Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1

70	.
	â ª çâ® ¤¥â¥à¬¨­ ­â ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (3.170) à ¢¥­ 1, çâ® ­ ª« ¤ë¢ ¥â ®£à ­¨ç¥­¨¥
	¢ ¢¨¤¥ ¤¢ãå ãà ¢­¥­¨© ­		ç¥âëॠª®¬¯«¥ªá­ëå ª®íää¨æ¨¥­â . ®í⮬㠮áâ ¥âáï
	8-2=6 ¢¥é¥á⢥­­ëå ¯ à ¬¥â஢ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï, ᮮ⢥âá⢥­­® ç¨á«ã 㣫®¢ ¯®-
	¢®à®â á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â ¢ ç¥âëà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ - ¢à¥¬¥­¨ (¯®¢®à®âë ¢
	è¥á⨠ª®®à¤¨­ â­ëå ¯«®áª®áâïå).
	ᨫã (3.171) ¯à¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ïå (3.170) ®áâ ¥âáï ¨­¢ ਠ­â­®© ¡¨«¨­¥©­ ï
	ä®à¬ :
				1 2 ; 2 1							(3.172)
	¯®áâ஥­­ ï ¨§ ¤¢ãå ᯨ­®à®¢ ¨ , ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ᪠«ïà­®© ç áâ¨æ¥ á®
	ᯨ­®¬ 0, á®áâ ¢«¥­­®© ¨§ ¤¢ãå ç áâ¨æ ᯨ­ 1/2.
	àï¤ã á ª®­âࢠਠ­â­ë¬¨ ᯨ­®à ¬¨ ¢¢®¤ïâ ¥é¥ ¨ ª®¢ ਠ­â­ë¥ ᯨ­®àë
	:
				= g							(3.173)
	£¤¥
						0	1
	â ª çâ®		g = g			= ;1	0				(3.174)
				1 = 2		2 = ; 1					(3.175)
			1 2 ; 2 1 = = ;								(3.176)
	®ª ¢á¥ ä®à¬ã«ë	¡á®«îâ­® ⥠¦¥, çâ® ¨ ¢ ­¥à¥«ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ. §«¨ç¨¥
	¢®§­¨ª ¥â ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ª®¬¯«¥ªá­® ᮯà殮­­ëå ᯨ­®à®¢. ­¥à¥«ï⨢¨áâ-
	᪮© ⥮ਨ á㬬	1 1 + 2		2 , ®¯à¥¤¥«ïîé ï ¯«®â­®áâì ¢¥à®ïâ­®á⨠«®ª «¨§ -
	樨 ç áâ¨æ ¢ ¯à®áâà ­á⢥, ï¥âáï ᪠«ï஬. ®í⮬ã, ª®¬¯®­¥­âë										¤®«¦­ë
	¯à¥®¡à §®¢ë¢ âìáï ª ª ª®¢ ਠ­â­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë ᯨ­®à . ®®â¢¥âá⢥­­®, ¯à¥-
	®¡à §®¢ ­¨¥ (3.141), ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ï¥âáï ã­¨â à­ë¬. ५ï⨢¨áâ᪮© â¥-
	®à¨¨ ¯«®â­®áâì ç áâ¨æ ­¥ ï¥âáï ᪠«ï஬,							¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢à¥¬¥­­ãî
	ª®¬¯®­¥­âã 4-¢¥ªâ®à ,		­	ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (3.170) ­¥ ­ ª« ¤ë-
	¢ ¥âáï ­¨ª ª¨å ®£à ­¨ç¥­¨©, ªà®¬¥ (3.171). ®í⮬ã, ¢ ५ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ
	ª®¬¯«¥ªá­® ᮯà殮­­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ᯨ­®à®¢ ®ª §ë¢ îâáï áãé¥á⢥­­® à §-
	«¨ç­ë¬¨. ®®â¢¥âá⢥­­®, §¤¥áì ¢®§­¨ª ¥â ¤¢						⨯		ᯨ­®à®¢. ­¤¥ªáë ᯨ­®à®¢,
	¯à¥®¡à §ãîé¨åáï ¯® ¯® ª®¬¯«¥ªá­® ᮯà殮­­ë¬ ä®à¬ã« ¬ (3.170) ®â¬¥ç îâáï
	â®çª ¬¨ (¯ã­ªâ¨à­ë¥ ¨­¤¥ªáë).
	® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¨¬¥¥¬			(§­ 箪 ®§­ ç ¥â §¤¥áì \¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ª"),
	¨ ¯à ¢¨«® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ᯨ­®à®¢ á ¯ã­ªâ¨à­ë¬¨ ¨­¤¥ªá ¬¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
		01 = 1 + 2				02 = 1 + 2					(3.177)
	¯¥à 樨 ®¯ã᪠­¨ï ¨ ¯®¤­¨¬ ­¨ï ¨­¤¥ªá®¢ ¨¬¥î⠯०­¨© ¢¨¤:
				1 = 2		2 = ; 1					(3.178)
	® ®â­®è¥­¨î ª âà¥å¬¥à­ë¬ ¢à 饭¨ï¬ 4-ᯨ­®àë ¢¥¤ãâ á¥¡ï ª ª âà¥å¬¥à­ë¥
	ᯨ­®àë, ¯®áª®«ìªã, ª ª ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, £à㯯							¢à 饭¨© ï¥âáï ¯®¤£à㯯®©
	£àã¯¯ë ®à¥­æ . ® ¤«ï âà¥å¬¥à­ëå ᯨ­®à®¢									. ®í⮬ã, ¢¥¤¥â ᥡï
	¯à¨ ¢à 饭¨ïå ª ª ª®­âࢠਠ­â­ë© 3-ᯨ­®à
								.

.

