Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1

190

¨á. 8-15

®­ ­¥ ¬®¦¥â ¢ë§¢ âì ­¨ª ª®£® ¨§¬¥­¥­¨ï í«¥ªâà®­­®£® ⮪

¯¥à¥å®¤ . à㣨¬¨

á«®¢ ¬¨, ¢ í⮬ ¯à¥¤¥«¥ ⮪ ¯¥à¥å®¤

;

U

¤®«¦¥­ ¯à®á⮠ᮢ¯ ¤ âì ᮠ᢮¡®¤­ë¬

⮪®¬ u u:

U

(p; p; 0)U(p) = Z1u(p);

U(p);

u(p) = u(p)

u(p)

(8.87)

⮠ᮮ⭮襭¨¥ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¢ ᨫã ⮦¤¥áâ¢

®à¤ , ­¥§ ¢¨á¨¬®

®â ¢¥«¨ç¨­ë Z1. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯®¤áâ ¢«ïï G;1(p) ¨§ (8.81) ¢ (7.87), ¯®«ãç ¥¬:

;

(p; p; 0) =

1

;

g(p)(

p ; m) ; (

p ; m)g(p)

(8.88)

Z1

¨ à ¢¥­á⢮ (8.87) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¢ ᨫã ( p ; m)u(p) = 0 ¨ ( p ; m)u(p) = 0. ᥠíâ®, ¯® áãé¥áâ¢ã, ®¯ïâì ¤ ¥â ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 䨧¨ç¥áª®£® § àï¤ í«¥ªâà®­ .¨¤¨¬, çâ® ¯à¨ á®áâ ¢«¥­¨¨ ¬¯«¨âã¤ë 䨧¨ç¥áª®£® ¯à®æ¥áá ¯¥à­®à¬¨à®¢®ç­ë© ä ªâ®à Z1 ¢®®¡é¥ ¢ë¯ ¤ ¥â. ë ¬®¦¥¬ ¯à®áâ® ¯®âॡ®¢ âì:

u(p); (p; p; 0)u(p) = u(p) u(p)

¯à¨ p2 = m2

(8.89)

â.¥. ¯®«®¦¨âì Z1 = 1. ¤®¡á⢮ â ª®£® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ®â¯ ¤ ¥â ­¥- ®¡å®¤¨¬®áâì ¢¢¥¤¥­¨ï ¯®¯à ¢®ª ¢® ¢­¥è­¨¥ í«¥ªâà®­­ë¥ «¨­¨¨ ¨ ¬ë ¯à®áâ® ¨¬¥¥¬ U(p) = u(p). â® ïá­® ¨ ¨§ ⮣®, çâ® ¯à¨ Z1 = 1 ¤«ï ¬ áᮢ®£® ®¯¥à â®à (8.82) ¨¬¥¥¬:

M(p) = ( p ; m)g(p)( p ; m)

(8.90)

⪠çâ® ¢â®à®© ç«¥­ ¢ (8.83) ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡à §®¬ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì. ª¨¬ ®¡à §®¬ ­¥ âॡãîâ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨ ¢­¥è­¨¥ «¨­¨¨ ¢á¥å ॠ«ì­ëå ç áâ¨æ { ª ª ä®â®­®¢,

⪠¨ í«¥ªâà®­®¢.

« áá¨ä¨ª æ¨ï ¨ ãáâà ­¥­¨¥ à á室¨¬®- á⥩.

áᬮâ७­ë¥ ¢ëè¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ ãá«®¢¨ï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨ ¯®§¢®«ïîâ, ¢ ¯à¨­æ¨¯¥, ¯®«ãç¨âì ®¤­®§­ ç­ë¬ ®¡à §®¬ ª®­¥ç­®¥ §­ 祭¨¥ ¤«ï ¬¯«¨âã¤ë ¢á类£® ¯à®- æ¥áá ¢ «î¡®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©.

áᬮâਬ á­ ç « å à ªâ¥à à á室¨¬®á⥩, ¢®§­¨ª îé¨å ¢ à §«¨ç­ëå ¨­- â¥£à « å ¥©­¬ ­ . ०¤¥ ¢á¥£® ¯à®¨§¢¥¤¥¬ ¯®¤áç¥â á⥯¥­¥© ¢¨àâã «ì­ëå 4- ¨¬¯ã«ìᮢ, ¢å®¤ïé¨å ¢ ¯®¤¨­â¥£à «ì­ë¥ ¢ëà ¦¥­¨ï. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî

191

¤¨ £à ¬¬ã n-£® ¯®à浪 (n { ç¨á«® ¢¥à設!), ¨¬¥îéãî Ne í«¥ªâà®­­ëå ¨ N ä®- â®­­ëå ¢­¥è­¨å «¨­¨©. ¨á«® Ne ¢á¥£¤ ç¥â­®. ®«­®¥ ç¨á«® í«¥ªâà®­­ëå «¨­¨© à ¢­® 2n, ­® ¨§ ­¨å Ne ¢­¥è­¨å, ᪠¦¥¬ Ie ¢­ãâ७­¨å. ਠ¯®¤áç¥â¥ ç¨á« «¨­¨© ¢­ãâ७­¨¥ «¨­¨¨ ãç¨âë¢ îâáï ¤¢ ¦¤ë, ¯®áª®«ìªã ®­¨ á¢ï§ë¢ îâ ¤¢¥ ¢¥à設ë, â ª çâ®:

2n = Ne + 2Ie

(8.91)

®®â¢¥âá⢥­­®, ¯®«­®¥ ç¨á«® ¢­ãâ७­¨å í«¥ªâà®­­ëå «¨­¨© ¢ ¤¨ £à ¬¬¥:

Ie = n ;	Ne	(8.92)
	2

ª ¦¤ãî ¢¥à設㠢室¨â ®¤­ ä®â®­­ ï «¨­¨ï, ¯à¨ í⮬ ¢ N ¢¥à設 å íâ «¨­¨ï ¢­¥è­ïï, ¢ ®áâ ¢è¨åáï n;N { ¢­ãâ७­ïï. ®áª®«ìªã ª ¦¤ ï ¢­ãâ७­ïï ä®â®­­ ï «¨­¨ï á¢ï§ë¢ ¥â ¤¢¥ ¢¥à設ë, â® ¯®«­®¥ ç¨á«® â ª¨å «¨­¨© à ¢­®

n ; N	(8.93)
2

¦¤®© ¢­ãâ७­¥© ä®â®­­®© «¨­¨¨ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«ì D(k), ᮤ¥à¦ -

騩 k ¢ á⥯¥­¨ -2. ¦¤®© ¢­ãâ७­¥© í«¥ªâà®­­®© «¨­¨¨ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï G(p), ᮤ¥à¦ é ï p ¢ á⥯¥­¨ -1 (¯à¨ p2 m2). ª¨¬ ®¡à §®¬, á㬬 à­ ï á⥯¥­ì

4-¨¬¯ã«ìᮢ ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ¤¨ £à ¬¬ë à ¢­ :

