « ª ª:

d3p

1 dp0

e;ip0(t2;t1)

I+(x2 ; x1) = Z

eip(r2;r1) Z1 2

(4.45)

(2 )3

(p0 ; Ep + i")(p0 + Ep ; i")

¯®áª®«ìªã ¯à¨ § ¬¥­¥ (4.44), ¢¥«¨ç¨­

Ep ¯à¨®¡à¥â ¥â ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ãî ¬­¨¬ãî

¤®¡ ¢ªã, ª®â®àãî ¬ë ®¡®§­ 稫¨ i". áᬮâਬ ⥯¥àì ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥- ­¨¥ ¢ ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠¯¥à¥¬¥­­®© p0. ¨¤¨¬, çâ® ¯®«îá p0 = ;Ep ⥯¥àì «¥¦¨â ­¥¬­®£® ¢ëè¥ ¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨ p0 (¯ã⨠¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¢ (4.45)), ¯®«îá p0 = +Ep «¥¦¨â çãâì ­¨¦¥ ¥¥, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.4-4. ந­â¥£à¨à㥬 (4.45), áç¨â ï, çâ® t2 ; t1 > 0. ®£¤ ¨­â¥£à « ¬®¦­® «¥£ª® ¢ëç¨á«¨âì ¯® ⥮६¥ ®è¨, § ¬ëª ï ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¢ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠p0. ਠí⮬ ¨­â¥£à « ¯® 㤠«¥­­®© ¯®«ã®ªà㦭®á⨠®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì ¨§-§ ¡ëáâண® § âãå ­¨ï íªá- ¯®­¥­æ¨ «ì­®£® ¬­®¦¨â¥«ï ¢ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¬ ¢ëà ¦¥­¨¨, â ª çâ®, ä ªâ¨ç¥áª¨ ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ­ã¦­ë© ­ ¬ ¨­â¥£à « ¢¤®«ì ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨. ® ¨­â¥£à « ¯® § - ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã ¯à®áâ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëç¥â®¬ ¢ ¯®«îᥠ+Ep, ª®â®àë© ®ª § «áï ¢­ãâਠª®­âãà (¨ ®¡å®¤¨âáï ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥), â ª çâ® ¯®«ãç ¥¬ ®â¢¥â:

	2 i		iE	p	(t2		t1)
;		e;				;		(4.46)
	2Ep

102

᫨ ¦¥ t2 ; t1 < 0, â® ¤«ï ®¡­ã«¥­¨ï ¢ª« ¤ 㤠«¥­­®© ¯®«ã®ªà㦭®áâ¨, ­ã¦­® ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï § ¬ª­ãâì ᢥàåã. ®£¤ ¢­ãâàì ª®­âãà ¯®¯ ¤¥â ⮫쪮 ¯®«îá ¯à¨ ;Ep, ª®â®àë© ¡ã¤¥â ®¡å®¤¨âìáï ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨, ¨ ¨áª®¬ë© ¨­â¥£à « à ¢¥­:

	2 i		+iE	p	(t2	;	t1)
;		e						(4.47)
	2Ep

¬¥â¨¬, çâ® ¢¥«¨ç¨­ Ep, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, áç¨â ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì­®©, â ª çâ® ¯®ª § ⥫ì íªá¯®­¥­âë ª ª ¢ (4.46), â ª ¨ ¢ (4.47), ¯®«®¦¨â¥«¥­ (á â®ç­®áâìî ¤® i). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨­â¥£à « I+, §­ ç¨â ¨ äã­ªæ¨ï K+, ¢¥¤ãâ á¥¡ï ­ «®£¨ç­® (4.28) ¨ (4.29) | ¯à¨ t2 ; t1 > 0 ¨£à îâ ஫ì ⮫쪮 ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ í­¥à£¨¨, ¯à¨ t2 ; t1 < 0 { ⮫쪮 ®âà¨æ ⥫ì­ë¥! ªâ¨ç¥áª¨, ãá«®¢¨¥ (4.44) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â íª¢¨¢ «¥­â­®áâì ¯à¥¦­¥¬ã ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¯à®¯ £ â®à K+.

®¦­® ¡ë«® ¡ë, ¯à¨ ¤®®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¯à®¯ £ â®à , ¯®áâ㯨âì ¨­ ç¥ ¨ ¢¬¥áâ® (4.44) ¤®¡ ¢¨âì ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ãî ¬­¨¬ãî ¤®¡ ¢ªã ª p0:

p0 ! p0 + i ! +0

(4.48)

