Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1

60	.
	1.	P+" : Det = 1, 00 1.
		ва ¦¥­¨п ¢а¥¬¥­¨ ¨ ¯а®бва ­бв¢ ®вбгвбв¢гов. з¨вл¢ овбп в®«мª® ¢а й¥­¨п ¨ б¬¥-
		饭¨ï ¢ ¯á¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, ®¡à §ãî騥 ᮡá⢥­­ãî ®àâ®åà®­­ãî £à㯯ã
		ã ­ª àí.
	2.	P+# : Det = 1, 00 ;1.
		¤¥áì ¢ª«î祭 ®¯¥à æ¨ï T . ¢¨¤ã ã­¨¬®¤ã«ïà­®á⨠¯à¥®¡à §®¢ ­¨©, ®­¨ ᮤ¥à¦ â â ª¦¥
		¨ ®¯¥à æ¨î P . î¡®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¨§ P+#	¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­® ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï
		P+" ¨ P T . ç áâ­®áâ¨, 4-¨­¢¥àá¨ï P T 2 P+# ,	P ¨ T ¯® ®â¤¥«ì­®á⨠­¥ ¢å®¤ïâ ¢ P+# ¢ ᨫã
		Det = 1. ८¡à §®¢ ­¨ï P+" ¨ P+# ¢¬¥á⥠®¡à §ãîâ ᮡá⢥­­ãî £à㯯ã ã ­ª àí P+.
	3.	P;" : Det = ;1, 00 1.		P+" ®­¨ ®¡à §ãîâ ®àâ®åà®­­ãî
		®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ P P+" . ¬¥á⥠á
		£à㯯ã ã ­ª àí.
	4.	P;# : Det = ;1, 00 ;1.
		¯à ¢«¥­¨¥ ¢à¥¬¥­¨ ¬¥­ï¥âáï. î¡®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ í⮣® ª« áá ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥
		T P+" .
	¡é ï £à㯯 ã ­ª àí ¬®¦¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­			ª ª á㬬 :
		P = P+" + P T P+" + P P+" + T P+"		(3.100)

§ ¢á¥å íâ¨å ª®¬¯®­¥­â £à㯯ë ã ­ª àí ⮫쪮 P+" ᮤ¥à¦¨â ¥¤¨­¨ç­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥. ®- í⮬㠯८¡à §®¢ ­¨ï, ¯à¨­ ¤«¥¦ 騥 à §«¨ç­ë¬ ª« áá ¬, ­¥ ¬®£ãâ ¡ëâì á¢ï§ ­ë ª ª¨¬ - «¨¡®

­¥¯à¥àë¢­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬, ®â­®áï騬áï ª P+" . ८¡à §®¢ ­¨ï ¨§ ®¤­®£® ¨ ⮣® ¦¥ ª« áá ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥­ë ¤à㣠¨§ ¤àã£ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¨§ P+" .

८¡à §®¢ ­¨ï C; P; T .

­¢¥àá¨ï ¯à®áâà ­á⢠.

ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¨¬¥îâ ¡®«ì讥 §­ 祭¨¥ ¤¨áªà¥â­ë¥ ᨬ¬¥âਨ, â ª¨¥ ª ª ¨­¢¥àá¨ï ¯à®áâà ­á⢠, ®âà ¦¥­¨¥ ¢à¥¬¥­¨ ¨ § à冷¢®¥ ᮯà殮­¨¥ (§ ¬¥­ ç - áâ¨æ ­â¨ç áâ¨æ ¬¨). ç áâ­®áâ¨, ®¯¥à æ¨ï ¨­¢¥àᨨ ¯à®áâà ­á⢠®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

P r = ;r

(3.101)

ਠí⮬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨, à áᬠâਢ ¢è¥¥áï ¢ëè¥ áª «ïà­®¥ ¯®«¥ ¬®¦¥â ¯à¥- ®¡à §®¢ë¢ âìáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

P '(t; r) = '(t; ;r)

(3.102)

£¤¥ §­ ª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ á«ãç î ®¡ëç­®£® ᪠«ïà ¨ ¯á¥¢¤®áª «ïà . ­¥à¥«ïâ¨- ¢¨áâ᪮© ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¢®«­®¢®© ä㭪樨 á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ¯à®áâà ­- á⢥­­®© ¨­¢¥àᨨ á¢ï§ ­® ¯à®áâ® á ¥¥ ª®®à¤¨­ â­®© § ¢¨á¨¬®áâìî, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®­ïâ¨î ®à¡¨â «ì­®© ç¥â­®á⨠[29]:

(t; ;r) = (t; r)

(3.103)

ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï à¥çì ¨¤¥â ® ¯®¢¥¤¥­¨¨ ¯®«ï ¢ ¤ ­­®© â®çª¥ ¯à®áâà ­á⢠, ᮮ⭮襭¨¥ (3.102) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢­ãâ७­îî ç¥â­®áâì ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ.

®«­ п з¥в­®бвм б¨бв¥¬л з бв¨ж а ¢­ ¯а®¨§¢¥¤¥­¨о ¨е ¢­гва¥­­¨е з¥в­®бв¥© ¨ ®а¡¨в «м­®© з¥в­®бв¨ ¨е ®в­®б¨в¥«м­®£® ¤¢¨¦¥­¨п. \ ­гва¥­­¨¥" б¢®©бв¢ б¨¬¬¥- ва¨¨ а §«¨з­ле з бв¨ж ¯а®п¢«повбп «¨им ¢ ¯а®ж¥бб е ¨е ¢§ ¨¬­ле ¯а¥¢а й¥­¨©.

.

61

ä®à¬ «¨§¬¥ ¢â®à¨ç­®£® ª¢ ­â®¢ ­¨ï ¢­ãâ७­ï ç¥â­®áâì ¢ëà ¦ ¥âáï ¯®¢¥- ¤¥­¨¥¬ ¯à¨ ¨­¢¥àᨨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å '^-®¯¥à â®à®¢. ª «ïà­®¬ã ¨ ¯á¥¢¤®áª «ïà-

­®¬ã ¯®«î ®â¢¥ç ¥â:
P '^(t; r) = '^(t; ;r)	(3.104)

®§¤¥©á⢨¥ P -®¯¥à 樨 ­ '^-®¯¥à â®à ¬®¦­® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¢ ¢¨¤¥ ᮮ⢥âáâ¢ã- îé¨å ¯à ¢¨« ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥­¨ï ¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï ç áâ¨æ, â ª¨å, çâ®¡ë ¢ १ã«ìâ ⥠¢®§­¨ª «® ¨§¬¥­¥­¨¥ (3.104). ᯮ«ì§ãï (3.76), ­¥âà㤭® ¯®«ã- ç¨âì, çâ® í⨠¯à ¢¨« ¨¬¥îâ ¢¨¤:

P : ap					a	+	p	bp	b p
	+		!					+	! +
						;			;
	ap ! a;p							bp ! b;p		(3.105)
á ¬®¬ ¤¥«¥, § ¯¨á ¢:
'(t; r) =			1	(a			e;i"pt+ipr + b+ ei"pt;ipr)			(3.106)
	p		2"p			p			p
	X p										p ¯®-
¯®á«¥ ®¯¥à 樨 (3.105) ¨ ¯¥à¥®¡®§­ 祭¨ï ¯¥à¥¬¥­­®© á㬬¨à®¢ ­¨ï p										! ;
				7
«ã稬 '(t; ;r), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì					. ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (3.105) ¢¯®«­¥
®ç¥¢¨¤­® { ¨­¢¥àá¨ï ¯à®áâ® ¬¥­ï¥â §­ ª ¯®«ïà­®£® ¢¥ªâ®à p.