71

¯¨­®ал ¢лби¨е а ­£®¢ ®¯а¥¤¥«повбп ª ª б®¢®ªг¯­®бв¨ ¢¥«¨з¨­, ¯а¥®¡а §го- й¨ебп ª ª ¯а®¨§¢¥¤¥­¨п ª®¬¯®­¥­в ­¥бª®«мª¨е б¯¨­®а®¢ ¯¥а¢®£® а ­£ . ¯а¨¬¥а, ¬®¦­® ¢¢¥бв¨ ва¨ в¨¯ б¯¨­®а®¢ ¢в®а®£® а ­£ :

	_	_	_	_
			H		(3.179)

®®â¢¥âá⢥­­®, à ­£ ᯨ­®à ¢ ५ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ 㪠§ë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ¯ àë ç¨á¥« (k; l), â.¥. ç¨á« ­¥¯ã­ªâ¨à­ëå ¨ ¯ã­ªâ¨à­ëå ¨­¤¥ªá®¢.

¢¥àâë¢ ­¨¥ (ã¯à®é¥­¨¥) ᯨ­®à®¢ ¬®¦¥â ¯à®¨§¢®¤¨âìáï «¨èì ¯® ¯ à ¬ ¨­- ¤¥ªá®¢ ®¤¨­ ª®¢®£® த (¤¢ã¬ ¯ã­ªâ¨à­ë¬ ¨«¨ ¤¢ã¬ ­¥¯ã­ªâ¨à­ë¬), ¯®áª®«ìªã á㬬¨à®¢ ­¨¥ ¯® ¯ ॠ¨­¤¥ªá®¢ à §«¨ç­®£® த ­¥ ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â­®© ®¯¥à - 樥©. ®í⮬ã, ¨§ ᯨ­®à

_	_	_	(3.180)
1 2:::k 1	2	:::l

ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ¯® ¢á¥¬ k ¯ã­ªâ¨à­ë¬ ¨ l ­¥¯ã­ªâ¨à­ë¬ ¨­¤¥ªá ¬ ­¥«ì§ï ®¡à - §®¢ âì ᯨ­®à ¡®«¥¥ ­¨§ª®£® à ­£ (ã¯à®é¥­¨¥ ¯® ¯ ॠ¨­¤¥ªá®¢, ®â­®á¨â¥«ì­® ª®â®àëå ᯨ­®à ᨬ¬¥âà¨ç¥­ ¤ ¥â, á ãç¥â®¬ (3.176), ­ã«ì). ª¨¬ ®¡à §®¬, ᨬ- ¬¥âà¨ç­ë¥ ᯨ­®àë ॠ«¨§ãîâ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £àã¯¯ë ®à¥­æ , ª ¦¤®¥ â ª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ ன ç¨á¥« (k; l). ®áª®«ìªã ª ¦¤ë©

¨§ ᯨ­®à­ëå ¨­¤¥ªá®¢ ¯à®¡¥£ ¥â ¤¢		§­ 祭¨ï, â® ¨¬¥¥âáï k + 1 áãé¥á⢥­­®8
à §«¨ç­ëå ­ ¡®à®¢ ç¨á¥« 1; 2; :::; k		¢ (3.180) (ᮤ¥à¦ é¨å 0,1,2,...k ¥¤¨­¨æ ¨ k,k-
_	_	_
1,...,0 ¤¢®¥ª) ¨ l+1 ­ ¡®à®¢ ç¨á¥« 1	; 2	; :::; l. «¥¤®¢ ⥫쭮, ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ᯨ­®à

à ­£ (k; l) ¨¬¥¥â (k+1)(l+1) ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ª®¬¯®­¥­â, çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â à §¬¥à­®áâì ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ­¥¯à¨¢®¤¨¬®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï.

¢ï§ì ᯨ­®à®¢ á 4-¢¥ªâ®à ¬¨.

¯¨­®à _ ¨¬¥¥â 2 2=4 ª®¬¯®­¥­âë, á⮫쪮 ¦¥, ᪮«ìª® ¨ ã 4-¢¥ªâ®à a . ®- ᪮«ìªã â®â ¨ ¤à㣮© ॠ«¨§ãîâ ®¤­® ¨ â® ¦¥ ­¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ᮡ- á⢥­­®© £àã¯¯ë ®à¥­æ , ¬¥¦¤ã ¨å ª®¬¯®­¥­â ¬¨ áãé¥áâ¢ã¥â «¨­¥©­ ï á¢ï§ì:

a1		=	1	(	12 +		21)		a2		=	i	(	12 ;		21)
			2									2
a	3	=	1	(	11	;	22	)	a	0	=	1	(	11	+	22	)	(3.181)
			2									2

«ï ¯à®áâà ­á⢥­­ëå ª®¬¯®­¥­â íâ á¢ï§ì â ª ï ¦¥, ª ª ¨ ¢ âà¥å¬¥à­®© £à㯯¥ ¢à 饭¨©, á ãç¥â®¬ § ¬¥­ë ! . ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï a0 ®ç¥¢¨¤­® ¨§ ¯à®¢¥¤¥­- ­ëå ¢ëè¥ à áá㦤¥­¨© ® ¯«®â­®á⨠¢¥à®ïâ­®á⨠¯à®áâà ­á⢥­­®© «®ª «¨§ 樨 ç áâ¨æë, ª ª ¢à¥¬¥­­®© ª®¬¯®­¥­âë 4-¢¥ªâ®à . ¡à â­ë¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¥îâ ¢¨¤:

11 = 22 = a3 + a0	22 = 11 = a0	;	a3
12 = ; 21 = a1 ; ia2	21 = ; 12 = a1 + ia2			(3.182)

®íää¨æ¨¥­âë ¢ íâ¨å ä®à¬ã« å ¯®¤®¡à ­ë â ª, ç⮡ë ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ § ¯¨áë¢ «®áì ¢ ¢¨¤¥:

a2 =	1				(3.183)
	2

8 _ ¨ _ { íâ® ®¤­® ¨ â® ¦¥, ¯®áª®«ìªã ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (3:170) ¨ (3:177) ­¥§ ¢¨á¨¬ë.

