Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1

160

ਢ¥¤¥¬ ä®à¬ «ì­®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ᮪à 饭¨ï ¢ ªã㬭ëå ¤¨ £à ¬¬. áᬮâਬ ¯®- ¯à ¢ªã n-£® ¯®à浪 ª £à¨­®¢áª®© ä㭪樨 í«¥ªâà®­ (¯à®¯ £ â®àã), ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª ª ï-â® ­¥á¢ï§­ ï ¤¨ £à ¬¬ . ­ , ®ç¥¢¨¤­®, á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ¬­®¦¨â¥«¥©. ¥à¢ë© ¨§ ­¨å ¢ª«îç ¥â ¢á¥ HI, á¢ï§ ­­ë¥ á (x) ¨ (x0), â.¥. ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¢ï§­®¬ã ¡«®ªã á ¢­¥è­¨¬¨ ª®­-

æ	¬¨. â®à®© ¬­®¦¨â¥«ì ®¯¨áë¢ ¥â ®áâ «ì­ãî ç áâì ¤¨ £à ¬¬ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï
à	áᬠâਢ ¥¬®© ¯®¯à ¢ª¨ à ¢­®:

;i (;ni!)n Z dt1::: Z dtm < 0jT ( (x) (x0)HI(t1):::HI(tm))j0 >c
Z dtm+1::: Z dtn < 0jT (HI(tm+1):::HI(tn))j0 >	(7.46)

¤¥áì < 0j:::j0 >c ¨ < 0j:::j0 > ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­¥ª®â®àë© ¢¯®«­¥ ®¯à¥¤¥«¥­­ë© ­ ¡®à ᯠਢ ­¨© ¯® ⥮६¥ ¨ª , ¯à¨ç¥¬ ᨬ¢®« < ::: >c ®§­ ç ¥â, çâ® ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥­¨¨ ᯠਢ ­¨ï ¤ îâ á¢ï§­ãî ¤¨ £à ¬¬ã.

¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® á।¨ ¤¨ £à ¬¬ ¨¬¥îâáï â ª¨¥, ª®â®àë¥ ¤ îâ ¢ â®ç­®á⨠®¤¨­ ª®¢ë© ¢ª« ¤. ¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ¬ë ¨§¬¥­¨¬ ᯠਢ ­¨ï â ª, çâ® ¤¥«® ᢥ¤¥âáï ¯à®áâ® ª ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥

à §«¨ç­ëå HI ¬¥¦¤ã ᪮¡ª ¬¨ < ::: >c ¨ < ::: >, â® íâ® ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ¯à®áâ® ¯¥à¥®¡®§­ -

祭¨î ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¨ ­¥ ¨§¬¥­¨â ¢¥«¨ç¨­ã ¯®¯à ¢ª¨ ª G. ¨á«® â ª¨å ¤¨ £à ¬¬

à ¢­® ç¨á«ã à §¡¨¥­¨©

n ®¯¥à â®à®¢ HI

­ £àã¯¯ë ¨§ m ¨ n

;

m ®¯¥à â®à®¢, â.¥. ¡ã¤¥â à ¢­®

n!

m!(n;m)! .

®«­ë© ¢ª« ¤ ¢á¥å â ª¨å ¤¨ £à ¬¬ ¡ã¤¥â à ¢¥­:

;i (;mi)!m

Zn;dtm1::: Z

dtm < 0jT ( (x) (x0)HI(t1):::HI(tm))j0 >c

(;i)

dtm+1:::

dtn < 0

j

T (HI(tm+1):::HI(tn)) 0 >

(7.47)

(n ; m)!

j

à®á㬬¨à㥬 ¢ª« ¤ë ®â ¢á¥åZ¤¨ £à ¬¬,Z«î¡ëå ¯®à浪®¢, ᮤ¥à¦ é¨å ®¯à¥¤¥«¥­­ãî á¢ï§­ãî

ç áâì ¨ «î¡ë¥ ­¥á¢ï§­ë¥ ç áâ¨. 祢¨¤­®, ¯à¨ í⮬ ¯®«ã稬:

;i (;mi)!m

Z dt1::: Z dtm < 0jT ( (x) (x0)HI(t1):::HI(tm))j0 >c

1 ; i Z dtm+1 < 0jHI(tm+1)j0 > ;

1

Z dtm+1 Z dtm+2 < 0jT (HI(tm+1)HI(tm+2))j0 > +:::

;2

::: +

(;i)k

Z

dtm+1::: Z dtm+k < 0jT (HI(tm+1:::)HI(tm+k))j0 > +:::

(7.48)

k!