2n ; N + n	;	Ne = 2n	;	Ne	;	N	(8.94)
2		2		2

¨á«® ¦¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨© ¯® d4p ¨ d4k ¢ ¤¨ £à ¬¬¥ à ¢­® ç¨á«ã ¢­ãâ७­¨å «¨­¨©, ®¤­ ª® ¢ ª ¦¤®© ¢¥à設¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï § ª®­ á®åà ­¥­¨ï 4-¨¬¯ã«ìá , çâ® ­ ª« - ¤ë¢ ¥â n;1 ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ãá«®¢¨¥ ­ ¨¬¯ã«ìáë ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï (®¤¨­ ¨§ íâ¨å n § ª®­®¢ á®åà ­¥­¨ï ®â­®á¨âáï ª ¢­¥è­¨¬ ¨¬¯ã«ìá ¬ ¤¨ £à ¬¬ë { ®­ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¡é¥¬ã § ª®­ã á®åà ­¥­¨ï ¢ ॠªæ¨¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ¤ ­­®© ¤¨ £à ¬¬®©). ®®â¢¥â- á⢥­­®, á ãç¥â®¬ (8.92) ¨ (8.93), ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯®«­®¥ ç¨á«® ¢­ãâ७­¨å «¨­¨© ¤¨ £à ¬¬ë (í«¥ªâà®­­ëå ¨ ä®â®­­ëå) à ¢­®:

n ;	Ne	+	n	;	N	=	3	;	Ne	;	N	(8.95)
	2		2		2		2		2		2

çâ® ¤ ¥â ç¨á«® ¨¬¯ã«ìᮢ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¡¥§ ãç¥â § ª®­®¢ á®åà ­¥­¨ï. ®£¤ ¢ëç¨â ï ®âáî¤ n ; 1, ¨¬¥¥¬ ¤«ï ç¨á« ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï

3	;	Ne	;	N	; n + 1 =	n	+ 1 ;	Ne	;	N	(8.96)
2		2		2		2		2		2

ç¥â¢¥àïï íâ® ç¨á«® ¯®«ãç ¥¬ ¯®«­®¥ ç¨á«® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨©:

2(n ; Ne ; N + 2)

(8.97)

®£¤ à §­®áâì ¬¥¦¤ã ç¨á«®¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨© ¨ á⥯¥­ìî ¨¬¯ã«ìᮢ ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï ¤ ­­®© ¤¨ £à ¬¬ë à ¢­ à §­®á⨠(8.97) ¨ (8.94):

3
r = 4 ; 2Ne ; N	(8.98)

192

¨á. 8-16

â® ç¨á«® ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â ï¥âáï «¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 䥩­¬ ­®¢áª¨© ¨­â¥£à « á室ï騬áï ¨«¨ à á室ï騬áï7. ¥«®, ¯à ¢¤ , ãá«®¦­ï¥âáï ⥬ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮¬, çâ® ãá«®¢¨ï r < 0 ¤«ï ¤¨ £à ¬¬ë ¢ 楫®¬ ¥é¥ ­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ¢ë¢®¤ ® ¥¥ áå®- ¤¨¬®áâ¨. ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¡ë«¨ ®âà¨æ ⥫ì­ë¬¨ ­ «®£¨ç­ë¥ ç¨á« r0 ¤«ï ¢á¥å ¢­ãâ७­¨å ¡«®ª®¢, ª®â®àë¥ ¬®¦­® ¨§ ­¥¥ ¢ë¤¥«¨âì. «¨ç¨¥ ¢­ãâ७­¨å ¡«®ª®¢ á r0 > 0 ¯à¨¢¥¤¥â ª à á室¨¬®á⨠¤¨ £à ¬¬ë ¢ 楫®¬, å®âï ®áâ «ì­ë¥ ¨­â¥£à¨à®¢ - ­¨ï ¬®£ãâ á室¨âìáï á ¨§¡ë⪮¬. á«®¢¨ï r < 0, ®¤­ ª®, ¤®áâ â®ç­® ¤«ï á室¨¬®áâ¨

¯à®á⥩è¨å ¤¨ £à ¬¬, ¢ ª®â®àëå n = Ne +N ¨ ¨¬¥¥âáï ¢á¥£® ®¤­® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ d4p.

᫨ ¦¥ r 0, â® ¨­â¥£à « ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ à á室¨âáï. ਠí⮬ á⥯¥­ì à á室¨¬®á⨠­¥ ¬¥­¥¥ r, ¥á«¨ ç¨á«® r ç¥â­®, ¨ ­¥ ¬¥­¥¥ r ; 1, ¥á«¨ r ­¥ç¥â­® (㬥­ì襭¨¥ á⥯¥­¨ à á室¨¬®á⨠­ 1 ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ á¢ï§ ­® á ®¡à 饭¨¥¬ ¢ ­ã«ì ¨­â¥£à « ®â ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ­¥ç¥â­®£® ç¨á« 4-¢¥ªâ®à®¢ ¯à¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¯® ¢á¥¬ã 4-¯à®áâà ­áâ¢ã). ⥯¥­ì à á室¨¬®á⨠¬®¦¥â ¨ 㢥«¨ç¨âìáï ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ¢­ãâ७­¨å ¡«®ª®¢ á r0 > 0.

¬¥â¨¬, çâ® á⥯¥­ì à á室¨¬®á⨠¤¨ £à ¬¬ë r ᮣ« á­® (8.98) ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®à浪 ¤¨ £à ¬¬ë n. ¬¥­­® íâ® § ¬¥ç ⥫쭮¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, ª ª ¬ë ¥é¥ 㢨- ¤¨¬ ¯®§¤­¥¥, ¨ ¤¥« ¥â ⥮à¨î ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®©. ®à®âª® £®¢®àï, ¤¥«® âãâ ¢ ⮬, çâ® ¨§ (8.98) áà §ã ïá­®, çâ® ¢ â ª®© ⥮ਨ áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ⨯®¢ à áå®- ¤¨¬®á⥩ { ¯®áª®«ìªã ¨§ ¯®«®¦¨â¥«ì­®á⨠楫ëå ç¨á¥« Ne ¨ N ¢¨¤­®, зв® бгй¥- бв¢г¥в «¨им ­¥бª®«мª® ¯ а ¨е §­ з¥­¨©, ¯а¨ ª®в®але r 0, ¨ ª®­¥з­®¥ з¨б«® ¯а®бв¥©и¨е ¯а¨¬¨в¨¢­® а б室пй¨ебп ¤¨ £а ¬¬. ®®в¢¥вбв¢¥­­®, ¢ в¥®а¨¨ ¤®- бв в®з­® ¢¢¥бв¨ ª®­¥з­®¥ з¨б«® ¯ а ¬¥ва®¢ (®¯а¥¤¥«п¥¬ле ¨§ нªб¯¥а¨¬¥­в ), ¢ ª®в®ал¥ ¨ \§ £®­повбп" ¢б¥ а б室¨¬®бв¨. б«¨ ¡л ¢ (8.98) ¢е®¤¨« (б® §­ ª®¬ ¯«об) ¢¥«¨з¨­ n, в® з¨б«® в¨¯®¢ а б室¨¬®бв¥© а®б«® ¡л б а®б⮬ n ¨ б¨вг - ж¨п ®ª § « бм ¡л б®¢¥аи¥­­® ¡¥§­ ¤¥¦­®©! «¥£ª® ¯¥а¥з¨б«¨вм ¢б¥ ¯а¨¬¨- в¨¢­® а б室пй¨¥бп ¤¨ £а ¬¬л ¢ п¢­®¬ ¢¨¤¥. а §г ¦¥ ¨бª«оз¨¬ ¨§ ­¨е б«гз ¨ Ne = N = 0 (¢ ªãã¬­ë¥ ¯¥â«¨) ¨ Ne = 0; N = 1 (á।­¥¥ §­ 祭¨¥ ¢ ªã㬭®£® ⮪ ). áâ «ì­ë¥ á«ãç ¨ ¯®ª § ­ë ­ ¨á.8-16. ¯¥à¢®© ¨§ íâ¨å ¤¨ £à ¬¬ r = 2 ¨ à á室¨¬®áâì ä®à¬ «ì­® ª¢ ¤à â¨ç­ ï, ¢ ®áâ «ì­ëå á«ãç ïå r = 0 ¨«¨ r = 1 ¨

7 ¯®¬­¨¬, çâ® à¥çì ¢á¥ ¢à¥¬ï ¨¤¥â ® à á室¨¬®á⨠¨­â¥£à «®¢ ­ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥¤¥«¥!