72 .

®®â¢¥âá⢨¥ ¬¥¦¤ã ¨ 4-¢¥ªâ®à®¬ a ¥áâì ç áâ­ë© á«ãç © ®¡é¥£® ¯à ¢¨« : «î¡®© ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ᯨ­®à à ­£ (k; k) íª¢¨¢ «¥­â¥­ ᨬ¬¥âà¨ç­®¬ã ­¥¯à¨¢®- ¤¨¬®¬ã (â.¥. ®¡à é î饬ãáï ¢ ­ã«ì ¯à¨ ᢥàâë¢ ­¨¨ ¯® «î¡®© ¯ ॠ¨­¤¥ªá®¢) 4-⥭§®àã à ­£ k.

¢ï§ì ᯨ­®à à ­£ (1; 1) á 4-¢¥ªâ®à®¬ (3.181), (3.182) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ª®¬- ¯ ªâ­®¬ ¢¨¤¥ á ¯®¬®éìî ¬ âà¨æ 㫨:

			1	^		0		1	^
			a = 2Sp( )		a		=	2Sp
			^			0	^
^		_	= a + a				1
			^
£¤¥ { ¬ âà¨æ			, 1 { ¥¤¨­¨ç­ ï ¬ âà¨æ .
¯¨è¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ᯨ­®à				¢ ¢¨¤¥:
			0 = (B) £¤¥ B =

(3.184)

(3.185)

(3.186)

®£¤	9	_	_
	_			(3.187)
	0 = (B ) = (B+)
८¡à §®¢ ­¨¥ ᯨ­®à à ­£ (1; 1) § ¯¨áë¢ ¥âáï ⮣¤				ª ª:
		0 = B B+		(3.188)
ਠ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ B = 1+ , £¤¥ { ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¬ âà¨æ .
®£¤	¨§ (3.188) ¨¬¥¥¬:
	0	= + ( + +)		(3.189)

áᬮâਬ ⥯¥àì ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ®à¥­æ ª á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â, ¤¢¨¦ã饩áï á

¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ᪮à®áâìî v (¡¥§ ¨§¬¥­¥­¨ï ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¯à®áâà ­á⢥­­ëå ®á¥©). ਠí⮬ 4-¢¥ªâ®à a = (a0; a) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ª:

	a0 = a ; a0 v a00 = a0 ; a v				(3.190)
ᯮ«ì§ã¥¬ ⥯¥àì (3.184). ®¤­®© áâ®à®­ë:
		1
	a00 = a0	; a v = a0 ; 2Sp( v)			(3.191)
á ¤à㣮©
a00 =	1Sp0 = a0 +	1Sp( + +) = a0	+	1Sp( + +)	(3.192)
	2	2		2
à ¢­¨¢ ï (3.191), (3.192) ¯®«ãç ¥¬:
		+ + = ; v			(3.193)

­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬, à áᬠâਢ ï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ a, ¯®«ã稬:

		+ + = ; v								(3.194)
9	0		~	;1	)	= (B	;1	0	;1	) , â ª ç⮠᪠-
	«ï ª®¢ ਠ­â­ëå ª®¬¯®­¥­â ¨¬¥¥¬ = (B							) , = (B
«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ᯨ­®à®¢ ®áâ ¥âáï ¨­¢ ਠ­â­ë¬.

.			73
¢¥­á⢠(3.193), (3.194) ¨¬¥îâ à¥è¥­¨¥:
= + = ;21 v			(3.195)
â ª çâ® ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ®à¥­æ ¤«ï ᯨ­®à ®áãé¥á⢫ï¥âáï
¬ âà¨æ¥©:	1
B = 1 ; 2( n) v			(3.196)
£¤¥ n = v= v. âáî¤ ¬®¦­® ¯¥à¥©â¨ ª ª®­¥ç­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬. ८¡à §®-
¢ ­¨¥ ®à¥­æ (¯¥à¥å®¤ ª á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â, ¤¢¨¦ã饩áï ᮠ᪮à®áâìî v) £¥®¬¥-
âà¨ç¥áª¨ ®§­ ç ¥â ¯®¢®à®â ç¥âëà¥å¬¥à­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â ¢ ¯«®áª®á⨠(t; n)
­ 㣮« ', á¢ï§ ­­ë© ᮠ᪮à®áâìî v à ¢¥­á⢮¬ v = th' [25]. ¥áª®­¥ç­® ¬ «®¬ã
¯à¥®¡à §®¢ ­¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 㣮« ' = v,		¯®¢®à®â ­ ª®­¥ç­ë© 㣮« ®áãé¥-
á⢫ï¥âáï '= ' - ªà â­ë¬ ¯à¨¬¥­¥­¨¥¬ ¯®¢®à®â ­ '. ®§¢®¤ï (3.196) ¢ á⥯¥­ì
'= ' ¨ ¯¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ' ! 0, ¯®«ãç ¥¬:
B = exp ;'2 n			(3.197)
ç¨âë¢ ï, çâ® ç¥â­ë¥ á⥯¥­¨ n	à ¢­ë 1,	­¥ç¥â­ë¥ { n , ¨¬¥¥¬:
'	'
B = ch 2	; n sh 2	th' = v	(3.198)

⬥⨬ íନ⮢®áâì ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï B = B+. ëà ¦¥­¨¥ (3.198) ¨ ®¯à¥- ¤¥«ï¥â «®à¥­æ¥¢áª®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ç¥âëà¥å¬¥à­®£® ᯨ­®à ¯¥à¢®£® à ­£ .