¥à­¥¬áï ⥯¥àì ª ¨á室­®© ä®à¬ã«¥ (7.45). ᫨ à §«®¦¨âì áâ®ïéãî ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ¢¥«¨ç¨­ã <

0jSj0 > ¢ àï¤ ¯® á⥯¥­ï¬ HI, â® ¯®«ãç¨âáï ¢ â®ç­®á⨠⮠¦¥ á ¬®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥, ª®â®à®¥ § ª«î祭®
¢ 䨣ãà­ë¥ ᪮¡ª¨ ¢ (7.48). ª¨¬ ®¡à §®¬:
0	)Sj0 >=< 0jT				0	)Sj0 >c< 0jSj0 >
< 0jT (x) (x			(x)	(x			(7.49)
â ª çâ®, ᮣ« á­® (7.45)	0				0
		) ; i < 0jT	(x)			)Sj0 >c	(7.50)
G(x ; x				(x

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì! ®«ã祭­®¥ ¯à ¢¨«® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ «î¡®£® ¢ëà ¦¥­¨ï ⨯ (7.27) ¨«¨ (7.45) á ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ª®«¨ç¥á⢮¬ ¯®«¥¢ëå ®¯¥à â®à®¢. ¯à ªâ¨ª¥ íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ¬®¦­® ¢®®¡é¥ ®¯ãáâ¨âì ¬­®¦¨â¥«ì < 0jSj0 > ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥, ¥á«¨ áà §ã ¤®£®¢®à¨âìáï ­¥ ãç¨âë¢ âì ­¥á¢ï§­ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë.

«ì­¥©è¨¥ ã¯à®é¥­¨ï ¢®§­¨ª î⠢᫥¤á⢨¥ ⮣®, çâ® ¢á¥ ⨯ë ᯠਢ ­¨© ¢ ¢ëà ¦¥­¨¨
; i (;mi)!m Z dt1::: Z dtm < 0jT ( (x) (x0)HI(t1):::HI(tm))j0 >c	(7.51)

®â«¨ç î騥áï ⮫쪮 ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© HI, ¤ îâ ®¤¨­ ª®¢ë© ¢ª« ¤. « £®¤ àï í⮬㠬®¦­® ®¯ã- áâ¨âì ¬­®¦¨â¥«ì 1=m! ¨ ãç¨âë¢ âì ⮫쪮 â ª¨¥ ᯠਢ ­¨ï, ª®â®àë¥ ¯à¨¢®¤ïâ ª ⮯®«®£¨ç¥áª¨

161

¨á. 7-13

­¥íª¢¨¢ «¥­â­ë¬ ¤¨ £à ¬¬ ¬, â.¥. â ª¨¬, ª®â®àë¥ ­¥«ì§ï ¯®«ãç¨âì ¤à㣠¨å ¤à㣠¯¥à¥áâ ­®¢ª®© ®¯¥à â®à®¢ HI. ª« ¤ ®â ª ¦¤®© â ª®© ¤¨ £à ¬¬ë 㦥 ­¥ ᮤ¥à¦¨â ¬­®¦¨â¥«ï, áãé¥á⢥­­® § ¢¨áï饣® ®â ¯®à浪 ¤¨ £à ¬¬ë m. « £®¤ àï í⮬㠪 ¦¤ ï ¤¨ £à ¬¬ ¬®¦¥â ¡ëâì à §¡¨â ­ í«¥¬¥­âë, ª®â®àë¥ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ®â¤¥«ì­® ª ª ¯®¯à ¢ªã ª ⮩ ¨«¨ ¨­®© £à¨­®¢áª®© ä㭪樨. ç¨á«ã ­¥áãé¥á⢥­­ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ®â m ®â­®á¨âáï, ®ç¥¢¨¤­®, ¬­®¦¨â¥«ì m, £¤¥{ ª®­áâ ­â . ª®© ¬­®¦¨â¥«ì ­¥ ¬¥è ¥â à §¡¨¥­¨î ¤¨ £à ¬¬ë ­ í«¥¬¥­âë (¡«®ª¨). ®¡®- à®â, ¯®ï¢«¥­¨¥ ¬­®¦¨â¥«ï ⨯ 1=m 㦥 ¯à¥¯ïâáâ¢ã¥â â ª®¬ã à §¡¨¥­¨î ¨ á㬬¨à®¢ ­¨î ç á⥩ ¤¨ £à ¬¬ë ¯® ®â¤¥«ì­®áâ¨.

«®ª, § ª«î祭­ë© ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï í«¥ªâà®­­ë¬¨ «¨­¨ï¬¨, ­ §ë¢ ¥âáï í«¥ª- âà®­­®© ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª®© ç áâìî. ª ¨ ¢ ä®â®­­®¬ á«ãç ¥, ¥¥ ­ - §ë¢ îâ ­¥¯à¨¢®¤¨¬®© (¨«¨ ®¤­®ç áâ¨ç­® ­¥¯à¨¢®¤¨¬®©), ¥á«¨ ®­ ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à §à¥§ ­ ­ ¤¢¥ ¤à㣨¥ ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª¨¥ ç á⨠¯ã⥬ à áá¥ç¥­¨ï ®¤­®© í«¥ªâà®­­®© «¨­¨¨. 㬬㠢á¥å ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å ç á⥩

®¡®§­ 稬	i	M	(p), íâã ¢¥«¨ç¨­ã ­ §ë¢ îâ ¥é¥ ¬ áá®¢ë¬ ®¯¥à â®à®¬. â®ç­®-
	;		e	4	¬ áá®¢ë© ®¯¥à â®à ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪 ¬¨, ¯®ª § ­­ë¬¨
áâìî ¤® ç«¥­®¢
­ ¨á.7-13. ã⥬ á㬬¨à®¢ ­¨ï, ­ «®£¨ç­®£® ¯à®¢¥¤¥­­®¬ã ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ (7.30),
¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ©á®­ :
						D(p) = G(p) + G(p)M(p)G(p)				(7.52)
¨«¨, ¤«ï ®¡à â­ëå ¬ âà¨æ:
					G	;1(p) = G;1(p)	(p) = p	; M	(p)	(7.53)
							; M

à ¢­¥­¨¥ (7.30) â ª¦¥ ¬®¦­® ­ §¢ âì ãà ¢­¥­¨¥¬ ©á®­ ¤«ï ä®â®­­®£® ¯à®¯ - £ â®à . ¨¦¥ ¬ë ¥é¥ ­¥ à § ¢¥à­¥¬áï ª ®¡á㦤¥­¨î íâ¨å ãà ¢­¥­¨©.