à冷¢®¥ ᮯà殮­¨¥.

¬¥­ ç áâ¨æ { ­â¨ç áâ¨æ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¢ ¯®«¥¢®¬ ®¯¥à â®à¥ (3.76) á ¯®¬®éìî

®ç¥¢¨¤­®© ®¯¥à 樨:
C : ap ! bp bp ! ap	(3.107)
ਠí⮬ ' ! 'C, £¤¥
'C(t; r) = '+(t; r)	(3.108)

¬ëá« í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ­¥ ¨§¬¥­ï¥âáï, ¥á«¨ ¢¢¥á⨠¯à®¨§¢®«ì­ë© ä §®¢ë© ¬­®¦¨â¥«ì:

ap ! ei bp	bp ! e;i ap	(3.109)
â ª çâ®
' ! ei '+	'+ ! e;i '	(3.110)

¢ãªà â­®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï § à冷¢®£® ᮯà殮­¨ï ¤ ¥â ⮦¤¥á⢮ ' ! '. ¨¬¬¥âà¨ï ¯® ®â­®è¥­¨î ª § ¬¥­¥ ç áâ¨æ ­ ­â¨ç áâ¨æë ­¥ ¯à¨¢®¤¨â, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª ¢®§­¨ª­®¢¥­¨î ª ª®© - «¨¡® ­®¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ ç áâ¨æ, ®¯¥- à â®à C ­¥ ¨¬¥¥â ᮡá⢥­­ëå á®áâ®ï­¨© ¨ ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨©. ᪫î祭¨¥¬ ï¥âáï á¨á⥬ , á®áâ®ïé ï ¨§ à ¢­®£® ç¨á« ç áâ¨æ ¨ ­â¨ç áâ¨æ. ¯¥à â®à C ¯¥à¥¢®¤¨â â ªãî á¨á⥬ã á ¬ã ¢ ᥡï, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï ­¥£® áãé¥áâ¢ãîâ ᮡ- á⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï C = 1 (¯®áª®«ìªã C2 = 1). ®¦¥ á ¬®¥ ¢¥à­® ¤«ï ¨á⨭­® ­¥©âà «ì­ëå ç áâ¨æ, ª®£¤ 'C = ' ¨ ¢®§­¨ª ¥â ¯®­ï⨥ § à冷¢® ç¥â­ëå ¨«¨ ­¥ç¥â­ëå ç áâ¨æ.

7 ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥ ¡ã¤¥¬ 㪠§ë¢ âì §­ 箪 ®¯¥à â®à ­ ¤ ®¡®- §­ 祭¨ï¬¨ ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥­¨ï ¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï, â ª¦¥ ¨ ¤àã£¨å ¯®«¥¢ëå ®¯¥à â®à®¢, ­ ¤¥ïáì, çâ® íâ® ­¥ ¯à¨¢¥¤¥â ª ­¥¤®à §ã¬¥­¨ï¬.

62

.

¥âëà¥å¬¥à­ ï ¨­¢¥àá¨ï ¨ ®¡à 饭¨¥ ¢à¥¬¥­¨.

¥âëà¥å¬¥à­ ï ¨­¢¥àá¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¯¥à 樥©:
x ! ;x	£¤¥	x = (r; t)	(3.111)

âã ®¯¥à æ¨î ¢á¥£¤ ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥, ª ª ­¥ª®â®à®¥ ç¥âëà¥å¬¥à­®¥ ¢à - 饭¨¥ ¨«¨, ¨­ ç¥ £®¢®àï, ª ª ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ®à¥­æ , ¯®áª®«ìªã ¤¥â¥à¬¨­ ­â ¬ - âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¢ ¢ ®¡®¨å á«ãç ïå à ¢¥­ 1. ¨âã æ¨ï §¤¥áì ®â«¨ç ¥âáï ®â âà¥å¬¥à­®© (¯à®áâà ­á⢥­­®©) ¨­¢¥àᨨ, ¤¥â¥à¬¨­ ­â ª®â®à®© à ¢¥­ -1. ®í⮬㠫¥ ¢ëà ¦¥­¨¥, ¨­¢ ਠ­â­®¥ ®â­®á¨â¥«ì­® ®â­®á¨â¥«ì­® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ®- ७æ , ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â­ë¬ ¨ ®â­®á¨â¥«ì­® ç¥âëà¥å¬¥à­®© ¨­¢¥àᨨ. ® ®â- ­®è¥­¨î ª ®¯¥à â®àã ᪠«ïà­®£® ¯®«ï (᪠«ïàã, ¯® ®â­®è¥­¨î ª ç¥âëà¥å¬¥à­ë¬ ¢à 饭¨ï¬!) íâ® ®§­ ç ¥â:

'(t; r) ! '(;t; ;r)

(3.112)

â¥à¬¨­ å ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥­¨ï ¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (3.112) ¤®á⨣ - ¥âáï ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¯à¨ e;ipx ¨ eipx ¢ ¢ëà ¦¥­¨¨ (3.76), çâ® ¤ ¥â:

+	+
CP T : ap ! bp	bp ! ap	(3.113)
ª¨¬ ®¡à §®¬, íâ® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¢ª«îç ¥â § ¬¥­ã ç áâ¨æë		­â¨ç áâ¨æ¥©, ¢

५ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¢®§­¨ª ¥â ¨­¢ ਠ­â­®áâì ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯à¥®¡à §®¢ ­¨î, ¯à¨ ª®â®à®¬ ®¤­®¢à¥¬¥­­® á P ¨ T ¯à®¨§¢®¤¨âáï â ª¦¥ ¨ § - à冷¢®¥ ᮯà殮­¨¥ C. â® ã⢥ত¥­¨¥ á®áâ ¢«ï¥â ᮤ¥à¦ ­¨¥ â ª ­ §ë¢ ¥¬®© CP T -⥮६ë, ïî饩áï ®¤­¨¬ ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ®¡é¨å १ã«ìâ ⮢ ª¢ ­â®¢®© â¥- ®à¨¨ ¯®«ï: ­¨ç¥£® ¢ à¨à®¤¥ ­¥ ¨§¬¥­¨âáï, ¥á«¨ ®¤­®¢à¥¬¥­­® á ç¥âëà¥å¬¥à­®© ¨­¢¥àᨥ© (®âà ¦¥­¨¥¬ ¯à®áâà ­á⢠- ¢à¥¬¥­¨) ¯à®¨§¢¥á⨠§ ¬¥­ã ¢á¥å ç áâ¨æ ­

