Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1

140

áᬮâਬ á­®¢ äãàì¥-®¡à § ä㭪樨 ਭ :
G(p) = Z d4 e;ip G( )	(6.105)
ëç¨á«ïï äãàì¥-ª®¬¯®­¥­âë ®â ®¡¥¨å áâ®à®­ ãà ¢­¥­¨ï (6.104), ­ ©¤¥¬:
( p ; m)G(p) = 1	(6.106)

¥è ï íâ® ãà ¢­¥­¨¥, ¯®«ãç ¥¬ १ã«ìâ â, ª®â®àë© ­ ¬ ¨§¢¥á⥭ ¥é¥ ¯® « ¢¥ 4:

G(p) =

p + m

(6.107)

p2 ; m2

®¬¯®­¥­âë 4-¢¥ªâ®à

p ¢ G(p) п¢«повбп ­¥§ ¢¨б¨¬л¬¨ ¯¥а¥¬¥­­л¬¨, ®­¨ ­¥ б¢п-

§ ­ë ᮮ⭮襭¨¥¬ ⨯ p2

p2

;

p2

= m2. ᫨ § ¯¨á âì §­ ¬¥­ ⥫ì (6.107)

2

2

2

0

¢ ¢¨¤¥: p0 ; (p

+ m

), â® ¢¨¤­®, çâ® G(p) ª ª äã­ªæ¨ï p0 ¯à¨ § ¤ ­­®¬ p ¨¬¥¥â

¤¢ ¯®«îá

¯à¨ p0 =

", £¤¥ " =

p

p2 + m2

. ®£¤ , ¯à¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¯® dp0 ¢

¨­â¥£à «¥:

G( ) = Z

d4p

1

Z d3peipr Z dp0eip0 G(p) ( = t ; t0)

e;ip G(p) =

(6.108)

(2 )4

(2 )4

¢®§­¨ª ¥â ¯à®¡«¥¬ ®¡å®¤ íâ¨å ¯®«îᮢ, â ª¦¥ §­ ª®¬ ï ­ ¬ 㦥 ¯® « ¢¥ 4.

ਬ¥­¨¬ á­®¢

¨á¯®«ì§®¢ ¢è¨©áï â ¬ ¯®¤å®¤ ¥©­¬ ­ . ¥à­¥¬áï ª ®¯à¥¤¥«¥-

­¨î (6.97). ®¤áâ ¢¨¬ ¢ ­¥£®

-®¯¥à â®àë ¢ ¢¨¤¥ (6.72), § ¬¥ç ï, çâ® ®â«¨ç­ë ®â

< 0japap+j0 >= 1

< 0jbpb+p j0 >= 1

(6.109)

®£¤ ¯®«ã稬:

­ã«ï ¢ ªãã¬­ë¥ á।­¨¥ ⮫쪮 ®â á«¥¤ãîé¨å ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥­¨ï

¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï:

G(x

;

x0) =

;

i

(rt) (r0t0) =

i

e;i"(t;t0)

p(r) p(r0)

(6.110)

p

;

p

X

X

¯à¨ t ; t0 > 0. ®®â¢¥âá⢥­­®:

G(x ; x0) = i

p

(r0t0) (rt) = i

p

ei"(t;t0)

;p(r) ;p(r0)

(6.111)

X

X

¯à¨ t ; t0 < 0. ¨¤¨¬, çâ® ª ª ¨ « ¢¥ 4 ¯à¨ t ; t0 > 0 ¢ª« ¤ ¢ G ¤ îâ ⮫쪮
í«¥ªâà®­ë, ¯à¨ t ; t0 < 0 { ⮫쪮 ¯®§¨âà®­ë. à ¢­¨¢ ï (6.110) ¨ (6.111) á
(6.108) ¢¨¤¨¬, çâ® ¨­â¥£à «	Z dp0e;ip0
		(6.112)
¢ ¢ëà ¦¥­¨¨ (6.108) ¤®«¦¥­ ¨¬¥âì ¬­®¦¨â¥«ì e;i" ¯à¨ > 0 ¨ ei" ¯à¨ < 0.
⮣® ¬®¦­® ¤®¡¨âìáï, ¥á«¨ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ (6.112) ®¡å®¤¨âì ¯®«îá		p0 = " ¨

p0 = ;" ᮮ⢥âá⢥­­® ᢥàåã ¨ á­¨§ã ¢ ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠¯¥à¥¬¥­­®© p0, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.6-8. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ > 0 ­ã¦­® (¤«ï á室¨¬®áâ¨!) § - ¬ª­ãâì ¯ãâì ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© ¯®«ã®ªà㦭®á⨠¢ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠p0, в®£¤ §­ з¥­¨¥ ¨­в¥£а « (6.112) ¡г¤¥в ®¯а¥¤¥«пвмбп ¢лз¥в®¬ ¢ ¯®«об¥ p0 = +". ਠ< 0 § ¬ëª ¥¬ ª®­âãà ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠¨ ¨­â¥£à «

141

¨á. 6-8

¨á. 6-9

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëç¥â®¬ ¢ ¯®«îᥠp0 = ;". ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥âáï â®, çâ® âॡã- ¥âáï. ¥©­¬ ­®¢áª®¥ ¯à ¢¨«® ®¡å®¤ ¯®«îᮢ ¬®¦­®, ª ª ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨ ¢ « ¢¥ 4, áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¨ ¨­ ç¥: ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® p0 ¢¥¤¥âáï ¢¤®«ì á ¬®© ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨, ­® ª ¬ áᥠç áâ¨æë m ¯à¨¯¨áë¢ ¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ®âà¨æ â¥«ì­ ï ¬­¨¬ ï ç áâì:

			m ! m ; i0							(6.113)
®£¤
" !	p2 + (m ; i0)2					=		p2	+ m2 ; i0 = " ; i0	(6.114)
®®â¢¥âá⢥­­®, ¯®«îáp p0 =		" ᬥé îâáïp							¢­¨§ ¨ ¢¢¥àå ®â ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨,
ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.6-9, â ª çâ® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ áâ ­®¢¨âáï íª¢¨¢ «¥­â­ë¬
¨­â¥£à¨à®¢ ­¨î ¢¤®«ì ª®­âãà		¨á.6-88.
áᬠâਢ ¥¬®¥ ¯à ¢¨«® ®¡å®¤		¯®«îᮢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§¢¥áâ­®¬ã ᮮ⭮襭¨î:
		1			1
					= P x		i (x)			(6.115)
			x i0

ª®â®à®¥ ¯®­¨¬ ¥âáï ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¯à¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ á ª ª®© - «¨¡® £« ¤ª®© ä㭪樥© f(x)

¨¬¥¥¬:	1			1
		f(x)			f(x)
	Z;1 dx			= P Z;1 dx		i f(0)	(6.116)
		x i0			x
£¤¥ P ®¡®§­ ç ¥â ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ á¬ëá«¥ £« ¢­®£® §­ 祭¨ï.