áᬮâਬ ⥯¥àì ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë© ¯®¢®à®â ¢¥ªâ®à					¢ âà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­-
á⢥, ª®£¤ :	a0 = a ; [ a]
						(3.199)
í⮬ á«ãç ¥,	­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬, ¯®«ã稬:
		i
	B = 1 +					(3.200)
		2
¤«ï ¯®¢®à®â	­ ª®­¥ç­ë© 㣮«:
	B = exp i2n = cos			2 + in sin	2	(3.201)
£¤¥ n § ¤ ¥â ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ®á¨ ¢à 饭¨ï. â				¬ âà¨æ ã­¨â à­		B+ = B;1, ª ª ¨
¤®«¦­® ¡ëâì ¤«ï ¯à®áâà ­á⢥­­®£® ¯®¢®à®â .

­¢¥àá¨ï ᯨ­®à®¢ (P - ®âà ¦¥­¨¥).

­¥à¥«ï⨢¨áâ᪮© ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ ®¯¥à æ¨ï ¨­¢¥àᨨ ¯à®áâà ­á⢠­¥ ¬¥-

­ï¥â §­ ª	ªá¨ «ì­®£® ¢¥ªâ®à , ª ª®¢ë¬ ï¥âáï ᯨ­. ®í⮬㠭¥ ¬¥­ï¥â §­ ª
¨ ¥£® ¯à®¥ªæ¨ï sz. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¨­¢¥àᨨ ª ¦¤ ï ª®¬¯®­¥­â		âà¥å¬¥à­®£®
ᯨ­®à	¯à¥®¡à §ã¥âáï ⮫쪮 ç¥à¥§ á ¬ã ᥡï:
	! P	(3.202)

஢®¤ï ¨­¢¥àá¨î ¤¢ ¦¤ë, ¬ë ¢®§¢à é ¥¬áï ª ¨á室­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â. á«ã- ç ¥ ᯨ­®à®¢, ¢®§¢à â ª ­ ç «ì­®¬ã ¯®«®¦¥­¨î ¬®¦­® ¯®­¨¬ âì «¨¡® ª ª ¯®¢®à®â

74

.

­ 㣮« 0, «¨¡® ª ª ¯®¢®à®â ­ 㣮« 2=pi. ® ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¤«ï ᯨ­®à®¢ íâ® ­¥ ®¤­® ¨ ⮦¥, ¯®áª®«ìªã, ᮣ« á­® (3.161), ª®¬¯®­¥­âë ¬¥­ïîâ §­ ª ¯à¨ ¯®¢®à®â¥ ­ 2 . ®í⮬㠢®§­¨ª îâ ¤¢¥ «ìâ¥à­ ⨢ë:

P 2 = 1	â.¥.	P = 1	(3.203)
P 2 = ;1	â.¥.	P = i	(3.204)

¥à¥©¤¥¬ ª ç¥âëà¥å¬¥à­ë¬ ᯨ­®à ¬. ­¢¥àá¨ï ª®¬¬ãâ ⨢­ á ¯à®áâà ­á⢥­- ­ë¬¨ ¢à 饭¨ï¬¨, ¯®áª®«ìªã ®­ «¨èì ¬¥­ï¥â §­ ª x; y; z ¢ x; y; z; t, ­® ­¥ª®¬¬ã- â ⨢­ á ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨, ¯®¢®à 稢 î騬¨ ®áì t. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ L ¥áâì

¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ®à¥­æ ª á¨á⥬¥, ¤¢¨¦ã饩áï ᮠ᪮à®áâìî v, â® PL = L0P, £¤¥
L0 { ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ª á¨á⥬¥, ¤¢¨¦ã饩áï ᮠ᪮à®áâìî			;	v. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨
¨­¢¥àᨨ, ª®¬¯®­¥­âë ç¥âëà¥å¬¥à­®£® ᯨ­®à
		­¥ ¬®£ã⠯८¡à §®¢ë¢ âìáï ç¥-

१ á ¬¨å ᥡï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨­¢¥àá¨ï ¯à¥®¡à §ã¥â ç¥à¥§ ¤à㣨¥ ¢¥«¨ç¨­ë, ª ª®¢ë¬¨ ¬®£ãâ ¡ëâì «¨èì . ®áª®«ìªã ¨­¢¥àá¨ï ­¥ ¨§¬¥­ï¥â §­ ª sz, â® ª®¬-

¯®­¥­âë 1 ¨ 2 ¬®£ãâ ¯¥à¥©â¨ ⮫쪮 ¢ 1 ¨ 2, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ⥬ ¦¥ sz = +1=2 ¨ sz = ;1=2. ®­¨¬ ï ¯®¤ ¨­¢¥àᨥ© ®¯¥à æ¨î, ¤ îéãî 1 ¯à¨ ¤¢ãªà â­®¬ ¯à¨¬¥-

­¥­¨¨, ®¯à¥¤¥«¨¬ ¥¥ ä®à¬ã« ¬¨:

!		!
! ;		! ;	(3.205)
¤«ï á«ãç ï P 2 = 1. «ï ¢ ਠ­â	P 2 = ;1 ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:
	! i	! i
! ;i		! ;i	(3.206)

à㣮© §­ ª ¢® ¢â®à®© áâப¥ íâ¨å ä®à¬ã« á¢ï§ ­ á ⥬ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮¬, çâ® ®¯ãá- ª ­¨¥ ¨ ¯®¤­¨¬ ­¨¥ ®¤­®£® ¨ ⮣® ¦¥ ¨­¤¥ªá ¯à®¨á室¨â, ᮣ« á­® (3.175), (3.178), á à §­ë¬¨ §­ ª ¬¨. ¨¦¥, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­­®áâ¨, ¢¥§¤¥ ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï ®¯à¥¤¥- «¥­¨¥¬ (3.206).