193

à á室¨¬®áâì «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï.

¨ £à ¬¬ ¨á.8-16(£) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯¥à¢ãî ¯®¯à ¢ªã ª ¢¥à設­®¬ã ®¯¥-

à â®àã. ­ ¤®«¦­ 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î (8.89), ª®â®à®¥ § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥:

u(p) (p; p; 0)u(p) = 0

¯à¨

p2 = m2

(8.99)

£¤¥

= ; ;

(8.100)

¡®§­ 稬 ¨­â¥£à « ¥©­¬ ­ , § ¯¨á ­­ë© ¯àאַ ¯® ¤¨ £à ¬¬­ë¬ ¯à ¢¨« ¬, ª ª

(p2; p1; k). â®â ¨­â¥£à « «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨ à á室¨âáï ¨ á ¬ ¯® ᥡ¥ ãá«®¢¨î

(8.99) ­¥ 㤮¢«¥в¢®ап¥в. л, ®¤­ ª®, ¯®«гз¨¬ ¢¥«¨з¨­г, 㤮¢«¥в¢®апойго н⮬г

ãá«®¢¨î, ®¡à §®¢ ¢ à §­®áâì:

(p1; p1; 0)jp12=m2

(p2; p2; k) = (p2; p1; k) ;

(8.101)

(p2; p1; k) ¬®¦­® ¢ë¤¥«¨âì à áᬮâॢ ¢ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¬

á室¨¬®áâì ¢ ¨­â¥£à «¥ ¤«ï

¢ëà ¦¥­¨¨ ᪮«ì 㣮¤­® ¡®«ì让 4-¨¬¯ã«ìá ¢¨àâã «ì­®£® ä®â®­ f. ®£¤

¨¬¥¥¬:

; 4 ie2 Z

d4f

; f) G(p1 ; f) D (f) ;4 ie2 Z

d4f ( f ) ( f )

G(p2

(8.102)

(2 )4

(2 )4

f2f2f2

çâ® ­¥ § ¢¨á¨â ®â §­ 祭¨© 4-¨¬¯ã«ìᮢ ¢­¥è­¨å «¨­¨©. ®í⮬㠢 à §­®á⨠(8.101) à á室¨¬®áâì ᮪à é ¥âáï ¨ ¯®«ãç ¥âáï ª®­¥ç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥.

â ª®© ¯à®æ¥¤ãॠãáâà ­¥­¨ï à á室¨¬®á⥩ £®¢®àïâ ª ª ® ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¥ á

¯®¬®éìî ¢ëç¨â ­¨©. ®¤ç¥àª­¥¬, çâ® ¢®§¬®¦­®áâì ãáâà ­¥­¨ï à á室¨¬®á⨠¨§

¨­â¥£à « (p2; p1; k) ¯ã⥬ ⮫쪮 ®¤­®£® ¢ëç¨â ­¨ï ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥âáï ⥬, çâ® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ à á室¨¬®áâì «¨èì «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï, â.¥. ­ ¨¬¥­ìè ï ¨§ ¢á¥å

¢®§¬®¦­ëå.

®á«¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯¥à¢®© ¯®¯à ¢ª¨ ¢ ; (â.¥. ¯¥à¢®£® ç«¥­ à §«®¦¥­¨ï ) ¯¥à¢ ï ¯®¯à ¢ª ¢ í«¥ªâà®­­®¬ ¯à®¯ £ â®à¥ (¤¨ £à ¬¬ ¨á.8-16(¡)) ¬®¦¥â ¡ëâì à ááç¨â ­ á ¯®¬®éìî ⮦¤¥á⢠®à¤ (7.87), ª®â®à®¥ ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª:

@M(p) = (p; p; 0)	(8.103)
@p

¢¢¥¤ï ¬ áá®¢ë© ®¯¥à â®à M ¢¬¥áâ® G ¨ ¢¬¥áâ® ; . â® ãà ¢­¥­¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®áâ® ¯à®¨­â¥£à¨à®¢ ­® á £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬:

u(p)M(p)u(p) = 0 ¯à¨ p2 = m2

(8.104)

á«¥¤ãî騬 ¨§ (8.90).

¯à¨­æ¨¯¥, ­ «®£¨ç­ë¬ ᯮᮡ®¬ (å®âï ¨ ­¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª¨¬) ¬®¦­® ãáâà ­¨âì à á室¨¬®á⨠¨ ¨§ ¯®«ïਧ 樮­­®£® ®¯¥à â®à ¨á.8-16( ) [1, 2]. §¤¥áì âॡã¥âáï ¯à®¨§¢¥á⨠¤¢ ¢ëç¨â ­¨ï:

2	2		2	0(0)
P(k	) = P(k	) ; P(0) ; k P			(8.105)

£¤¥ ç¥à¥§ P ®¡®§­ 祭 䥩­¬ ­®¢áª¨© ¨­â¥£à «, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 à áᬠâਢ ¥¬®©
¤¨ £à ¬¬¥. 祢¨¤­®, çâ® (8.105) 㤮¢«¥â¢®àï¥â à áᬮâ७­ë¬ ¢ëè¥ ä¨§¨ç¥áª¨¬
ãá«®¢¨ï¬ (8.73) ¨ (8.77).
	á«¥¤ãî饬 ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¯®¯à ¢ª ª ¢¥à設­®¬ã ®¯¥à â®àã
(2)		®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤¨ £à ¬¬ ¬¨, ¯®ª § ­­ë¬¨ ­ ¨á.7-17(¢-¨). § ­¨å ª®¬¯ ªâ-

­л¬¨ п¢«повбп в®«мª® ¯®ª § ­­л¥ ­ ¨б.7-17(£-¥), ¨ ®­¨ ¬®£гв ¡лвм ¢лз¨б«¥­л

194

¨á. 8-17

¢ ª®­¥з­®¬ ¢¨¤¥ ®¯пвм б ¯®¬®ймо ®¤­®£® ¢лз¨в ­¨п (8.101). ®¤¥а¦ й¨¥бп ¦¥ ¢ ­¥ª®¬¯ ªв­ле ¤¨ £а ¬¬ е ¢­гва¥­­¨¥ б®¡бв¢¥­­® - н­¥а£¥в¨з¥бª¨¥ ¨ ¢¥аи¨­­л¥ з бв¨ ¡®«¥¥ ­¨§ª®£® ¯®ап¤ª ба §г § ¬¥­повбп г¦¥ ¨§¢¥бв­л¬¨ (¯¥а¥­®а¬¨а®¢ ­-

­ë¬¨) ¢¥«¨ç¨­ ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪		(1);		(1)
	P		M	(1); , ¯®á«¥ 祣® ¨­â¥£à «ë ®¯ïâì
					(2)	¨ P	(2)	§ -
â ª¨ ¤¥« îâáï ª®­¥ç­ë¬¨ á ¯®¬®éìî ¢ëç¨â ­¨ï (8.101). ®¯à ¢ª¨ M
в¥¬ ¢лз¨б«повбп ¨§ ⮦¤¥бв¢ ®а¤	(8.103)			¨ ¨§ (8.105). ¯¨á ­­ ï á¨á⥬ â¨ç¥-