¥©§¥­¡¥а£®¢бª¨¥ -®¯¥а в®ал (¢ ®в«¨з¨¥ ®в -®¯¥а в®а®¢ ¢ ¯а¥¤бв ¢«¥­¨¨ ¢§ - ¨¬®¤¥©бв¢¨п), ª ª ®в¬¥з «®бм ¢ли¥ ¬¥­повбп ¯а¨ ª «¨¡а®¢®з­ле ¯а¥®¡а §®¢ - ­¨пе. ¬¥бв¥ б ­¨¬¨ ­¥ п¢«п¥вбп ª «¨¡а®¢®з­® ¨­¢ а¨ ­в­л¬ ¨ в®з­л© н«¥ªва®­-

­ë© ¯à®¯ £ â®à	G	. á­®, çâ® ¨§¬¥­¥­¨¥	G	¯à¨ ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ïå
					l	, ª®â®à ï ¤®¡ ¢«ï¥âáï
¤®«¦­® ¢ëà ¦ âìáï ç¥à¥§ âã ¦¥ ¯à®¨§¢®«ì­ãî äã­ªæ¨î D
¯à¨ í⮬ ª ä®â®­­®¬ã ¯à®¯ £ â®àã. â® ïá­® ¨§ ⮣®, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ G ¨§ ¤¨ -
£à ¬¬­®£® àï¤	⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©, «î¡®© ç«¥­ àï¤				¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ä㭪樨
D ¨ ­¨ª ª¨å ¤àã£¨å ¢¥«¨ç¨­, á¢ï§ ­­ëå á í«¥ªâ஬ £­¨â­ë¬ ¯®«¥¬ ¢ ­¨å ¯à®áâ®
­¥â. ë ¬®¦¥¬ ¤¥« âì «î¡ë¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ï ® ᢮©áâ¢ å ®¯¥à â®à ¢ (7.9), «¨èì

¡ë ®â¢¥â ¢ëà ¦ «áï ç¥à¥§ Dl. १ã«ìâ ⥠¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (7.9) ¯à®¯ £ â®àë D ¨

G ¯¥à¥å®¤ïâ ¢:

D !

i <

0

j

T[A

(x)

;

@

(x)][A

;

@0 (x0)]

0

>

(7.54)

0

0

j

G ! ;i < 0jT

(x)eie(x)e;ie(x

)

(x

)j0

>

(7.55)

г¤¥¬ ¯®« £ вм, зв® ®¯¥а в®ал гба¥¤­повбп ¯® ¢ ªгг¬г ­¥§ ¢¨б¨¬® ®в ®бв «м- ­ле, зв®, ¥бв¥бв¢¥­­®, ®б­®¢ ­® ­ ⮬, зв® ¢ б¨«г ª «¨¡а®¢®з­®© ¨­¢ а¨ ­в­®- бв¨ н«¥ªвத¨­ ¬¨ª¨ \¯®«¥" ­¥ ¯а¨­¨¬ ¥в ­¨ª ª®£® гз бв¨п ¢® ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨¨.

162

®«®¦¨¬ â ª¦¥ < 0j (x)j0 >= 0. ®£¤				¢ (7.55) ¨ (7.55) ç«¥­ë, ᮤ¥à¦ 騥 ,
®в¤¥«повбп ¨ ¬л ¯®«гз ¥¬:
		+ < 0 T @ (x)@0 (x0) 0			>	(7.56)
D ! D			< 0jT eie (x)e;ie (x0)j0		>	(7.57)
	G ! G		j	j

®¤з¥аª­¥¬ ¥й¥ а §, зв® ¢¥«¨з¨­л §¤¥бм п¢«повбп ®¯¥а в®а ¬¨. «¥¥ а бᬮ- ва¨¬ б«гз © ¡¥бª®­¥з­® ¬ «ле ª «¨¡а®¢®з­ле ¯а¥®¡а §®¢ ­¨© ¨ ¢¢¥¤¥¬ ¢¬¥бв®. а¥®¡а §®¢ ­¨¥ (7.57), ­¥§ ¢¨б¨¬® ®в ¬ «®бв¨ , ¬®¦­® § ¯¨б вм ¢ ¢¨¤¥:

D ! D

+

D

D

=

@

@0 dl(x

;

x0)

(7.58)

£¤¥

dl(x ; x0) = i < 0jT (x) (x0)j0 >

(7.59)

âáî¤ ¢¨¤­®, çâ® dl ®¯à¥¤¥«ï¥â ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯à¨ ª «¨¡à®¢®ç­®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨

¯à®¤®«ì­®© ç á⨠ä®â®­­®£® ¯à®¯ £ â®à

Dl.

¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ (7.57) à §«®¦¨¬ íªá¯®­¥­âë ¯® á⥯¥­ï¬ á â®ç­®áâìî ¤®

ª¢ ¤à â¨ç­ëå ç«¥­®¢, ⮣¤ :

0

1

< 0jT eie (x)e;ie (x )j0 > ;2e2 < 0j 2(x) + 2(x0) ; 2T (x) (x0)j0 >

(7.60)

ãç¥â®¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (7.59) ¯®«ãç ¥¬:

G ! G + G

G = ie2G(x ; x0)[dl(0) ; dl(x ; x0)]

(7.61)

¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ íâ® ¤ ¥â:

G(p) = ie2 Z

d4q

[G(p) ; G(p ; q)]dl(q)

(7.62)

(2 )4

¯à¨ç¥¬

q2dl(q) = Dl(q)

(7.63)

⨠ä®à¬ã«ë ¤ îâ ®¡é¨¥ ¯à ¢¨« ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© â®ç­ëå ¯à®¯ - £ â®à®¢ ¢ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥.

¥à設­ë¥ ç áâ¨.

á«®¦­ëå ¤¨ £à ¬¬ å ¬®¦­®, ­ àï¤ã á ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª¨¬¨ ç áâﬨ, ¢ë¤¥«¨âì â ª¦¥ ¨ ­¥ ᢮¤ï騥áï ª ­¨¬ ¡«®ª¨ ¤à㣮£® ¢¨¤ . áᬮâਬ äã­ªæ¨î:

K (x1; x2; x3) =< 0jT A (x1) (x2) (x3)j0 >

(7.64)

ᨫ㠮¤­®à®¤­®á⨠¯à®áâà ­á⢠- ¢à¥¬¥­¨ ®­ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â à §­®á⥩ ᢮¨å à£ã¬¥­â®¢. ®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨¬¥¥¬:

K (x1; x2; x3) =	< 0jTAint(x1) int(x2) int(x3)Sj0 >	(7.65)
	< 0jSj0 >

163

¨á. 7-14

¨á. 7-15

¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

K (p2; p1; k)(2 )4 (p1 + k ; p2) = Z d4x1 Z d4x2 Z d4x3e;ikx1+ip2;ip1x3 K (x1; x2; x3)

(7.66)¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¥ äã­ªæ¨ï K ®¯¨áë¢ ¥âáï \âà¥å墮á⪮©", ¯®ª § ­­®© ­

¨á.7-14, á ®¤­¨¬ ä®â®­­ë¬ ¨ ¤¢ã¬ï í«¥ªâà®­­ë¬¨ ª®­æ ¬¨, ¨¬¯ã«ìáë ª®â®àëå á¢ï§ ­ë § ª®­®¬ á®åà ­¥­¨ï:

p1 + k = p2

(7.67)

«¥­ ­ã«¥¢®£® ¯®à浪 ¢ à §«®¦¥­¨¨ í⮩ ä㭪樨 ¢ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饭¨© ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì, ç«¥­ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¢ ª®®à¤¨­ â­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨:

K (x1; x2; x3) = e Z d4xG(x2 ; x) G(x ; x3)D (x1 ; x)	(7.68)
¨«¨, ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨:
K (p2; p1; k) = eG(p2) G(p1)D (k)	(7.69)

çâ® ¨§®¡à ¦ ¥âáï ¤¨ £à ¬¬®© ¨á.7-15.

б«¥¤гой¨е ¯®ап¤ª е ¤¨ £а ¬¬л гб«®¦­повбп § бз¥в ¤®¡ ¢«¥­¨п ­®¢ле ¢¥а- и¨­. ¯а¨¬¥а ¢ ва¥вм¥¬ ¯®ап¤ª¥ ¢®§­¨ª ов ¤¨ £а ¬¬л, ¯®ª § ­­л¥ ­ ¨б.7-16.¯¥а¢ле ва¥е ¤¨ £а ¬¬ е ¨б.7-16 ¢л¤¥«повбп ®з¥¢¨¤­л¥ б®¡бв¢¥­­® - н­¥а£¥в¨- з¥бª¨¥ з бв¨ д®в®­ ¨ н«¥ªва®­®¢. ® ¢ з¥в¢¥ав®© ¤¨ £а ¬¬¥ в ª¨е ¡«®ª®¢ ­¥в.

¨á. 7-16

164

¨á. 7-17

â® ®¡é ï á¨âã æ¨ï { ¯®¯à ¢ª¨ ⨯ ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å ç á⥩ ¯à®áâ® ¯à¨¢®¤ïâ ª § ¬¥­¥ ¢ (7.69) ä㭪権 ਭ G ¨ D ­ G ¨ D. бв «м­л¥ з«¥­л а §- «®¦¥­¨п ¢ б㬬¥ ¤ ов ¢¥«¨з¨­г, ¨§¬¥­пойго ¢ (7.69) ¬­®¦¨в¥«м . ¡®§­ з п б®®в¢¥вбв¢гойго ¢¥«¨з¨­г з¥а¥§ ; ¨¬¥¥¬, ¯® ®¯а¥¤¥«¥­¨о:

K (p2; p1; k) = fiG(p2)[;ie; (p2; p1; k)]iG(p1)g[;iD (k)]

(7.70)