® ®â­®è¥­¨î ª ¯®¤£à㯯¥ ¢à 饭¨©, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ëè¥, ¢¥«¨ç¨­ë ¨

¯а¥®¡а §говбп ®¤¨­ ª®¢®. ¡а §г¥¬ ¨е ª®¬¡¨­ ж¨¨:
	(3.207)

¥ваг¤­® ¢¨¤¥вм, зв® нв¨ ª®¬¡¨­ ж¨¨ ¯а¥®¡а §говбп ¯а¨ ¨­¢¥аб¨¨ б ¬¨ з¥а¥§ б¥¡п, ª ª (3.202) б P = i. ¤­ ª®, нв¨ ª®¬¡¨­ ж¨¨ ­¥ ¢¥¤гв б¥¡п ª ª б¯¨­®ал ¯® ®в­®- и¥­¨о ª® ¢б¥¬ ¯а¥®¡а §®¢ ­¨п¬ £аг¯¯л ®а¥­ж .

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ª«î祭¨¥ ¨­¢¥àᨨ ¢ £à㯯ã ᨬ¬¥âਨ âॡã¥â ®¤­®¢à¥¬¥­- ­®£® à áᬮâ७¨ï ¯ àë ᯨ­®à®¢ ( ; ) { ¡¨á¯¨­®à . ¥âëॠª®¬¯®­¥­âë ¡¨á¯¨- ­®à ॠ«¨§ãîâ ®¤­® ¨å ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© à áè¨à¥­­®© £àã¯¯ë ®- ७æ . ª «ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢ãå ¡¨á¯¨­®à®¢ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡à §®¢ ­® ¤¢ã¬ï

à §­ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨. ¥«¨ç¨­
+ H	(3.208)

¯à¨ ¨­¢¥àᨨ ­¥ ¬¥­ï¥âáï ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨á⨭­ë© ᪠«ïà. ¥«¨ç¨­

; H

(3.209)

_ H _ ; _

.

75

â ª¦¥ ¨­¢ ਠ­â­ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®¢®à®â®¢ ç¥âëà¥å¬¥à­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â, ­® ¬¥­ï¥â §­ ª ¯à¨ ¨­¢¥àᨨ, ®¯à¥¤¥«ïï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯á¥¢¤®áª «ïà.

¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨ ¨§ ª®¬¯®­¥­â ¤¢ãå ¡¨á¯¨­®à®¢ ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨ ᮮ⢥â- áâ¢ãî騩 ᯨ­®à ¢â®à®£® à ­£ . ¯à¥¤¥«¨¢ ¥£® ª ª:

_	_	_
H +			(3.210)

¯®«гз¨¬ ¢¥«¨з¨­г, ¯а¥®¡а §гойгобп ¯а¨ ¨­¢¥аб¨¨ б®£« б­® _ ! , â ª çâ® 4- ¢¥ªâ®à, íª¢¨¢ «¥­â­ë© í⮬ã ᯨ­®à㠯८¡à §ã¥âáï ᮣ« á­® (a0; a) ! (a0; ;a) ¨

¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¨á⨭­ë© 4-¢¥ªâ®à (¯à¨ í⮬ a { ¯®«ïà­ë© ¢¥ªâ®à). ® ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì _ ¨ ¨­ ç¥:

(3.211)

®£¤ ¯à¨ ¨­¢¥àᨨ _ ! ; ¨ í⮬ã ᯨ­®àã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 4-¢¥ªâ®à, ¯à¥®¡à - §ãî騩áï ¯à¨ ¨­¢¥àᨨ ª ª (a0; a) ! (;a0; a), â.¥. 4-¯á¥¢¤®¢¥ªâ®à (a { ªá¨ «ì­ë© ¢¥ªâ®à).

à ¢­¥­¨¥ ¨à ª .

áâ¨æ ᮠᯨ­®¬ 1/2 ¢ á¨á⥬¥ ¯®ª®ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ¤¢ã媮¬¯®­¥­â­®© ¢®«­®¢®© ä㭪樥© { âà¥å¬¥à­ë¬ ᯨ­®à®¬. ® ᢮¥¬ã ç¥âëà¥å¬¥à­®¬ã \¯à®¨á宦¤¥­¨î" íâ® ¬®¦¥â ¡ëâì ª ª ­¥¯ã­ªâ¨à­ë©, â ª ¨ ¯ã­ªâ¨à­ë© 4-ᯨ­®à: ¨«¨ . ¤¨­- á⢥­­ë© ®¯¥à â®à, ¢å®¤ï騩 ¢ ¢®«­®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¥áâì p = i@ , ª®â®àë© ¢ ᯨ- ­®à­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ p _ :

p11 = p22 = pz + p0	p22 = p11 = p0	;	pz
p12 = ;p21 = px ; ipy	p21 = ;p12 = px + ipy			(3.212)

§ ва¥¡®¢ ­¨п а¥«пв¨¢¨бвбª®© ¨­¢ а¨ ­в­®бв¨ ба §г ¦¥ ¬®¦­® ­ ¯¨б вм б«¥¤гойго б¨бв¥¬г ¤¨дд¥а¥­ж¨ «м­ле га ¢­¥­¨© ¯¥а¢®£® ¯®ап¤ª :

p _

= m

p _

= m _

(3.213)

ª®â®à ï ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨© ¨à ª

¢ ᯨ­®à­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-

­¨¨.