áª ï ¯à®æ¥¤ãà ¤ ¥â, ¢ ¯à¨­æ¨¯¥, ᯮᮡ ¯®«ã祭¨ï ª®­¥ç­ëå ¢ëà ¦¥­¨© ¤«ï P; M ¨ ¢ «î¡®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© [1, 2]. ¥¬ á ¬ë¬ áâ ­®¢¨âáï ¢®§¬®¦­ë¬ ¨ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¬¯«¨â㤠䨧¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ à áá¥ï­¨ï, ¢ ª®â®àë¥ ¡«®ª¨ P; M ¨¢å®¤ïâ ª ª á®áâ ¢­ë¥ ç áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ãáâ ­®¢«¥­­ë¥ ¢ëè¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ ãá«®¢¨ï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨ ®ª §ë¢ îâáï ¤®áâ â®ç­ë¬¨ ¤«ï ãáâà ­¥­¨ï à á室¨¬®- á⥩ ¨§ ¢á¥å ¨­â¥£à «®¢ ¥©­¬ ­ . í⮬ ¨ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢¥áì¬ ­¥âਢ¨ «ì­®¥ ᢮©á⢮ ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®á⨠ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¨. ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¥é¥ ¢¥à­¥¬áï ª ®¡é¥¬ã ®¡á㦤¥­¨î ¯®­ïâ¨ï ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®á⨠¨ ¥£® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨î ¢ ¤àã£¨å ¬®¤¥«ïå ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï.

ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä®â®­­®£® ¯à®- ¯ £ â®à ¯à¨ ¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìá å.

áᬮâਬ ¢ ¦­ë©, á ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­®© â®çª¨ §à¥­¨ï, ¢®¯à®á ®¡ ᨬ¯â®â¨ª¥ ä®- â®­­®£® ¯à®¯ £ â®à ¢ ®¡« á⨠¡®«ìè¨å ¨¬¯ã«ìᮢ jk2j m2. ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥- ­¨¨ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¯®«ïਧ 樮­­ë© ®¯¥à â®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à®á⮩ ¯¥â«¥¢®© ¤¨ £à ¬¬®©, ¯®ª § ­­®© ­ ¨á.8-17. ਠ¯àאַ¬ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ®­ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 䥩- ­¬ ­®¢áª¨¬ ¨­â¥£à «®¬ ¢¨¤ :

i		Z	d4p
	P (k) = ;e2			SpG(p) G(p ; k)	(8.106)
4			(2 )4

¤­ ª® íâ®â ¨­â¥£à «, ¢§ïâë© ¯® ¢á¥¬ã ç¥âëà¥å¬¥à­®¬ã p-¯à®áâà ­áâ¢ã, à áå®- ¤¨âáï (ª¢ ¤à â¨ç­®, ᮣ« á­® ¯à®á⮬㠯®¤áç¥âã á⥯¥­¥© ¯à¥¤ë¤ã饣® à §¤¥« ,

195

­ á ¬®¬ ¤¥«¥ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨ ¨§-§ \áªàë⮩" «£¥¡àë ¯®¤¨­â¥£à «ì­®£® ¢ë- à ¦¥­¨ï). ⨠¡¥áª®­¥ç­®á⨠­ã¦­® ãáâà ­¨âì ¯® à¥æ¥¯â ¬ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨, ®¡áã- ¦¤ ¢è¨¬áï ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥« å. àï¬ë¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¢®§¬®¦­ë, ­® ¢¥áì¬ £à®-

¬®§¤ª¨ [2]. áᬮâ७¨¥ ᨫ쭮 ã¯à®é ¥âáï ¢			ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥ jk2j m2,
ª®â®àë© ­ ¬ ⮫쪮 ¨ ¨­â¥à¥á¥­. ª ¬ë 㢨¤¨¬ çãâì ­¨¦¥, ¢ í⮬ ¯à¥¤¥«¥ ­¥-
âà㤭® ¯®«ãç¨âì, çâ® ¯®á«¥ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨ (8.106), ᢮¤¨âáï ª:
	e2		k 2
P(k2) =		k2 ln jmj2		(8.107)
	3

® áã⨠¤¥« íâ® ¥áâì ¯®¯à ¢ª ¯¥à¢®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ª ¯à®¯ £ â®àã 4 D;1 = k2 ¨

	¥© ¬®¦­® ¯®«ì§®¢ âìáï ¯®ª ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥:
		e2	ln jk2j		1	(8.108)
	3
			m2

çâ® ®£à ­¨ç¨¢ ¥â ®¡« áâì ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠ᮠáâ®à®­ë ¨­â¥à¥áãîé¨å ­ á ¡®«ìè¨å

	jkj2. ¤¥©á⢨⥫쭮áâ¨, ¢ëà ¦¥­¨¥ (8.107) ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¯à¨ £®à §¤®
	¡®«¥¥ á« ¡®¬ ãá«®¢¨¨:	e2	ln jk2j . 1
				(8.109)
	3
			m2

奬 ¤®ª § ⥫ìá⢠í⮣® ã⢥ত¥­¨ï, ¯® 室㠪®â®à®£® ¬ë § ®¤­® ¯®«ã稬 ¨ á ¬ १ã«ìâ â (8.107), á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬 [1]. ०¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® å®âï ¯à¨ ãá«®¢¨¨ (8.109) ¢ P(k2) ¬®£ãâ ¢®§­¨ª âì ¢ª« ¤ë ®â ç«¥­®¢ ¢á¥å ¯®à浪®¢ ⥮ਨ

¢®§¬ã饭¨©, ¢ n-¬ ¯®à浪¥ ¤®áâ â®ç­® ãç¨âë¢ âì ⮫쪮 ç«¥­ë (e2)n lnn jmkj22 ,

ᮤ¥à¦ 騥 ¡®«ì让 «®£ à¨ä¬ ¢ ¨­â¥à¥áãî饬 ­ á ¯à¥¤¥«¥ jk2j m2. ਠí⮬ «®£ à¨ä¬ ¤®«¦¥­ ¢å®¤¨âì ¨¬¥­­® ¢ ⮩ ¦¥ á⥯¥­¨, çâ® ¨ e2, ¯®áª®«ìªã ç«¥­ë á

¡®«¥¥ ­¨§ª¨¬¨ á⥯¥­ï¬¨ «®£ à¨ä¬ § ¢¥¤®¬® ¬ «ë ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­áâ¢					e2 1.
â® ­ §ë¢ î⠯ਡ«¨¦¥­¨¥¬ £« ¢­ëå «®£ à¨ä¬®¢.
áᬮâਬ ⥯¥àì ãà ¢­¥­¨¥ ©á®­ ¤«ï ¯®«ïਧ 樮­­®£® ®¯¥à â®à					(7.77):
P(k2) =	4 ie2	Sp Z	d4p
				G(p + k); (p + k; p; k)G(p)	(8.110)
	3		(2 )4

®áª®«ìªã, ª ª ¡ë«® ¯®ª § ­® ¢ëè¥, äã­ªæ¨ï P(k2) ª «¨¡à®¢®ç­® ¨­¢ ਠ­â­ , â® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¥¥ ¨§ ¤¨ £à ¬¬ ¥©­¬ ­ ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì «î¡ãî ª «¨¡à®¢ªã ¤«ï ¯à®¯ £ â®à®¢ ¨ ¢¥à設. ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ­ ¨¡®«¥¥ 㤮¡­®© ®ª §ë¢ ¥âáï ª «¨- ¡à®¢ª ­¤ ã, ¢ ª®â®à®© ¯à®¯ £ â®à ä®â®­®¢ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (Dl = 0):

D (k) =	4	g ;	k		(8.111)
	k2		k2

¥â «ì­ë© ­ «¨§ ¯®¯à ¢®ç­ëå ¤¨ £à ¬¬ ¤«ï (8.106), ª®â®àë© ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [1], ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢ â ª®© ª «¨¡à®¢ª¥ àï¤ë ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¢®®¡é¥ ­¥ ᮤ¥à¦ â ç«¥­®¢ á ­ã¦­ë¬¨ á⥯¥­ï¬¨ «®£ à¨ä¬ .