«®ª, ᮥ¤¨­¥­­ë© á ¤à㣨¬¨ ç áâﬨ ¤¨ £à ¬¬ë ®¤­®© ä®â®­­®© ¨ ¤¢ã¬ï í«¥ª- âà®­­ë¬¨ «¨­¨ï¬¨ ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥à設­®© ç áâìî, ¥á«¨ íâ®â ¡«®ª ­¥«ì§ï à §¤¥- «¨âì ­ ç áâ¨, ᮥ¤¨­¥­­ë¥ ¬¥¦¤ã ᮡ®© ®¤­®© (í«¥ªâà®­­®© ¨«¨ ä®â®­­®©) «¨- ­¨¥©. ¢¥¤¥­­ë© ¢ëè¥ ¡«®ª ; ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á㬬㠢ᥣ® ¬­®¦¥á⢠¢¥à- 設­ëå ç á⥩, ¢ª«îç ï ¯à®áâãî ¢¥à設ã , ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥à設­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ (¨«¨ ¢¥à設­®© ä㭪樥©). â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯ï⮣® ¯®à浪 ®­ ¨§®¡à - ¦ ¥âáï ¤¨ £à ¬¬ ¬¨, ¯®ª § ­­ë¬¨ ­ ¨á.7-17. ᥠâਠ¨¬¯ã«ìá âãâ ­¥ ¬®£ãâ ®¤­®¢à¥¬¥­­® ®â­®á¨âìáï ª ॠ«ì­ë¬ ç áâ¨æ ¬: ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, çâ® ¯®£«®é¥­¨¥ (¨§«ã祭¨¥) ä®â®­ ᢮¡®¤­ë¬ í«¥ªâà®­®¬ ­¥¢®§¬®¦­® ¨§-§ § ª®­®¢ á®åà ­¥­¨ï 4-¨¬¯ã«ìá . ®í⮬ã, ®¤¨­ ¨§ ª®­æ®¢ §¤¥áì § ¢¥¤®¬® ¤®«¦¥­ ®â­®á¨âìáï ª ¢¨àâã- «ì­®© ç áâ¨æ¥ (¨«¨ ¢­¥è­¥¬ã ¯®«î).

®¦­® ¢¢¥бв¨ ¯®­пв¨¥ ª®¬¯ ªв­®© ¨ ­¥ª®¬¯ ªв­®© ¢¥аи¨­­®© з бв¨. ®¬¯ ªв- ­л¬¨ ­ §л¢ овбп в¥, ª®в®ал¥ ­¥ ᮤ¥а¦ в б®¡бв¢¥­­® - н­¥а£¥в¨з¥бª¨е ¯®¯а ¢®ª ª ¢­гва¥­­¨¬ «¨­¨п¬, ¨ ¢ ª®в®але ­¥«м§п ¢л¤¥«¨вм з бв¥©, ¯а¥¤бв ¢«пой¨е б®¡®© ¯®¯а ¢ª¨ ª ¢­гва¥­­¨¬ ¢¥аи¨­ ¬. § £а д¨ª®¢, ¯®ª § ­­ле ­ ¨б.7-17, ª®¬¯ ªв- ­л¬¨ п¢«повбп в®«мª® ¤¨ £а ¬¬л (¡) ¨ (£). а д¨ª¨ (¦,§,¨) ᮤ¥а¦ в б®¡бв¢¥­­® - н­¥а£¥в¨з¥бª¨¥ ¯®¯а ¢ª¨ ª н«¥ªва®­­л¬ ¨«¨ д®в®­­л¬ «¨­¨п¬. ¤¨ £а ¬¬¥

(¢) ¢¥àå­¨© £®à¨§®­â «ì­ë© ¯ã­ªâ¨à ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª ¯®¯à ¢ªã ª ¢¥àå- ­¥© ¢¥à設¥, ¡®ª®¢ë¥ ¯ã­ªâ¨à­ë¥ «¨­¨¨ ­ ¤¨ £à ¬¬ å (¤) ¨ (¥) ¬®¦­® áç¨â âì ¯®¯à ¢ª ¬¨ ª ¡®ª®¢ë¬ ¢¥à設 ¬. ¬¥­¨¢ ¢ ª®¬¯ ªâ­ëå ¤¨ £à ¬¬ å ¢­ãâ७­¨¥

«¨­¨¨ ­ ¦¨à­ë¥,	¢¥àè¨­ë § èâà¨å®¢ ­­ë¬¨ ªà㦪 ¬¨ ¯®«ã稬 à §«®¦¥­¨¥
¢¥à設­®£® ®¯¥à â®à	¢ ¢¨¤¥, ¯®ª § ­­®¬ ­ ¨á.7-18, ª®â®àë© ¨­®£¤ ­ §ë¢ îâ

à §«®¦¥­¨¥¬ ¯® \᪥«¥â­ë¬" ¤¨ £à ¬¬ ¬. â® à §«®¦¥­¨¥, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¤ ¥â ¨­â¥- £à «ì­®© ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ;, ­® á ¡¥áª®­¥ç­ë¬ ç¨á«®¬ ç«¥­®¢ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠{ ¤«ï ¢¥à設 ­¥«ì§ï ¯®«ãç¨âì § ¬ª­ãâë© ­ «®£ ãà ¢­¥­¨© ©á®­ , ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¤«ï ä㭪権 ਭ (¯à®¯ £ â®à®¢).