®¤áâ ¢«ïï _ ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢­¥­¨ï (3.213) ¢ ¯¥à¢®¥, ¯®«ã稬:

p

_ =

1

p

p

= m

(3.214)

m

ç¨âë¢ ï p p = p2 , ¯®«ãç ¥¬ ¨§ (3.214):

(p2 ; m2) = 0

(3.215)

{ ãà ¢­¥­¨¥ «¥©­ - ®à¤®­ ¤«ï ª ¦¤®© ª®¬¯®­¥­âë ᯨ­®à . ਠí⮬ ïá­®, çâ® ¯ à ¬¥âà m ¨£à ¥â à®«ì ¬ ááë ç áâ¨æë. ¬¥â¨¬, çâ® ¨¬¥­­® ­¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢¢¥¤¥­¨ï ¬ ááë âॡã¥â ®¤­®¢à¥¬¥­­®£® à áᬮâ७¨ï ¤¢ãå ᯨ­®à®¢ ¨ _ , â.¥.

76

.

¢¢¥¤¥­¨ï ¡¨á¯¨­®à , ¨­ ç¥ ­¥ 㤠¥âáï á®áâ ¢¨âì ५ï⨢¨áâ᪨ ¨­¢ ਠ­â­ë¥ ãà ¢- ­¥­¨ï, ᮤ¥à¦ 騥 à §¬¥à­ë© ¯ à ¬¥âà m. १ã«ìâ â¥, ¢®«­®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ®ª - §ë¢ ¥âáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¨­¢ ਠ­â­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯à®áâà ­á⢥­­®© ¨­¢¥àᨨ, ¥á«¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¥¥ ª ª (áà. (3.206)):

P : ! i ! i

ਠí⮬ ¢ (3.213) ®¤­®¢à¥¬¥­­® p ! p _ .

¯®¬®éìî (3.185) ãà ¢­¥­¨ï (3.213) ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

(p0 + p ) = m (p0 ; p ) = m

£¤¥ ¢¢¥«¨ á⮫¡æë:		= 2
= 2
1
		1

«ï ª®¬¯«¥ªá­® ᮯà殮­­ëå ãà ¢­¥­¨© 㤮¡­® ¢¢¥á⨠áâப¨:

	= ( 1 ; 2 )				= ( ; )
					1	2
¨ § ¯¨á âì (á ãç¥â®¬ p =	;	p		):

(p0 + p ) = ;m(p0 ; p ) = ;m

(3.216)

(3.217)

(3.218)

(3.219)

(3.220)

¯¥à æ¨ï ¨­¢¥àᨨ ¤«ï ª®¬¯«¥ªá­® ᮯà殮­­ëå ᯨ­®à®¢ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

P :		! ;	i		i	(3.221)
				! ;

«¨â¥à âãà¥, £®à §¤® ç é¥ ­¥¦¥«¨ (3.213) ¨«¨ (3.217), ¨á¯®«ì§ã¥âáï â ª ­ -

§ë¢ ¥¬ ï ᨬ¬¥âà¨ç­ ï ä®à¬

ãà ¢­¥­¨ï ¨à ª . â®¡ë ¯¥à¥©â¨ ª ­¥©, ¢¢¥¤¥¬

ç¥âëà¥åª®¬¯®­¥­â­ë© ¡¨á¯¨­®à ¨à ª , á®áâ ¢«¥­­ë© ¨§ á⮫¡æ®¢ (3.218):

=

(3.222)

®£¤ á¨á⥬ã (3.217) ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

p ik k = m i

(3.223)

¨«¨, ®¯ãáª ï ¡¨á¯¨­®à­ë¥ ¨­¤¥ªáë:

( p ; m)

= 0

â.¥.

(i @ ; m) = 0

(3.224)

£¤¥ p = p0 0

;

p

= i0

@

+ i

r

, ¨ ¬ë ¢¢¥«¨ ¬ âà¨æë 4

4 (¬ âà¨æë ¨à ª )

@t

¢¨¤ :

1

0

^

0

0

^

0

^

0 =

1

=

;

(3.225)

^

¥©á⢨⥫쭮, (3.217) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

0	p0 + p
p0 ; p	0	= m		(3.226)

.

77

ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á (3.224) ¯à¨ ¢ë¡®à¥ -¬ âà¨æ ¢ ¢¨¤¥ (3.225).

®¡é¥¬ á«ãç ¥ -¬ âà¨æë ¤®«¦­ë «¨èì 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨ï¬, ®¡¥á¯¥ç¨¢ -

î騬 à ¢¥­á⢮ p2 = m2. «ï ¢ë¢®¤	íâ¨å ãá«®¢¨© 㬭®¦¨¬ (3.224) á«¥¢	­ p .
®£¤ :
( p )( p )	= m( p ) = m2	(3.227)

®áª®«ìªã p p ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ⥭§®à (ª®¬¯®­¥­âë ¨¬¯ã«ìá ª®¬¬ãâ ⨢­ë), â® (3.227) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

1p p ( + )

= m2

(3.228)

2

â ª çâ® ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«­¥­®, ¥á«¨:

+ = 2g

(3.229)

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯ àë à §­ëå ¬ âà¨æ

­â¨ª®¬¬ãâ¨àãîâ,

¨å ª¢ ¤à âë à ¢­ë:

( 1)2 = ( 2)2 = ( 3)2 = ;1

( 0)2 = 1

(3.230)

ਠ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ã­¨â à­®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ ª®¬¯®­¥­â ¡¨á¯¨­®à :

0

= U ,

£¤¥ U - г­¨в а­ п ¬ ва¨ж 4 4, -¬ ва¨жл ¯а¥®¡а §говбп ª ª:

0 = U U;1 = U U+

(3.231)

â ª çâ® ( p

; m) = 0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ( 0 p ; m)

0 = 0. ਠ⠪®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨

б®еа ­повбп ®з¥¢¨¤­л¥ ¨§ (3.225) б¢®©бв¢ :

+ = ;

0+ = 0

(3.232)

à ¢­¥­¨¥, ª®¬¯«¥ªá­® ᮯà殮­­®¥ (3.224), ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

(;p0~0 ; p~ ; m) = 0

(3.233)

¥à¥áâ ¢«ïï

á ¯®¬®éìî ~ =

¨ 㬭®¦ ï ¢á¥ ãà ¢­¥­¨¥ á¯à ¢

­

0 (á

ãç¥â®¬ 0 = ; 0 ), ¯®«ã稬 ᮯà殮­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¨à ª :

p

+ m) = 0

(3.234)

(

£¤¥ ¢¢¥«¨:

=

0

= 0

(3.235)

{ ®¯¥à æ¨î ¤¨à ª®¢áª®£® ᮯà殮­¨ï ¡¨á¯¨­®à .

¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ãà ¢­¥­¨¥ ¨à ª

(3.224):

(i @ ; m)

= 0

(3.236)

¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭® ¨§ ãà ¢­¥­¨ï ©«¥à - £à ­¦ :

@L

@

@L

= 0

(3.237)

@ ;

@(@ )

¥á«¨ ¢¢¥á⨠« £à ­¦¨ ­ ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï ¢ ¢¨¤¥:

i

L =

[ (@ ) ; (@ )

] ; m

i @e

; m

(3.238)

2

78	.
	£¤¥ ç¥à¥§ @ ®¡®§­ 祭 ®¯¥à æ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï \¢¯à ¢®" ¨ \¢«¥¢®", ®¯à¥¤¥-
	«¥­­ ï ¢ë¯¨á ­­ë¬ ⮦¤¥á⢮¬. ਠí⮬, ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ©«¥à - £à ­¦								¨
	à áᬠâਢe îâáï ª ª ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯®«ï (ᮯà殮­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¨à ª							(3.234))
	¯®«ãç ¥âáï ¨§ ãà ¢­¥­¨ï (3.237) ¯®á«¥ § ¬¥­ë						! . ®£¤ ­¥¬¥¤«¥­­® ­ 室¨¬
	ª ­®­¨ç¥áª¨© ¨¬¯ã«ìá (x) ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï:
	(x) =		@L		= i	+	(x)		(3.239)
		@	_(x)
	१ã«ìâ â¥, ¯«®â­®áâì £ ¬¨«ìâ®­¨ ­		¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:
	H = _ ; L = + 0(;ii@i + m)						@
				= + 0			(i0@0 ) = +i @t		(3.240)

£¤¥ ¢® ¢â®à®¬ à ¢¥­á⢥ ¨á¯®«ì§®¢ ­® ãà ¢­¥­¨¥ ¨à ª (3.224).

âáâ㯫¥­¨¥ ® à §¬¥à­®áâïå.

ᯮ«ì§ãï ï¢­ë© ¢¨¤ « £à ­¦¨ ­ ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï (3.238) ¨ ¨§¢¥áâ­ë¥ à §¬¥à­®á⨠[L] = l;4, [m] = l;1, [@] = l;1, í«¥¬¥­â à­® ­ 室¨¬ à §¬¥à­®áâì ¤¨à ª®¢áª®£® ¯®«ï:

[

] = [ ] = l;3=2

(3.241)

çâ® ¯à¨£®¤¨âáï ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬.

८¡à §®¢ ­¨¥ ¨­¢¥àᨨ (3.216) ¤«ï

¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

! i

0

0

P :

! ;i

(3.242)

­¢ ਠ­â­®áâì ãà ¢­¥­¨ï ¨à ª

®â­®á¨â¥«ì­® (3.242) ®ç¥¢¨¤­ : § ¬¥­ïï p

p

¨

i

0

¯®«ãç ¥¬ (p0

0

+ p

m)

0

= 0,

㬭®¦ ï íâ® ãà ¢­¥­¨¥ á«¥¢

! ;0

,

!

;

­

0

¨

, ¢®§¢à é ¥¬áï ª ¨á室­®¬ã ãà ¢­¥­¨î.

¨ ãç¨âë¢ ï

­â¨ª®¬¬ãâ ⨢­®áâì

¬­®¦¨¬ (

p ; m)

= 0 á«¥¢

­

p + m) = 0 á¯à ¢ ­

, á«®¦¨¬

,

(

¨å ¨ ¯®«ã稬:

(3.243)

(p ) + (p )

= p ( ) = 0

{ ãà ¢­¥­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤«ï 4-⮪

¤¨à ª®¢áª¨å ç áâ¨æ:

@ j = 0 j = = ( ; 0 )

®¯¨áë¢ î饥 § ª®­ á®åà ­¥­¨ï § àï¤ , ¯«®â­®áâì ª®â®à®£® j0 = > 0.à ¢­¥­¨¥ ¨à ª ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à :

@

i @t = H

£¤¥ £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ H ¨¬¥¥â ¢¨¤:

(3.244)

(3.245)

H = p + m	(3.246)
£¤¥ ¤¨à ª®¢áª¨¥ ¬ âà¨æë ¨ :
= 0 = 0	(3.247)

â ª çâ® (3.246) ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¢¥¤¥­­ë¬ ¢ëè¥ (3.240). âà¨æë (3.247) 㤮¢«¥â¢®- àïîâ ª®¬¬ãâ 樮­­ë¬ ᮮ⭮襭¨ï¬:

i k + k i = 2 ik + = 0 2 = 1

(3.248)

.					79
¨å ï¢­ë© ¢¨¤:
	0	0	1
= 0	;	= 1	0		(3.249)
áᬮâਬ ­¥à¥«ï⨢¨áâ᪨© ¯à¥¤¥«. ¥à¥å®¤ï ¢ (3.217) ª ¯à¥¤¥«ã p ! 0; " !
m, ¯®«ã稬 = , â ª çâ® ®¡	ᯨ­®à	¨§ ¡¨á¯¨­®à		ᮢ¯ ¤ îâ, ­® ¢á¥ ç¥âëà¥