®í⮬㠢 (8.110) ¤®áâ â®ç­® ¯®¤áâ ¢¨âì ­ã«¥¢ë¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï G = G ¨ ; = .®£¤ (8.110) ᢮¤¨âáï ª ¨­â¥£à «ã:

P(k2) =	4 ie2	Sp Z	d4p	G(p + k) G(p)	(8.112)
	3		(2 )4

196

â ª®¬ã ¦¥ ª ª ¢ (8.106). à®á«¥¤¨¬, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, §

¯à®¨á宦¤¥­¨¥¬ «®£ à¨ä¬

¢ í⮬ ¨­â¥£à «¥. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨© ¢ª« ¤ ¢®§­¨ª ¥â ®â ®¡« áâ¨

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï:

p2 jk2j

¯à¨

jk2j m2

(8.113)

¥©á⢨⥫쭮, ¢ í⮬ ¯à¥¤¥«¥ ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì8:

G(p)

1

=

p

(8.114)

p

p2

1

1

1

1

1

1

1

G(p ; k)

+

k

+

k

k

+ :::

p ; k

p

p

p

p

p

p

=

p

+

( p )( k )( p )

+

( p )( k )( p )( k )( p )

+ :::

p2

(p2)2

(p2)3

(8.115)

ਠ¯®¤áâ ­®¢ª¥ íâ¨å ¢ëà ¦¥­¨© ¢ (8.112) ¯¥à¢ë© ç«¥­, ­¥ § ¢¨áï騩 ®â k, ¢ë- ¯ ¤ ¥â ¢ १ã«ìâ ⥠¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ãá«®¢¨¥¬ P(0) = 0 (¯¥à¢®¥ ¢ëç¨â ­¨¥ ¢ (8.105)). â®à®© ç«¥­ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì ¯à¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¯® ­ - ¯à ¢«¥­¨ï¬ p. à¥â¨© ¦¥ ¨­â¥£à « «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨ à á室¨âáï ¯® p2, ¥£® «¥£ª® ®æ¥­¨âì ¯à®¢®¤ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ ¯à¥¤¥« å ®â p2 jk2j (­¨¦­¨© ¯à¥¤¥« ®¡« á⨠(8.113)) ¤® ­¥ª®â®à®£® \¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ­¨ï" 2:

4

p

4

2

4

2

1

2

p

p

Z d4pp8

Z

dpp3 p8

Zjk2j

dp2p2 p8

Zjk2j

dp2

ln

(8.116)

p2

jk2j

¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬:

e2

2

P(k2) = ;

k2 ln

(8.117)

3

jk2j

® íâ® ¥é¥ ­¥ ¢á¥, ¤«ï ®ª®­ç ⥫쭮£® ãáâà ­¥­¨ï à á室¨¬®á⨠(

! 1

) ­ã¦­®

¥é¥ ¢ëç¥áâì ¨§

(k

2

)=k

2

¥£® §­ 祭¨¥ ¯à¨ k

2

P

= 0 (¢â®à®¥ ¢ëç¨â ­¨¥ ¢ (8.105)). ®

k

2

2

¯®áª®«ìªã «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï â®ç­®áâì ­ è¨å ¢ëç¨á«¥­¨© ¯à¥¤¯®« £ ¥â

m ,

â® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ á í⮩ â®ç­®áâìî ¢ëç¥áâì ­ã¦­® §­ 祭¨¥ (8.117) ¯à¨j k2j m2,

¢ १ã«ìâ ⥠祣®

2

¢

à£ã¬¥­â¥ «®£ à¨ä¬

§ ¬¥­ï¥âáï ­

m

2

j

j

, ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¨á-

ª®¬ë© १ã«ìâ â (8.107). ¯®áª®«ìªã ¢ ª «¨¡à®¢ª¥ ­¤ ã ­¥ ¢®§­¨ª ¥â ¯®¯à ¢®ª ª G ¨ ; á \­ã¦­ë¬¨" á⥯¥­ï¬¨ «®£ à¨ä¬ , â® ¢ëà ¦¥­¨¥ (8.107) ¤¥©á⢨⥫쭮 á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ (8.109).

ã­ªæ¨ï	D(k2), ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯®«ïਧ 樮­­®¬ã ®¯¥à â®àã (8.107), ¨¬¥¥â
¢¨¤:		4		1
	D(k2) =								(8.118)
		k2 1			e2		ln	jk22j
				; 3
								m

ᨫã (8.109) íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¬®¦­® ­¥ à §« £ âì ¯® á⥯¥­ï¬ e2. ¤­ ª® ¯à¨- ¬¥­¨¬®áâì (8.118) ®£à ­¨ç¥­ á® áâ®à®­ë ¡®«ìè¨å jk2j ¢ á¢ï§¨ á 㬥­ì襭¨¥¬ ¥¥ §­ ¬¥­ ⥫ï. 뢮¤ (8.118) ®á­®¢ ­ ­ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¨ ¯à¥- ­¥¡à¥¦¥­¨¨ ¡¥áª®­¥ç­ë¬¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâﬨ ¤¨ £à ¬¬ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢, ­¥

8 ­ ª¨ §¤¥бм ®¯а¥¤¥«повбп б¢®©бв¢ ¬¨ -¬ ва¨ж.

								197
ᮤ¥à¦ é¨å ¤®¬¨­¨àãîé¨å «®£ à¨ä¬®¢. ®£« á­® (8.118) ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ª ¦¤®© ­®-
¢®© ¦¨à­®© ä®â®­­®© «¨­¨¨ ¯à¨¢­®á¨â ¢ ¤¨ £à ¬¬ã ¬­®¦¨â¥«ì e2							D	, à®«ì ¬ «®£®
¯ à ¬¥âà ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¢¬¥áâ® e2 ¨£à ¥â ¢¥«¨ç¨­ :
			e2
						1		(8.119)
1			e2	ln	jk22j
		; 3
					m

ᮢ¯ ¤ îé ï á ®¡á㦤 ¢è¥©áï ¢ëè¥ \¡¥£ã饩" ª®­á⠭⮩ á¢ï§¨ (8.60). ®£¤ , ¯® ¬¥à¥ ¢®§à áâ ­¨ï jk2j, íâ ¢¥«¨ç¨­ ¯® ¯®à浪ã áà ¢­¨¢ ¥âáï á ¥¤¨­¨æ¥©, ¨§ ⥮ਨ, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¢®®¡é¥ ¨á祧 ¥â ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà ¨ ⥮à¨ï ¢®§¬ã饭¨© áâ ­®¢¨âáï ­¥¯à¨¬¥­¨¬®©.

¢ï§ì ¬¥¦¤ã \§ âà ¢®ç­ë¬" ¨ ¨á⨭­ë¬ § à冷¬.