®¦­® ¢¢¥á⨠⠪¦¥ ¢¥à設ë á ¡®«ì訬 ª®«¨ç¥á⢮¬ ¢­¥è­¨å ª®­æ®¢, ­ ¯à¨- ¬¥à \ç¥âëà¥å墮áâªã", ¯®ª § ­­ãî ­ ¨á.7-19. â ª®© ¤¨ £à ¬¬¥ ¬®¦­® ¯à¨©â¨

165

¨á. 7-18

¨á. 7-19
à áᬮâॢ äã­ªæ¨î:
K(x1; x2; x3; x4) =< 0jT (x1) (x2) (x3) (x4)j0 >	(7.71)

ª®â®àãî ®¡ëç­® ­ §ë¢ îâ ¤¢ãåç áâ¨ç­®© ä㭪樥© ਭ . ­ ®¯ïâì § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â à §­®á⥩ ᢮¨å à£ã¬¥­â®¢. ¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ãàì¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

Z d4x1 Z d4x2 Z	d4x3 Z	d4x4K(x1; x2; x3; x4)ei(p3x1+p4x2;p1x3;p2x4) =
		= (2 )4 (p1 + p2 ; p3 ; p4)K(p3; p4; p1; p2)	(7.72)

¯à¨ç¥¬:

K(p3; p4; p1; p2) = (2 )4 (p1 ; p3)G(p1)G(p2) ; (2 )4 (p2 ; p3)G(p1)G(p2) +

+G(p3)G(p4)[;i;(p3; p4; p1; p2)]G(p1)G(p2) (7.73)

¥à¢ë¥ ¤¢ á« £ ¥¬ëå §¤¥áì ¨áª«îç îâ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ;(p3; p4; p1; p2) £à 䨪¨ ⨯ ¯®ª § ­­ëå ­ ¨á.7-20. âà¥â쥬 ç«¥­¥ (7.73) ¬­®¦¨â¥«¨ G ¨áª«îç îâ ¨§

®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢¥à設ë ; ⥠¤¨ £à ¬¬ë, ª®â®àë¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯®¯à ¢ª¨ ª ¢­¥è­¨¬ í«¥ªâà®­­ë¬ «¨­¨ï¬. ® ᢮©á⢠¬ T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ä¥à¬¨¥¢áª¨å ®¯¥à - â®à®¢, ¢¥à設 ;(p3; p4; p1; p2) ®¡« ¤ ¥â ®ç¥¢¨¤­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ­â¨á¨¬¬¥âਨ:

;(p3; p4; p1; p2) = ;;(p4; p3; p1; p2) = ;;(p3; p4; p2; p1) (7.74)

¨á. 7-20

166

¨á. 7-21

¨á. 7-22

â ¢¥à設 ¬®¦¥â ®¯¨áë¢ ¥â ¯à®æ¥áá à áá¥ï­¨ï ¤¢ãå í«¥ªâà®­®¢, ¥£® ¬¯«¨âã¤ã ¬®¦­® ­ ©â¨, ᮯ®áâ ¢¨¢ ¢­¥è­¨¬ ª®­æ ¬ ¬¯«¨âã¤ë ­ ç «ì­ëå ¨ ª®­¥ç­ëå ç - áâ¨æ (¢¬¥áâ® ¯à®¯ £ â®à®¢ G):

iMfi = u(p3)u(p4)[;ie;(p3; p4; p1; p2)]u(p1)u(p2)

(7.75)

¯à¨ç¥¬ ; ®¯¨áë¢ ¥â ¢á¥ ¢®§¬®¦­ë¥ ¯à®æ¥ááë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤¢ãå ç áâ¨æ ¢® ¢á¥å ¯®à浪 å ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©.

à ¢­¥­¨ï ©á®­ .

®ç­ë¥ ¯à®¯ £ â®àë ¨ ¢¥à設­ë¥ ç á⨠á¢ï§ ­ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©, ª ª ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬¨ ¨­â¥£à «ì­ë¬¨ ᮮ⭮襭¨ï¬¨. áᬮâਬ íâ®â ¢®¯à®á ¯®¤à®¡- ­¥¥. áᬮâਬ £à 䨪¨ ¤«ï ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å ç á⥩ í«¥ªâà®­ . ¥âà㤭® á®®¡à §¨âì, çâ® ¨§ ¡¥áª®­¥ç­®£® ¬­®¦¥á⢠íâ¨å ¤¨ £à ¬¬ ⮫쪮 ®¤­ , ¯®ª § ­­ ï ­ ¨á.7-21, ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­®© ¢ ®¡á㦤 ¢è¥¬áï ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥ á¬ëá«¥, «î¡®¥ ¥¥ ãá«®¦­¥­¨¥ ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª ¢¢¥¤¥­¨¥ ¯®¯à ¢®ª ª ®¤­®© ¨§ ¥¥ ¢¥à設. á­®, çâ® ¢á¥ ¢¥à設­ë¥ ¯®¯à ¢ª¨ ¤®áâ â®ç­® ¯à¨¯¨áë¢ âì ¨¬¥­­® ª ®¤­®© («î¡®© ¨§ ¤¢ãå) ¨§ ¥¥ ¢¥à設, ®áâ ¢«ïï ¤àã£ãî \£®«®©". ®®â¢¥âá⢥­­®, á㬬 ¢á¥å ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥- â¨ç¥áª¨å ç á⥩ (â.¥. ¬ áá®¢ë© ®¯¥à â®à) ¬®¦­® ¨§®¡à §¨âì ¢á¥£® ®¤­®© ᪥«¥â­®© ¤¨ £à ¬¬®©, ¯®ª § ­­®© ­ ¨á.7-22. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ ­ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