ਠí⮬ ¢ (4.43) ¢®§­¨ª îâ ¤¢ ¯®«îá , «¥¦ 騥 ¢ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠p0. ®£¤ , ¯à¨ t2 ; t1 > 0, ª®£¤ ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï § ¬ëª ¥âáï ¢ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, ¨£à îâ à®«ì ª ª ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥, â ª ¨ ®âà¨æ ⥫ì­ë¥ í­¥à£¨¨. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¯à¨ t2 ; t1, § ¬ëª ï ª®­âãà ᢥàåã, ¢¨¤¨¬, çâ® ¢­ãâਠ­¥£® ¢®®¡é¥ ­¥â ¯®«îᮢ, â ª ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨­â¥£à « ¯à®áâ® à ¢¥­ ­ã«î. ª®¥ ¤®®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à®¯ £ â®à K ¤ ¥â, ä ªâ¨ç¥áª¨, १ã«ìâ â (4.25) (\§ ¯ §¤ë- ¢ îéãî" äã­ªæ¨î ਭ ), â.¥. ¤¨à ª®¢áªãî ⥮à¨î ®¤­¨å ⮫쪮 í«¥ªâà®­®¢. ¥©­¬ ­®¢áª®¥ ¯à ¢¨«® ¨¬¥¥â â® ¯à¥¨¬ãé¥á⢮, çâ® ¬­¨¬®áâì ¢¢®¤¨âáï ¢ ५ï⨢¨áâ᪨© ¨­¢ ਠ­â m, ¢á¥ ¢ë- à ¦¥­¨ï ®áâ îâáï ª®¢ ਠ­â­ë¬¨, ⮣¤ ª ª ¢ ⥮ਨ \®¤­¨å í«¥ªâà®­®¢" ¬­¨¬®áâì ¢ ¢¥«¨ç¨­¥ p0 ¤¥« ¥â ¥¥ ®â«¨ç­®© ®â ®áâ «ì­ëå ª®¬¯®­¥­â ¨¬¯ã«ìá .

ë ¥é¥ ­¥ à § ¢¥à­¥¬áï ª ®¡á㦤¥­¨î íâ¨å, ¤®áâ â®ç­® â®­ª¨å, ¢®¯à®á®¢ ®¯à¥-

¤¥«¥­¨ï	­ «¨â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠ä㭪権 ਭ , ᥩç á ®â¬¥â¨¬ ®¡é¥¥ ᢮©á⢮
| ¯®«îá	¯à®¯ £ â®à®¢ (ä㭪権 ਭ ) ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨, ä ªâ¨ç¥-

᪨, ®¯à¥¤¥«ïîâ í­¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ. à áᬮâ७- ­®¬ á«ãç ¥ Ep = pp2 + m2 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ५ï⨢¨áâ᪨© ᯥªâà ᢮¡®¤­®£® í«¥ªâà®­ (¯®§¨âà®­ ). ⮠᢮©á⢮ ä㭪権 ਭ ¯®«ã稫® £«ã¡®ª®¥ à §¢¨â¨¥ ¢ ᮢ६¥­­®© ⥮ਨ ª®­¤¥­á¨à®¢ ­­®£® á®áâ®ï­¨ï, ­ ­¥¬, ¢ ç áâ­®áâ¨, ®á­®¢ ­ ¢áï ª®­æ¥¯æ¨ï ª¢ §¨ç áâ¨æ | í«¥¬¥­â à­ëå ¢®§¡ã¦¤¥­¨© ¬­®£®ç áâ¨ç­ëå á¨á⥬ [13].

«¥ªâà®­ ¨ ¢­¥è­¥¥ í«¥ªâ஬ £­¨â­®¥ ¯®«¥.

áᬮâਬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ í«¥ªâà®­	á ¢­¥è­¨¬ í«¥ªâ஬ £­¨â­ë¬ ¯®«¥¬. â®
¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬ ej							A , â ª çâ® \¯®â¥­æ¨ «"
					A = e
¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï 㤮¡­® ®¡®§­ ç¨âì ª ª: e					^
			A eA (e { § àï¤ í«¥ªâà®­ ). à ¢-
­¥­¨¥ ¨à ª , ãç¨âë¢ î饥 ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á í«¥ªâ஬ £­¨â­ë¬ ¯®«¥¬, ¨¬¥¥â,
®ç¥¢¨¤­®, ¢¨¤:
^	^
(ir ; eA ; m)					= 0		(4.49)

103

£¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­ ¯¥à¥å®¤ ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®¢ ਠ­â­®© ¯à®¨§¢®¤­®© í«¥ªâத¨-

­ ¬¨ª¨. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¯à®¯ £ â®à ç áâ¨æë ¢® ¢­¥è­¥¬ ¯®«¥ KA

®¯à¥¤¥«ï¥âáï

+

ãà ¢­¥­¨¥¬:

^

^

(i

A

(2; 1) = i (2; 1)

(4.50)

r ;

eA

;

m)K+

à ¢­¥­¨¥ ¨à ª (4.49) ¬®¦­® â ª¦¥ ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à

á ᮮ⢥âáâ¢ãî-

騬 £ ¬¨«ìâ®­¨ ­®¬:

i @@t = H = (p ; eA)

+ e' + m

(4.51)

£¤¥ ãç⥭®, çâ® A = ('; A). ய £ â®à, ⮣¤

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï:

i

@

e'

(

i

eA )

m

i

KA(2; 1) = i (2;1)

(4.52)

h

@t2 ;

0

2 ;

;

r ;

2

;

+

£¤¥ ¯®ï¢«¥­¨¥ ¬ âà¨æë =

á¯à ¢

á¢ï§ ­® á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ᮯà殮­­ëå (¯® ¨à ªã) ᯨ­®-

஢ ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ (4.25), ¨ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ५ï⨢¨áâáªãî ¨­¢ ਠ­â­®áâì. ¬­®-

¦ ï (4.52) ­ ¬ âà¨æã , ¯à¨¢®¤¨¬ ¥£® ª ¢¨¤ã
^	^	A
(ir2	; eA2	; m)K+	(2; 1) = i (2; 1)	(4.53)

