Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1

40 .

à㯯 U(1).
G F = @ A ; @ A	(2.189)

{ ®¡ëç­ë© ⥭§®à ­ ¯à殮­­®á⥩ ¯®«¥© ¢ í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥.

à㯯 SU(2).

[Ma; Mb] = i"abcMc

(2.190)

Ga = @ Aa ; @ Aa + g"abcAb Ac

(2.191)

çâ® ¢ ¢¥ªâ®à­ëå ®¡®§­ 祭¨ïå ¢ ¨§®¯à®áâà ­á⢥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª

~

~

~

~

~

G = @ A ; @ A

+ gA A

(2.192)

ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¤ ­­ë¬ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ (2.121).

¤¥áì ¬®¦­® á­®¢ ®â¬¥â¨âì ­ «®£¨î á ⥮ਥ© £à ¢¨â 樨. ¥­§®à ¯®«¥© ­£

{ ¨««á , ¢

­¥ª®â®àëå ®â­®è¥­¨ïå, ­ «®£¨ç¥­ ⥭§®à㠪ਢ¨§­ë ¨¬ ­

{ à¨áâ®ä䥫ï [25]:

R = @ ; ; @ ; + ; ; ; ; ;

(2.193)

ਠ¯ à ««¥«ì­®¬ ¯¥à¥­®á¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¢¥ªâ®à

V ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã ¢ ਬ ­®¢®¬ ¯à®-

áâà ­á⢥ à §­®áâì ­ ç «ì­ëå ¨ ª®­¥ç­ëå ª®¬¯®­¥­â ¢¥ªâ®à

à ¢­ :

V

=

1

R

V

S

(2.194)

2

£¤¥ S , ª ª ¨ ¢ëè¥, ®¡®§­ ç ¥â ¯«®é ¤ì ®¡« áâ¨, ®£à ­¨ç¥­­®© ª®­âã஬. ¥«¨ç¨­ V

®â«¨ç­ ®â ­ã«ï ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤

¯à®áâà ­á⢮ ®¡« ¤ ¥â ¢­ãâ७­¥© ªà¨¢¨§­®©.

®¡é¥© ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®á⨠í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­ «¨ç¨î ­¥âਢ¨ «ì­®£® £à ¢¨â 樮­­®£® ¯®«ï.

­ «¨§¨àãï ®¡å®¤ ¯® ª®­âãàã, ®ªà㦠î饬㠯 à ««¥«¥¯¨¯¥¤, ¯®ª § ­­®¬ã ­

¨á.2-4, ¥©­¬ ­ ¤ « ¯à®á⮩ ¢ë¢®¤ á«¥¤ãî饣® ⮦¤¥áâ¢	¤«ï ¯®«ï G :
D G + D G + D G = 0	(2.195)

ª®â®à®¥, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢â®àãî ¯ àã \ãà ¢­¥­¨© ªá¢¥«« " ¤«ï ­ - ¯à殮­­®á⥩ ¯®«ï ­£ { ¨««á (2.130). á«ãç ¥ ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯ë U(1) í⮠⮦¤¥á⢮ ¯à®á⮠᢮¤¨âáï ª:

@ F + @ F + @ F = 0	(2.196)
뢮¤, ª®à®âª® £®¢®àï, ᢮¤¨âáï ª á«¥¤ãî饬ã à áá㦤¥­¨î.	¨á.2-4 ¨§®-

¡à ¦¥­ ¯ãâì ®¡å®¤ ABCDAP SRQP A. ¬¥¥âáï ¥é¥ ¤¢ ¯ã⨠⠪®£® ¦¥ ⨯ , ¢¤®«ì £à ­¨æ ¤¢ãå ¤àã£¨å ¯ à ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ëå £à ­¥© ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , â ª çâ® ¢¤®«ì £à ­¨æ ¢á¥å è¥á⨠£à ­¥© ¯à®å®¤¨â ª®­âãà (ABCDAP SRQP A) + (ADSP ABQRCBA) + (AP QBADCRSDA). â®â ¯ãâì ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ª ¦¤®¥ à¥- ¡à® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ®¤¨­ ª®¢®¥ ç¨á«® à § ¢ ¯àאַ¬ ¨ ®¡à â­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨.®®â¢¥âá⢥­­®, ¯®«¥ ¯à¨ â ª®¬ ®¡å®¤¥ ­¥ ¬¥­ï¥âáï, ®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â ⮦¤¥- á⢮ (2.195).