M(p) = G;1(p) ; G;1(p) = ;ie2 Z	d4k	G(p + k); (p + k; p; k)D (k) (7.76)
	(2 )4

­ «®£¨ç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì ¨ ¤«ï ¯®«ïਧ 樮­­®£® ®¯¥à â®à . ।¨ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ä®â®­­ëå ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å ç á⥩ â ª¦¥ ⮫쪮 ®¤­ ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­®©, ¨ ¯®«ïਧ 樮­­ë© ®¯¥à â®à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ᪥«¥â­®© ¤¨ £à ¬¬®©, ¯®ª § ­­®© ­ ¨á.7-23. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ­ «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥

167

¨á. 7-23

¨¬¥¥â ¢¨¤:

1

(k) = D;1

(k)

;1

= ie2Sp

Z

d4p

(p + k);

(p + k; p; k)

(p) (7.77)

4 P

G

G

; D

(2 )4

а ¢­¥­¨п (7.76) ¨ (7.77) ¯а¥¤бв ¢«пов б®¡®© ®¤­г ¨§ п¢­ле д®а¬ § ¯¨б¨ га ¢- ­¥­¨© ©б®­ (7.52) ¨ (7.30), ¯а¥¤бв ¢«пой¨е б®¡®© ¨­в¥£а «м­л¥ га ¢­¥­¨п ¤«п в®з­ле ¯а®¯ £ в®а®¢ ¨ ¢ла ¦ ой¨¥ ¨е з¥а¥§ в®з­л¥ ¢¥аи¨­­л¥ дг­ªж¨¨. ®- бª®«мªг ¤«п ¢¥аи¨­­ле з бв¥© ­ «®£¨з­л¥ \§ ¬ª­гвл¥" ¨­в¥£а «м­л¥ га ¢­¥- ­¨п ®вбгвбв¢гов, в® ¢ ¯а ªв¨з¥бª¨е б«гз пе га ¢­¥­¨п ©б®­ ¬®¦­® а¥и вм, ¨б¯®«м§гп ª ª¨¥ - «¨¡® ¯¯а®ªб¨¬ ж¨¨ ¤«п ¢¥аи¨­, ®б­®¢ ­­л¥, ­ ¯а¨¬¥а, ­ ⮬ ¨«¨ ¨­®¬ ¢л¡®а®з­®¬ б㬬¨а®¢ ­¨¨ д¥©­¬ ­®¢бª¨е ¤¨ £а ¬¬.

®¦¤¥á⢮ ®à¤ .

ãé¥áâ¢ãîâ â®ç­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¬¥¦¤ã ¯à®¯ £ â®à ¬¨ ¨ ¢¥à設­ë¬¨ ç áâﬨ, ¡®«¥¥ ¯à®áâë¥, 祬 ãà ¢­¥­¨ï ©á®­ . áᬮâਬ í«¥ªâà®­­ë© ¯à®¯ £ â®à. ®- ¢¥à訬 ª «¨¡à®¢®ç­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (7.9), ¯®« £ ï (x) = (x), £¤¥ (x) ¡¥áª®- ­¥ç­® ¬ « ï ­¥®¯¥à â®à­ ï äã­ªæ¨ï ª®®à¤¨­ â x. ®£¤ í«¥ªâà®­­ë© ¯à®¯ £ â®à ¨§¬¥­¨âáï ­ ¢¥«¨ç¨­ã:

G(x; x0) = ieG(x ; x0)[ (x) ; (x0)]	(7.78)
ª®¥ ª «¨¡à®¢®ç­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ­ àãè ¥â ®¤­®à®¤­®áâì ¯à®áâà ­áâ¢	- ¢à¥-

¬¥­¨ ¨ äã­ªæ¨ï G § ¢¨á¨â 㦥 ®â x ¨ x0 ¯® ®â¤¥«ì­®áâ¨, ­¥ ⮫쪮 ®â x ; x0. ¥ à §«®¦¥­¨¥ ãàì¥ ¯à®¨á室¨â ¯®í⮬㠯® x ¨ x0 ¢ ®â¤¥«ì­®áâ¨, â ª çâ® ¢ ¨¬¯ã«ìá- ­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ G ï¥âáï ä㭪樥© ¤¢ãå 4-¨¬¯ã«ìᮢ:

G(p2; p1) = Z d4x Z d4x0 G(x; x0)eip2x;ip1x0

(7.79)

®¤áâ ¢«ïï áî¤ (7.78) ¨ ¨­â¥£à¨àãï ¯® d4xd4 ¨«¨ d4x0d4 , £¤¥ = x;x0, ¯®«ãç ¥¬:

G(p + q; p) = ie (q)[G(p) ; G(p + q)]

(7.80)

¤à㣮© áâ®à®­ë ¯à¨ ⮬ ¦¥ ª «¨¡à®¢®ç­®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ ª ®¯¥à â®àã ¢¥ªâ®à - ¯®â¥­æ¨ « í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï A (x) ¤®¡ ¢«ï¥âáï äã­ªæ¨ï:

	A(e)(x) =		@		(7.81)
		;@x

@ G;1(p) = ; (p; p; 0)