ᮢ¯ ¤ î饬ã á (4.50). ¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (4.50) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¨­â¥£à «ì­®¬ã ãà ¢- ­¥­¨î, ­ «®£¨ç­®¬ã (4.20):

A

(2; 1) = K+(2; 1)

;

ie

Z

4

^

A

(4.54)

K+

d

x3K+(2; 3)A(3)K+ (3; 1)

à §«®¦¥­¨¥ ª®â®à®£® ¢ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饭¨© (¨â¥à 樨) ¤ ¥â

­ «®£ (4.22):

A

;

Z

4

^

K+

(2; 1) = K+(2; 1) ie

d

x3K+(2; 3)A(3)K+

(3; 1) +

2

4

4

^

^

+(;ie)

Z d x3d

x4K+(2; 3)A(3)K+(3; 4)A(4)K+(4; 1) + ::::

(4.55)

५ï⨢¨áâ᪮¬ á«ãç ¥, á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¢®«­®¢ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨

(2) ¢ â®çª¥ x2 ¨

(1) ¢ â®çª¥ x1, ¯®

­ «®£¨¨ á (4.2), ª § «®áì ¡ë, ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

(2) =

Z

d3x1K+A(2; 1) (1)

(4.56)

£¤¥ d3x1 { í«¥¬¥­â ®¡ê¥¬

âà¥å¬¥à­®£® ¯à®áâà ­áâ¢

¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ¢à¥¬¥­¨

t1, çâ® ¨««îáâà¨àã¥âáï ¨á.4-5( ), £¤¥ ¯®ª § ­

ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï £¨¯¥à¯«®áª®áâì

t1 = const, ¢®«­ë, ¨á¯ã᪠¥¬ë¥ â®çª ¬¨ ­

ª®â®à®©, ä®à¬¨àãîâ ¢®«­®¢ãî äã­ª-

æ¨î ¢ â®çª¥ x2 ¢ ¡®«¥¥ ¯®§¤­¨© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t2. ® íâ® ­¥ ᮢᥬ â ª! ¥«®

¢ ⮬, çâ® ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨ äã­ªæ¨î ਭ

(¯à®¯ £ â®à) ¢ ५ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ

â ª, çâ® ®­

®¯¨áë¢ ¥â à á¯à®áâà ­¥­¨¥ ç áâ¨æ á ¯®«®¦¨â¥«ì­®© í­¥à£¨¥© ¢¯¥à¥¤

¯® ¢à¥¬¥­¨,

à á¯à®áâà ­¥­¨¥ ç áâ¨æ á ®âà¨æ ⥫쭮© í­¥à£¨¥© ­ § ¤ ¯® ¢à¥¬¥­¨.

®í⮬ã, ä ªâ¨ç¥áª¨, ­ «®£ ¢ëà ¦¥­¨ï (4.2) ­ ¤® ¯¨á âì â ª:

(x2t2) = Z d3x1K+A(x2t2; x1; t1) (x1 t1) ;

;Z

d3x

1

KA(x

2

t

; x

1

t0 )

(x t0 )

(4.57)

+

2

1

1 1

£¤¥ t1 < t2 < t01! ¤¥áì, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¨á.4-5(¡), ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢ª« ¤ á®áâ®ï­¨© á ¯®«®¦¨â¥«ì­®© í­¥à£¨¥© ¨ § ¢¨á¨â ®â ¯à¥¤è¥áâ¢ãîé¨å ¬®¬¥­-

⮢ ¢à¥¬¥­¨, ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¤ ¥â ¢ª« ¤ á®áâ®ï­¨© á ®âà¨æ ⥫쭮© í­¥à£¨¥©

104

¨á. 4-5
¨ § ¢¨á¨â ®â ¯®á«¥¤ãîé¨å ¬®¬¥­â®¢ ¢à¥¬¥­¨. ¬¯«¨âã¤	¢¥à®ïâ­®á⨠⮣®, çâ®
ç áâ¨æ ¯à¨å®¤¨â ¢ â®çªã x2; t2 ­¥ ®¯à¥¤¥«¥­ , ¥á«¨ ¨§¢¥áâ­	⮫쪮 ¬¯«¨â㤠¢¥-