¨âã æ¨î á (8.118), (8.119) ¬®¦­® ¯®­ïâì ¡®«¥¥ ïá­®, ¥á«¨ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ (8.118) ¤¥« âì ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã ­¥ \­ 室ã", ¯ã⥬ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®£® ¢¢¥¤¥­¨ï \§ âà ¢®ç­®£®" ¨«¨ \£®«®£®" § àï¤ e0, ª®â®àë© ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¯®¤¡¨à ¥âáï â ª, çâ®¡ë ¯à¨¢¥á⨠ª ¯à ¢¨«ì­®¬ã ­ ¡«î¤ ¥¬®¬ã §­ 祭¨î § àï¤ e (¨«¨ eR, ¢ ®¡®§­ 祭¨ïå, ¨á¯®«ì- §®¢ ¢è¨åáï ¢ëè¥). ᫨ à á室ï騩áï «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨© ¨­â¥£à « ®¡à¥§ ¥âáï ­ ¢á¯®¬®£ ⥫쭮¬ 2 (¢ëè¥ ¬ë â ª¦¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¤«ï ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ­¨ï ®¡®- §­ 祭¨¥ M2), â® § âà ¢®ç­ë© § àï¤ ¬®¦­® áç¨â âì ¥£® ä㭪樥©: e0 = e0( 2), ¢ § ª«î祭¨¥ ­ã¦­® ¯¥à¥å®¤¨âì ª ¯à¥¤¥«ã ! 1. ਠ⠪®¬ ¯®¤å®¤¥ ¯®«ïਧ æ¨- ®­­ë© ®¯¥à â®à ¨¬¥¥â ¢¨¤ (8.117):

e2

2

P(k

2

) = ;

0

k

2

ln

3

jk2j

®®â¢¥âá⢥­­® ¯®«ã稬:

D

(k2) =

4

1

2

2

2

k

1 +

e0

ln

2

j

3

jk

¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì 䨧¨ç¥áª¨© § àï¤ e ᮣ« á­®:

e02D(k2) !

4 e2

¯à¨

k2 ! m2

k2

(8.120)

(8.121)

(8.122)

â.¥. ­ à ááâ®ï­¨ïå ¯®à浪 m;1 (â.¥. ª®¬¯â®­®¢áª®© ¤«¨­ë ¢®«­ë í«¥ªâà®­ ~=mc, ®¯à¥¤¥«ïî饩 ¥£® íä䥪⨢­ë© à ¤¨ãá ¢ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ). ®£¤ ¯®«ã稬:

e2

e2 = e20 (8.123) 1 + 0 ln 2

3 m2

çâ® ä ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á (8.59) ¯à¨ ¢ë¡®à¥ â®çª¨ ­®à¬¨à®¢ª¨ 2 = m2. âáî¤

e2

e0 = e2 2 (8.124) 1 ; 3 ln m2

198

᫨ ⥯¥àì ä®à¬ «ì­® ¯¥à¥©â¨ ¢ (8.123) ª ¯à¥¤¥«ã â®ç¥ç­®£® § àï¤

! 1

, â®

e ! 0, ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¢¨¤

2

ä㭪樨 e0( ). â á¨âã æ¨ï ¨ ­ §ë¢ ¥âáï \¬®áª®¢áª¨¬

­ã«¥¬". ­ ¢¯¥à¢ë¥ ¡ë«

®â¬¥ç¥­

¢ à ¡®â å ­¤ ã { ®¬¥à ­çãª

¨ à ¤ª¨­

¢ á¥à¥¤¨­¥ 50-å £®¤®¢. ® ¬­¥­¨î ­¤ ã [30] â ª ï á¨âã æ¨ï ®§­ ç « ¡ë ­¥¢®§-

¬®¦­®áâì áâண®£® ¯à®¢¥¤¥­¨ï ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨ ¨ ¢­ãâ७­îî ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì

(¨, ª ª ⮣¤

áç¨â «®áì, «î¡®© ¤à㣮© ¬®¤¥«¨ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï).

ਢ¥¤¥¬ à£ã¬¥­â æ¨î ­¤ ã ¨ ®¬¥à ­ç㪠, á ¯®¬®éìî ª®â®à®© ®­¨ ®¡®á­®¢ë¢ «¨ ᢮¨

¢ë¢®¤ë. ãáâì ®â­®è¥­¨¥

2

­ á⮫쪮 ¢¥«¨ª®, çâ®

2

jk j

e02

2

3

ln

jk2j

1

(8.125)

­®, ¢ ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¥é¥ e0 1. ®£¤

¢ (8.121) ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¥¤¨­¨æ¥© ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥, â ª çâ®

D(k2) =

12 2

(8.126)

k2e2 ln

2

2

0

jk j

¨, ᮮ⢥âá⢥­­®, ¨§ (8.122) ¨¬¥¥¬:

e2 =

3

(8.127)

ln

2

2

m

çâ® ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢¥«¨ç¨­ë § âà ¢®ç­®£® § àï¤

e0. ¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì ¬ë ¥é¥ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®

¯®¤¥«¨«¨ (8.127) ­

¯ à ¬¥âà

{ ç¨á«® ⨯®¢ äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ä¥à¬¨®­®¢, ¤ îé¨å ¢ª« ¤ ¢

¯®«ïਧ æ¨î ¢ ªãã¬

(ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬ ¢ª« ¤ë ¢ ¯®«ïਧ 樮­­ë¥ ¯¥â«¨ ¯à®á⮠᪫ ¤ë¢ -

îâáï!).

¢¥¤¥¬ ⥯¥àì ¢¬¥áâ® ®¯¥à â®à

4-¯®â¥­æ¨ «

í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï A , 4-¢¥ªâ®à

=

e0A . ⮣¤ £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï HI ­¥ ¡ã¤¥â ᮤ¥à¦ âì § âà ¢®ç­®£® § àï¤

e0,A

£ -

¬¨«ìâ®­¨ ­ ᢮¡®¤­®£® í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï H0 (ª¢ ¤à â¨ç­ë© ¯® A ) ¡ã¤¥â ᮤ¥à¦ âì e02 ¢

§­ ¬¥­ ⥫¥. ã­ªæ¨ï ¦¥ ~(k2), ®¯à¥¤¥«¥­­ ï á ¯®¬®éìî

A

â ª¦¥, ª ª

D

(k2) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á

¯®¬®éìî A , ¡ã¤¥â à ¢­ : D

~

2

2

2

12 2

D(k

) = e0D(k

) = k2 ln

2

(8.128)

2

jk j

â® ¢ëà ¦¥­¨¥ ­¥ ᮤ¥à¦¨â e0,

íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ®­® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¥­¥¡à¥¦¥­¨î ¢ £ ¬¨«ì-

â®­¨ ­¥ H = H0 + HI § ¢¨áï騬 ®â e0 ç«¥­®¬ H0. ® ¥á«¨ ¯à¥­¥¡à¥¦¥­¨¥ H0 ¯® áà ¢­¥­¨î á

HI ¢®§¬®¦­® (¯à¨ ¡®«ìè¨å ) 㦥 ¯à¨ e2

1, â® ¥áâ¥á⢥­­® ¤ã¬ âì, çâ® ®­® ⥬ ¡®«¥¥ § ª®­­®

2

0

¯à¨ ­¥ ¬ «ëå e0. ª¨¬ ®¡à §®¬ (8.126),

á ­¥© ¨ (8.127) ¯¥à¥áâ îâ ¡ëâì á¢ï§ ­­ë¬¨ á ãá«®¢¨¥¬

e02 1 ¨ ¯¥à¥å®¤ ª ¯à¥¤¥«ã

! 1 áâ ­®¢¨âáï ¢®§¬®¦­ë¬. ਠí⮬ e2

! 0 ¢­¥ § ¢¨á¨¬®á⨠®â

¢¨¤ ä㭪樨 e0( ).