@p

168

¨á. 7-24

ª®â®àãî ¬®¦­® à áᬮâà¥âì ª ª ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®¥ ¢­¥è­¥¥ ¯®«¥. ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¨¬¥¥¬:

A(e)(q) = iq (q)

(7.82)

¥«¨ç¨­ã G ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ¨ ª ª ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯à®¯ £ â®à ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ í⮣® ¯®«ï. â®ç­®áâìî ¤® ¢¥«¨ç¨­ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® íâ® ¨§¬¥­¥­¨¥ ¨§®¡à §¨âáï ®¤­®© ᪥«¥â­®© ¤¨ £à ¬¬®©, ¯®ª § ­­®© ­ ¨á. 7-24, £¤¥ ¦¨à­ë© ¯ã­ªâ¨à ®¡®- §­ ç ¥â íä䥪⨢­ãî «¨­¨î ¢­¥è­¥£® ¯®«ï, ª®â®à®© ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«ì:

(e)	(e)		1
A	(q) + A	(q)	4 P			(q)	D	(q)	(7.83)

ãç¨âë¢ î騩 ¢¢¥¤¥­¨¥ ¢ ­¥¥ ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å ¯®¯à ¢®ª. ® 4-¢¥ªâ®àA(e)(q) ¯à®¤®«¥­ (¯® ®â­®è¥­¨î ª q), ⥭§®à P ¯®¯¥à¥ç¥­ (áà. (7.42)). ®í⮬㠢â®à®© ç«¥­ §¤¥áì ¯à®áâ® ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì, â ª çâ® ä ªâ¨ç¥áª¨ ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¢ª« ¤ £à 䨪 , ¯®ª § ­­®£® ­ ¨á.7-24, ¢ ª®â®à®¬ «¨­¨î ¢­¥è­¥£® ¯®«ï ¬®¦­®

		(e)	(q).	­ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ ¨¬¥¥¬:
áç¨â âì \â®­ª®©" ¨ à ¢­®© ¯à®áâ® A
	G	(p + q; p) = e (p + q); (p		+ q; p; q)	G	(p) A(e)(q)	(7.84)
		G
®¤áâ ¢«ïï áî¤ (7.82) ¨ áà ¢­¨¢ ï á (7.80), ­ 室¨¬:
G(p + q) ; G(p) = ;G(p + q)q ; (p + q; p; q)G(p)							(7.85)
¨«¨, ¤«ï ®¡à â­ëå ¬ âà¨æ:
		G;1(p + q) ; G;1(p) = q ; (p + q; p; q)					(7.86)

ਠq ! 0, áà ¢­¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®¬ q ¢ ®¡¥¨å ç áâïå à ¢¥­á⢠, ¯®«ã稬:

(7.87)

{ â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ ⮦¤¥á⢮ ®à¤ ¢ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®© ä®à¬¥. ®®â­®è¥­¨¥ (7.86) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⮦¤¥á⢮ ®à¤ ¤«ï ª®­¥ç­ëå q. § (7.87) ¢¨¤­®, çâ® ¯à®¨§¢®¤­ ï G;1(p) ¯® ¨¬¯ã«ìáã ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¥à設­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ á ­ã«¥¢®© ¯¥à¥¤ 祩 ¨¬¯ã«ìá . ந§¢®¤­ ï ®â á ¬®© ä㭪樨 ਭ G(p) à ¢­ :

;	@		iG(p) = iG(p)[;i; (p; p; 0)]iP(p)		(7.88)
	@p
­ã«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ í⮠⮦¤¥á⢮ ¢®®¡é¥ ®ç¥¢¨¤­®, ¯®áª®«ìªã ¨§ G;1 =
p m áà §ã á«¥¤ã¥â		@G;1		= . âáî¤ ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì ¨ £à ä¨ç¥áª¨©

; @p

¢ë¢®¤ í⮣® ⮦¤¥á⢠{ ¨§ ãà ¢­¥­¨ï ©á®­ (7.53) «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¤¨ää¥- ७æ¨à®¢ ­¨¥ ®¡à â­®© ä㭪樨 ਭ ¯® ¨¬¯ã«ìáã íª¢¨¢ «¥­â­® ¢á¥¢®§¬®¦­ë¬

169

¢áâ ¢ª ¬ «¨­¨© 䨪⨢­®£® ¢­¥è­¥£® ¯®«ï á ­ã«¥¢ë¬ ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬ë¬ ¨¬¯ã«ìᮬ ¢® ¢á¥ £à 䨪¨ ¤«ï ­¥¯à¨¢®¤¨¬®© ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª®© ç áâ¨, çâ® £¥­¥à¨- àã¥â ¢á¥ £à 䨪¨ ¤«ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥à設­®© ç áâ¨. ®¦¤¥á⢮ ®à¤ ¨¬¥¥â ®£à®¬­®¥ §­ 祭¨¥ ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ ᮣ« ᮢ ­­®á⨠ª®­ªà¥â­ëå ¯à¨¡«¨¦¥­¨© ¢ § - ¤ ç å ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï.

¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª¨¬ ï¥âáï ¢ë¢®¤ ­ «®£¨ç­ëå ⮦¤¥á⢠¤«ï â®ç­®© ä®â®­­®© ä㭪樨 ਭ (¯®«ïਧ 樮­­®£® ®¯¥à â®à ). ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¤¥â «¨ ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [1].