а®пв­®бв¨ ®¡­ аг¦¥­¨п н«¥ªва®­ (¨«¨ ¯®§¨ва®­ ) ¢ ¡®«¥¥ а ­­¨© ¬®¬¥­в ¢а¥¬¥­¨.б«¨ ¯®§¨ва®­ ¨ ­¥ ¯а¨бгвбв¢®¢ « ¢ ¡®«¥¥ а ­­¨© ¬®¬¥­в ¢а¥¬¥­¨, ¢­¥и­¥¥ ¯®«¥ ¬®¦¥в ¯®а®¤¨вм н«¥ªва®­­® - ¯®§¨ва®­­го ¯ аг ¢ ¯а®ж¥бб¥ н¢®«ож¨¨ б¨бв¥¬л, зв® ¯а¨¢®¤¨в ª ¯®п¢«¥­¨о ¬¯«¨вг¤л ¢¥а®пв­®бв¨ ®¡­ аг¦¥­¨п ¯®§¨ва®­ ¢ ¡г¤гй¥¬.в¥®а¨¨ ¥©­¬ ­ ¢ª« ¤л ¢ ¯а®¯ £ в®а, б®®в¢¥вбв¢гой¨¥ з бв¨ж ¬ б ¯®«®¦¨- в¥«м­®© н­¥а£¨¥©, а бб¬ ва¨¢ овбп ª ª ¬¯«¨вг¤л ¢¥а®пв­®бв¨ в®£®, зв® н«¥ª- ва®­ ¨¬¥¥в ®¡лз­л© ®ва¨ж в¥«м­л© § ап¤, в®£¤ ª ª ¢ª« ¤л, б®®в¢¥вбв¢гой¨¥ з бв¨ж ¬ б ®ва¨ж в¥«м­®© н­¥а£¨¥©, а бб¬ ва¨¢ овбп ª ª ¬¯«¨вг¤л ¢¥а®пв­®- бв¨ ®¡­ аг¦¥­¨п ¯®§¨ва®­ б н­¥а£¨¥© ;E > 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¢®«­®¢ãî äã­ªæ¨î ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï ¢ ­¥ª®â®àë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨, ­¥®¡å®¤¨¬® §­ âì ¥¥ í«¥ªâà®­­ãî ª®¬¯®­¥­âã ¢ ¯à¥¤ë¤ã騩 ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨, ¥¥ ¯®§¨âà®­­ãî ª®¬¯®­¥­âã ¢ ¯®á«¥¤ãî騩 ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨!

ëà ¦¥­¨¥ (4.57) ¬®¦­® ®¡®¡é¨âì, § ¬¥ç ï, çâ® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ä㭪樨 (x2t2) ­¥®¡å®¤¨¬® §­ âì ¢®«­®¢ãî äã­ªæ¨î (x1t1) ­ ­¥ª®â®à®© ç¥âëà¥å¬¥à-

­®© £¨¯¥à¯®¢¥àå­®áâ¨, ®ªà㦠î饩 â®çªã x2; t2, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.4-6:

			Z	A	^	(4.58)
			(x2t2) = d (x1)K+		(2; 1)N(1) (1)
^		, £¤¥ N	{ ¢¥ªâ®à ­®à¬ «¨ ª £¨¯¥à¯®¢¥àå­®áâ¨, ®ªà㦠î饩 â®çªã
£¤¥ N = N
x2; t2. ­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ (4.58) ¨¤¥â ¯® í⮩ £¨¯¥à¯®¢¥àå­®áâ¨. ®£¤						¬®¦­® ᪠-

§ âì, çâ® § ¯¨áì ¢ ¢¨¤¥ (4.56) ¨¬¥­­® íâ® ¨ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥â. ®í⮬㠢 ¤ «ì­¥©- 襬, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¬ë ¨ ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï í⮩ ¯à®á⥩襩 ä®à¬®© § ¯¨á¨.㦭® ⮫쪮 ¯®¬­¨âì, çâ® ¯à®áâà ­á⢥­­®¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ (4.56) ¯®¤à §ã¬¥- ¢ ¥â ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® ¯à ¢¨«ì­® ¢ë¡à ­­®© £¨¯¥à¯®¢¥àå­®á⨠¢ ç¥âëà¥å¬¥à­®¬

¯à®áâà ­á⢥ - ¢à¥¬¥­¨.

®à¬ «ì­ë© ¢ë¢®¤ (4.58) ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠᫥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ®á¯®«ì§ã¥¬áï ç¥âëà¥å¬¥à­®©

⥮६®© ãáá :	Z				ZS
		4		@F (x0)
	d		x		0	0	)n		0	)	(4.59)
				@x0	= d (x	)F (x			(x

£¤¥ F (x0) { ­¥ª®â®à ï 4-¢¥ªâ®à­ ï äã­ªæ¨ï, ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ¢ ¯à®áâà ­á⢥­­® - ¢à¥¬¥­­®¬ ®¡ê¥¬¥, ®£à ­¨ç¥­­®¬ ¯®¢¥àå­®áâìî S, n (x0) - ¢­¥è­ïï ­®à¬ «ì ª í«¥¬¥­âã ¯®¢¥àå­®á⨠d (x) ¢ â®çª¥

0	. ãáâì (x) - à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ¨à ª			@ (x)					0	) = K+(x ;
x		i		@x		; m (x) = 0. 롥६ F (x
x0) (x0), £¤¥ x; x0 2 . ®£¤ ¨¬¥¥¬:			@F (x0)				@
						= i		[K+(x ; x0)	(x0)] =
				@x0			@x0

105

¨á. 4-6

	@K+(x	x0)			@	(x0)
= i	;		+ mK+(x ; x0)	(x0) + K+(x ; x0) i			; m (x0)		(4.60)
	@x0					@x0

â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ §¤¥áì à ¢­® ­ã«î ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ãà ¢­¥­¨¥¬ ¨à ª . ®¤áâ ¢¨¬ ¯®«ã祭­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ «¥¢ãî ç áâì (4.59) ¨ ãç⥬ ¥é¥, çâ®