à ¬¥âà ®¡à¥§ ­¨ï , ¯à¨ ª®â®à®¬ ¢ë¯®«­ï¥âáï ᮮ⭮襭¨¥ (8.127), ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥ ®ç¥­ì

¢¥«¨ª. ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å (ªà ©­¥ ¬ «ëå!) à ááâ®ï­¨ïå íä䥪âë £à ¢¨â 樮­­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©-

áâ¢¨ï ¬®£ã⠯ॢëè âì í«¥ªâ஬ £­¨â­ë¥. ¥áì¬

ᮡ« §­¨â¥«ì­ ¨¤¥ï, çâ® \ªà¨§¨á" í«¥ªâத¨-

­ ¬¨ª¨ ¯à®¨á室¨â ¨¬¥­­® ­

â¥å à ááâ®ï­¨ïå (í­¥à£¨ïå), ª®£¤ £à ¢¨â 樮­­®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥

áà ¢­¨¢ ¥âáï á í«¥ªâ஬ £­¨â­ë¬. 롨à ï ¨¬¯ã«ìá ®¡à¥§ ­¨ï ¯®à浪

®¡à â­®© ¯« ­ª®¢áª®©

¤«¨­ë, ¨¬¥¥¬:

GN 2

1

(8.129)

£¤¥ GN { ­ìîâ®­®¢áª ï £à ¢¨â 樮­­ ï ¯®áâ®ï­­ ï. ਠ⠪®© â®çª¥ §à¥­¨ï ¢¥«¨ç¨­

䨧¨ç¥-

᪮£® § àï¤ e ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ®¯à¥¤¥«ï« áì ¡ë ¨§ ⥮ਨ ¯® ä®à¬ã« ¬ (8.127) ¨ (8.129), çâ® ¤ ¥â

12. ᫨ < 12, £à ¢¨â 樮­­ë¥ íä䥪âë ­ áâã¯ïâ §­ ç¨â¥«ì­® à ­ìè¥, 祬 íä䥪⨢- ­ë© § àï¤ áâ ­¥â ¯®à浪 ¥¤¨­¨æë. ¯à®â¨¢, ¯à¨ > 12 £à ¢¨â 樮­­ë¥ íä䥪âë ­¥ \ᯠáãâ" í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¨, â ª ª ª ®­¨ ­ áâã¯ïâ ᫨誮¬ \¯®§¤­®". ­ïâ­®, ç⮠ᮣ« á­® ᮢ६¥­­ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï¬ ® ¬¨à¥ í«¥¬¥­â à­ëå ç áâ¨æ, ¨§«®¦¥­­ë¬ ¢ « ¢¥ 1, ¢ à¨à®¤¥ áãé¥áâ¢ã¥â ª ª à § 12 äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ä¥à¬¨®­®¢!

㦭®, ¢¯à®ç¥¬, ¯®¤ç¥àª­ãâì, çâ®, ᮣ« á­® ¬­¥­¨î ¡®«ì設á⢠¤àã£¨å ¨áá«¥- ¤®¢ ⥫¥© ¯¥à¥å®¤ ª ¯à¥¤¥«ã ! 1 ¢ ¢ëà ¦¥­¨ïå ⨯ (8.123) ¨ (8.124) ¢ë¯®«­ïâì ­¥«ì§ï, ­¥ ­ àã訢 ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨©, ᤥ« ­­ëå ¯à¨ ¨å ¢ë¢®¤¥. § (8.124) ¢¨¤­®, çâ®

¯® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥­¨ï (¯à¨ § ¤ ­­®¬ §­ 祭¨¨ e2) ¢¥«¨ç¨­ e02 à áâ¥â, ¨ 㦥 ¯à¨
e2	1 í⨠ä®à¬ã«ë â¥àïîâ á¢®î ¯à¨¬¥­¨¬®áâì, ¯®áª®«ìªã ¨å ¢ë¢®¤ ¡ë« ®á­®-
0	2
¢ ­ ­	¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨ e0 1, ª ª ãá«®¢¨¨ ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ª

§ âà ¢®ç­®¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨î.

199

¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ª ¢á¥ í⨠âà㤭®á⨠¨¬¥îâ ¤®¢®«ì­® \ ª ¤¥- ¬¨ç¥áª®¥" §­ 祭¨¥, ¯®áª®«ìªã ®­¨ ¢®§­¨ª îâ ¯à¨ ä ­â áâ¨ç¥áª¨å í­¥à£¨ïå, ­¥

		e	2		2
¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ­¨ª ª®£® ॠ«ì­®£® ¨­â¥à¥á : à ¢¥­á⢮				ln	E	= 1 ¤®áâ¨-
					2
					m
£ ¥âáï ¯à¨ E	1093m, çâ® ª®­¥ç­® ¦¥, á¢ï§ ­® á ¬ «®© ¢¥«¨ç¨­®© e2 =						1	.

137

¥áà ¢­¥­­® à ­ìè¥, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¤ «¥¥, í«¥ªâ஬ £­¨â­ë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï

\§ ¯ãâë¢ îâáï" á® á« ¡ë¬¨ ¨ ᨫì­ë¬¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ﬨ ¨ \ç¨áâ ï" í«¥ªâத¨- ­ ¬¨ª â¥àï¥â á¬ëá«. ë ¥é¥ ¢¥à­¥¬áï ª ®¡á㦤¥­¨î ¯à®¡«¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮£®

®¯¨á ­¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ ª®­æ¥ ­ 襣® ªãàá .

«ï «ãç襣® ¯®­¨¬ ­¨ï ®¡á㦤 ¥¬ëå ¯à®¡«¥¬ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥é¥ ¯à®áâë¥ ª ç¥á⢥­­ë¥ à ááã- ¦¤¥­¨ï ¢ ª®®à¤¨­ â­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ [34]. \ª®®à¤¨­ â­®¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î" ¢ à áᬠâਢ ¥¬ëå

ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨åä®à¬ã« å ¬®¦­® ¯¥à¥©â¨ á ¯®¬®éìî ®ç¥¢¨¤­®© (¨§ á®®¡à ¦¥­¨© à §¬¥à­®- áâ¨) § ¬¥­ë: m ! r;1 ¨ ! r0;1, £¤¥ r { å à ªâ¥à­®¥ à ááâ®ï­¨¥ í«¥ªâà®­ ®â 業âà í«¥ªâà®­ (¥£® ¬®¦­® ¢§ïâì ¯®à浪 ¥£® ª®¬¯â®­®¢áª®© ¤«¨­ë ¢®«­ë), r0 { ­¥ª®â®à ï äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï

¤«¨­ , å à ªâ¥à¨§ãîé ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© à §¬¥à § âà ¢®ç­®£® § àï¤ , ª®â®àë© ¬®¦­® ¯à¥¤áâ - ¢«ïâì ᥡ¥ ¢ ¢¨¤¥ è ਪ á à ¤¨ãᮬ r0. ®£¤ ¢ëà ¦¥­¨¥ (8.123) ¬®¦­® § ¯¨á âì â ª:

e2(r) =

e2

(r0)

(8.130)

2e2

(r20)

r

1 +

ln

r0

3

ãáâì ¢¥«¨ç¨­

§ âà ¢®ç­®£® § àï¤ e2(r0) 䨪á¨à®¢ ­ . ë å®â¨¬ ¯¥à¥©â¨ ª â®ç¥ç­®¬ã § âà -

¢®ç­®¬ã § àï¤ã ¨ ­ 稭 ¥¬ 㬥­ìè âì r0, á®åà ­ïï e02

(r0) ­¥¨§¬¥­­ë¬. ®£¤ , à ­® ¨«¨ ¯®§¤­®,

¯®«ã稬

2e2(r0)

ln

r

1 ¨ §­ ¬¥­ ⥫¥ (8.130) ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¥¤¨­¨æ¥©. ®®â¢¥âá⢥­­®:

3 2

r0

e2(r) =

1

(8.131)

2

ln

r

2

r0

3

® ⥯¥àì, ¯à¨ ¤ «ì­¥©è¥¬ 㬥­ì襭¨¨ r0 ¯®«ãç ¥¬ e2(r)

!