ª®¬¯®­¥­âë ¡¨á¯¨­®à ®áâ îâáï ­¥­ã«¥¢ë¬¨. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ïá­®, çâ® «¨èì ¤¢¥ ¨§ ­¨å ­¥§ ¢¨á¨¬ë. ¤®¡­® ¯¥à¥©â¨ ª â ª ­ §ë¢ ¥¬®¬ã áâ ­¤ àâ­®¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î, ¢ ª®â®à®¬ ¢ ­¥à¥«ï⨢¨áâ᪮¬ ¯à¥¤¥«¥ ¤¢¥ ª®¬¯®­¥­âë ¡¨á¯¨­®à ®¡à é îâáï ¢ ­ã«ì. «ï í⮣® ¢¢®¤¨¬:

1

' = p2( + )

=
		'
1
= p		( ; )		(3.250)
	2

«ï ¯®ª®ï饩áï ç áâ¨æë, ®ç¥¢¨¤­®, ¨¬¥¥¬ = 0. ª« ¤ë¢ ï ¨ ¢ëç¨â ï ãà ¢­¥­¨ï (3.217), ¯®«ãç ¥¬:

p0' ; p = m'
;p0 + p' = m	(3.251)

®âªã¤ ¬®¦­® ­ ©â¨ ï¢­ë© ¢¨¤ -¬ âà¨æ ¤«ï áâ ­¤ àâ­®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï [1]. â- ¬¥â¨¬, çâ® ¢ (3.250) ®â¤¥«ì­® ᪫ ¤ë¢ îâáï ¯¥à¢ë¥ ¨ ¢â®àë¥ ª®¬¯®­¥­âë ᯨ­®à®¢¨ . ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ áâ ­¤ àâ­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨, ª ª ¨ ¢ à áᬮâ७­®¬ ¢ëè¥

ᯨ­®à­®¬, 1; 3 ᮮ⢥âáâ¢ãî⠯஥ªæ¨¨ sz = +1=2,					2; 4 { ¯à®¥ªæ¨¨ sz = ;1=2.
âà¨æ
1		1		0
2	=	2	0		(3.252)
¤ ¥â âà¥å¬¥à­ë© ®¯¥à â®à ᯨ­	¢ áâ	­¤ àâ­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨.

¯¨à «ì­®áâì.

५ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ ®à¡¨â «ì­ë© ¬®¬¥­â l ¨ ᯨ­ s ¤¢¨¦гй¥©бп з бв¨жл ­¥ б®еа ­повбп ª ¦¤л© ¢ ®в¤¥«м­®бв¨. ®еа ­п¥вбп «¨им ¯®«­л© ¬®¬¥­в j = l + s. ®í⮬㠭¥ á®åà ­ï¥âáï ¨ ¯à®¥ªæ¨ï ᯨ­ ­ ª ª®¥-«¨¡® ­ ¯à ¢«¥­¨¥ (®áì z), â ª çâ® íâ ¢¥«¨ç¨­ ­¥ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ¤«ï ¯¥à¥ç¨á«¥­¨ï ¯®«ïਧ 樮­­ëå (ᯨ­®¢ëå) ª®¬¯®­¥­â ¤¢¨¦ã饩áï ç áâ¨æë. ®åà ­ï¥âáï,

®¤­ ª®, á¯¨à «ì­®áâì, â.¥. ¯à®¥ªæ¨ï ᯨ­ ­ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï (¨¬¯ã«ìá ). á ¬®¬ ¤¥«¥,
¯®áª®«ìªã l = [r p], â® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ s n, £¤¥ n = jppj , ᮢ¯ ¤ ¥â á ®ç¥¢¨¤­® á®åà ­ïî騬áï
¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ j n. ®¡á⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï á¯¨à «ì­®á⨠= ;s; :::; +s. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢®«­®¢ë¥
ä㭪樨 ᢮¡®¤­®©ç áâ¨æë á ¨¬¯ã«ìᮬ p е а ªв¥а¨§говбп ¥й¥ ¨ б¯¨а «м­®бвмо:	p . á¨á⥬¥
¯®ª®ï á®áâ®ï­¨¥ ç áâ¨æë å à ªâ¥à¨§ã¥âáï, ª ª ®¡ëç­®, ᯨ­®¬ (¥£® ¯à®¥ªæ¨¥© ­	®áì z).

«ï ç áâ¨æë á ­ã«¥¢®© ¬ áᮩ ¯®ª®ï ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â á¨áâ¥¬ë ¯®ª®ï, ¢ «î¡®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â ®­ ¤¢¨¦¥âáï ᮠ᪮à®áâìî ᢥâ . ® ®â­®è¥­¨î ª â ª®© ç áâ¨æ¥ ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¤¥«¥­­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ { ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à ¨¬¯ã«ìá p. í⮬ á«ãç ¥ ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ᨬ¬¥âਨ ¯® ®â­®è¥­¨î ª® ¢á¥© £à㯯¥ âà¥å¬¥à­ëå ¢à 饭¨©, áãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ªá¨ «ì­ ï ᨬ¬¥âà¨ï ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯®¢®à®â ¬ ¢®ªà㣠í⮩ ¢ë¤¥«¥­­®© ®á¨. ®®â¢¥âá⢥­­®, á®åà ­ï¥âáï ⮫쪮 á¯¨à «ì­®áâì. ᫨ ¯®âॡ®¢ âì ᨬ¬¥âà¨î ¯® ®â­®è¥­¨î ª ®âà ¦¥­¨ï¬ ¢ ¯«®áª®áâïå, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ ®áì p, â® á®áâ®ï­¨ï, ®â«¨ç î騥áï §­ ª®¬ , ¡ã¤ãâ ¢ë஦¤¥­ë, â ª çâ® ¯à¨

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