⥮ਨ £à ¢¨â 樨 áãé¥áâ¢ã¥â ­ «®£¨ç­®¥ ⮦¤¥á⢮ ¨ ­ª¨ ¤«ï ⥭§®à ¨¬ ­	{ à¨-
áâ®ä䥫ï:
D R + D R + D R = 0	(2.197)

.

41

¨á. 2-4

­ «®£¨ï ⥮ਨ ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥© á ⥮ਥ© £à ¢¨â 樨 ¬®¦¥â ¡ëâì ¨§®¡à ¦¥­ á«¥¤ã- î饩 â ¡«¨æ¥©:

¡«¨æ II. ­ «®£¨ï ⥮ਨ ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥© ¨ ⥮ਨ £à ¢¨â 樨.

«¨¡à®¢®ç­ë¥ ⥮ਨ	¡é ï ⥮à¨ï ®â­®á¨â¥«ì­®áâ¨
«¨¡à®¢®ç­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï	८¡à §®¢ ­¨ï ª®®à¤¨­ â
«¨¡à®¢®ç­ ï £à㯯	à㯯 ¢á¥å ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ª®®à¤¨­ â
®â¥­æ¨ « ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï A	®íää¨æ¨¥­âë á¢ï§­®á⨠;
¯à殮­­®áâì ¯®«ï G	¥­§®à ªà¨¢¨§­ë R

â ­ «®£¨ï ¨¬¥¥â ¤ ¦¥ ¡®«¥¥ £«ã¡®ª¨© á¬ëá«. é¥ ­ à ­­¥¬ íâ ¯¥ à §¢¨â¨ï ⥮ਨ ª «¨- ¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥© â¨ï¬ ¯®ª § « (á¬. ¯¥à¥¢®¤ í⮩ ¨­â¥à¥á­®© à ¡®âë ¢ á¡. [28]), çâ® ãà ¢­¥­¨ï ®¡é¥© ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®á⨠©­è⥩­ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥­ë ¯® à¥æ¥¯âã ⥮ਨ ª «¨¡à®¢®ç- ­ëå ¯®«¥© ­£ { ¨««á , ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ª «¨¡à®¢®ç­®© £àã¯¯ë ¢§ïâì £à㯯㠮७æ (¯à¥®¡à - §®¢ ­¨© ª®®à¤¨­ â ¢ á¯¥æ¨ «ì­®© ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®áâ¨) ¨ ¯®âॡ®¢ âì ¨­¢ ਠ­â­®á⨠⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­® ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å «®ª «ì­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© (ª®£¤ ¯ à ¬¥âàë £àã¯¯ë ®à¥­æ áç¨â îâáï ¯à®¨§¢®«ì­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ â®çª¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ - ¢à¥¬¥­¨ ¨­ª®¢áª®£®).

¥ «¨áâ¨ç¥áª¨© ¯à¨¬¥à | å஬®¤¨­ ¬¨ª .

ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ॠ«¨áâ¨ç¥áª®© ­¥ ¡¥«¥¢®© ª «¨¡à®¢®ç­®© ⥮ਨ ªà ⪮ à á- ᬮâਬ áâàãªâãàã ª¢ ­â®¢®© å஬®¤¨­ ¬¨ª¨. ®á­®¢¥ å஬®¤¨­ ¬¨ª¨ «¥¦¨â 㦥 ®â¬¥ç¥­® ¢® ¢¢®¤­®© £« ¢¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ (­ ᥣ®¤­ïè­¨© ¤¥­ì íâ® ¬®¦­® à áᬠ- âਢ âì ¯à®áâ® ª ª íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë© ä ªâ!): ª ¦¤ë© ª¢ ઠ¤ ­­®£® \ ஬ â " u; d; s; c; t; b ®¡« ¤ ¥â ¥é¥ ¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¬ ª¢ ­â®¢ë¬ ç¨á«®¬ | \梥⮬", ¯à¨- ­¨¬ î騬 âਠ§­ 祭¨ï (1; 2; 3 ¨«¨ R; G; B) 9. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«¥ ª ¦¤®£®

9 ¥®¡å®¤¨¬®áâ좢¥¤¥­¨ï â ª®£® ª¢ ­â®¢®£® ç¨á« ¡ë« ïá­ á á ¬®£® ¬®¬¥­â ¯®ï¢«¥­¨ïª¢ à- ª®¢®© ¬®¤¥«¨ ¤à®­®¢ ¤«ï á­ïâ¨ï ­¥ª®â®àëå ¯à®â¨¢®à¥ç¨© á ¯à¨­æ¨¯®¬ 㫨.