0 ¯à¨ r0

!

0. â® ¨ ¥áâì \¬®áª®¢-

᪨© ­ã«ì". ª ¯¨á «¨ ­¤ ã ¨ ®¬¥à ­çãª

9

: \ ë ¯à¨å®¤¨¬ ª äã­¤ ¬¥­â «ì­®¬ã ¢ë¢®¤ã,

çâ® ¨§ ä®à¬ «ì­®© ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¨, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, á«¥¤ã¥â à ¢¥­á⢮ ­ã«î § àï¤

í«¥ªâà®­ . £®¢®àª	\¯®-¢¨¤¨¬®¬ã" ®â­®á¨âáï ª ­¥ª®â®à®© ­¥áâண®á⨠¨§«®¦¥­­®© ¢ëè¥ à£ã-
¬¥­â 樨". ¨§¨ª	¤¥« á®á⮨⠧¤¥áì ¢ ⮬, çâ® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨, ¯®«ïਧ æ¨ï
¢ ªã㬠(§ áç¥â ஦¤¥­¨ï ¢¨àâã «ì­ëå í«¥ªâà®­ { ¯®§¨âà®­­ëå ¯ à) ®ª §ë¢ ¥âáï ­ ¬ «ëå

à ááâ®ï­¨ïå á⮫ì ᨫ쭮©, çâ® ­ ­¥ª®â®à®¬ à ááâ®ï­¨¨ ®áâ â®ç­ë© § àï¤ ã¦¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¯¥à¢®­ ç «ì­®£® (§ âà ¢®ç­®£®). ¯à¥¤¥«¥ ¦¥ â®ç¥ç­®£® § âà ¢®ç­®£® § àï¤ ®â ­¥£® ­¨ç¥£® ­¥ ®áâ ¥âáï ­ «î¡®¬ ª®­¥ç­®¬ à ááâ®ï­¨¨ { ¯à®¨á室¨â ¯®«­ ï íªà ­¨à®¢ª . ¬¥â¨¬, çâ® íâ 䨧¨ª ¢¯®«­¥ ¯à®§à ç­ , ¥­¨¥ íªà ­¨à®¢ª¨ å®à®è® ¨§¢¥áâ­® ¢ 䨧¨ª¥ ¯« §¬ë ¨ ⢥म£® ⥫ [35], ®­® ¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï ᮢ¥à襭­® ­ «®£¨ç­ë¬¨ à áç¥â ¬¨ ¯®«ïਧ 樮­­®£® ®¯¥à â®à ¢ ¬­®£®ç áâ¨ç­®© á¨á⥬¥ [13]. ª ¦¥ ⮣¤ ¯®­¨¬ âì ¯à ªâ¨ç¥áª¨¥ ãá¯¥å¨ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨-

­¬¨ª¨?

¯¨è¥¬ (8.130) ¢ ¢¨¤¥, à §à¥è¥­­®¬ ®â­®á¨â¥«ì­® e2(r0) ¨ ¯®«®¦¨¬ r = e = m;1 (ª®¬¯â®- ­®¢áª®© ¤«¨­¥ í«¥ªâà®­ ):

e2(r0) =		e2( e)						(8.132)
		2e	2	( e)		e
1 ;
		3 2			ln r0
¤¥áì e2 ( e) á«¥¤ã¥â ¯®­¨¬ âì ª ª \䨧¨ç¥áª¨©" § àï¤ í«¥ªâà®­ , â.¥. â®â, ª®â®àë© ¯à®ï¢«ï¥âáï

­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå (¯®à浪 e) ¢­¥ íä䥪⨢­®© ®¡« á⨠¯®«ïਧ 樨 ¢ ªã㬠(íªà ­¨- ஢ª¨). ®£¤ ¬ë \¢å®¤¨¬" ¢­ãâàì í⮩ ®¡« á⨠(r0 < e), â® § àï¤ ã¢¥«¨ç¨¢ ¥âáï { íªà ­¨à®¢ª ®á« ¡¥¢ ¥â, ª®£¤ ¬ë ¢å®¤¨¬ ¢­ãâàì \èã¡ë" ¨§ í«¥ªâà®­ { ¯®§¨âà®­­ëå ¯ à10. ¤­ ª® ¤®áâ¨çì ¯à¥¤¥«ì­® ¡®«ìè¨å §­ 祭¨© í⮣® § àï¤ ¬ë ­¥ ¬®¦¥¬ ¨§-§ «®¦­®£® ¯®«îá , ¢¡«¨§¨ ª®â®à®£®

ä®à¬ã« (8.132) ¯à®áâ® â¥àï¥â á¬ëá«. à ªâ¨ç¥áª¨ íâ® ­¥		ªâã «ì­®, â ª ª ª à¥çì ¨¤¥â ®¡ ®¡« -
á⨠r0 e exp[;(137)(3 2)=2]. ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯à¨£®¤­		¨¬¥­­® ¯®â®¬ã, çâ® ¬ë ¯®«ì§ã¥¬áï ­¥
â®ç­ë¬¨ à¥è¥­¨ï¬¨ á â®ç¥ç­ë¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬, ®áâ ¢«ïï ®âªàëâë¬ ¢®¯à®á ® ⮬, çâ® ¤¥« ¥âáï
­	¬ «ëå à ááâ®ï­¨ïå, £¤¥ ­¥á®¬­¥­­® áãé¥á⢥­­ë ¤à㣨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¨ ªâ® ᪠§ «, çâ®
­	¬ «ëå à ááâ®ï­¨ïå ­¥ à ¡®â ¥â ª ª®©-⮠䨧¨ç¥áª¨© ¬¥å ­¨§¬ ®¡à¥§ ­¨ï à á室¨¬®á⥩ (­ -

¯à¨¬¥à, á¢ï§ ­­ë© á £à ¢¨â 樥© { áà.(8.129)!), ª®â®àë© ­ ¬ ¯®ª ­¥ ¨§¢¥á⥭, ­® ª®â®àë© ¤¥« ¥â

9 102, 489 (1955)

10 ªâ¨ç¥áª¨ íâ® ®§­ ç ¥â, ­ ¯à¨¬¥à, § ¢¨á¨¬®áâì \¯®áâ®ï­­®© â®­ª®© áâàãªâãàë" ®â ¯¥à¥¤ - ¢ ¥¬®£® ¢ ॠªæ¨¨ ¨¬¯ã«ìá . ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì, íâ®â íä䥪â ॠ«ì­® ­ ¡«î¤ ¥âáï!