­â¨ç áâ¨æë! ८¡à §®¢ ­¨¥ (3.113) ¬®¦­® § ¯¨á âì â ª¦¥ ¢ ¢¨¤¥:
'CPT (t; r) = '(;t; ;r)	(3.114)

âáî¤ «¥£ª® ­ ©â¨ ä®à¬ã«¨à®¢ªã T -¨­¢¥àᨨ (®¡à 饭¨ï ¢à¥¬¥­¨). âã ®¯¥à - æ¨î ­ã¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì â ª, çâ®¡ë ¢¬¥á⥠á CP ®­ ¤ ¢ « CP T -¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (3.113). ç¨âë¢ ï (3.105) ¨ (3.107), «¥£ª® ­ 室¨¬:

+	+
T : ap ! a;p	bp ! b;p	(3.115)

£¤¥ §­ ª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ §­ ª ¬ ¢ (3.105). ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¡à 饭¨¥ ¢à¥¬¥­¨ ­¥ ⮫쪮 ¯¥à¥¢®¤¨â ¤¢¨¦¥­¨¥ á ¨¬¯ã«ìᮬ p ¢ ¤¢¨¦¥­¨¥ á ¨¬¯ã«ìᮬ ;p, ­® â ª¦¥ ¯¥à¥áâ ¢«ï¥â ­ ç «ì­ë¥ ¨ ª®­¥ç­ë¥ á®áâ®ï­¨ï ¢® ¢á¥å ¬ âà¨ç­ëå í«¥¬¥­â å, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª § ¬¥­¥ ®¯¥à â®à®¢ ã­¨ç⮦¥­¨ï ç áâ¨æ á ¨¬¯ã«ìᮬ p ­ ®¯¥à â®àë ஦¤¥­¨ï ç áâ¨æ á ¨¬¯ã«ìᮬ ;p (¨ ­ ®¡®à®â). § (3.115) ¨ (3.106), á ¯¥à¥®¡®§­ - 祭¨¥¬ p ! ;p, ¯®«ãç ¥¬:

'T (t; r) = '+(;t; r)

(3.116)

ªâ¨ç¥áª¨, §¤¥áì ¨¬¥¥âáï ¯®«­ ï ­ «®£¨ï á ®¯¥à 樥© ®¡à 饭¨ï ¢à¥¬¥­¨ ¢ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ [29]: ¥á«¨ ­¥ª®â®à®¥ á®áâ®ï­¨¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢®«­®¢®© äã­ª- 樥© (t; r), â® ®¡à 饭­®¥ ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®¯¨áë¢ ¥âáï á ¯®¬®éìî (;t; r).

८¡à §®¢ ­¨ï T ¨ CPT ¯¥à¥áâ ¢«ïîâ ­ ç «ì­ë¥ ¨ ª®­¥ç­ë¥ á®áâ®ï­¨ï ¨ ¤«ï ­¨å ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®­ïâ¨ï ᮡá⢥­­ëå á®áâ®ï­¨© ¨ ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨©.

.

63

­¨ ­¥ ¯à¨¢®¤ïâ, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ª áãé¥á⢮¢ ­¨î ­®¢ëå å à ªâ¥à¨á⨪ ç áâ¨æ.ᨫã ५ï⨢¨áâ᪮© ¨­¢ ਠ­â­®áâ¨, ®¯¥à â®à CP T ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¤®«¦¥­ ª®¬¬ãâ¨à®¢ âì á «î¡ë¬ £ ¬¨«ìâ®­¨ ­®¬ (« £à ­¦¨ ­®¬) ५ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ ¯®«ï. â® ¦¥ ª á ¥âáï C ¨ P (â.¥. ¨ T ) ¯® ®â¤¥«ì­®áâ¨, â® íâ® ¢®®¡é¥ £®¢®àï ­¥ â ª. ç áâ­®á⨠᫠¡ë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï í«¥¬¥­â à­ëå ç áâ¨æ ­¥ ¨­¢ ਠ­â­ë ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯à®áâà ­á⢥­­®¬ã ®âà ¦¥­¨î P , ¨ ¤ ¦¥ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ª®¬¡¨­¨- ஢ ­­®© ®¯¥à 樨 CP . ®á«¥¤­¥¥ (®ç¥­ì á« ¡®¥!) ­ àã襭¨¥ ᨬ¬¥âਨ á« ¡ëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©, ᮣ« á­® CP T -⥮६¥, ®§­ ç ¥â ­ «¨ç¨¥ ¢ à¨à®¤¥ ®ç¥­ì á« ¡®© ­¥íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠­ ¯à ¢«¥­¨© ¢à¥¬¥­¨, çâ® ¨¬¥¥â ¢¥áì¬ áãé¥á⢥­­ë¥ ª®á¬®- «®£¨ç¥áª¨¥ ¯®á«¥¤á⢨ï. ¯à¨¬¥à, ᮣ« á­® ¨¤¥¥ å ஢ , íâ® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¬®¦¥â ®¡êïá­¨âì ª®«®áá «ì­®¥ ¯à¥®¡« ¤ ­¨¥ ¬ â¥à¨¨ ­ ¤ ­â¨¬ â¥à¨¥© ¢ ᮢà¥- ¬¥­­®¬ á®áâ®ï­¨¨ ᥫ¥­­®©.

¨áªà¥â­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ⮪ .

áᬮâਬ ®¯¥à â®à á®åà ­ïî饣®áï ⮪ ᪠«ïà­®£® ¯®«ï, ª®â®àë©, á ¯®¬®éìî (2.68), ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

j = i('+@ ' ; '@ '+)	(3.117)
८¡à §®¢ ­¨¥ (3.104), ¢¬¥áâ¥ á ®ç¥¢¨¤­®© § ¬¥­®© (@0; @i) ! (@0; ;@i), ¤ ¥â:
P : (j0; j)t;r ! (j0; ;j)t;;r	(3.118)
ª ª ¨ ¤®«¦­® ¡ëâì ¤«ï ¨á⨭­®£® 4-¢¥ªâ®à .
­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬, ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ § à冷¢®£® ᮯà殮­¨ï (3.108) ¤ ¥â:
C : (j0; j)t;r ! (;j0; ;j)t;r	(3.119)

¥á«¨ ®¯¥à â®àë ' ¨ '+ ª®¬¬ãâ¨àãîâ. à ¢¤ , ®­¨ ­¥ ª®¬¬ãâ¨àãîâ, ­® íâ® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ­¥áã- é¥á⢥­­® { ­¥ª®¬¬ãâ ⨢­®áâì ¢®§­¨ª ¥â ⮫쪮 ®â ­¥ª®¬¬ãâ ⨢­®á⨠®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥­¨ï ¨

T : (j0; j)t;r ! (j0; ;j);t;r	(3.121)
ã­¨ç⮦¥­¨ï á ®¤¨­ ª®¢ë¬¨ p, ¢ ᨫã ᮮ⭮襭¨© ª®¬¬ãâ 樨 ¤«ï íâ¨å ®¯¥à â®à®¢, ¨å ¯¥-
à¥áâ ­®¢ª ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥­¨î ç«¥­®¢, ­¥ § ¢¨áïé¨å ®â ç¨á¥« § ¯®«­¥­¨ï, â.¥. ®â á®áâ®ï­¨ï
¯®«ï. â¡à áë¢ ï í⨠童­ë, ¢á¥ à ¢­® ¯®«ã稬 (3.119). § (3.119) ¢¨¤­®, çâ® § ¬¥­	ç áâ¨æ

­â¨ç áâ¨æ ¬¨, ¥áâ¥á⢥­­®, ¯à¨¢®¤¨â ª ¨§¬¥­¥­¨î §­ ª ¢á¥å ª®¬¯®­¥­â ⮪ .