42

.

ª¢ ઠ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¬ ᯨ­®à®¬ £à㯯ë SU(3)10:

0 q1 1

q = 2 (2.198)

@ qq3 A

¢¥â®¢ ï ᨬ¬¥âà¨ï ⥮ਨ ï¥âáï â®ç­®© ¨ « £à ­¦¨ ­ ¤®«¦¥­ ¡ëâì ¨­¢ à¨- ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® £àã¯¯ë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¢¨¤ :

	q ! Uq		(2.199)
£¤¥ 3 3 ¯а¥®¡а §®¢ ­¨п U п¢«повбп г­¨в а­л¬¨ ¨ г­¨¬®¤г«па­л¬¨:
	U+U = 1	DetU = 1	(2.200)
U = eiT	T = T +	SpT = 0	(2.201)

⨠¬ âà¨æë (¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï) § ¢¨áï⠮⠢®á쬨 ¯ à ¬¥â஢ (\㣫®¢ ¯®¢®à®â ") "a, ᮮ⢥âá⢥­­® ¨¬¥¥âáï ¨ ¢®á¥¬ì £¥­¥à â®à®¢ i=2 (i = 1; :::; 8):

@	0	1	0	A					@			0		;i	0		A				@	1	0	0	A
	0 0 0											0		0 0								0 0		0
1 = 0	1	0	0	1		2 = 0 i								0	0		1		3 =		0	0	;1	0	1	(2.202)
@		0	0	1	A								0	0		;i		A			@		0 0	0	A
		1 0 0								@ i				0 0									0 1	0
4 = 0		0	0	0	1		5 = 0						0	0		0		1	6		= 0		0 0	1	1	(2.203)
									0		0			0					1			1	0	0
							@								A						@				A
									0			i		0								0 0		;2
																			3
					7 = 0				0		0		;i		1			8 = p			0	0	1	0	1	(2.204)
¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ­¥ª®â®à®¥ \®¡®¡é¥­¨¥" ¬ âà¨æ 㫨 ­																							âਠ¨§¬¥à¥­¨ï. â¨
£¥­¥à â®àë 㤮¢«¥â¢®àïîâ á«¥¤ãî騬 ª®¬¬ãâ 樮­­ë¬ ᮮ⭮襭¨ï¬:
										a			b					c
										2		;	2	= ifabc 2												(2.205)
£¤¥ áâàãªâãà­ë¥ ª®­áâ ­âë fabc à ¢­ë:
f123 = 1					f147	=		f156 = f246 = f257 = f345 =													f367 = 1
							;														;		p32			(2.206)
																			f458 = f678 = 2

¬ëá« å஬®¤¨­ ¬¨ª¨ á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë áç¨â âì 梥⮢ãî ᨬ¬¥âà¨î «®ª «ì- ­®© ª «¨¡à®¢®ç­®© ᨬ¬¥âਥ©! १ã«ìâ â¥, ¯® ¨§«®¦¥­­ë¬ ¢ëè¥ à¥æ¥¯â ¬ ¢ ⥮ਨ ¢®§­¨ª ¥â ¢®á¥¬ì ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥© (£«î®­®¢) { ¯¥à¥­®á稪®¢ ¢§ ¨¬®- ¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ª¢ ઠ¬¨. å 㤮¡­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ á«¥¤ãî饩 ¬ âà¨æë (ª ª ¢ (2.171)):

					A3 +		1			A8	A1	iA2			A4		iA5
							p3
^	a a		1	B	1					2	3	; 1 8			6 ;		7	C
A = A 2		==	2		A + iA						;A + p3 A								(2.207)
				0											A ; iA 1
10				@	4					5	6	7			2		8	A
					A ; iA						A	+ iA			;p	3	A

®áâ â®ç­® ïá­®¥ ¨ ª®¬¯ ªâ­®¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ⥮ਨ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© í⮩ £à㯯ë, å®âï ¨ ¢ á¢ï§¨ á ­¥áª®«ìª® ¤à㣮© § ¤ 祩 䨧¨ª¨ í«¥¬¥­â à­ëå ç áâ¨æ (¯à¨¡«¨¦¥­­®© ᨬ¬¥- âਥ© ¤à®­®¢ ¨ ¨å ª¢ મ¢®© áâàãªâãன), ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ ª­¨£¥ [27].

.