ãç¥â®¬ 䥩­¬ ­®¢áª®£® ¯à ¢¨« , í«¥ªâà®­­ë© ¯à®¯ £ â®à ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤- áâ ¢«¥­¨¨ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

G(p) =	p + m				(6.117)
	2	; m	2
	p			+ i0

â äã­ªæ¨ï ਭ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¨á¯¨­®à­®£® ¬­®¦¨â¥«ï

	p + m ¨ ᪠«ïà :
	G(0)(p) =		1		(6.118)
			p2 ; m2
	®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ª®®à¤¨­ â­ ï äã­ªæ¨ï ਭ G(0)( ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î:
	( ; m2)G(0)(x ; x0) = (x ; x0)				(6.119)

8 ®«¥§­® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯à ¢¨«® ᤢ¨£ ¯®«îᮢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã, çâ® G(x ;x0) ¯à¨®¡à¥â ¥â ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®¥ § âãå ­¨¥ ¯® j j. ¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ § ¯¨á âì §­ 祭¨¥ p0 ¢ ᬥ饭­ëå ¯®«î- á å ª ª ;(" ;i ) ¨ +(" ;i ), £¤¥ ! +0, â® ¢à¥¬¥­­®© ¬­®¦¨â¥«ì ¢ ¨­â¥£à «¥ (6.112) ¡ã¤¥â à ¢¥­ exp(;i"j j ; j j).

k j21 = 0

142

¨ ï¥âáï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ä㭪樥© ਭ ãà ¢­¥­¨ï «¥©­ - ®à¤®­ . ç¥- ¢¨¤­®, çâ® ®­ § ¤ ¥â ¯à®¯ £ â®à ᪠«ïà­ëå ç áâ¨æ ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ ç¥à¥§ ᪠«ïà­®¥ ¯®«¥ ª ª:

G(0)(x ; x0) = ;i < 0jT '(x)'+(x0)j0 >						(6.120)
£¤¥		(x0) =	'(x)'+(x
	+			)	t < t
T '(x)'			0		0	(6.121)
			'+(x0)'(x)		t0 > t
{ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¤«ï ¡®§¥¢áª®£® ¯®«ï.

®â®­­ë© ¯à®¯ £ â®à.

ਠà áᬮâ७¨¨ ᢮¡®¤­®£® í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï ¬ë ¯à¥¤áâ ¢«ï«¨ ¢¥ªâ®à - ¯®â¥­æ¨ « ¢ ¢¨¤¥ à §«®¦¥­¨ï ¯® ¯®¯¥à¥ç­ë¬ ¯«®áª¨¬ ¢®«­ ¬. ª®¥ ®¯¨á ­¨¥ ­¥ £®¤¨âáï ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£® í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï. â® ®ç¥¢¨¤­®, ­ ¯à¨¬¥à, ¨§ ⮣®, çâ® ¢ ¤¨ £à ¬¬ å à áá¥ï­¨ï í«¥ªâà®­®¢ ­ã¦­® ãç¨âë¢ âì ¨ ¨å ªã«®­®¢- ᪮¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥, ª®â®à®¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ᪠«ïà­ë¬ ¯®â¥­æ¨ «®¬ ¨ § ¢¥¤®¬® ­¥ ᢮¤¨âáï ª ®¡¬¥­ã ¯®¯¥à¥ç­ë¬¨ ¢¨àâã «ì­ë¬¨ ä®â®­ ¬¨. ®í⮬㠬ë, ª § «®áì - ¡ë ­¥ ¨¬¥¥¬ ¥é¥ ¯®«­®£® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ®¯¥à â®à®¢ A ¨ ­¥ ¬®¦¥¬ ­¥¯®á।á⢥­­® ¢ëç¨á«¨âì ä®â®­­ë© ¯à®¯ £ â®à ¯® ä®à¬ã«¥:

D (x ; x0) = i < 0jT A (x)A (x0)j0 >

(6.122)

஬¥ ⮣®, ª «¨¡à®¢®ç­ ï ¨­¢ ਠ­â­®áâì ¢ §­ ç¨â¥«ì­®© ¬¥à¥ «¨è ¥â 䨧¨ç¥- ᪮£® á¬ëá« ®¯¥à â®àë, ª®â®àë¥ ¬®¦­® ¢¢¥á⨠¤«ï \¯®«­®£®" ®¯¨á ­¨ï í«¥ª- â஬ £­¨â­®£® ¯®«ï. ¤­ ª® ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠­¥ª®â®àë© ®¡é¨©

­«¨§, ª®â®àë© à §à¥è ¥â ¢á¥ í⨠¢®¯à®áë [1].

¨¡®«¥¥ ®¡é¨© ¢¨¤ ᨬ¬¥âà¨ç­®£® 4-⥭§®à ¢â®à®£® à ­£ , § ¢¨áï饣® ⮫쪮

®â 4-¢¥ªâ®à = x ; x0, ¥áâì:

D ( ) = g D( 2) ; @ @ Dl( 2)

(6.123)

£¤¥ D ¨ Dl { ᪠«ïà­ë¥ ä㭪樨 ¨­¢ ਠ­â 2. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¨¬¥¥¬:

D (k) = g D(k2) + k k Dl(k2)

(6.124)

£¤¥ D(k2) ¨ Dl(k2) { ª®¬¯®­¥­âë ãàì¥ ä㭪権 D( 2) ¨ Dl( 2).

¢ëà ¦¥­¨ïå ¤«ï ¬¯«¨â㤠à áá¥ï­¨ï ä®â®­­ ï äã­ªæ¨ï ਭ ¢á¥£¤ ¢å®¤¨â 㬭®¦¥­­®© ­ ¬ âà¨ç­ë¥ í«¥¬¥­âë ⮪®¢ ¯¥à¥å®¤®¢ ¤¢ãå í«¥ªâà®­®¢, â.¥. ¢ ª®¬- ¡¨­ æ¨ïå ¢¨¤ j21D j43, çâ® ¢¨¤­®, ­ ¯à¨¬¥à, ¨§ (6.78). ᨫ㠧 ª®­ á®åà ­¥­¨ï ⮪ ¨¬¥¥¬ @ j = 0, â ª çâ® ¬ âà¨ç­ë¥ í«¥¬¥­âë ⮪ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ç¥âëà¥å¬¥à­®© ¯®¯¥à¥ç­®áâ¨:

(6.125)

£¤¥ k = p2 ; p1. ®í⮬ã, 䨧¨ç¥áª¨¥ १ã«ìâ âë ­¥ ¨§¬¥­ïâáï ¯à¨ § ¬¥­¥:

D ! D + k + k

(6.126)

143

£¤¥ { ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ä㭪樨 k. â®â ¯à®¨§¢®«, ä ªâ¨ç¥áª¨, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à®- ¨§¢®«ã ¢ ¢ë¡®à¥ ª «¨¡à®¢ª¨ ®¯¥à â®à®¢ ¯®«ï. ®í⮬ã, ¢ë¡®à ä㭪樨 Dl(k2) ¢ (6.124) ä ªâ¨ç¥áª¨ ¯à®¨§¢®«¥­9 ¨ ¬®¦¥â ¯à®¨§¢®¤¨âìáï ¨§ á®®¡à ¦¥­¨© 㤮¡á⢠.宦¤¥­¨¥ ä㭪樨 ਭ ᢮¤¨âáï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¢á¥£® ®¤­®© ª «¨¡à®¢®ç­® ¨­¢ ਠ­â­®© ä㭪樨 D(k2). ᫨ à áᬮâà¥âì § ¤ ­­®¥ §­ 祭¨¥ k2 ¨ ¢ë¡à âì ®áì z ¢¤®«ì ­ ¯à ¢«¥­¨ï k, â® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (6.126) ­¥ ¡ã¤ãâ § -

âà £¨¢ âì Dxx = Dyy = ;D(k2). ®í⮬㠭 ¬ ¤®áâ â®ç­® ¢ëç¨á«¨âì ¢á¥£® ®¤­ã ª®¬¯®­¥­âã Dxx, ¯®«ì§ãïáì «î¡®© ª «¨¡à®¢ª®© ¯®â¥­æ¨ «®¢.

¤®¡­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï, ª ª ¨ ¢ëè¥, ªã«®­®¢áª®© ª «¨¡à®¢ª®© divA = 0, ª®£¤ ®¯¥à â®à A ¤ ¥âáï à §«®¦¥­¨¥¬:

X

r

!

A =

2

( )

e;

ikx

+

( )

e

ikx

k

(ck e

+ ck e

)

(6.127)

£¤¥ ! =

j

k

, = 1; 2 ­ã¬¥àã¥â ¯®«ïਧ 樨. § ¢á¥å á।­¨å ¯® ¢ ªãã¬ã §­ 祭¨©

j

+

®â«¨ç­ë ®â ­ã«ï «¨èì

¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ®¯¥à â®à®¢ c; c

+

< 0jck ck j0 >= 1

(6.128)

®£¤ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (6.122) ¯®«ãç ¥¬:

Dik( ) = Z

d3k 2 i

X

( ) ( )

! e;i!j j+ik

ei

ek

(6.129)

(2 )3

!

£¤¥ i; k { âà¥å¬¥à­ë¥ ¢¥ªâ®à­ë¥ ¨­¤¥ªáë. «¨ç¨¥ ¢ ¯®ª § ⥫¥ íªá¯®­¥­âë ¬®¤ã«ï

= t ; t0 ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ T -㯮à冷祭¨ï ¯®«¥¢ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ (6.122). §
(6.129) ïá­®, çâ® ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¡¥§ ¬­®¦¨â¥«ï eik						ï¥âáï äãàì¥
- ª®¬¯®­¥­â®© ä㭪樨 Dik(rt). «ï Dxx = ;D ®­					à ¢­ :
2 i	e;i!j j	X	jex( )j2 =	2 i	e;i!j j:	(6.130)
!				!

«ï ­ 宦¤¥­¨ï Dxx(k2) ®áâ «®áì à §«®¦¨âì íâã äã­ªæ¨î ¢ ¨­â¥£à « ãàì¥ ¯® ¢à¥¬¥­¨. â® à §«®¦¥­¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©:

2 i	1 dk0	4
	e;i!j j = Z;1 2		e;ik0		(6.131)
!		k02 ; k2 + i0

ª ¯®ª §ë¢ «®áì ¢ëè¥, â ª®¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥â ®¡å®¤ ¯®«îᮢ k0 =
jkj =	! ᮮ⢥âá⢥­­® á­¨§ã ¨ ᢥàåã, ¯à¨ í⮬ ¯à¨ > 0 ¨­â¥£à « ®¯à¥¤¥«ï¥âáï
¢ëç¥â®¬ ¢ ¯®«îᥠk0 = +!, ¯à¨ < 0 { ¢ëç¥â®¬ ¢ ¯®«îᥠk0 = ;!. ª¨¬ ®¡à §®¬
­ 室¨¬ ®ª®­ç ⥫쭮:				4
			D(k2) =			(6.132)
				k2 + i0
âáî¤	®ç¥¢¨¤­®, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï äã­ªæ¨ï ¢ ª®®à¤¨­ â­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨
㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î:
		D(x ; x0) = ;4 (x ; x0)				(6.133)
9 ãáâì Dl(k2) { ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ä㭪樨 Dl(k2). ®£¤						¢®§­¨ª ¥â D = k k Dl
k , £¤¥ = k Dl(k2).

144

â.¥. ï¥âáï ä㭪樥© ਭ ¢®«­®¢®£® ãà ¢­¥­¨ï.

¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢ 㤮¡­® ¢ë¡à âì Dl = 0, ⮣¤

ä®â®­­ë© ¯à®¯ £ â®à

¨¬¥¥â ¢¨¤:

4

D = g D(k2) =

(6.134)

k2 + i0

ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á १ã«ìâ ⮬, ¯®«ã祭­ë¬ ¢ « ¢¥ 4 ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ª ­ §ë¢ ¥¬®©

ª «¨¡à®¢ª¥ ¥©­¬ ­ .

­®£¤ ®ª §ë¢ ¥âáï 㤮¡­ë¬ ¯®«®¦¨âì Dl

= ;D(k2)=k2, â ª çâ®

D =

4

g ;

k k

(6.135)

k2

k2

ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ª ­ §ë¢ ¥¬®© ª «¨¡à®¢ª¥ ­¤ ã. ਠí⮬ D k = 0 ¨ â ª®©

¢ë¡®à ­ «®£¨ç¥­ ª «¨¡à®¢ª¥ ®à¥­æ , ª®£¤

k A = 0.

«¨¡à®¢ª¥ divA = 0 ­ «®£¨ç­

ª «¨¡à®¢ª

¯à®¯ £ â®à ãá«®¢¨¥¬:

Diikl

= 0

D0lkl

= 0

(6.136)

çâ® ¢¬¥á⥠á Dxx = ;D = ;4 =k2 ¤ ¥â:

4

il ;

kikl

4

Dil = ;

k2

D00 = ;k2

D0i = 0

(6.137)

!2 ; k2

â ª çâ® D00 ¯à®áâ® à ¢­® äãàì¥ - ®¡à §ã ªã«®­®¢áª®£® ¯®â¥­æ¨ « .

«п ¬ бб¨¢­ле з бв¨ж б¯¨­ 1 ª «¨¡а®¢®з­ п ¨­¢ а¨ ­в­®бвм ®вбгвбв¢г¥в ¨ ¢л¡®а ¯а®¯ £ -

â®à ®¤­®§­ 祭. ®¤áâ ¢«ïï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯¥à â®àë	¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥:
G (x ; x0) = ;i < 0jT (x)	+(x0)j0 >	(6.138)

¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥­¨¥, ®â«¨ç î饥áï ®â (6.129) ⮫쪮 ¢¨¤®¬ áã¬¬ë ¯® ¯®«ïਧ æ¨ï¬, çâ® íª¢¨¢ - «¥­â­® ãç¥âã âà¥å ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®«ïਧ 権 ¬ áᨢ­®£® ¢¥ªâ®à­®£® ¯®«ï. ¯ã᪠ï â¥å­¨ç¥áª¨¥ ¤¥â «¨ [1] 㪠¦¥¬ ⮫쪮, çâ® ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¯à®¯ £ â®à ¢¥ªâ®à­®£® ¯®«ï à ¢¥­:

	1		p p
	G = ;		g ; m2		(6.139)
		p2 ; m2 + i0
¥®à¥¬ ¨ª	¨ ®¡é¨¥ ¯à ¢¨«				¤¨ £à ¬¬-
­®© â¥å­¨ª¨.

à áᬮâ७­ëå ¢ëè¥ ¯à®áâëå ¯à¨¬¥à å ¢ëç¨á«¥­¨ï ¬ âà¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¬ - âà¨æë à áá¥ï­¨ï 㦥 ¡ë«¨ ¢¨¤­ë ¢á¥ ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­ë¥ ¬®¬¥­âë ¤¨ £à ¬¬­®£® ¬¥- ⮤ . áᬮâਬ ⥯¥àì ®¡é¨© á«ãç ©. âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â S ¤«ï ¯¥à¥å®¤ ¬¥¦¤ã «î¡ë¬¨ ­ ç «ì­ë¬¨ ¨ ª®­¥ç­ë¬¨ á®áâ®ï­¨ï¬¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á® á।­¨¬ ¯® ¢ ªãã¬ã §­ 祭¨¥¬ ®â ®¯¥à â®à , ¯®«ã祭­®£® 㬭®¦¥­¨¥¬ S á¯à ¢ ­ ®¯¥à â®àë ஦¤¥- ­¨ï ¢á¥å ­ ç «ì­ëå ç áâ¨æ, á«¥¢ { ­ ®¯¥à â®àë ã­¨ç⮦¥­¨ï ¢á¥å ª®­¥ç­ëå ç áâ¨æ. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ n-¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ¯¥- à¥å®¤ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

< fjS(n)ji >=	1		(;ie)n < 0j:::b2fb1f :::a1f:::c1f d4x1:::d4xnT ( 1 A1 1):::
	n!
			( Zn An n)c1+i:::a1+i:::b1+i:::j0 > (6.140)

	145
­¤¥ªáë 1i; 2i; ::: ­ã¬¥àãîâ ­ ç «ì­ë¥ ç áâ¨æë (®â¤¥«ì­® í«¥ªâà®­ë, ¯®§¨âà®­ë
¨ ä®â®­ë), 1f; 2f; ::: { ª®­¥ç­ë¥. ­¤¥ªáë 1; 2; ::: ã ®¯¥à â®à®¢	¨ A ®§­ ç îâ

1 = (x1) ¨ â. ¯. ¯¥à â®àë ¨ A ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© «¨­¥©­ë¥ ª®¬¡¨­ 樨 ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥­¨ï ¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ ¢ à §«¨ç­ëå á®áâ®- ï­¨ïå. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ ¬ âà¨ç­®¬ í«¥¬¥­â¥ ¢®§­¨ª îâ á।­¨¥ ¯® ¢ ªãã¬ã ®â ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥­¨ï ¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï ¨ ¨å «¨­¥©­ëå ª®¬¡¨­ 権.ᥠí⨠®¯¥à â®àë ¢§ïâë ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, â ª çâ® ®­¨ ¯®¤ç¨­ï- îâáï ãà ¢­¥­¨ï¬ ¤¢¨¦¥­¨ï ¨ ª®¬¬ãâ 樮­­ë¬ ᮮ⭮襭¨ï¬ ᢮¡®¤­ëå ç áâ¨æ.ëç¨á«¥­¨¥ â ª¨å á।­¨å ®áãé¥á⢫ï¥âáï á ¯®¬®éìî â¥®à¥¬ë ¨ª , ª à áᬮ- â७¨î ª®â®à®© ¬ë ¨ ¯¥à¥å®¤¨¬.

¥®à¥¬ ¨ª .

§®¢¥¬ ­®à¬ «ì­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­¥áª®«ìª¨å ®¯¥à â®à®¢

N(ABCD:::XY Z)	(6.141)
¢ ª®â®à®¬ ¢á¥ ®¯¥à â®àë ஦¤¥­¨ï áâ®ïâ á«¥¢ ®â ®¯¥à â®à®¢ ã­¨ç⮦¥­¨ï,	§­ ª

ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç¥â­®á⨠¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ ä¥à¬¨¥¢áª¨å ®¯¥à â®à®¢, ¯à¨¢®¤ï饩 ¯à®¨§- ¢¥¤¥­¨¥ ª â ª®¬ã ¢¨¤ã. ªã㬭®¥ á।­¥¥ ®â ­®à¬ «ì­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ®¯¥à - â®à®¢, ®ç¥¢¨¤­®, à ¢­® ­ã«î, ªà®¬¥ á«ãç ï, ª®£¤ ¯®¤ §­ ª®¬ ­®à¬ «ì­®£® ¯à®- ¨§¢¥¤¥­¨ï á⮨⠯à®áâ® c-ç¨á«®. §®¢¥¬ ¤ «¥¥ \ᯠਢ ­¨¥¬" ¤¢ãå ®¯¥à â®à®¢ à §­®áâì

A:B: = T (AB) ; N(AB)

(6.142)

¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ï¥âáï c-ç¨á«®¬, ¯®áª®«ìªã ¥£® ¯à ¢ ï ç áâì «¨¡® à ¢­ ­ã«î, «¨¡® ᮢ¯ ¤ ¥â á â®ç­®áâìî ¤® §­ ª á ª®¬¬ãâ â®à®¬ ( ­â¨ª®¬- ¬ãâ â®à®¬) ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ A ¨ B. ¥®à¥¬ ¨ª ã⢥ত ¥â, çâ® T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥

«î¡®£® ç¨á« ®¯¥à â®à®¢ ¬®¦­® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ ¢á¥¢®§¬®¦­ë¥ N-¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï á®
¢á¥¬¨ ¢®§¬®¦­ë¬¨ ᯠਢ ­¨ï¬¨:
T (ABCD:::XY Z) = N(ABCD:::XY Z) +
+N(A:B:CD:::XY Z) + N(A:BC:D:::XY Z) + :::
::: + N(A:B::C:::::X:Y ::Z::)	(6.143)

â.¥. åà®­®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¯¥à â®à®¢ à ¢­® ­®à¬ «ì­®¬ã ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¯«îá á㬬 ­®à¬ «ì­ëå ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© á ®¤­¨¬ ᯠਢ ­¨¥¬ (¯à¨ í⮬ ¯ à ¢ë- ¡¨à ¥âáï ¢á¥¬¨ ¢®§¬®¦­ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨), ¯«îá á㬬 ­®à¬ «ì­ëå ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© á ¤¢ã¬ï ᯠਢ ­¨ï¬¨ ¨ â. ¤. ¯ ਢ ­¨¥ ¢­ãâਠ­®à¬ «ì­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ï¥âáï c-ç¨á«®¬, ª®â®à®¥ á â®ç­®áâìî ¤® 1 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï (6.142). ­ ª ¬¨­ãá ¢ë¡¨à ¥âáï ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯¥à¥áâ ­®¢ª , ¢ë¢®¤ïé ï ᯠ७­ë¥ ®¯¥à â®àë ¨§ ­®à¬ «ì­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ᢮¤¨âáï ª ­¥ç¥â­®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ ä¥à¬¨¥¢áª¨å ®¯¥à â®à®¢.

«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠§ ¬¥â¨¬, çâ® ®¤­®¢à¥¬¥­­ ï ¯¥à¥áâ ­®¢ª ®¯¥à â®à®¢ ¢ ®¡¥¨å ç áâïå à ¢¥­á⢠(6.143) ­¥ ­ àãè ¥â í⮣® ᮮ⭮襭¨ï. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® ¯®à冷ª ¢à¥¬¥­ ®¯¥à â®à®¢ á®®â- ¢¥âáâ¢ãîâ ¨å à ᯮ«®¦¥­¨î ¢ (6.143). «ï ⮣® çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¨§ T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï N-¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥, ­ ¤® ¢§ïâì ¢á¥ ®¯¥à â®àë ஦¤¥­¨ï ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ¯¥à¥áâ - ¢¨âì ¨å á® ¢á¥¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï, áâ®ï騬¨ «¥¢¥¥ ¨å, ¯®«ì§ãïáì ®¯à¥¤¥- «¥­¨¥¬ (6.142). ਠí⮬ ¬ë ¯®«ã稬 á㬬ã N-¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ⮣® ⨯ , ª®â®àë© ­ ¯¨á ­ ¢ (6.143). ¤­ ª® ¢ ­¥¥ ¡ã¤ã⠢室¨âì ᯠਢ ­¨ï ⮫쪮 â¥å ®¯¥à â®à®¢,

146
ã ª®â®àëå ¯®à冷ª ¢ T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨¨ ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯®à浪		¢ N-¯à®¨§¢¥¤¥­¨¨. ®
â ª ª ª ᯠਢ ­¨ï ®¯¥à â®à®¢, ¤«ï ª®â®àëå ®¡ ¯®à浪		íª¢¨¢ «¥­â­ë, à ¢­ë
­ã«î, ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® ¢ ¯à ¢ãî ç áâì (6.143) ¢å®¤ïâ ­®à¬ «ì­ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï
á® ¢á¥¬¨ ¢®§¬®¦­ë¬¨ ᯠਢ ­¨ï¬¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮६ ¨ª ¤®ª § ­ .
¥®à¥¬ ¨ª	®¡«¥£ç ¥â ¢ëç¨á«¥­¨¥ á।­¨å §­ 祭¨© ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ®¯¥à â®à®¢

¯® j0 >. ।­¥¥ §­ 祭¨¥ ­®à¬ «ì­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ®¯¥à â®à®¢ à ¢­® ­ã«î, ¯®- í⮬㠭 ®¡à é î饩áï ¢ ­ã«ì ¢ª« ¤ ¤ îâ ⮫쪮 ⥠童­ë ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(6.143),

¢ª®â®àëå ¢á¥ ®¯¥à â®àë ᯠ७ë:

<0jT (ABCD:::XY Z)j0 >=< 0jT (AB)j0 >< 0jT(CD)j0 > ::: < 0jT (Y Z)j0 >

< 0jT (AC)j0 >< 0jT (BD)j0 > ::: < 0jT (Y Z)j0 > :::(6.144)

£¤¥ ã竨, çâ®

< 0jA:B:j0 >=< 0jT (AB)j0 >

(6.145)

ª¨¬ ®¡à §®¬ á।­¥¥ à §¡¨¢ ¥âáï ­ á㬬㠢á¥å ¢®§¬®¦­ëå ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© á।- ­¨å ¯® ®á­®¢­®¬ã á®áâ®ï­¨î ®â ®â¤¥«ì­ëå ¯ à T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ®¯¥à â®à®¢. ­ ª ¯¥à¥¤ ª ¦¤ë¬ ç«¥­®¬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç¥â­®á⨠¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ ä¥à¬¨¥¢áª¨å ®¯¥à â®- ஢. § (6.144), ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® á।¨ ®¯¥à â®à®¢ A; B; C; D; ::: ®¡ï§ ⥫쭮 ¤®«¦­® ¡ëâì ç¥â­®¥ ç¨á«® ®¯¥à â®à®¢ ª ¦¤®£® ¯®«ï. ᫨ ¢á¯®¬­¨âì ®¯à¥¤¥«¥- ­¨¥ ä㭪権 ਭ , â® áâ ­®¢¨âáï ïá­®, çâ® ¢ ªã㬭®¥ á।­¥¥ ®â T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï «î¡®£® ç¨á« ®¯¥à â®à®¢ ¯®«ï ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ á㬬㠯ந§¢¥¤¥­¨© ᢮¡®¤­ëå £à¨­®¢áª¨å ä㭪権.

ਬ¥­ïï ⥮६㠨ª ª ¬ âà¨ç­®¬ã í«¥¬¥­âã (6.140), ¬ë ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¥£® ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ç«¥­®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ­¥ª®â®àëå ¯®- ¯ à­ëå á।­¨å. ।¨ ­¨å ¡ã¤ãâ ¢áâà¥ç âìáï ᯠਢ ­¨ï ®¯¥à â®à®¢ ; ¨ A á \¢­¥è­¨¬¨" ®¯¥à â®à ¬¨ ஦¤¥­¨ï ­ ç «ì­ëå ¨«¨ ã­¨ç⮦¥­¨ï ª®­¥ç­ëå ç áâ¨æ.⨠ᯠਢ ­¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ëà ¦¥­ë ç¥à¥§ ¢®«­®¢ë¥ ä㭪樨 ­ ç «ì­ëå ¨ ª®- ­¥ç­ëå ç áâ¨æ ª ª:

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(6.146)

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< 0jbp j0 >= ;p

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;p

£¤¥ Ap; p { ä®â®­­ë¥ ¨ í«¥ªâà®­­ë¥ ¢®«­®¢ë¥ ä㭪樨 á ¨¬¯ã«ìᮬ p. ®«ïà¨-

§æ¨®­­ë¥ ¨­¤¥ªáë ¤«ï ªà ⪮á⨠®¯ã᪠¥¬. ã¤ãâ ¢áâà¥ç âìáï â ª¦¥ ᯠਢ ­¨ï \¢­ãâ७­¨å" ®¯¥à â®à®¢, áâ®ïé¨å ¯®¤ §­ ª®¬ T -¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï. ⨠ᯠਢ ­¨ï

§¬¥­повбп б®®в¢¥вбв¢гой¨¬¨ ¯а®¯ £ в®а ¬¨.

¦¤ë© ¨§ ç«¥­®¢ á㬬ë, ­ ª®â®àãî à §¡¨¢ ¥âáï ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â S- ¬ âà¨æë ¢ १ã«ìâ ⥠¥£® à áªàëâ¨ï ¯® ⥮६¥ ¨ª , ¨§®¡à ¦ ¥âáï ­¥ª®â®à®© ¤¨ £à ¬¬®© ¥©­¬ ­ . ¤¨ £à ¬¬¥ n-£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï ¨¬¥¥âáï n ¢¥à設, ª ¦¤®©

¨§ ª®â®àëå áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ®¤­ ¨§ ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï x1; x2; :::.ª ¦¤®© ¢¥à設¥ á室¨âáï âਠ«¨­¨¨ { ¤¢¥ ᯫ®è­ëå (í«¥ªâà®­­ëå) ¨ ®¤­ ¯ã­ª- â¨à­ ï (ä®â®­­ ï), ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ í«¥ªâà®­­ë¥ ( ¨ ) ¨ ä®â®­­ë© (A)

®¯¥à â®àë, ª ª ä㭪樨 ®¤­®© ¨ ⮩ ¦¥ ¯¥à¥¬¥­­®© x. ਠí⮬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
¢å®¤ïé ï «¨­¨ï,	{ ¢ë室ïé ï.

«ï ¨««îáâà 樨 ¯à¨¢¥¤¥¬ ­¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢ ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ç«¥­ ¬¨ ¬ âà¨ç­®£® í«¥¬¥­â âà¥â쥣® ¯®à浪 ¨ ¤¨ £à ¬¬ ¬¨. ¯ãáª ï §­ ª ¨­â¥£à « ¨

147

¨á. 6-10

¨á. 6-11
T -㯮à冷祭¨ï, â ª¦¥ ¬­®¦¨â¥«¨ ;ie ¨ ­¥ ¢ë¯¨áë¢ ï	à£ã¬¥­â®¢ ã ®¯¥à â®à®¢,
­ ¯¨è¥¬ í⨠童­ë ¢ ᨬ¢®«¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥, ¯®ª § ­­®¬ ­	¨á. 6-10. £¤¥ ᯠਢ -

­¨ï ¯®ª § ­ë, ª ª íâ® ç áâ® ¤¥« ¥âáï, «¨­¨ï¬¨, ᮥ¤¨­ïî騬¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯®«¥¢ë¥ ®¯¥à â®àë. ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ¢­ãâ७­¨å ä®â®­­ëå ᢥà⮪ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ä®â®­­ëå «¨­¨© ­¥ ¨¬¥¥â §­ 祭¨ï, çâ® á¢ï§ ­® á ç¥â­®áâìî ä®â®­­®£® ¯à®¯ £ - â®à ª ª ä㭪樨 x ; x0.

।¨ ¯®«ãç ¥¬ëå â ª¨¬ ®¡à §®¬ ç«¥­®¢ ¥áâì íª¢¨¢ «¥­â­ë¥, ®â«¨ç î騥áï ⮫쪮 ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© ­®¬¥à®¢ ¢¥à設 { ᮮ⢥âá⢨¥¬ ¬¥¦¤ã ¢¥à設 ¬¨ ¨ ­®¬¥- à ¬¨ ¯¥à¥¬¥­­ëå x1; x2; :::, â.¥. ¯à®áâë¬ ¯¥à¥®¡®§­ 祭¨¥¬ ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨­â¥£à¨à®- ¢ ­¨ï. ¨á«® â ª¨å ¯¥à¥áâ ­®¢®ª à ¢­® n!. ­® ᮪à é ¥â ¬­®¦¨â¥«ì n1! ¢ (6.140), ¯®á«¥ 祣® ãç¨âë¢ âì ¤¨ £à ¬¬ë á ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© ¢¥à設 㦥 ­¥ ­ ¤®. ¯à¨¬¥à, íª¢¨¢ «¥­â­ë ¤¢¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¯®ª § ­­ë¥ ­ ¨á.6-11. ¨á.6- 10 ¨ ¨á.6-11 ¨§®¡à ¦¥­ë ⮫쪮 ¢­ãâ७­¨¥ ᯠਢ ­¨ï, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ¢­ãâ७­¨¥ «¨­¨¨ ¤¨ £à ¬¬ (¢¨àâã «ì­ë¥ í«¥ªâà®­ë ¨ ä®â®­ë). á⠢訥áï ᢮- ¡®¤­ë¬¨ ®¯¥à â®àë ᯠਢ îâáï á ⥬¨ ¨«¨ ¨­ë¬¨ ¢­¥è­¨¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨, ¢ à¥- §ã«ìâ ⥠祣® ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ᮮ⢥âá⢨¥ ¬¥¦¤ã ᢮¡®¤­ë¬¨ ª®­æ ¬¨ ¤¨ £à ¬¬ ¨ ⥬¨ ¨«¨ ¨­ë¬¨ ­ ç «ì­ë¬¨ ¨ ª®­¥ç­ë¬¨ ç áâ¨æ ¬¨. ¯à¨¬¥à, , ᯠਢ ïáì á ®¯¥à â®à ¬¨ af ¨«¨ b+i , ¤ ¥â «¨­¨î ª®­¥ç­®£® í«¥ªâà®­ ¨«¨ ­ ç «ì­®£® ¯®§¨âà®­ ,

, ᯠਢ ïáì á a+i ¨«¨ bf , { «¨­¨î ­ ç «ì­®£® í«¥ªâà®­ ¨«¨ ª®­¥ç­®£® ¯®§¨- âà®­ . ¢®¡®¤­ë© ®¯¥à â®à A, ᯠਢ ïáì á c+i ¨«¨ á cf , ¬®¦¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ª ª ­ ç «ì­®¬ã, â ª ¨ ª®­¥ç­®¬ã ä®â®­ã. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥âáï ­¥áª®«ìª®

148

¨á. 6-12

⮯®«®£¨ç¥áª¨ ®¤¨­ ª®¢ëå (â.¥. á®áâ®ïé¨å ¨§ ®¤¨­ ª®¢®£® ç¨á« ®¤¨­ ª®¢® à á- ¯®«®¦¥­­ëå «¨­¨©) ¤¨ £à ¬¬, ®â«¨ç îé¨åáï ⮫쪮 ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬¨ ­ ç «ì­ëå ¨ ª®­¥ç­ëå ç áâ¨æ ¯® ¢å®¤ï騬 ¨ ¢ë室ï騬 ᢮¡®¤­ë¬ ª®­æ ¬. î¡ ï â ª ï ¯¥à¥áâ ­®¢ª íª¢¨¢ «¥­â­ ®¯à¥¤¥«¥­­®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ ¢­¥è­¨å ®¯¥à â®à®¢ a; b; :::.á­®, çâ® ¥á«¨ á।¨ ­ ç «ì­ëå ¨«¨ ª®­¥ç­ëå ç áâ¨æ ¨¬¥îâáï ⮦¤¥á⢥­­ë¥ ä¥à¬¨®­ë, â® ®â­®á¨â¥«ì­ë© §­ ª ¤¨ £à ¬¬, ®â«¨ç îé¨åáï ­¥ç¥â­ë¬ ç¨á«®¬ ¯¥- à¥áâ ­®¢®ª ᢮¡®¤­ëå ª®­æ®¢, ¤®«¦¥­ ¡ëâì ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë¬.

¥¯¥à¥ªàë¢ îé ïáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ᯫ®è­ëå «¨­¨© ­ ¤¨ £à ¬¬ å á®- áâ ¢«ï¥â í«¥ªâà®­­ãî «¨­¨î, ¢¤®«ì ª®â®à®© áâ५ª¨ á®åà ­ïîâ ­¥¯à¥à뢭®¥ ­ - ¯à ¢«¥­¨¥. ­¥¥ ¬®¦¥â ¡ëâì «¨¡® ¤¢ ᢮¡®¤­ëå ª®­æ , «¨¡® ®­ ¬®¦¥â ®¡à §®¢ âì ¯¥â«î, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.6-12. ®åà ­¥­¨¥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¢¤®«ì í«¥ªâà®­­®© «¨­¨¨ ï¥âáï £à ä¨ç¥áª¨¬ ¢ëà ¦¥­¨¥¬ § ª®­ á®åà ­¥­¨ï § àï¤ : \¢å®¤ï騩" ¢ ª ¦¤ãî ¢¥à設㠧 àï¤ à ¢¥­ \¢ë室ï饬ã". ᯮ«®¦¥­¨¥ ¡¨á¯¨­®à­ëå ¨­- ¤¥ªá®¢ ¢¤®«ì ­¥¯à¥à뢭®© í«¥ªâà®­­®© «¨­¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ¯¨á¨ ¬ âà¨æ á«¥¢ ­ ¯à ¢® ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¯à®â¨¢ áâ५®ª. ¨á¯¨­®à­ë¥ ¨­¤¥ªáë à §­ëå í«¥ªâà®­­ëå «¨­¨© ­¨ª®£¤ ­¥ ¯¥à¥¯ãâë¢ îâáï. ¤®«ì ­¥§ ¬ª­ã⮩ «¨­¨¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨­¤¥ªá®¢ § ª ­ç¨¢ ¥âáï ã ᢮¡®¤­ëå ª®­æ®¢ ­ í«¥ªâà®­­ëå (¨«¨ ¯®§¨âà®­­ëå) ¢®«­®¢ëå äã­ªæ¨ïå. § ¬ª­ã⮩ ¯¥â«¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨­¤¥ªá®¢ ⮦¥ § ¬ë- ª ¥âáï, â ª çâ® ¯¥â«¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â è¯ãà ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï à ᯮ«®¦¥­­ëå ¢¤®«ì ­¥¥ ¬ âà¨æ. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® íâ®â è¯ãà ¢á¥£¤ ­ ¤® ¡à âì á® §­ ª®¬ ¬¨­ãá. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯¥â«¥ á k ¢¥à設 ¬¨ ®â¢¥ç ¥â ᮢ®ªã¯­®áâì k ᯠਢ ­¨©:

	( :A ::)( ::A :::):::( :::A :)	(6.147)
¨«¨ ¤à㣠ï íª¢¨¢ «¥­â­ ï, ®â«¨ç îé ïáï ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© ¢¥à設. (k		; 1)-©
ᢥà⪥ ®¯¥à â®àë ¨	㦥 áâ®ïâ à冷¬ ¢ ⮬ ¯®à浪¥ ( á¯à ¢ ®â	), ¢ ª®-

â®à®¬ ®­¨ ¤®«¦­ë áâ®ïâì ¢ í«¥ªâà®­­®¬ ¯à®¯ £ â®à¥. ¯¥à â®àë ¦¥, áâ®ï騥 ¯®

ªà ï¬, ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ á®á¥¤á⢮ á ¯®¬®éìî ç¥â­®£® ç¨á« ¯¥à¥áâ ­®¢®ª á ¤à㣨¬¨ -
®¯¥à â®à ¬¨ ¨ ¯®á«¥ í⮣® ®ª §ë¢ îâáï à ᯮ«®¦¥­­ë¬¨ ¢ ¯®à浪¥ . ®áª®«ìªã
< 0jT 0 j0 >= ;	< 0jT	0j0 >, â® § ¬¥­ í⮣® ᯠਢ ­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯à®-
¯ £ â®à®¬ á¢ï§ ­	á ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ®¡é¥£® §­ ª ¢á¥£® ¢ëà ¦¥­¨ï.

¥à¥å®¤ ª ¨¬¯ã«ìá­®¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ­ àï¤ã á ®¡é¨¬ § ª®­®¬ á®åà ­¥­¨ï 4-¨¬¯ã«ìá , ¤®«¦¥­ ᮡ«î¤ âìáï â ª¦¥ ¨ § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¢ ª ¦¤®© ¢¥à設¥. ¤­ ª® íâ¨å § ª®­®¢ ¬®¦¥â ®ª § âìáï ­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ®¤­®- §­ ç­®£® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¢á¥å ¢­ãâ७­¨å «¨­¨© ¤¨ £à ¬¬. â ª¨å á«ã- ç ïå ¯® ¢á¥¬ ®á⠢訬áï ­¥®¯à¥¤¥«¥­­ë¬¨ ¢­ãâ७­¨¬ ¨¬¯ã«ìá ¬ ¯à®¢®¤ïâáï ¨­-

⥣à¨à®¢ ­¨ï (2d4p)4 .

­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦­® à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ ¢ § ¤ ç¥ ä¨£ãà¨àã¥â ¢­¥è­¥¥ í«¥ª- â஬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ (áà. « ¢ã 4), â.¥. ¯®«¥, ᮧ¤ ¢ ¥¬®¥ \¯ áᨢ­ë¬¨" ç áâ¨æ ¬¨, á®áâ®ï­¨¥ ª®â®- àëå ¢ ¯à®æ¥áᥠà áá¥ï­¨ï ­¥ ¨§¬¥­ï¥âáï (íâ® ¬®£ãâ ¡ëâì â殮«ë¥ \ª« áá¨ç¥áª¨¥" § àï¤ë). ãáâì A(e)(x) { 4-¯®â¥­æ¨ « ¢­¥è­¥£® ¯®«ï. ­ ¢å®¤¨â ¢ « £à ­¦¨ ­ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢¬¥á⥠á ä®â®­- ­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ A ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë A + A(e). ®áª®«ìªã A(e) ï¥âáï ª« áá¨ç¥áª¨¬ c-ç¨á«®¢ë¬

				149
¯®«¥¬, â® ®­® ­¥ ᮤ¥à¦¨â ­¨ª ª¨å ®¯¥à â®à®¢ ¨ ­¥ ¬®¦¥â ᯠਢ âìáï á ¤à㣨¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨.
®í⮬ã, ¢­¥è­¥¬ã ¯®«î ¢ ¤¨ £à ¬¬ å ¥©­¬ ­			¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì ⮫쪮 ¢­¥è­¨¥ «¨­¨¨.
।áâ ¢¨¬ A(e) ¢ ¢¨¤¥ ¨­â¥£à « ãàì¥:
A(e) (x) = Z	d4q		A(e)(q) = Z d4xeiqxA(e)(x)
		e;iqxA(e)(q)		(6.148)
	(2 )4
¢ëà ¦¥­¨ïå ¤«ï ¬ âà¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ 4-¢¥ªâ®à q ¡ã¤¥â 䨣ãà¨-
஢ âì ­ àï¤ã á 4-¨¬¯ã«ìá ¬¨ ¤àã£¨å ¢­¥è­¨å «¨­¨©, ®â¢¥ç îé¨å ॠ«ì­ë¬ ç áâ¨æ ¬. ¦¤®©

â	ª®© «¨­¨¨ ¢­¥è­¥£® ¯®«ï ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«ì A(e)(q), ¯à¨ç¥¬ «¨­¨î ­ã¦­® à áᬠâà¨-
¢	âì ª ª \¢å®¤ïéãî" ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á® §­ ª®¬ ¢ ¯®ª § ⥫¥ e;iqx, á ª®â®àë¬ A(e)(q) ¢å®¤¨â ¢

¨­â¥£à « ãàì¥ (\¢ë室ï饩" «¨­¨¨ ­ ¤® ¡ë«®-¡ë ᮯ®áâ ¢¨âì A(e) (q)). ᫨ ¯à¨ í⮬ § ª®­ á®åà ­¥­¨ï 4-¨¬¯ã«ìá , ¯à¨ § ¤ ­­ëå 4-¨¬¯ã«ìá å ¢á¥å ॠ«ì­ëå ç áâ¨æ, ­¥ 䨪á¨àã¥â ®¤­®- §­ ç­® 4-¨¬¯ã«ìáë ¢á¥å «¨­¨© ¢­¥è­¥£® ¯®«ï, â® ¯® ®á⠢訬áï \᢮¡®¤­ë¬¨" q ¯à®¨§¢®¤¨âáï

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ (2d4q)4 , ª ª ¨ ¯® ¢á¥¬ ¤à㣨¬ ­¥ 䨪á¨à®¢ ­­ë¬ 4-¨¬¯ã«ìá ¬ ¤ ­­®© ¤¨ £à ¬¬ë.

᫨ ¢­¥è­¥¥ ¯®«¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨, â®
A(e)(q) = 2 (q0)A(e)(q)	(6.149)
£¤¥ A(e)(q) { âà¥å¬¥à­ ï ª®¬¯®­¥­â ãàì¥:
A(e)(q) = Z d3 rA(e)(r)e;iqr	(6.150)

­¥è­¥© «¨­¨¨ ⮣¤ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«ì A(e)(q) ¨ ¥© ¯à¨¯¨áë¢ ¥âáï 4-¨¬¯ã«ìá q = (0; q). ­¥à£¨¨ í«¥ªâà®­­ëå «¨­¨©, ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï (¢¬¥áâ¥ á «¨­¨¥© ¢­¥è­¥£® ¯®«ï) ¢ ¢¥à- 設¥, ¯à¨ í⮬ ®¤¨­ ª®¢ë ¢ ᨫ㠧 ª®­ á®åà ­¥­¨ï. ® ¢á¥¬ ®á⠢訬áï ­¥ä¨ªá¨à®¢ ­­ë¬¨

âà¥å¬¥à­ë¬ ¨¬¯ã«ìá ¬ p ¢­ãâ७­¨å «¨­¨© ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ (2d3p)3 .

¤¨¬ ⥯¥àì ᢮¤ªã ®ª®­ç ⥫ì­ëå ¯à ¢¨« ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨, ¯® ª®â®àë¬ á®áâ ¢«ï¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¬¯«¨âã¤ë à áá¥ï­¨ï (â®ç­¥¥ ¤«ï iMfi) ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¢ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥:

1.	ª« ¤ã n-£® ¯®à浪 ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ®â¢¥ç îâ ¤¨ £à ¬¬ë á n ¢¥à設 ¬¨,
	¢ ª ¦¤®© ¨§ ª®â®àëå á室ïâáï ®¤­ ¢å®¤ïé ï ¨ ®¤­ ¢ë室ïé ï í«¥ªâà®­­ë¥
	(ᯫ®è­ë¥) «¨­¨¨ ¨ ®¤­ ä®â®­­ ï (¯ã­ªâ¨à­ ï) «¨­¨ï.	¬¯«¨âã¤ã ¯à®-
	æ¥áá à áá¥ï­¨ï ¢å®¤ï⠢ᥠ¤¨ £à ¬¬ë, ¨¬¥î騥 ᢮¡®¤­ë¥ ª®­æë (¢­¥è­¨¥
	«¨­¨¨), ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ­ ç «ì­ë¬ ¨ ª®­¥ç­ë¬ ç áâ¨æ ¬.
2.	¦¤®© ¢­¥è­¥© ¢å®¤ï饩 ᯫ®è­®© «¨­¨¨ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï	¬¯«¨â㤠­ -

ç «ì­®£® í«¥ªâà®­ u(p) ¨«¨ ª®­¥ç­®£® ¯®§¨âà®­ u(;p). ¦¤®© ¢ë室ï饩 ᯫ®è­®© «¨­¨¨ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬¯«¨â㤠ª®­¥ç­®£® í«¥ªâà®­ u(p) ¨«¨ ­ -

ç «ì­®£® ¯®§¨âà®­ u(;p).

3.¦¤®© ¢¥à設¥ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï 4-¢¥ªâ®à ;ie .

4. ¦¤®© ¢­¥è­¥© ¢å®¤ï饩 ¯ã­ªâ¨à­®© «¨­¨¨ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï						¬¯«¨â㤠­ -
	p4 e			p			e ª®­¥ç­®£®
ç «ì­®£® ä®â®­			, ¢ë室ï饩 «¨­¨¨ { ¬¯«¨âã¤		4
ä®â®­ . ¥ªâ®à­ë© ¨­¤¥ªá ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨­¤¥ªá®¬ ¬ âà¨æë						¢ ᮮ⢥âáâ¢ã-
î饩 ¢¥à設¥, â ª çâ® ¢®§­¨ª ¥â ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥.

5. ¦¤®© ¢­ãâ७­¥© ᯫ®è­®© «¨­¨¨ ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«ì ;G(p), ¢­ã-
â७­¥© ¯ã­ªâ¨à­®© «¨­¨¨ { ¬­®¦¨â¥«ì					;	iD (p). ¥­§®à­ë¥ ¨­¤¥ªáë
ᮢ¯ ¤ îâ á ¨­¤¥ªá ¬¨ ¬ âà¨æ		;
				¢ ¢¥à設 å, ᮥ¤¨­ï¥¬ëå ¯ã­ªâ¨à­®©

«¨­¨¥©.

6.¤®«ì ª ¦¤®© ­¥¯à¥à뢭®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨ í«¥ªâà®­­ëå «¨­¨© áâ५ª¨ ¨¬¥îâ ­¥¨§¬¥­­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥, à ᯮ«®¦¥­¨¥ ¡¨á¯¨­®à­ëå ¨­¤¥ªá®¢ ¢¤®«ì