	@K+(x			x0)
i		;			+ mK+(x ; x0) = ;i (x ; x0)		(4.61)
		@x0
®£¤ ¨¬¥¥¬:	(x) = ; ZS d (x0)K+(x ; x0)
						(x0)n (x0)	(4.62)
£¤¥ n - ¢­¥è­ïï ­®à¬ «ì. ã		¥á«¨ ¢¢¥á⨠¢­ãâ७­îî ­®à¬ «ì N , â® ¯®«ã稬:
	(x) =			d (x0)K+(x ; x0)		(x0)N (x0)	(4.63)
			ZS
çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ëà ¦¥­¨¥ (4.57) á«¥¤ã¥â ®âáî¤ , ¥á«¨ ¢ë¡à âì ¯®¢¥àå­®áâì S ¢ ¢¨¤¥
¤¢ãå ¯à®áâà ­á⢥­­® - ¯®¤®¡­ëå £¨¯¥à¯«®áª®á⥩ t1 ¨ t2,						\¡®ª®¢ë¬¨" ¢ª« ¤ ¬¨ ¯à¥­¥¡à¥çì, á
ãç¥â®¬ ⮣®, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ç á⨠¯®¢¥àå­®á⨠S à áâ¢ îâáï ­							¡¥áª®­¥ç­®áâì. ¬¥â¨¬
¥é¥, çâ® ¯à¨ í⮬ N0 0 = .

¬¯«¨â㤠¢¥à®ïâ­®á⨠¯¥à¥å®¤ í«¥ªâà®­ ¨§ ­¥ª®â®à®£® á®áâ®ï­¨ï á ¢®«­®¢®© ä㭪樥© 0(x1t1) ç áâ¨æ á ¯®«®¦¨â¥«ì­®© í­¥à£¨¥© ¢ ¬®¬¥­â t1 ¢ á®áâ®ï­¨¥ á ¢®«­®¢®© ä㭪樥© '0(x2t2), â ª¦¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 á®áâ®ï­¨ï¬ á ¯®«®¦¨â¥«ì­®© í­¥à£¨¥©, ¢ ¬®¬¥­â t2 > t1 ¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬:

M =

Z

d3x

d3x

' (x t

)K

+

(x

t

; x t

)

0

(x t

) =

Z

d3x d3x ' (2) K

+

(2; 1)

0

(1)

1

2

0

2 2

2

2

1 1

1 1

1 2 0

^

(4.64)

᫨ ¬¥¦¤ã ¬®¬¥­â ¬¨ ¢à¥¬¥­¨ t1 ¨ t2 ¤¥©áâ¢ã¥â ¯®â¥­æ¨ « eA, â® äã­ªæ¨ï K+

§ ¬¥­ï¥âáï ­ K+A. ®í⮬㠬¯«¨âã¤

¯¥à¥å®¤ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨, ¢ ᮮ⢥â-

á⢨¨ á (4.55), à

¢­

:

M1 = ;ie Z

3

3

4

^

d

x1d x2d

x3'0

(2) K+ (2; 3)A(3)K+(3; 1) 0(1)

(4.65)

¯®¬®éìî (4.56) ¬®¦­® á­ïâì ¨­â¥£à «ë ¯® x1 ¨ x2 ¢¢¥¤ï:

0(3) = Z d3x1K+(3; 1)

0(1)

(4.66)

'0(3) = Z d3x2'0(2) K+ (2; 3)

(4.67)

106

¨á. 4-7

â ª çâ® (4.65) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢:

M1 = ;ie Z	4	^
	d	x3'0(3)A(3) 0	(3)	(4.68)

ãáâì ­ ç «ì­ ï ¢®«­®¢ ï äã­ªæ¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â í«¥ªâà®­ã á 4-¨¬¯ã«ìᮬ p1, ª®­¥ç­ ï { í«¥ªâà®­ã á 4-¨¬¯ã«ìᮬ p2:

0(x) = u(p1)e;ip1x

'0(x) = u(p2)eip2x

(4.69)

£¤¥ u { ᯨ­®àë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᢮¡®¤­ë¬ ç áâ¨æ ¬ á ¯®«®¦¨â¥«ì­®© í­¥à£¨¥©.¢®¤ï äãàì¥-®¡à § A (x):

A (x) = Z d4ke;ikxa (k)

(4.70)

¨¯®¤áâ ¢«ïï (4.69) ¨ (4.70) ¢ (4.68), ¢ë¯®«­ï¥¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® x3 ¨ ¯®«ãç ¥¬:

M1 = ;ie(2 )4 Z d4k (p2 ; k ; p1)u(p2)^a(k)u(p1) = ;ie(2 )4u(p2)^a(p2 ; p1)u(p1)(4.71)

çâ® ¬®¦­® ¨§®¡à §¨âì ¤¨ £à ¬¬®©, ¯®ª § ­­®© ­

¨á.4-7. ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬,

¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ¯¥à¥å®¤

¨§ á®áâ®ï­¨ï á p1 ¢ á®áâ®ï­¨¥ á p2, ¢® ¢â®à®¬ ¯®à浪¥

⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©, ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

2

Z

4

4

^

M2 = (;ie)

d x3 Z

d

x4'0(3)A(3)K+(3; 4)A(4) 0(4)

(4.72)

^

¨§ (4.70) ¨ (4.39),

âáî¤ , ¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ äãàì¥-®¡à §®¢ ä㭪権 A ¨ K+

â ª¦¥ (4.69), ¯®«ãç ¥¬:

1

M2 = ;ie2(2 )4 Z d4p Z d4k1 Z d4k2 (p2;k1;p) (p1+k2;p)u(p2)^a(k1)

a^(k2)u(p1)

p^; m

(4.73)

¨«¨

Z

1

M2 =

;

ie2(2 )4

d4ku(p2)^a(p2

;

p1

;

k)

a^(k)u(p1)

(4.74)

p^1

+ k ; m

^

çâ® ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪®¬ ¨á.4-8. á­®, çâ®

­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¢ë¯¨áë¢ -

îâáï ¨ ç«¥­ë ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 . १ã«ìâ ⥠¢®§­¨ª îâ á«¥¤ãî騥 ¯à ¢¨« ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ¤«ï à áá¥ï­¨ï í«¥ªâà®­®¢ ­ ¯®â¥­æ¨ «¥ ¢­¥è­¥£® í«¥ªâà®- ¬ £­¨â­®£® ¯®«ï:

107

¨á. 4-8

1. âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ¯¥à¥å®¤ ¨¬¥¥â ¢¨¤ M = u2Nu1.

2. ¦¤®¬ã ¢¨àâã «ì­®¬ã á®áâ®ï­¨î í«¥ªâà®­ (¢­ãâ७­¥© í«¥ªâà®­­®© «¨- ­¨¨) á ¨¬¯ã«ìᮬ p ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ N ä ªâ®à p^;im .

3. ¦¤®¬ã ä®â®­ã (¢®«­¨á⮩ «¨­¨¨) á ¨¬¯ã«ìᮬ q ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ N ä ªâ®à

;iea^(q).

4. ® ¢á¥¬ ¨¬¯ã«ìá ¬ qi, ­¥ 䨪á¨à®¢ ­­ë¬ § ª®­ ¬¨ á®åà ­¥­¨ï, ¢ë¯®«­ïî-

騬¨áï ¢ ¢¥à設 å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¯à®¢®¤¨âáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ d4qi .

(2 )4

ਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¨­â¥£à «®¢ ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® ¢à¥¬¥­­®© ª®¬¯®­¥­â¥ ¨¬-

¯ã«ìá

á«¥¤ã¥â ¢ë¡¨à âì ¨áå®¤ï ¨å 䥩­¬ ­®¢áª®£® ¯à ¢¨«

®¡å®¤

¯®«îᮢ: ¬ áá

m ¢ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¬ ¢ëà ¦¥­¨¨ § ¬¥­ï¥âáï ­ m

! m ; i

( !

+0).

ª ç¥á⢥ ¯à®á⮣® ¯à¨¬¥à ª®­ªà¥â­ëå ¢ëç¨á«¥­¨© à áᬮâਬ § ¤ çã à áá¥ï­¨ï ­

ªã«®-

­®¢áª®¬ ¯®«¥ ⮬­®£® ï¤à

(१¥àä®à¤®¢áª®¥ à áá¥ï­¨¥) á § à冷¬ Ze. í⮬ á«ãç ¥, ¯®â¥­æ¨ «

ï¤à à ¢¥­:

A0 = V (r) = Zer

(4.75)

®®â¢¥âá⢥­­®:

1

1

Ze

a^(q) =

Z d4xeiqx A =

(q0) 0 Z d3 xe;iqrV (r) =

(q0) 0

(4.76)

(2 )4

(2 )3

2 2q2

®£¤

¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤

¯¥à¢®£® ¯®à浪

(4.71) ¨¬¥¥â ¢¨¤:

M1 = ;2 (E1 ; E2) u(p2)

4 Ze2

0u(p1)

(4.77)

jp2 ; p1j2

£¤¥ E1 ¨ E2 { ­ ç «ì­ ï ¨ ª®­¥ç­ ï í­¥à£¨ï í«¥ªâà®­ . § (4.77) ¢¨¤­®, çâ® E1 = E2 = E, â.¥.

à áá¥ï­¨¥ ã¯à㣮¥ (áâ â¨ç¥áª¨© ¯®â¥­æ¨ «!). ¥à®ïâ­®áâì à áá¥ï­¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

4 Ze2

2

jM1j2

= (2 )2 u(p2)

0u(p1)

(E1 ; E2) (0)

(4.78)

j

p

2 ;

p

2

1j

¥â ¯®­ïâ­ë¥ ¯à®¡«¥¬ë. ¥«¨ç¨­ã (0)

¤¥áì ¬ë § ¯¨á «¨ [ (E1 ;E2)]2 = (E1 ;E2) (0), ç⮠ᮧ¤

­ ¤® ¨á⮫ª®¢ âì, ¯®«ì§ãïáì ¨§¢¥áâ­ë¬ à¥æ¥¯â®¬ ¥à¬¨, ª ª:

1

T=2

T

(0) = lim lim

dteixt =

lim

(4.79)

T!1 x!0

2

Z;T=2

T!1

2

£¤¥ T { ¢à¥¬ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ®£¤ ¬®¦­® ¢¢¥á⨠¢¥à®ïâ­®áâì ¯¥à¥å®¤

¢ ¥¤¨­¨æ㠢६¥­¨ w1!2:

4 Ze2

2

w1!2 = 2 u(p2)

0u(p1)

(E1 ; E2)