43

¢­ë© ¢¨¤ ⥭§®à ­ ¯à殮­­®á⥩ £«î®­­®£® ¯®«ï ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¨§ (2.184) ¨«¨ ¨§ (2.191), ¯®¤áâ ¢¨¢ ¢ ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢¬¥áâ® "abc áâàãªâãà­ë¥ ª®­áâ ­âë fabc £аг¯¯л SU(3). б®®в¢¥вбв¢¨¨ б ®¡й¥© ¨¤¥®«®£¨¥© в¥®а¨¨ ª «¨¡а®¢®з­ле ¯®- «¥© £«о®­л п¢«повбп ¡¥§¬ бб®¢л¬¨, ®вбгвбв¢¨¥ ¢ нªб¯¥а¨¬¥­в¥ б®®в¢¥вбв¢гой¨е ¤ «м­®¤¥©бв¢гой¨е б¨« ®¡кпб­п¥вбп п¢«¥­¨¥¬ ª®­д ©­¬¥­в , ª®в®а®¥ ¡г¤¥в а б- ᬮва¥­® ¡«¨¦¥ ª ª®­жг ­ и¥£® ªгаб .

44

.

« ¢ 3

-.

®â®­.

¢ ­â®¢ ­¨¥ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï.

¥¯¥àì ­ è § ¤ ç á®á⮨⠢ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ª« áá¨ç¥áª®© ª ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï.à®æ¥¤ãà ª ­®­¨ç¥áª®£® ª¢ ­â®¢ ­¨ï ª« áá¨ç¥áª®£® ¯®«ï ¯à®¢®¤¨âáï, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬, ¢ ¯®«­®© ­ «®£¨¨ á ­ «®£¨ç­®© ¯à®æ¥¤ãன ¤«ï ¬¥å ­¨ç¥áª®© á¨á⥬ë.­ ç « ¬ë à áᬮâਬ ª¢ ­â®¢ãî ⥮à¨î ᢮¡®¤­ëå (­¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å) ¯®- «¥©, ¨ ­ ç­¥¬ ¬ë ­¥ á ¬®£® ¯à®á⮣® ¯à¨¬¥à ᢮¡®¤­®£® í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï, çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥£® ¢ ¦­®© ஫ìî. ëè¥ ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, çâ® í«¥ªâ஬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ ï¥âáï ¯à¨¬¥à®¬ ( ¡¥«¥¢ ) ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï. ®í⮬㠧¤¥áì ¢®§­¨ª îâ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ á«®¦­®áâ¨, á¢ï§ ­­ë¥ á ãç¥â®¬ ª «¨¡à®¢®ç­®© ¨­¢ ਠ­â­®áâ¨.® ¤«ï í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï í⨠¯à®¡«¥¬ë ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ® à¥è îâáï ¨ ¢ à ¬ª å ¯à®æ¥¤ãàë ª ­®­¨ç¥áª®£® ª¢ ­â®¢ ­¨ï, ⮣¤ ª ª ¤«ï ­¥ ¡¥«¥¢ëå ¯®«¥©­£ { ¨««á ­ã¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì áãé¥á⢥­­® ¡®«¥¥ á«®¦­ãî á奬㠪¢ ­â®¢ - ­¨ï, ®á­®¢ ­­ãî ­ ä㭪樮­ «ì­®¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨, ¨ ª®â®à ï ¡ã¤¥â ®¡á㦤 âìáï ­ ¬¨ £®à §¤® ¯®§¤­¥¥. ¤ «ì­¥©è¥¬, ¢ í⮩ « ¢¥, ¬ë á«¥¤ã¥¬, ¢ ®á­®¢­®¬, á奬¥ ¨§«®¦¥­¨ï ¯à¨­ï⮩ ¢ [1].

â®çª¨ §à¥­¨ï ¬¥å ­¨ª¨, ¯®«¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á¨á⥬ã á ¡¥áª®­¥ç­ë¬ ç¨-

45

46

.