¯¥à æ¨ï ®¡à 饭¨ï ¢à¥¬¥­¨ á¢ï§ ­ á ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© ­ ç «ì­ëå ¨ ª®­¥ç­ëå á®áâ®ï­¨©, â ª çâ® ¯à¨ ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ®¯¥à â®à®¢ ®­ ¬¥­ï¥â ¯®à冷ª ᮬ­®¦¨â¥«¥©, ­ ¯à¨¬¥à

('+@ ')T = (@ ')T ('+)T

(3.120)

ᮮ⢥âá⢨¨ á ⮫쪮 ç⮠ᤥ« ­­ë¬ ¯®á«¥ (3.119) § ¬¥ç ­¨¥¬, íâ® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ­¥áãé¥- á⢥­­®, ¢®§¢à 饭¨¥ ª ¨á室­®¬ã ¯®à浪㠬­®¦¨â¥«¥© ­¥ ®âà ¦ ¥âáï ­ १ã«ìâ â¥. ç¨âë¢ ï, çâ® ¯à¨ T -®âà ¦¥­¨¨ (@0; @i) ! (;@0; @i), á ¯®¬®éìî (3.116) ¯®«ãç ¥¬:

â ª çâ® âà¥å¬¥à­ë© j ⮪ ¬¥­ï¥â §­ ª, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ª« áá¨ç¥áª¨¬ á¬ëá«®¬ í⮩ ¢¥«¨ç¨­ë, ⮣¤ ª ª ¯«®â­®áâì § àï¤ j0 ­¥ ¬¥­ï¥âáï.

ª®­¥æ, ¯à¨ ç¥âëà¥å¬¥à­®© ¨­¢¥àᨨ (3.112) «¥£ª® ¯®«ãç¨âì:
CP T : (j0; j)t;r ! (;j0; ;j);t;;r	(3.122)

¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á® á¬ëá«®¬ í⮩ ®¯¥à 樨, ª ª CP T ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï.

¯¥à â®à í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯à®¯®à樮­ «¥­ j A ¨ ¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨- ⥫쭮 CP T , ª ª ¨ ¢á类¥ ¤à㣮¥ ५ï⨢¨áâ᪮¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¨á¯®«ì§ãï

(3.118), (3.119) ¨ (3.121) ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì ¯à ¢¨«	¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯®â¥­æ¨ «		í«¥ªâ஬ £­¨â-
­®£® ¯®«ï A = (A0; A):
C : (A0; A)t;r !	(;A0; ;A)t;r
P : (A0; A)t;r ! (A0;		;A)t;;r
T : (A0; A)t;r ! (A0;		;A);t;r
CP T : (A0; A)t;r ! (;A0; ;A);t;;r			(3.123)

­ «®£¨ç­ë¥ ¯à ¢¨« ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¨ ¤«ï ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥© ­£ - ¨««á .

64 .

¥ªâ®à­ë¥ ¡®§®­ë.

áâ¨æ ᮠᯨ­®¬ 1 ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ á¨á⥬¥ ¯®ª®ï âà¥åª®¬¯®­¥­â­®© ¢®«­®¢®© ä㭪樥© { âà¥å¬¥à­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ (¢¥ªâ®à­ë© ¡®§®­). ® ᢮¥¬ã ç¥âëà¥å¬¥à­®¬ã

\¯à®¨á宦¤¥­¨î" íâ® ¬®£ãâ ¡ëâì âਠ¯à®áâà ­á⢥­­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë 4-¢¥ªâ®à

(¯à®áâà ­á⢥­­®¯®¤®¡­®£®!) ¨«¨ ¦¥ ­â¨á¨¬¥âà¨ç­®£® ⥭§®à ¢â®à®£® à ­£ , ã ª®â®àëå ¢ á¨á⥬¥ ¯®ª®ï ®¡à é îâáï ¢ ­ã«ì ᮮ⢥âá⢥­­® ¢à¥¬¥­­ ï 0 ¨ ¯à®- áâà ­á⢥­­ë¥ ik ª®¬¯®­¥­âë.

®«­®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ®¯ïâì ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®© á¢ï§¨

¨ ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
i = p ; p	(3.124)
p = im2	(3.125)

£¤¥ p = i@ { ®¯¥à â®à ¨¬¯ã«ìá . ⨠ãà ¢­¥­¨ï ­ §ë¢ îâáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ப .ਬ¥­ïï ª ®¡¥¨¬ áâ®à®­ ¬ (3.125) ®¯¥à æ¨î p , ¯®«ã稬 ¢¢¨¤ã ­â¨á¨¬¬¥âਨ

:
p = 0	(3.126)

®£¤ , ¨áª«îç ï ¨§ (3.124), (3.125) (¯®¤áâ ¢«ïï ¯¥à¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¢® ¢â®à®¥), á ãç¥â®¬ (3.126), ¯®«ã稬:

(p2 ; m2) = 0

(3.127)

â ª çâ® m, ¥áâ¥á⢥­­®, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬ ááã ç áâ¨æë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ᢮¡®¤- ­ ï ç áâ¨æ ᮠᯨ­®¬ 1 ®¯¨áë¢ ¥âáï ®¤­¨¬ 4-¢¥ªâ®à®¬ , ª®¬¯®­¥­âë ª®â®à®£® 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢­¥­¨î \ «¥©­ - ®à¤®­ " (3.127) ¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã ãá«®¢¨î ⨯ ãá«®¢¨ï ®à¥­æ (ç¥âëà¥å¬¥à­®© ¯®¯¥à¥ç­®áâ¨) (3.126), ¨áª«îç î饬㠨§

\ç áâì, ¯à¨­ ¤«¥¦ éãî ᯨ­ã 0".

á¨á⥬¥ ¯®ª®ï, £¤¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¯à®áâà ­á⢥­­ëå ª®®à¤¨­ â (pi = 0), ¨

¬ë ¨¬¥¥¬ ¯à®áâ® p0 0 = 0. ⮦¥ ¢à¥¬ï, á ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ¢ á¨á⥬¥ ¯®ª®ï p0 = m,

â ª çâ® p0 0 = m 0. ®£¤ ïá­®, çâ® ¢ á¨á⥬¥ ¯®ª®ï 0 = 0, ª ª ¨ ¤®«¦­® ¡ëâì ¤«ï ç áâ¨æë ᮠᯨ­®¬ 1. ¬¥á⥠á 0 ¢ í⮩ á¨á⥬¥ ®¡à é îâáï ¢ ­ã«ì â ª¦¥ ¨

ik.

áâ¨æ ᮠᯨ­®¬ 1 ¬®¦¥â ®¡« ¤ âì à §«¨ç­®© ¢­ãâ७­¥© ç¥â­®áâìî, ¢ § ¢¨-

ᨬ®á⨠®â ⮣® ï¥âáï «¨		¨á⨭­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¨«¨ ¯á¥¢¤®¢¥ªâ®à®¬:
P = (		0; ; i)			¨«¨	P = (	0; i)	(3.128)
«®áª ï ¢®«­ , ­®à¬¨à®¢ ­­ ï ­					1 ç áâ¨æã ¢ ®¡ê¥¬¥ V = 1, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢
¢¨¤¥:			1
=				u e;ipx		u u =	1	(3.129)
			2"p
							;
£¤¥ u { ¥¤¨­¨ç­ë© 4-¢¥ªâ®à ¯®«ïਧ 樨, ­®à¬¨à®¢ª							ª®â®à®£® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï âà¥-
	p
¡®¢ ­¨¥¬ ¯à®áâà ­á⢥­­®¯®¤®¡­®áâ¨					, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 â ª¦¥ ãá«®¢¨î ç¥âë-
à¥å¬¥à­®© ¯®¯¥à¥ç­®áâ¨:
				u p = 0				(3.130)

¬¥â¨¬, çâ® ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ä®â®­®¢, ¢¥ªâ®à­ë¥ ¡®§®­ë ᮠᯨ­®¬ 1 ¨¬¥îâ âਠ­¥-

§¢¨á¨¬ëå ¯®«ïਧ 樨.

£à ­¦¨ ­ ¢¥ªâ®à­®£® ¯®«ï ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ¢ ¢¨¤¥:

L	=	;	(@ )(@	) + m2	(3.131)

.

65

âàãªâãà	í⮣® « £à ­¦¨ ­	­ «®£¨ç­ á«ãç î ᪠«ïà­®£® ¯®«ï, ­® ®¡à ⨬
¢­¨¬ ­¨¥ ­	¤à㣮© §­ ª! ¥«® §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® { ¯à®áâà ­á⢥­­®¯®¤®¡­ë©
¢¥ªâ®à, â ª çâ® < 0, ⮣¤		ª ª ¤«ï ᪠«ïà­®£® ¯®«ï ' ' > 0, â ª çâ® §­ ª

¢ë¡à ­ â ª, çâ®¡ë ®¡¥á¯¥ç¨â ¯®«®¦¨â¥«ì­ãî ®¯à¥¤¥«¥­­®áâì í­¥à£¨¨ ¯®«ï ¢ ª« á- á¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤¥«¥. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ « £à ­¦¨ ­ (3.131) ᢮¤¨âáï ­¥ á⮫쪮 ª ¯®áâ஥­¨î ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï, ᪮«ìª® ª ­ 宦¤¥­¨î ⥭§®à í­¥à£¨¨ - ¨¬¯ã«ìá ¨ ⮪ . ¥âà㤭® ­ ©â¨, çâ®:

T = ;@

@ ; ;@

@

; Lg

(3.132)

j

=

;

i[

@

;

(@

)

]

(3.133)

⨠¢ëà ¦¥­¨ï ¢¯®«­¥ ­ «®£¨ç­ë ¯®«ã祭­ë¬ ¢ëè¥ ¤«ï ᪠«ïà­®£® ¯®«ï ¨ ­¥ âॡãî⠮ᮡëå ¯®ïá­¥­¨©.

¢ ­â®¢ ­¨¥ â ª¦¥ ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠­ «®£¨ç­® ᪠«ïà­®¬ã á«ãç î. ­®¢ , ¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥­¨ï ®ç¥¢¨¤­®£® ¨§ 䨧¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥­¨© ãá«®¢¨ï T00 > 0 ¨ ¯à®¨§¢®«ì- ­®á⨠§­ ª ¯«®â­®á⨠§ àï¤ j0, ª¢ ­â®¢ âì ­ã¦­® ¯® ®§¥!

®¤ç¥àª­¥¬, çâ® ¢¢¨¤ã m =6 0 £а ¤¨¥­в­ п ¨­¢ а¨ ­в­®бвм в¥®а¨¨ ®вбгвбв¢г¥в.¬¥­­® ¯®н⮬㠬 бб¨¢­®¥ ¢¥ªв®а­®¥ ¯®«¥ ¨¬¥¥в ва¨ ­¥§ ¢¨б¨¬л¥ ª®¬¯®­¥­вл.вбгвбв¢¨¥ £а ¤¨¥­в­®© ¨­¢ а¨ ­в­®бв¨ а бб¬ ва¨¢ ¥¬®© в¥®а¨¨ ®б®¡¥­­® з¥вª® ¢¨¤­® ¨§ ¢в®а®£® га ¢­¥­¨п а®ª (3.125): ¢¥«¨з¨­ £а ¤¨¥­в­® ¨­¢ а¨ ­в­ , в ª зв® «¥¢ п з бвм га ¢­¥­¨п £а ¤¨¥­в­® ¨­¢ а¨ ­в­ , в®£¤ ª ª ¥£® ¯а ¢ п з бвм, ®з¥¢¨¤­®, ¬¥­п¥вбп ¯а¨ £а ¤¨¥­в­ле ¯а¥®¡а §®¢ ­¨пе.

áâ¨æë á ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ æ¥«ë¬ á¯¨­®¬.

®«­®¢ ï äã­ªæ¨ï ç áâ¨æë á æ¥«ë¬ á¯¨­®¬ s ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© 4-⥭§®à à ­£ s, â.¥. ⥭§®à ᨬ¬¥âà¨ç­ë© ¯® ¢á¥¬ ᢮¨¬ ¨­¤¥ªá ¬ ¨ ®¡à é î騩áï ¢ ­ã«ì ¯à¨ ã¯à®é¥­¨¨ (ᢥà⪥) ¯® «î¡®© ¯ ॠ¨­¤¥ªá®¢:

::: ::: ::: = ::: ::: :::	:::	= 0	(3.134)
	::: :::

â®â ⥭§®à ¤®«¦¥­ 㤮¢«¥â¢®àïâì ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã ãá«®¢¨î ç¥âëà¥å¬¥à­®© ¯®¯¥à¥ç­®áâ¨:

p ::: ::: = 0	(3.135)
«î¡ ï ¥£® ª®¬¯®­¥­â ¤®«¦­ 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢­¥­¨î:
(p2 ; m2) ::: ::: = 0	(3.136)

á¨á⥬¥ ¯®ª®ï (3.135) ¯à¨¢®¤¨â ª ®¡à 饭¨î ¢ ­ã«ì ¢á¥å ª®¬¯®­¥­â 4-⥭§®à , á।¨ ¨­¤¥ªá®¢ ª®â®àëå ¢áâà¥ç ¥âáï 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ á¨á⥬¥ ¯®ª®ï ¯®«¥ ᢮¤¨âáï ª ­¥¯à¨¢®¤¨¬®¬ã âà¥å- ¬¥à­®¬ã ⥭§®àã à ­£ s, ç¨á«® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ª®¬¯®­¥­â ª®â®à®£® à ¢­® 2s + 1, ª ª ¨ á«¥¤ã¥â ¡ëâì.

£à ­¦¨ ­, ⥭§®à í­¥à£¨¨ - ¨¬¯ã«ìá ¨ ¯«®â­®áâì ⮪ ¤«ï ¯®«ï á æ¥«ë¬ á¯¨­®¬ s ®â«¨-

	ç îâáï ®â ¢ë¯¨á ­­ëå ¢ëè¥ ¤«ï á«ãç ï s = 1 ⮫쪮 § ¬¥­®©					­			::: ::: ::: . ®à¬¨à®¢ ­­ ï
	¯«®áª ï ¢®«­ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
	::: =	1		u :::e;ipx	u ::: u	=	;	1	(3.137)
		p"p
	¯à¨ç¥¬			u::: ::: p = 0
									(3.138)

¬¥¥âáï ¢á¥£® 2s + 1 ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®«ïਧ 権.

¢ ­â®¢ ­¨¥ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡®¡é¥­¨¥¬ á«ãç ¥¢ s = 0 ¨ s = 1.

§«®¦¥­­ ï á奬 ¤®áâ â®ç­ ¤«ï ®¯¨á ­¨ï ᢮¡®¤­ëå ç áâ¨æ á® ¯à®¨§¢®«ì­ë¬¨ 楫묨 ᯨ- ­ ¬¨. ਠ¢¢¥¤¥­¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á¨âã æ¨ï ãá«®¦­ï¥âáï. «ï ¢á¥å 楫ëå s > 1 ®ª §ë¢ ¥âáï ­¥¢®§¬®¦­ë¬ áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¢ ਠ樮­­ë© ¯à¨­æ¨¯ á ¯®¬®éìî ⮫쪮 ®¤­®© (⥭§®à­®©) äã­ª- 樨 ¯®«ï, à ­£ ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤ ­­®¬ã ᯨ­ã. ª §ë¢ ¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¢¢¥á⨠¢á¯®- ¬®£ ⥫ì­ë¥ ⥭§®à­ë¥ (¨«¨ ᯨ­®à­ë¥) ¢¥«¨ç¨­ë ¡®«¥¥ ­¨§ª®£® à ­£ . ਠí⮬ « £à ­¦¨ ­

66 .

¢ë¡¨à ¥âáï â ª, ç⮡ë í⨠¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ®¡à é «¨áì ¢ ­ã«ì ¢ ᨫã á«¥¤ãîé¨å ¨§ ¢ ਠ樮­­®£® ¯à¨­æ¨¯ ãà ¢­¥­¨© ¯®«ï ᢮¡®¤­ëå ç áâ¨æ.

¬¥â¨¬, ¢ § ª«î祭¨¥, çâ® ¢®¯à®á ® ç áâ¨æ ᮠᯨ­®¬ s > 1 ¨¬¥¥â ¤®¢®«ì­® \ ª ¤¥¬¨ç¥áª¨©" å à ªâ¥à, ¯®áª®«ìªã (¥á«¨ § ¡ëâì ® £à ¢¨â®­¥!) ¢ à ¬ª å áâ ­¤ àâ­®© ¬®¤¥«¨ â ª¨å í«¥¬¥­â à­ëå ç áâ¨æ ¯à®áâ® ­¥â.

¥à¬¨®­ë.

à¥å¬¥à­ë¥ ᯨ­®àë.

¯®¬­¨¬, ª ª ®¯¨áë¢ îâáï ç áâ¨æë á ¯®«ãæ¥«ë¬ á¯¨­®¬ (ä¥à¬¨®­ë) ¢ à ¬ª å ­¥à¥«ï⨢¨áâ᪮© ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ [29]. áâ¨æ ᮠᯨ­®¬ s = 1=2 ®¯¨áë¢ ¥âáï ¤¢ã媮¬¯®­¥­â­®© ¢®«­®¢®© ä㭪樥© { ᯨ­®à®¬, ª®â®àãî 㤮¡­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥

á⮫¡æ :	1		1
		(			)
							(3.139)
=	2 =	(;2		1		)
				2			sz = 1=2. ਠ¯à®¨§¢®«ì-
£¤¥ ª®¬¯®­¥­âë 1 ¨ 2 ᮮ⢥âáâ¢ãî⠯஥ªæ¨ï¬ ᯨ­
­®¬ ¢à 饭¨¨ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â ª®¬¯®­¥­âë ᯨ­®à							¯а¥®¡а §говбп ¤аг£ з¥а¥§

¤à㣠«¨­¥©­ë¬ ®¡à §®¬:

01 = a 1 + b 2	02 = c 1 + d 2
¨­ ç¥ £®¢®àï:
	a	b
0 = U	U = c	d

®ндд¨ж¨¥­вл ¯а¥®¡а §®¢ ­¨п (н«¥¬¥­вл ¬ ва¨жл U), ¢®®¡й¥ ¯«¥ªб­л ¨ п¢«повбп дг­ªж¨п¬¨ г£«®¢ ¯®¢®а®в б¨бв¥¬л ª®®а¤¨­ в.

áᬮâਬ ¡¨«¨­¥©­ãî ä®à¬ã ¢¨¤ :

(3.140)

(3.141)

£®¢®àï, ª®¬-

1'2 ; 2'1	(3.142)
£¤¥ ¨ ' { ¤¢ ᯨ­®à . à®á⮥ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¤ ¥â:
01'02 ; 02'01 = (ad ; bc)( 1'2 ; 2'1)	(3.143)

â ª çâ® (3.142) ¯à¨ ¯®¢®à®â å á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â (3.140) ¯à¥®¡à §ã¥âáï á ¬ ç¥à¥§ ᥡï. áᬮâਬ ¡¨«¨­¥©­ãî ä®à¬ã (3.142) ª ª ­¥ª®â®àãî ¢®«­®¢ãî äã­ªæ¨î á®áâ ¢­®© á¨á⥬ë. ® ¥á«¨ ¨¬¥¥âáï ¢á¥£® ®¤­ ¢®«­®¢ ï äã­ªæ¨ï, ¯à¥®¡à §ãîé - ïáï ¯à¨ ¯®¢®à®â å á ¬ ç¥à¥§ ᥡï, â® ®­ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᯨ­ã ­ã«ì, â.¥. ï¥âáï ᪠«ï஬ ¨ ¢®®¡é¥ ­¥ ¬¥­ï¥âáï ¯à¨ ¯®¢®à®â å. ®í⮬㠭 ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¥®¡à - §®¢ ­¨ï á«¥¤ã¥â ­ «®¦¨âì ãá«®¢¨¥:

ad ; bc = 1 Det U = 1

(3.144)

®£¤ (3.142) ¯à®áâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢®«­®¢ãî äã­ªæ¨î ç áâ¨æë ᮠᯨ­®¬ s = 0, á®áâ ¢«¥­­®© ¨§ ¤¢ãå ç áâ¨æ ᮠᯨ­®¬ s = 1=2. ® ¢ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥

¬®¦­® ¢¢¥á⨠¥é¥ ®¤¨­ ᪠«ïà, á®áâ ¢«¥­­ë© ¨§ ª®¬¯®­¥­â ᯨ­®à	(3.139):
1 1 + 2 2 ;	(3.145)

.

67

¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 ᮡ®© ¯«®â­®áâì ¢¥à®ïâ­®á⨠­ 宦¤¥­¨ï ç áâ¨æë ¢ ¤ ­­®© â®çª¥ ¯à®áâà ­á⢠. ८¡à §®¢ ­¨¥, ®áâ ¢«ïî饥 ¨­¢ ਠ­â­®© á㬬㠪¢ ¤à - ⮢ ¬®¤ã«¥© ¯à¥®¡à §ã¥¬ëå ¢¥«¨ç¨­, ï¥âáï ã­¨â à­ë¬, â ª çâ®

	+	a		c	= U	1
U		= b		d		;	:	(3.146)
ãç¥â®¬ (3.144) ®¡à â­ ï ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:
	U;1 =			d	;b			(3.147)
				;c	a
â ª çâ® ¨§ ãá«®¢¨ï ã­¨â à­®á⨠¯®«ãç ¥¬:
		a = d		b = ;c				(3.148)

б¨«г гб«®¢¨© (3.144) ¨ (3.148), ¨§ з¥вла¥е ª®¬¯«¥ªб­ле ¢¥«¨з¨­ a; b; c; d (в.¥. ¢®бм¬¨ ¢¥й¥бв¢¥­­ле), ­ б ¬®¬ ¤¥«¥, в®«мª® ва¨ (¢¥й¥бв¢¥­­ле) п¢«повбп ­¥§ -

¢¨á¨¬ë¬¨, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â६ 㣫 ¬ ¯®¢®à®â	âà¥å¬¥à­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â.
à ¢­¨¢ ï ᪠«ïàë (3.142) ¨ (3.145) ¢¨¤¨¬, çâ®	1 ¨ 2 ¤®«¦­ë ¯à¥®¡à §®¢ë-

¢ âìáï ª ª 2 ¨ ; 1.
àï¤ã á à áᬮâ७­ë¬¨ ¢ëè¥ ª®­âࢠਠ­â­ë¬¨ ª®¬¯®­¥­â ¬¨ ᯨ­®à
1; 2 ¢¢®¤ïâ ¥é¥ ¨ ª®¢ ਠ­â­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë:
	1 =	2	2 = ; 1		(3.149)
­¢ ਠ­â (3.142) § ¯¨áë¢ ¥âáï ⮣¤		¢ ¢¨¤¥ ᪠«ïà­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï:
' =	1'1 +		2'2 = 1'2 ;	2'1	(3.150)
ç⥬ ⥯¥àì, çâ®
' =	1'1 +		2'2 = ; 2'2 ;	1'1	(3.151)
â ª çâ® ¢á¥£¤ ¢ë¯®«­ï¥âáï á«¥¤ãî饥 ãá«®¢¨¥ ­â¨á¨¬¬¥âਨ:
	' = ; '				(3.152)
âáî¤ ®ç¥¢¨¤­®, çâ®:
			= 0		(3.153)

®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨ ᯨ­®àë ¢ëáè¨å à ­£®¢. ¯à¨¬¥à, ¬®¦­® ¢¢¥á⨠ᯨ­®àë ¢â®à®£® à ­£ ª ª:

			'		'		'		(3.154)
¯¨­®àë ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® à ­£				®¯а¥¤¥«повбп ­ «®£¨з­®.

¥à¥å®¤ ®â ª®­âࢠਠ­â­ëå ᯨ­®à®¢ ª ª®¢ ਠ­â­ë¬ ¬®¦­® ¯à®¢¥áâ¨ á ¯®- ¬®éìî \¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à " ¢¨¤ :

g = g		=	0	1		(3.155)
			;1	0
¯®áª®«ìªã, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì, ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:
= g			= g			(3.156)

68

.

áᬮâਬ 㬭®¦¥­¨¥ ¨ ã¯à®é¥­¨¥ (ᢥàâªã) ᯨ­®à®¢. ¬­®¦¥­¨¥ ¤¢ãå ᯨ­®à®¢

¢â®à®£® ¨ âà¥â쥣® à ­£

¤ ¥â ᯨ­®à ¯ï⮣® à ­£ . ¯à®é¥­¨¥ (ᢥà⪠)

¯® ¤¢ã¬ ¨­¤¥ªá ¬ ¨ ¤ ¥â ᯨ­®à âà¥â쥣® à ­£

. ç áâ­®áâ¨, ã¯à®-

饭¨¥

¤ ¥â ᪠«ïà

. ਠí⮬, ®¤­ ª®, ­ ¤® ãç¥áâì (3.152), (3.153), â ª çâ®

= ;

. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ã¯à®é¥­¨¥ ¯® ¤¢ã¬ ¨­¤¥ªá ¬ «î¡®£® ᨬ¬¥âà¨ç-

­®£® (¯® ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ ¨­¤¥ªá®¢) ᯨ­®à

¤ ¥â ­ã«ì! ç áâ­®á⨠¤«ï ᨬ¬¥âà¨ç­®£®

ᯨ­®à

¢â®à®£® à ­£

=

¨¬¥¥¬

= 0. ¨¬¬¥âà¨ç­ë© ¯® ¢á¥¬ ¨­¤¥ªá ¬

ᯨ­®à «î¡®£® à ­£ ¬®¦­® ¢á¥£¤ á®áâ ¢¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ᨬ¬¥âਧ 樥© (â.¥.

¢§ïâì á㬬ã ᯨ­®à®¢ á® ¢á¥¬¨ ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬¨ ¨­¤¥ªá®¢). ᨫã ᪠§ ­­®£®, ¨§

ª®¬¯®­¥­â ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ᯨ­®à ­¥¢®§¬®¦­® á®áâ ¢¨âì (¯ã⥬ ã¯à®é¥­¨ï) ᯨ-

­®àë ¡®«¥¥ ­¨§ª®£® à ­£ . ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï â ª¨¥ ᯨ­®àë ॠ«¨-

§ãîâ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £àã¯¯ë ¢à 饭¨© SU(2).

® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ®¯¥à â®à

¬®¬¥­â

¨¬¯ã«ìá

(ᯨ­ ) s ®¯¥à â®à 1 + i '(n s)

®¯¨áë¢ ¥â ¯®¢®à®â ­

㣮« ' ­ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë© 㣮« ' ¢®ªà㣠®á¨, ®à¨¥­â¨-

஢ ­­®© ¢¤®«ì ¥¤¨­¨ç­®£® ¢¥ªâ®à n [29]. «ï ᯨ­ s = 1=2 ¨¬¥¥¬ s =

1

, £¤¥

2

{ ­ ¡®à âà¥å ¬ âà¨æ 㫨:

i

;1

1 0

0

0

x =

0

1

y =

0

;i

z =

1

0

(3.157)

¯¥à â®à ¯®¢®à®â

­

ª®­¥ç­ë© 㣮«, ᮮ⢥âá⢥­­®, ¥áâì:

2

Un = exp

i

(n

)'

(3.158)

çâ® ¨­ ç¥ ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

		'				'
	Un	= cos 2 + i(n ) sin				2			(3.159)
®£¤	¤«ï ¯®¢®à®â ¢®ªà㣠®á¨ z ¨¬¥¥¬:
	'		'	=	ei'=2		0
	Uz(') = cos 2	+ i z sin	2		0	e;i'=2			(3.160)
â ª çâ®
	01 =	1ei'=2		02 =	2 e;i'=2				(3.161)
âáî¤	¢¨¤­® ­¥®¡ëç­®¥ ᢮©á⢮ ᯨ­®à			¯¥à¢®£® à ­£			{ ¯à¨ ¯®¢®à®â¥ ­		㣮« 2

¥£® ª®¬¯®­¥­âë ¬¥­ïîâ §­ ª (­¥ª« áá¨ç¥áª ï ¤¢ã§­ ç­®áâì). ª¨¬ ¦¥ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ î⠢ᥠᯨ­®àë ­¥ç¥â­ëå à ­£®¢.

«ï ¯®¢®à®â®¢ ¢®ªà㣠®á¥© x ¨ y ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ­ 室¨¬:

''

Ux(') = cos 2 + i x sin 2 =

''

Uy(') = cos 2 + i y sin 2 =

cos '

2

i sin '2

cos ' ;sin2'2

i sin '

2

cos '2

sin '

2

cos '2

(3.162)

(3.163)

¯¨­®¢ë¥ ᢮©á⢠¢®«­®¢ëå ä㭪権 ⮦¤¥á⢥­­ë ¤«ï ç áâ¨æë ᮠᯨ­®¬ s ¨ ¤«ï á¨áâ¥¬ë ¨§ n = 2s ç áâ¨æ ᮠᯨ­ ¬¨ s = 1=2, ­ ¯à ¢«¥­­ë¬¨ â ª, çâ® ¯®«- ­ë© ᯨ­ á¨á⥬ë à ¢¥­ 2s. ¨á«® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ª®¬¯®­¥­â ᨬ¬¥âà¨ç­®£® ᯨ­®à à ­£ 2s à ¢­® 2s + 1, ¯®áª®«ìªã à §«¨ç­ë «¨èì ¥£® ª®¬¯®­¥­âë, á।¨ ¨­¤¥ªá®¢

.

69

ª®â®àëå ¨¬¥¥âáï 2s ¥¤¨­¨æ ¨ 0 ¤¢®¥ª, 2s ; 1 ¥¤¨­¨ж ¨ ®¤­ ¤¢®©ª , ... , 0 ¥¤¨- ­¨ж ¨ 2s ¤¢®¥ª. ª г¦¥ гª §л¢ «®бм, б¨¬¬¥ва¨з­л¥ б¯¨­®ал ¯а¥®¡а §говбп ¯® ­¥¯а¨¢®¤¨¬л¬ ¯а¥¤бв ¢«¥­¨п¬ £аг¯¯л ¢а й¥­¨©.

з бв­®бв¨, б¯¨­®ал з¥в­®£® а ­£ ¯а¥®¡а §говбп ª ª в¥­§®а ¯®«®¢¨­­®£® а ­£ . ®¬¯®­¥­вл нв¨е в¥­§®а®¢ ¬®£гв ¡лвм ­¥¯®ба¥¤бв¢¥­­® ¢ла ¦¥­л з¥а¥§ ª®¬¯®­¥­вл б®®в¢¥вбв¢гой¨е б¯¨­®а®¢. ª з¥бв¢¥ ¢ ¦­®£® ¯а¨¬¥а ¯а¨¢¥¤¥¬ ¢ п¢­®¬ ¢¨¤¥ б¢п§м ª®¬¯®­¥­в б¯¨­®а ¢в®а®£® а ­£ б ª®¬¯®­¥­в ¬¨ б®®в¢¥вбв¢го- й¥£® ¢¥ªв®а [29]:

12	= pi				az	11	= ;pi				(ax + iay)
	2						2
12 = ;pi				az		11 = pi			(ax ; iay)
		2						2

¨ ®¡à â­®:

22	= pi				(ax ; iay)	(3.164)
	2
22 = ;pi					(ax + iay)	(3.165)
			2

			i					i					1
az = ip2 12						12 +	21)				22 ;	11)				11 +	22) (3.166)
			= p		(			ax = p		(			ay = ;p		(
				2					2					2

ᯮ«ì§ãï ¬ âà¨æë 㫨, í⨠ᮮ⭮襭¨ï ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ­ £«ï¤­®¬ ¨ ª®¬- ¯ ªâ­®¬ ¢¨¤¥:

= ;pi				a		(3.167)
			2
i
a = p
						(3.168)
	2

ª «ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ­¥¯®á।á⢥­­® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ᪠«ïà­®¥

¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᯨ­®à®¢ ª ª:
a b = '	(3.169)

¯¨­®àë £àã¯¯ë ®à¥­æ .

â ª, ¢ ­¥à¥«ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ ç áâ¨æ ᮠᯨ­®¬ s ®¯¨áë¢ ¥âáï (2s + 1) - ª®¬- ¯®­¥­â­®© ¢¥«¨ç¨­®© { ᨬ¬¥âà¨ç­ë¬ ᯨ­®à®¬ à ­£ 2s, â.¥. ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¢¥- «¨ç¨­®©, ॠ«¨§ãî饩 ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ­¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ £àã¯¯ë ¢à - 饭¨© SU(2). à㯯 ¢à 饭¨© ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© £àã¯¯ë ®à¥­æ (£àã¯¯ë ¢à 饭¨© ¢ ç¥âëà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ - ¢à¥¬¥­¨). £à ­¨ç¨¬áï à áᬮâ७¨¥¬ ᮡá⢥­­®© £àã¯¯ë ®à¥­æ (¡¥§ ¯à®áâà ­á⢥­­ëå ®âà ¦¥­¨©). ¥®à¨ï ç¥âëà¥å- ¬¥à­ëå ᯨ­®à®¢ áâநâáï ­ «®£¨ç­® ⥮ਨ âà¥å¬¥à­ëå ᯨ­®à®¢.

¯¨­®à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¤¢ã媮¬¯®­¥­â­ãî ¢¥«¨ç¨­ã = 1; 2, ᮮ⢥â-

á⢥­­® ¯à®¥ªæ¨ï¬ ᯨ­ s = 1=2. ®¤ ¢®§¤¥©á⢨¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¯à¥®¡à §®-
¢ ­¨п ®а¥­ж , ª®¬¯®­¥­вл б¯¨­®а ¯а¥®¡а §говбп ¤аг£ з¥а¥§ ¤аг£		(¡¨­ à­ë¥
¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï):
01 = 1 + 2	02 = 1 + 2	(3.170)
£¤¥ ª®¬¯«¥ªб­л¥ ª®ндд¨ж¨¥­вл ; ; ; ®¯а¥¤¥«повбп г£« ¬¨ ¯®¢®а®в		ç¥âëà¥å-
¬¥à­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â ¨ ¯®¤ç¨­¥­ë ãá«®¢¨î:
; = 1		(3.171)