(4.80)

jp2 ; p1j2

«ì­¥©è¨¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï (¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨ ­¥¯®«ïਧ®¢ ­­®á⨯ãçª

¨á室­ëå í«¥ªâà®­®¢) âà¥-

¡ãî⠯஢¥¤¥­¨ï ãá।­¥­¨ï ¯® ¤¢ã¬ ­ ç «ì­ë¬ ¯®«ïਧ æ¨ï¬

ᯨ­

í«¥ªâà®­

¨ á㬬¨à®¢ ­¨ï

j (x) = eua(p2) a ua(p1)ei(p2;p1)x

108

¯® ª®­¥ç­ë¬ ¯®«ïਧ æ¨ï¬. «ï í⮣® áãé¥áâ¢ã¥â à §à ¡®â ­­ë© ¯¯ à â, ¨á¯®«ì§ãî騩 ï¢­ë© ¢¨¤ ᯨ­®à®¢ u(p) ¨ ᢮©á⢠¬ âà¨æ ¨à ª . ë ®¯ãá⨬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â¥å­¨ç¥áª¨¥ ¤¥â «¨, ª®â®àë¥ ¬®¦­® ­ ©â¨, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [5] ¨«¨ ¢ [1]. ª®­¥ç­®¬ ¨â®£¥, ¨§ (4.80) ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì à¥- «ï⨢¨áâ᪨© ¢ ਠ­â ä®à¬ã«ë ¥§¥àä®à¤ (ä®à¬ã«ã ®ââ ) ¤«ï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® á¥ç¥­¨ï

à áá¥ï­¨ï ¢ í«¥¬¥­â ⥫¥á­®£® 㣫	d [5]:				1 ; v2 sin2
d	=	Z2e4						(4.81)
d		4p2v2 sin4				2
			2
£¤¥ ã竨 jp1 ; p2j = 2jpjsin =2, £¤¥ { 㣮« à áá¥ï­¨ï, ¨ ¢¢¥«¨ ᪮à®áâì v = jpj=E.

¤ ç ¤¢ãå ç áâ¨æ.

᫨ ¢ë¡à âì «®à¥­æ¥¢áªãî ª «¨¡à®¢ªã, â® ãà ¢­¥­¨¥ ªá¢¥«« ¤«ï ¯®â¥­æ¨ - «®¢, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤:

A = 4 j

â® ãà ¢­¥­¨¥ «¥£ª® à¥è¨âì á ¯®¬®éìî ä㭪樨 ਭ ãà ¢­¥­¨¥¬:

2D+(2; 1) = 4 (2; 1)஢®¤ï ®ç¥¢¨¤­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ãàì¥ ¨¬¥¥¬:

4		Z	1
D+(2; 1) = ;			d4keik(x2;x1)
	(2 4)			k2 + i

(4.82) D+, ª®â®àãî ®¯à¥¤¥«¨¬

(4.83)

! +0 (4.84)

® áãé¥áâ¢ã, á â®ç­®áâìî ¤® ª®­áâ ­âë ¨ §­ ª , íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨­â¥- £à «®¬ I+ ¨§ (4.40), ¥á«¨ ¢ ­¥¬ ¯®«®¦¨âì ¤®®¯à¥¤¥«¥­­ãî, ᮣ« á­® (4.44) ¬ ááã m = 0. ¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì à¥è¥­¨¥ (4.82) ¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ®ç¥¢¨¤­®¬ ¢¨¤¥:

A (2) = Z d4x1D(2; 1)j (1)

(4.85)

¤¥бм ®вбгвбв¢г¥в ¢®§¬®¦­л© ­¥®¤­®а®¤­л© ¢ª« ¤, зв® б®®в¢¥вбв¢г¥в £а ­¨з­®¬г

гб«®¢¨о ®вбгвбв¢¨п б¢®¡®¤­®£® н«¥ªв஬ £­¨в­®£® ¨§«гз¥­¨п		¯à¨ t =	1	(â.¥.
(0)	ãà ¢­¥­¨ï A = 0, ª®â®àë¥ ¢á¥£¤
®вбгвбв¢гов а¥и¥­¨п A		¬®¦­® ¤®¡ ¢¨âì ¢

¯à ¢ãî ç áâì (4.85)).

áᬮâਬ ⥯¥àì á«ãç © ¤¢ãå § à殮­­ëå (¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å!) ä¥à¬¨®­®¢.¦¤ ï ¨§ ç áâ¨æ ï¥âáï ¨áâ®ç­¨ª®¬ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï, ª®â®à®¥ ®ª §ë- ¢ ¥â ¢«¨ï­¨¥ ­ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¤à㣮© ç áâ¨æë. १ã«ìâ ⥠í⮣® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç -

áâ¨æë à áᥨ¢ îâáï ¤à㣠­ ¤à㣥. ¯¨è¥¬ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ⮪ , ᮮ⢥âáâ¢ãî- 饣® ¯¥à¥å®¤ã í«¥ªâà®­ \a" ¨§ á®áâ®ï­¨ï ua(p1)e;ip1x ¢ á®áâ®ï­¨¥ ua(p2)e;ip2x:

(4.86)