á«®¬ á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë. ¤®¡­® ¨á室¨âì ¨§ â ª®£® ª« áá¨ç¥áª®£® ®¯¨á ­¨ï ¯®«ï, ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¤¥«® á ¡¥áª®­¥ç­ë¬, ­® ¤¨áªà¥â­ë¬ ­ ¡®à®¬ ¯¥à¥¬¥­­ëå. 㤥¬ à áᬠâਢ âì í«¥ªâ஬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ ¢ â ª ­ §ë¢ ¥¬®© ªã«®­®¢áª®© ª «¨¡à®¢ª¥, ª®£¤ ¥£® ¢¥ªâ®à { ¯®â¥­æ¨ « A(r; t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ¯®¯¥à¥ç­®áâ¨:

	divA = 0		(3.1)
ਠí⮬ ᪠«ïà­ë© ¯®â¥­æ¨ « ' = 0,		¯®«ï E ¨ H ®¯а¥¤¥«повбп ª ª1:
	E = ;A	H = rotA	(3.2)
à ¢­¥­¨ï ªá¢¥«« ᢮¤ïâáï, ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥, ª ¢®«­®¢®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¤«ï ¢¥ª-
â®à { ¯®â¥­æ¨ «	A:
	r2A ;	@2A
		@t2 = 0	(3.3)

ª ¨§¢¥áâ­® è¥áâì ª®¬¯®­¥­â í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï § ¯¨áë¢ îâáï ¢ ¢¨¤¥ ­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­®£® ⥭§®à :

F = @ A ; @ A			(3.4)
®âªã¤ áà §ã á«¥¤ãîâ ®¤­®à®¤­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ªá¢¥«« ¢ ¢¨¤¥:
@ F + @ F + @ F = 0			(3.5)
¢ ªгг¬¥ (¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¨бв®з­¨ª®¢) ­¥®¤­®а®¤­л¥ га ¢­¥­¨п ªб¢¥««			¨¬¥îâ ¢¨¤:
@ F = 0			(3.6)
¨«¨
2A ; @ (@ A ) = 0			(3.7)
ë §­ ¥¬, çâ® í⨠ãà ¢­¥­¨ï á«¥¤ãîâ ¨§ ¢ ਠ樮­­®£® ¯à¨­æ¨¯ á « £à ­¦¨ ­®¬
1		F F
L = ;			(3.8)
	16

£¤¥ A à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¤¨­ ¬¨ç¥áª®¥ ¯®«¥. ¤­ ª®, ¤«ï § ¤ ­­®£® §­ 祭¨ï ­ ¯à殮­­®á⥩

í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï F ¢¥ªâ®à A ­¥ ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬,					®¯à¥¤¥«¥­ á â®ç­®áâìî ¤®
£à ¤¨¥­â­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï:				A ! A0 + @ (x)
					(3.9)
« £ ï ­ (x) ãá«®¢¨¥ 2 =			;	@ A , ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ­­®£® ¯® (3.9) ¯®«ï «¥£ª® ¯®«ãç¨âì @ A0 =
0, ¯®á«¥ 祣® èâà¨å ­ ¤ A
		㦥 ¬®¦­® ®¯ãáâ¨âì, § ¯¨á ¢ ãá«®¢¨¥ ®à¥­æ :
				@ A = 0	(3.10)
®£¤ (3.7) ¯¥à¥å®¤¨â ¢:				2A = 0
					(3.11)

{ ¢®«­®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ¯®â¥­æ¨ « . á«®¢¨¥ ®à¥­æ (3.10) ¤ ¥â ®¤­® ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ç¥âëà¥å ª®¬¯®­¥­â ¯®â¥­æ¨ « , ᮪à é ï ç¨á«® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯®«ï ¤® âà¥å. ¤­ ª®, íâ® ãá«®-

¢¨¥ ¥é¥ ­¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®â¥­æ¨ « A ®¤­®§­ ç­®. 祢¨¤­®, çâ® ¥á«¨ A 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î®à¥­æ , â® ¨ A0 = A + @ ¥¬ã ⮦¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢ ᨫã 2 (x) = 0. 롥६ ⥯¥àì (x) â ª, çâ®¡ë ¢ë¯®«­ï«®áì à ¢¥­á⢮ @@t = ;', ⮣¤ ¯®«ã稬, ®ç¥¢¨¤­®, '0 = 0, çâ® ¢ ᨫã (3.10) ¤ ¥â r A = divA = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¨ ¯à¨å®¤¨¬ ª ªã«®­®¢áª®© ª «¨¡à®¢ª¥, ¢ ª®â®à®© ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¤¢¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ª®¬¯®­¥­âë í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï (ãá«®¢¨¥ ¯®¯¥à¥ç­®áâ¨), ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ॠ«ì­®¬ã ¬¨àã.

¥à¥å®¤ ª ¤¨áªà¥â­®¬ã ­ ¡®àã ¯®«¥¢ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯ã⥬ à á- ᬮâ७¨ï ¯®«ï ¢ ª®­¥ç­®¬ ®¡ê¥¬¥ ¯à®áâà ­á⢠V (¢ ¤ «ì­¥©è¥¬, ¤«ï ªà ⪮áâ¨,

1 ¯®¬­¨¬, çâ® ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ á¨á⥬㠥¤¨­¨æ, ¢ ª®â®à®© ᪮à®áâì ᢥâ c = 1

.

47

¢áî¤ã ¯®« £ ¥¬ V = 1) [25]. ®£¤

¢¥ªâ®à { ¯®â¥­æ¨ « ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ àï¤

ãàì¥ ¯® ¯«®áª¨¬ ¢®«­ ¬:

A =

(a

k

eikr

+ a e;ikr)

(3.12)

k

k

X

£¤¥ ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ï ak § ¢¨áï⠮⠢६¥­¨ ¯® § ª®­ã:

a

k

e;i!kt

!

k

=

k

(3.13)

j j

ᨫã ãá«®¢¨ï ¯®¯¥à¥ç­®á⨠(3.1) ¨¬¥¥¬:

ak k = 0

(3.14)

(3.12) á㬬¨à®¢ ­¨¥ ¨¤¥â ¯® ¡¥áª®­¥ç­®¬ã ¤¨áªà¥â­®¬ã ­ ¡®àã kx; ky; kz. ®¦­®,

ª ª ®¡ëç­®, ¯¥à¥©â¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨î ¯® kx; ky; kz, ¢¢¥¤ï

d3 k

ª ª ç¨á«® ¢®§¬®¦­ëå

3

(2 )

§­ 祭¨© k, ¯à¨å®¤ïé¨åáï ­

í«¥¬¥­â ®¡ê¥¬

k-¯à®áâà ­á⢠d3k = dkxdkydkz.

¨â®£¥, ¯®«¥ ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢¥«¨ç¨­ ¬¨ ak, ª®â®àë¥ à áᬠâਢ îâáï ª ª

­ ¡®à ª« áá¨ç¥áª¨å ¯®«¥¢ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå.

¢¥¤¥¬ ª ­®­¨ç¥áª¨¥ ¯®«¥¢ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ª ª:

Q

=

1

(a

+ a )

(3.15)

k

p

k

k

4

P

=

i!k

(a

a ) = Q

(3.16)

k

;p4

k ;

k

k

¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® í⨠¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¢¥é¥á⢥­­ë. ®£¤ à §«®¦¥­¨¥ (3.12) ¬®¦­®

¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

A = p

(Q

cos kr

1

P sin kr)

4

;

(3.17)

!k

k

k

k

X

«ï ­ 宦¤¥­¨ï £ ¬¨«ìâ®­¨ ­

¯®«ï H, ¢ëç¨á«¨¬ ¥£® ¯®«­ãî í­¥à£¨î:

E =

1

Z d3r(E2 + H2)

(3.18)

8

¨¢ëà §¨¬ ¥¥ ç¥à¥§ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ Qk ¨ Pk. «ï í⮣® ­ ©¤¥¬ E ¨ H á ¯®¬®éìî (3.2)

¨(3.17) ¨, ¯®¤áâ ¢¨¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢ëà ¦¥­¨ï ¢ (3.18) ¨ ¢ë¯®«­¨¢ ¨­â¥£à¨à®- ¢ ­¨¥ ¯® ª®®à¤¨­ â ¬, ¯®«ã稬:

H =	1	X	2	2	2	(3.19)
	2	k	(Pk + !kQk)

® ãá«®¢¨î ¯®¯¥à¥ç­®áâ¨, ¢¥«¨ç¨­ë Pk ¨ Qk ®à⮣®­ «ì­ë ¢¥ªâ®àã k, в ª зв®, д ªв¨з¥бª¨, ®­¨ ¨¬¥ов ¢б¥£® ¯® ¤¢¥ ­¥§ ¢¨б¨¬л¥ ª®¬¯®­¥­вл. ¯а ¢«¥­¨п нв¨е ¢¥ªв®а®¢ ®¯а¥¤¥«повбп ­ ¯а ¢«¥­¨п¬¨ ¯®«па¨§ ж¨¨ б®®в¢¥вбв¢гой¥© ¢®«­л. ¡®- §­ з¨¬ ¤¢¥ ª®¬¯®­¥­вл Pk ¨ Qk ¢ ¯«®áª®á⨠®à⮣®­ «ì­®© k ª ª Pk ¨ Qk , £¤¥= 1; 2. ®£¤ (3.19) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª:

	1	X	2	2	2
H =	2	k	(Pk + !kQk )			(3.20)

48

.

ª¨¬ ®¡à §®¬, £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ H à ᯠ¤ ¥âáï ­

á㬬㠭¥§ ¢¨á¨¬ëå á« £ ¥¬ëå,

ª ¦¤®¥ ¨§ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¢¨¤ £ ¬¨«ìâ®­¨ ­

£ ମ­¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à

(\à §-

«®¦¥­¨¥ ¯®«ï" ­ ®á樫«ïâ®àë).

¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ¯¥à¥©â¨ ª ª¢ ­â®¢ ­¨î. ª ª¢ ­â®¢ âì ®á樫«ïâ®àë å®à®è®

¨§¢¥áâ­® ¨§ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ [29]. à®æ¥¤ãà

ª¢ ­â®¢ ­¨ï á®á⮨⠢ § ¬¥­¥ ®¡®¡-

饭­ëå ª®®à¤¨­ â Qk ¨ ®¡®¡é¥­­ëå ¨¬¯ã«ìᮢ Pk

®¯¥à â®à ¬¨, 㤮¢«¥â¢®àï-

î騬¨ áâ ­¤ àâ­ë¬ ª®¬¬ãâ 樮­­ë¬ ᮮ⭮襭¨ï¬2:

Qk Pk ; Pk Qk [Qk ; Pk ] = i

(3.21)

«ï à §­ëå §­ 祭¨© k ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯¥à â®àë ª®¬¬ãâ¨àãîâ. ®®â¢¥â-

á⢥­­®, ¯®«ï A; E; H â ª¦¥ áâ ­®¢ïâáï ®¯¥à â®à ¬¨.

®¡á⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï £ ¬¨«ìâ®­¨ ­

(3.20), ®ç¥¢¨¤­®, ¨¬¥îâ ¢¨¤:

X

E = k Nk +

1

2 !k

(3.22)

£¤¥ Nk { æ¥«ë¥ ç¨á« , ª®â®àë¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ç¨á«® ä®â®­®¢ ¢ á®áâ®ï­¨¨

k . âà¨ç­ë¥ í«¥¬¥­âë ®¯¥à â®à

Qk â ª¦¥ å®à®è® ¨§¢¥áâ­ë ¨§ ª¢ ­â®¢®© ¬¥-

å ­¨ª¨ [29]:

Nk

< Nk jQk jNk ; 1 >=< Nk ; 1jQk jNk >= s 2!k

(3.23)

_

âà¨ç­ë¥ í«¥¬¥­âë Pk = Qk ®â«¨ç îâáï ®â (3.23) ¬­®¦¨â¥«¥¬ i!k.

¢¥¤¥¬ ­®¢ë¥ ®¯¥à â®àë:

1

+

1

ck =

p

(!kQk + iPk )

ck

=

p

(!kQk ; iPk )

(3.24)

2!k

2!k

®£¤ ¨§ (3.23) ¨ (3.24) ¯®«ãç ¥¬:

+

; 1 >= qNk

< Nk ; 1jck jNk >=< Nk jck jNk

(3.25)

§ (3.24) ¨ (3.21) ­¥¬¥¤«¥­­® ¯®«ãç ¥¬ ª®¬¬ãâ 樮­­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¤«ï ®¯¥à -

+

â®à®¢ ck ¨ ck :

+

+

+

ck ck

; ck ck [ck ; ck ] = 1

(3.26)

«ï ­¥á®¢¯ ¤ îé¨å k ¨ í⨠®¯¥à â®àë ¯à®áâ® ª®¬¬ãâ¨àãîâ. ¯¥à â®àë ck ¨

+

ck ­ §ë¢ îâáï ®¯¥à â®à ¬¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï ¨ ஦¤¥­¨ï ä®â®­®¢ ¢ á®áâ®ï­¨¨ ¢®«-

­®¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ (¨¬¯ã«ìᮬ) k ¨ ¯®«ïਧ 樥© . நá宦¤¥­¨¥ í⮣® ­ §¢ ­¨ï

®ç¥¢¨¤­® ¨§ (3.25). ® ¨áâ®à¨ç¥áª¨¬ ¯à¨ç¨­ ¬, ä®à¬ «¨§¬, ®á­®¢ ­­ë© ­

¨á¯®«ì-

§®¢ ­¨¨ â ª¨å ®¯¥à â®à®¢, ­ §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ ¢â®à¨ç­®£® ª¢ ­â®¢ ­¨ï.

¯¥à â®à ¢¥ªâ®à { ¯®â¥­æ¨ « , á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ (3.12), (3.16), (3.15) ¨ (3.24),

¬®¦¥â ⥯¥àì ¡ëâì § ¯¨á ­ ¢ ¢¨¤¥:

A =

X

(c

k

A

k

+ c+

A

)

(3.27)

k

k

k

2 ¯®¬­¨¬, çâ® ã ­ á ¢á¥£¤ ~ = 1

.

49

£¤¥

= p

e( )

A

eikr

4

(3.28)

k

2!k

£¤¥ e( ) { ¥¤¨­¨ç­ë© ¢¥ªâ®à ¯®«ïਧ 樨 p¤«ï ¤ ­­®£® ¯®«¥¢®£® ®á樫«ïâ®à , ®ç¥-

¢¨¤­®, çâ® e( ) k

= 0, â ª çâ® ®­ ®à⮣®­ «¥­ ¨¬¯ã«ìáã ä®â®­

k. î¡®¬ã §­ 祭¨î

k ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¢ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¯®«ïਧ 樨 = 1; 2.

­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦­® ¢ë¯¨á âì à §«®¦¥­¨ï ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ ­ ¯à殮­-

­®á⨠¯®«¥© E ¨ H:

+ c+

E =

(c

E

E

)

(3.29)

k

k

k

k

k

X

H =

(ck Hk

+ c+

H

)

(3.30)

k

k

k

£¤¥

X

k

Ek = i!kAk

Hk = [n Ek ]

(3.31)

£¤¥ n =

¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¥¤¨­¨ç­ë© ¢¥ªâ®à ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ à á¯à®áâà ­¥-

!k

­¨ï ä®â®­ . ¢¥¤¥­­ë¥ ¢ (3.28) ¢¥ªâ®à Ak 㤮¢«¥â¢®àïîâ á«¥¤ãî饬ã ãá«®¢¨î

®àâ®­®à¬¨à®¢ ­­®áâ¨:

Z

d3rA

k

A 0

=

2

0

(3.32)

0

0

k

!k

kk

£¤¥ ãç⥭®, ¢ ç áâ­®áâ¨, çâ® ¤¢

­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à

¯®«ïਧ 樨 ®à⮣®­ «ì­ë:

e( ) e( 0) = 0. ªâ¨ç¥áª¨, ¢¥«¨ç¨­ë

Ak (¯«®áª¨¥ ¢®«­ë) ¬®¦­® âà ªâ®¢ âì ª ª

¢®«­®¢ë¥ ä㭪樨 ä®â®­

á ¨¬¯ã«ìᮬ k

¨ ¯®«ïਧ 樥© e( )3.

§ (3.32) ¨ (3.31) ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì, çâ®:

1

d3r(E

E

+ H

H 0

0 ) = !

0 0

(3.33)

4 Z

k

k

k

k

k

kk

®¤áâ ¢«ïï (3.29), (3.30) ¢ (3.18) ¨ ¨á¯®«ì§ãï (3.33), ­ 室¨¬:

H =

1

(c

c+

+ c+

c

)

1

Z

d3r(E

E 0

0 + H

H 0

0 ) =

k 2

k

k

k

k

4

k

k

k

k

X

1

+

+

=

k

2

(ck ck

+ ck ck )!k

(3.34)

X

¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï ª®¬¬ãâ 樮­­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï (3.26),

+

1

H = k ck ck + 2 !k

(3.35)

X

{ ®¯¥à â®à ¬¨«ìâ®­

á¨á⥬ë ä®â®­®¢ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¢â®à¨ç­®£® ª¢ ­â®¢ ­¨ï.

§ áà ¢­¥­¨ï á (3.22) ïá­®, çâ®

^

+

(3.36)

Nk = ck ck

3 ®¤з¥аª­¥¬, зв® нв¨ ¢®«­®¢л¥ дг­ªж¨¨ ­¥«м§п а бб¬ ва¨¢ вм ª ª ¬¯«¨вг¤л ¢¥а®пв­®бв¨ ¯а®бва ­бв¢¥­­®©«®ª «¨§ ж¨¨ д®в®­ , ¯®бª®«мªг ¯®­пв¨¥ ª®®а¤¨­ вл ¤«п з бв¨жл, ¤¢¨¦гй¥©бп б® бª®а®бвмо б¢¥в ¢ ¢ ªгг¬¥, ¯а®бв® ®вбгвбв¢г¥в