ᮮ⢥âá⢨¨ á (4.85) íâ®â ⮪ ᮧ¤ ¥â ¢ ¯à®áâà ­á⢥­­® - ¢à¥¬¥­­®© â®çª¥ x
¯®«¥ á ¯®â¥­æ¨ «®¬:
A (x) = e Z d4x0D+(x ; x0)ei(p2;p1)x0 ua(p2) a ua(p1) =
1
= ;4 e Z d4k k2 + i e;ikx (k + p2 ; p1)ua(p2) a ua(p1)	(4.87)

109

¨á. 4-9

â®â ¯®â¥­æ¨ « ¤¥©áâ¢ã¥â ­ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢â®à®£® í«¥ªâà®­ \b". ®£« á­® (4.68), ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯¥à¥å®¤ã í«¥ªâà®­ \b" ¨§ á®áâ®ï­¨ï á 4-¨¬¯ã«ìᮬ q1 ¢ á®áâ®ï­¨¥ á 4-¨¬¯ã«ìᮬ q2, ¢ë§¢ ­­®¬ã ¯®â¥­æ¨ «®¬ (4.87), ¨¬¥¥â ¢¨¤:

; Z

d4xub(q2)eiq2x b A (x)ub(q1)e;iq1x =

M =

ie

= 4 ie

2

(2 )

4

ub(q2) b ub(q1)ua(p2) a ua(p1)

(p1 + q1 ; p2 ; q2)

(4.88)

p1

;

p2

j

2

j

áᬮâਬ ⥯¥àì ¯à®¯ £ â®à á¨áâ¥¬ë ¨å ¤¢ãå ç áâ¨æ (¤¢ãåç áâ¨ç­ãî äã­ªæ¨îਭ ). ­¥à¥«ï⨢¨áâ᪮¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ á¨á⥬ ¨§ ¤¢ãå ç áâ¨æ ®¯¨áë¢ ¥âáï è।¨­£¥à®¢áª®© ¢®«­®¢®© ä㭪樥© (xa; xb; t), ¨ ¬ë ¬®¦¥¬, â ª¦¥ ª ª ¨ ¢ëè¥ ¢ á«ãç ¥ ®¤­®© ç áâ¨æë, ®¯à¥¤¥«¨âì ¯à®¯ £ â®à K(xa; xb; t; x0a; x0b; t0), ¯à¥¤áâ ¢«ï- î騩 ᮡ®© ¬¯«¨âã¤ã ¢¥à®ïâ­®á⨠⮣®, çâ® ç áâ¨æ \a" ¨§ â®çª¨ x0a ¢ ¬®¬¥­â

¢à¥¬¥­¨ t0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ â®çªã xa ¢ ¬®¬¥­â t, ⮣¤ ª ª ç áâ¨æ \b" ¨§ â®çª¨ x0b ¢ ¬®¬¥­â t0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ â®çªã xb ¢ ¬®¬¥­â t. ᫨ ç áâ¨æë ­¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ, â®,

®ç¥¢¨¤­®, ¨¬¥¥¬:

K(xa; xb; t; x0a; x0b; t0) = K0a(xat; x0at0)K0b(xbt; x0bt0)

(4.89)

£¤¥ K0a, K0b { ¯а®¯ £ в®ал б¢®¡®¤­ле з бв¨ж \a" ¨ \b". б«гз ¥ ®вбгвбв¢¨п ¢§ - ¨¬®¤¥©бв¢¨п ¬®¦­® ®¯а¥¤¥«¨вм ¨ ¡®«¥¥ ®¡йго ¤¢гез бв¨з­го дг­ªж¨о а¨­ , г ª®в®а®© ¢а¥¬¥­ з бв¨ж ¢ ­ з «м­®¬ ¨ ª®­¥з­®¬ б®бв®п­¨пе ­¥ б®¢¯ ¤ ов:

K0(3; 4; 1; 2) = K0a(3; 1)K0b(4; 2)

(4.90)

ëà ¦¥­¨¥ (4.88) ¬®¦­® ⥯¥àì à áᬮâà¥âì ª ª ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â, ¢®§­¨ªè¨© ¨§ ¯®¯à ¢ª¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 K(1) ª ¯à®¯ £ â®àã ¤¢ãå ᢮¡®¤­ëå ç áâ¨æ, § ¯¨á ­­®© ¢ ¢¨¤¥:

K+(3; 4; 1; 2) = ;ie2 Z d4x5 Z d4x6K+a(3; 5) a K+a(5; 1)D+(5; 6)K+b(4; 6) b K+b(6; 2)

(4.91) ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­­®© ¤¨ £à ¬¬®© ¥©­¬ ­ ­ ¨á.4-9. ­®¦¨â¥«ì D+ ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥- ­¨¨ à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¯à®¯ £ â®à ¢¨àâã «ì­®£® ä®â®­ . ªâ¨ç¥áª¨, ¯à¨¢¥¤¥­- ­ë© ¢ë¢®¤ ­¥ ¢¯®«­¥ 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«¥­, ¯®áª®«ìªã ¬ë ¯®ª ¢®¢á¥ ­¥ ª¢ ­â®¢ «¨ á ¬® í«¥ªâ஬ £­¨â­®¥ ¯®«¥, ­®, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ­¨¦¥, íâ®â ¦¥ १ã«ìâ â ¢®á¯à®- ¨§¢®¤¨âáï ¨ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮© ⥮ਨ.