Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1

20

.

®£¤

S = Z

£¤¥:

d4x[ L + L@ x ]

(2.24)

= @L ' +

@L

@L

L

(@ ') +

x

(2.25)

@(@ ')

@'

@x

§ (2.16) ïá­®, çâ® (@ ') = @ ', â ª çâ® ¨§ (2.24) ¨ (2.25) ­¥¬¥¤«¥­­® á«¥¤ã¥â:

S =

ZR

d4x

@L ' +

@L

@ ( ') + @ (

L

x )

(2.26)

@'

@(@ ')

à¥âì¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ 䨣ãà­ëå ᪮¡ª å ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«­ãî ¤¨¢¥à£¥­æ¨î, â ª ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢ª« ¤ ¢ ¨­â¥£à « ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥®¡à §®¢ ­ (¯® ⥮६¥ãáá ) ¢ ¯®¢¥àå­®áâ­ë© ¨­â¥£à « ¯® £à ­¨æ¥ ®¡« á⨠R. â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (2.26) â ª¦¥ ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¢ë¤¥«¨âì ¯®«­ãî ¤¨¢¥à£¥­æ¨î:

@(@@L')

@ ( ') = @

@(@@L')

' ; @

@(@@L')

'

(2.27)

१ã«ìâ ⥠¯¥à¥¯¨áë¢ ¥¬ ¢ ਠæ¨î ¤¥©á⢨ï (2.26) ¢ ¢¨¤¥:

S =

ZR

d4x

@L

;

@

@L

' +

@'

@(@ ')

+

d

@L

'

+

L

x

(2.28)

~

@ '

ZR

ᨫã ãá«®¢¨ï (2.18) ¢ ਠ樨 ' ¨ x ­

£à ­¨æ¥ ®¡« á⨠¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï R à ¢­ë

­ã«î, â ª çâ® ¯®¢¥àå­®áâ­ë© ¨­â¥£à « ¢ (2.28) ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì. ®£¤

ãá«®¢¨¥

áâ 樮­ à­®á⨠¤¥©á⢨ï S = 0 ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ¢ ਠæ¨ïå ¯®«ï ¨ ª®®à¤¨­ â

¤ ¥â:

@L

@

@L

= 0

(2.29)

; @x

@(@ ')

@'

â® ¥áâì ®¡é¨© ¢¨¤ ãà ¢­¥­¨© £à ­¦

(ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï) ¤«ï ¯®«ï ' 1.

¯¨è¥¬ « £à ­¦¨ ­ ᪠«ïà­®£® ¯®«ï ¢ ¢¨¤¥ ¯à®á⥩襩 ª¢ ¤à â¨ç­®© ä®à¬ë

¯® ¯®«î ¨ ¥£® ¯¥à¢ë¬ ¯à®¨§¢®¤­ë¬:
			1		1
	L =		2g (@ ')(@ ') ; 2m2'2			(2.30)
®£¤ ¨¬¥¥¬
@L =	;	m2	'	@L	= g (@ ') = @ '	(2.31)
@'				@(@ ')
¨ ãà ¢­¥­¨¥ £à ­¦ ᢮¤¨âáï ª ãà ¢­¥­¨î «¥©­ { ®à¤®­ :
	@ @ ' + m2' ' + m2' = 0					(2.32)

â® ãà ¢­¥­¨¥ «¨­¥©­® ¨ ®â¢¥ç ¥â ᢮¡®¤­®¬ã (­¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饬ã) ¯®«î. ᫨ ¡ë ¬ë ¯à¨¯¨á «¨ ª « £à ­¦¨ ­ã (2.30) ¨­¢ ਠ­âë ¯®«ï ' ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ¯®à浪®¢ (á⥯¥­¥©), â® ã ­ á ¢®§­¨ª«¨ ¡ë ­¥«¨­¥©­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï ¤«ï á ¬®¤¥©áâ¢ã- î饣® ᪠«ïà­®£® ¯®«ï.

1 ஢¥¤¥­­ë© ¢ë¢®¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï «î¡®£® ¯®«ï, ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮 ¤«ï ᪠«ïà­®£®. á«ãç ¥ ¢¥ªâ®à­ëå,⥭§®à­ëå ¨«¨ ᯨ­®à­ëå ¯®«¥© í⮬ã ãà ¢­¥­¨î 㤮¢«¥â¢®àïî⠢ᥠª®¬¯®­¥­âë ¯®«п, ª®в®ал¥ ­г¬¥аговбп б®®в¢¥вбв¢гой¨¬¨ ¨­¤¥ªб ¬¨.

.

21

¥®à¥¬ ¥â¥à.

¥à­¥¬áï ª ¢ëà ¦¥­¨î (2.28) ¨ ¯¥à¥¯¨è¥¬ ¯®¢¥àå­®áâ­ë© ¨­â¥£à « ¢ ¨­®¬ ¢¨¤¥:

ZR

@'

;

@(@ ')

S =

d4x

@L

@

@L

' +

+

~ d

@(@@L')

[ ' + (@ ') x ];

ZR ; @(@@L')

(@ ') ; L x

(2.33)

£¤¥ ¯à®áâ® ¤®¡ ¢«¥­® ¨ ¢ëç⥭® ®¤­® ¨ ⮦¥. ëà ¦¥­¨¥ ¢ ¯¥à¢ëå ª¢ ¤à â­ëå ᪮¡ª å ¢ ¯®¢¥àå­®áâ­®¬ ¨­â¥£à «¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«­ãî ¢ ਠæ¨î ¯®«ï, ®¯à¥¤¥«¥­­ãî ¢ (2.20). â®à ï ª¢ ¤à â­ ï ᪮¡ª , ª ª ¬ë ã¡¥¤¨¬áï ­¨¦¥, ®¯à¥¤¥- «ï¥â ⥭§®à í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá :

=

@L

@ ' ; L

(2.34)

@(@ ')

¥¯¥àì S ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

; @x

@(@ ')

ZR

@'

S =

d4x

@L

@

@L

' +

ZR

@L

' ;

x

+

~ d

@(@ ')

(2.35)

¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë© ¨­â¥£à « §¤¥áì à ¢¥­ ­ã«î (¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ¢ ਠæ¨ïå ') ¢ ᨫ㠢믮«­¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï (2.29). áᬮâਬ ⥯¥àì ¢â®à®© ç«¥­ ¢ (2.35). ãáâì ¤¥©á⢨¥ S ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® ­¥ª®â®à®© ­¥¯à¥à뢭®© £à㯯ë

¯à¥®¡à	§®¢	­¨© x ¨ ' (£àã¯¯ë ¨). ®£¤	¬®¦­® § ¯¨á âì ¨­ä¨­¨â¥§¨¬ «ì­ë¥
¯à¥®¡à	§®¢	­¨ï:
		x = X !	' = !	(2.36)

£¤¥ ! { ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë¥ ¯ à ¬¥âàë £à㯯®¢®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (\ã£«ë ¯®¢®- à®â "), X { ­¥ª®â®à ï ¬ âà¨æ , { ­¥ª®â®àë¥ ç¨á« . ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¨­¤¥ªáë ¯à¨ íâ¨å ¢¥«¨ç¨­ å ¬®£ãâ ¡ëâì ¤¢®©­ë¬¨, âன­ë¬¨ ¨ â.¯., ¢ ç áâ­®á⨠¬®¦­® à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ ¨¬¥¥âáï ­¥ª®â®àë© ¬ã«ì⨯«¥â ¯®- «¥© 'i, â ª çâ®

'i = ij !j

(2.37)

£¤¥ ⥯¥àì ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬ âà¨æã ¢ ­¥ª®â®à®¬ ¡áâà ªâ­®¬ (\¨§®â®¯¨ç¥- ᪮¬") ¯à®áâà ­á⢥.

ॡãï ⥯¥àì ¨­¢ ਠ­â­®á⨠¤¥©á⢨ï S = 0 ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯à¥®¡à §®¢ ­¨î

(2.36), ¨§ (2.35), á ãç¥â®¬ (2.29), ¯®«ãç			¥¬:
ZR		@L	; X			! = 0
~ d		@(@ ')					(2.38)
çâ®, ¢¢¨¤ã ¯à®¨§¢®«ì­®á⨠! , ¯à¨¢®¤¨â ª:
		ZR		J = 0
		d					(2.39)
		~

22 .

£¤¥:	@(@@L')
J =			; X	(2.40)
® ⥮६¥ ãáá ¨§ (2.39) ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®áâ¨:
@		J = 0		(2.41)
â ª çâ® ¢¥«¨ç¨­ J ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á®åà ­ïî騩áï ⮪. ®ç­¥¥, á®åà ­ïî-
饩áï ¢¥«¨ç¨­®© ï¥âáï ®¡®¡é¥­­ë© § àï¤:
Q = Z d J				(2.42)

£¤¥ ¨­â¥£à « ¡¥à¥âáï ¯® ¯à®¨§¢®«ì­®© ¯à®áâà ­á⢥­­® { ¯®¤®¡­®© £¨¯¥à¯®¢¥àå­®- á⨠. ᫨ ¢§ïâì ¢ ¢¨¤¥ £¨¯¥à¯«®áª®á⨠t = const, â® ¯®«ã稬 ¯à®áâ® ¨­â¥£à « ¯® âà¥å¬¥à­®¬ã ®¡ê¥¬ã V :

Q = ZV d3xJ0	(2.43)
¡ëç­ë¬ ®¡à §®¬ [25], ¨­â¥£à¨àãï (2.41) ¯® ®¡ê¥¬ã V , ¨¬¥¥¬:
ZV d3x@0J0 + ZV @iJi = 0	(2.44)
â®à®© ¨­â¥£à « §¤¥áì ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¯® âà¥å¬¥à­®© ⥮६¥ ãáá	¢ ¯®¢¥àå­®áâ-
­ë©, ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®â®ª § àï¤ ç¥à¥§ íâã ¯®¢¥àå­®áâì [25]. «ï § ¬ª­ã⮩

á¨á⥬ë ( ᥫ¥­­®©) íâ®â ¯®â®ª à ¢¥­ ­ã«î ¨ ¯®«ãç ¥¬:
	d		d3xJ0 =	dQ = 0	(2.45)
	dt ZV
				dt

â® ¨ ¥áâì ®á­®¢­®¥ ã⢥ত¥­¨¥ â¥®à¥¬ë ¥â¥à | ¨­¢ ਠ­â­®áâì ¤¥©áâ¢¨ï ®â- ­®á¨â¥«ì­® ­¥ª®â®à®© ­¥¯à¥à뢭®© ®¯¥à 樨 (£à㯯ë) ᨬ¬¥âਨ ¯à¨¢®¤¨â ª á®- ®â¢¥âáâ¢ãî饬㠧 ª®­ã á®åà ­¥­¨ï.

áᬮâਬ ¯à®á⮩ ¯à¨¬¥à. ãáâì ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ᨬ¬¥âਨ (2.36) ᢮¤ïâáï

ª¯à®áâë¬ âà ­á«ïæ¨ï¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ { ¢à¥¬¥­¨:

x = "	' = 0	(2.46)
â ª çâ®
X =	= 0	(2.47)
®£¤ ¨§ (2.40) ­¥¬¥¤«¥­­® ¯®«ãç ¥¬:
J = ;		(2.48)

¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:

	dt Z
	d	d3x 0	= 0	(2.49)
çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© § ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá				¨, ªáâ â¨, ¯®¤â¢¥à-
¦¤ ¥â ¢¢¥¤¥­­®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥭§®à			í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá . ਠí⮬, ¢¥«¨-
稭	P = Z d3x 0
				(2.50)

.

23

¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© 4-¨¬¯ã«ìá ­ 襣® ¯®«ï. â® ¯®­ïâ­® ¨ ¨§ ¯à®á⮩

­ «®£¨¨ á

¬¥å ­¨ª®©. § ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (2.34), ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â:

Z

0

Z

@'

; L

d3x 0 =

d3x

@L'

(2.51)

çâ® ­ «®£¨ç­® ¨§¢¥áâ­®¬ã ¢ëà ¦¥­¨î, á¢ï§ë¢ î饬ã äã­ªæ¨î £à ­¦ á £ -

¬¨«ìâ®­¨ ­®¬ ¢ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¥ [26]:

X

@L

H =

i

piqi ; L

pi = @qi

(2.52)

R

â ª çâ® (2.51) ¤ ¥â í­¥à£¨î ¯®«ï. ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬, ¢¥«¨ç¨­

d3x i0

®¯à¥¤¥-

«ï¥â ¨¬¯ã«ìá ¯®«ï.

ª¨¬ ®¡à §®¬, á®åà ­¥­¨¥ í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá

¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï «î¡®© á¨á⥬ë,

« £à ­¦¨ ­ (¤¥©á⢨¥) ª®â®à®© ­¥ § ¢¨á¨â ® ®â x .

«ï « £à ­¦¨ ­

«¥©­ { ®à¤®­ (2.30) ¨§ (2.34) áà §ã ¯®«ãç ¥¬ ⥭§®à í­¥à-

£¨¨ ¨¬¯ã«ìá ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:

= (@ ')(@ ') ; g L

(2.53)

â® ¢ëà ¦¥­¨¥ ï¢­ë¬ ®¡à §®¬ ᨬ¬¥âà¨ç­® ¯® ¨­¤¥ªá ¬ = . ® â ª ­¥

¢á¥£¤ ¯®«ãç ¥âáï, ¥á«¨ ¯®«ì§®¢ âìáï ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ (2.34) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® « -

£à ­¦¨ ­ . ⮦¥ ¢à¥¬ï ª (2.34) ¢á¥£¤

¬®¦­® ¤®¡ ¢¨âì ç«¥­ ⨯

@ f , £¤¥

f = ;f , â ª çâ® @ @ f

0 ¨ § ª®­ á®åà ­¥­¨ï (2.49) ­¥ ­ àãè ¥âáï.

ª®© ­¥®¯à¥¤¥«¥­­®áâìî ¬®¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¨ ¢¢¥áâ¨

T = + @ f

(2.54)

¢ë¡à ¢ f â ª, çâ®¡ë ¢ë¯®«­ï«®áì ãá«®¢¨¥ ᨬ¬¥âਨ T = T . ®¤®¡à ­­ë©

â ª¨¬ ®¡à §®¬ ⥭§®à í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá

­ §ë¢ ¥âáï ª ­®­¨ç¥áª¨¬. áâ¥á⢥­­®,

çâ®

@ T = @ = 0

(2.55)

®«­ë© 4-¨¬¯ã«ìá ¯à¨ í⮬ â ª¦¥ ­¥ ¬¥­ï¥âáï, ¯®áª®«ìªã ¨¬¥¥â ¬¥áâ®:

Z

d3x@ f 0 = Z

d3x@ifi0 =

Z d ifi0 = 0

(2.56)

¥à¢®¥ à ¢¥­á⢮ ¢ (2.56) á«¥¤ã¥â ¨§ f00 = 0,

¢â®à®¥ ¨§ ⥮६ë ãáá . ã«ì

¢ ¯à ¢®© ç á⨠¢®§­¨ª ¥â ¯à¨ ®â­¥á¥­¨¨ ¯®¢¥àå­®á⨠­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì, £¤¥ ¯®«ï

бз¨в овбп ®вбгвбв¢гой¨¬¨.

ª¨¬ ®¡à §®¬, í­¥à£¨ï ¨ ¨¬¯ã«ìá ¯®«ï ®ª §ë¢ îâáï ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬¨ ®¤­®-

§­ ç­®, ­¥á¬®âàï ­

­¥ª®â®àãî ­¥®¤­®§­ ç­®áâì ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ⥭§®à

í­¥à£¨¨

{ ¨¬¯ã«ìá .

¬¥¥âáï àï¤ á®®¡à ¦¥­¨© 䨧¨ç¥áª®£® å à ªâ¥à , ¯® ª®â®àë¬ â¥­§®à í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá á«¥¤ã¥â ¢á¥£¤ ¢ë¡¨à âì ᨬ¬¥âà¨ç­ë¬ [8, 25]. ᮡ¥­­® ¨§ïé­ë© à£ã¬¥­â ®á­®¢ ­ ­ ¯à¨¢«¥- 祭¨¨ ®¡é¥© ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®áâ¨. à ¢­¥­¨ï ©­è⥩­ ¤«ï £à ¢¨â 樮­­®£® ¯®«ï (¬¥âਪ¨ ¯à®áâà ­á⢠g ) ¨¬¥îâ ¢¨¤ [25]:

1		8 G
R ; 2g R = ;		c2	T		(2.57)
£¤¥ R { ᢥà­ãâë© â¥­§®à ªà¨¢¨§­ë ¨¬ ­	(⥭§®à ¨çç¨), R { ᪠«ïà­ ï ªà¨¢¨§­				¯à®áâà ­-

á⢠, G { ­ìîâ®­®¢áª ï ª®­áâ ­â â⥭¨ï. ¥¢ ï ç áâì (2.57) áâநâáï ¨§ ¬¥âà¨ç¥áª®£® ⥭§®à g ¨ ¥£® ¯à®¨§¢®¤­ëå, ïïáì ç¨áâ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡ê¥ªâ®¬. ਠí⮬ ®­ ¢á¥£¤ ᨬ¬¥âà¨ç­ ¯® ; [25]. ®í⮬㠨 ⥭§®à í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá ¬ â¥à¨¨, áâ®ï騩 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¨ ïî騩áï ¨áâ®ç­¨ª®¬ £à ¢¨â 樮­­®£® ¯®«ï, ¤®«¦¥­ ¡ëâì ᨬ¬¥âà¨ç­ë¬.

24

.

®¬¯«¥ªá­®¥ ᪠«ïà­®¥ ¨ í«¥ªâ஬ £­¨â- ­®¥ ¯®«¥.

áᬮâਬ ⥯¥àì ᪠«ïà­®¥ ª®¬¯«¥ªá­®¥ ¯®«¥, ª®â®à®¥ 㤮¡­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

1
' = p		('1	+ i'2)	(2.58)
	2
1
' = p		('1	; i'2)	(2.59)
	2

ªâ¨ç¥áª¨ §¤¥áì à áᬠâਢ ¥âáï 㦥 ¤¢ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ᪠«ïà­ëå ¯®«ï '1; '2, ª®â®àë¥ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì, ­ ¯à¨¬¥à, ª ª ¯à®¥ªæ¨¨ ­¥ª®â®à®£® ¤¢ã¬¥à­®£® ¢¥ªâ®à ­ ®á¨ 1 ¨ 2 ¢ ­¥ª®â®à®¬ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¬ 2¯à®áâà ­á⢥, áá®æ¨¨à㥬®¬ á ­ 訬 ¯®«¥¬. ãç¥â®¬ âॡ®¢ ­¨ï ¤¥©á⢨⥫쭮á⨠¤¥©á⢨ï, « £à ­¦¨ ­ â - ª®£® ¯®«ï, ­ «®£¨ç­ë© (2.30) ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

L = (@ ')(@ ' ) ; m2' '

(2.60)

áᬠâਢ ï ⥯¥àì ¯®«ï ' ¨ ' ª ª ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥, ¨§ ãà ¢­¥­¨© - £à ­¦ (2.29) ¯®«ãç ¥¬ ¤¢ ãà ¢­¥­¨ï «¥©­ { ®à¤®­ :

( + m2)' = 0	(2.61)
( + m2)' = 0	(2.62)

£à ­¦¨ ­ (2.60) ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡à §®¬ ¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® â ª ­ §ë¢ ¥¬ëå £«®¡ «ì­ëå3 ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¢¨¤ :

' ! e;i '

' ! ei '

(2.63)

£¤¥ { ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¤¥©áâ¢¨â¥«ì­ ï ª®­áâ ­â . (2.63) ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ⨯¨ç­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ £àã¯¯ë ¨ (¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ { £à㯯ë U(1) ¤¢ã¬¥à­ëå ¢à 饭¨©), ᮮ⢥âá⢥­­®, ¤«ï ¬ «ëå ¢á¥£¤ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

' = ;i ' ' = i '

(2.64)

{ ¨­ä¨­¨â¥§¨¬ «ì­ë¥ ª «¨¡à®¢®ç­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï. ¢¨¤ã ­¥§ ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯à®áâà ­á⢥­­® { ¢à¥¬¥­­®© ª®®à¤¨­ âë, ¨­ä¨­¨â¥§¨¬ «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯à®¨§¢®¤­ëå ¯®«ï ¨¬¥îâ â ª®© ¦¥ ¢¨¤:

(@ ') = ;i @ ' (@ ' ) = i @ '		(2.65)
®¡®§­ 祭¨ïå (2.36) ¨¬¥¥¬:
= ;i' = i' X = 0		(2.66)

2 ¥à¬¨­ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ­ ¬¨ ¢ ¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢ ¢­¥ ¢á类© á¢ï§¨, ­® ¯® ­ - «®£¨¨ á ¨§®â®¯¨ç¥áª®© ᨬ¬¥âਥ© ¢ 拉୮© 䨧¨ª¥ ¨ ⥮ਨ ¤à®­®¢ [27]. ¥çì §¤¥áì ¨¤¥â ® ­¥ª®â®à®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¢­ãâ७­¨å ª¢ ­â®¢ëå ç¨á¥« ¯®«ï (ç áâ¨æë), á®åà ­¥­¨î ª®â®àëå á®®â- ¢¥âáâ¢ã¥â ­ ¤«¥¦ é ï ᨬ¬¥âà¨ï ¢ í⮬ ¯à®áâà ­á⢥.

3 ¥à¬¨­ £«®¡ «ì­ë¥ ®§­ ç ¥â §¤¥áì â®, çâ® ¯à®¨§¢®«ì­ ï ä § §¤¥áì ®¤¨­ ª®¢ ¤«ï ¯®«¥©, ¢§ïâëå ¢ à §«¨ç­ëå â®çª å ¯à®áâà ­á⢠{ ¢à¥¬¥­¨.

	.					25
	â ª çâ® á®åà ­ïî騩áï ­¥â¥à®¢áª¨© ⮪ (2.40) ¨¬¥¥â ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¢¨¤:
	J =	@L	( i') +	@L	(i' )	(2.67)
		@(@ ')		@(@ ' )
			;
	ãç¥â®¬ (2.60) ¯®«ãç ¥¬:
		J = i(' @ ' ; '@ ' )				(2.68)

{ ï¢­ë© ¢¨¤ ⮪ , 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ãà ¢­¥­¨î:

@ J = 0

(2.69)

¢ë¯®«­¨¬®á⨠í⮣® ãá«®¢¨ï ¬®¦­® ã¡¥¤¨âìáï ¨ ­¥¯®á।á⢥­­®, ¨á¯®«ì§ãï ãà ¢­¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï (2.61), (2.62). ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ ¢®§- ­¨ª ¥â á®åà ­ïî騩áï § àï¤:

Q = Z dV J0

@'

@'

= i Z dV ' @t ; '

@t

(2.70)

᫨ ¯®«¥ ¤¥©á⢨⥫쭮, â® ' = ' ¨, ®ç¥¢¨¤­®, ¨¬¥¥¬ Q = 0, â ª çâ® ¯®­ï⨥ á®-

åà ­ïî饣®áï § àï¤

dQ=dt = 0 ¬®¦­® ¢¢¥á⨠⮫쪮 ¤«ï ª®¬¯«¥ªá­®£® ¯®«ï. à¨

í⮬ ®¯à¥¤¥«ïî饥 §­ 祭¨¥ ¨¬¥¥â U(1) ᨬ¬¥âà¨ï « £à ­¦¨ ­

(2.60), (2.63). -

¬¥â¨¬, çâ® ¢á¥ à áᬮâ७¨¥ ¯®ª

çâ® ®áâ ¥âáï ç¨áâ® ª« áá¨ç¥áª¨¬, ᮮ⢥âá⢥­­®

Q ¬®¦¥â ¯à¨­¨¬ âì «î¡ë¥ (­¥æ¥«®ç¨á«¥­­ë¥) §­ 祭¨ï.

¥à¥¯¨è¥¬ (2.60) á ¯®¬®éìî (2.58), (2.59) ¢ ¢¨¤¥

¤¤¨â¨¢­®© áã¬¬ë « £à ­¦¨-

­®¢ ¯®«¥© '1; '2:

1

'2)] ;

1

2

2

2

L = 2

[(@ '1)(@

'1) + (@ '2)(@

2m

('1 + '2)

(2.71)

®£¤ , ¢¢®¤ï § ¯¨áì ¯®«ï ' ¢ ¢¨¤¥ ¢¥ªâ®à '~ ¢ ¤¢ã¬¥à­®¬ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­-

á⢥:

~

~

(2.72)

'~ = '1i + '2j

~ ~

{ ¥¤¨­¨ç­ë¥ ®àâë ¢ í⮬ ¯à®áâà ­á⢥, ¬®¦­® § ¯¨á âì (2.71) ª ª:

£¤¥ i; j

1

(@ '~)(@ '~) ;

1

L =

2

2m2'~ '~

(2.73)

®âªã¤

ïá­® ¢¨¤¥­ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá« à áᬠâਢ ¥¬®© ᨬ¬¥âਨ ⥮ਨ (« -

£à ­¦¨ ­ ). «¨¡à®¢®ç­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (2.63) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¨ â ª:

'0 + i'0 = e;i ('

1

+ i'

)

1

2

2

'0

i'0 = ei ('1

;

i'2)

1 ;

2

¨«¨

'0

= '

1

cos + '

2

sin

1

'0 =

'

sin + '

cos

(2.74)

2

;

1

2

çâ® ®¯¨áë¢ ¥â ¯®¢®à®â ¢¥ªâ®à

'~ ­

㣮« ¢ ¯«®áª®á⨠1; 2. £à ­¦¨ ­, ®ç¥¢¨¤­®,

¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® â ª¨å ¯®¢®à®â®¢, â.¥. ®â­®á¨â¥«ì­® £àã¯¯ë ¤¢ã¬¥à­ëå

26 .

¢à 饭¨© O(2) ¨«¨ ¨§®¬®àä­®© ¥© £à㯯ë U(1) { ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (2.63) ®ç¥¢¨¤­® ã­¨â à­ë: ei (ei ) = 1. à㯯®¢®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬­®¦¥á⢮¬ ¢á¥å ¢®§¬®¦­ëå 㣫®¢ (ä §) , ®¯à¥¤¥«¥­­ëå á â®ç­®áâìî ¤® 2 n (n { 楫®¥, ¯®¢®à®â ­ ⮦¤¥á⢥­ ¯®¢®à®âã ­ + 2 n), ¨ ⮯®«®£¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥­â­® ®ªà㦭®á⨠¥¤¨­¨ç­®£® à ¤¨ãá .

¢®â ⥯¥àì ¬®¦­® ¯®¯ëâ âìáï ᤥ« âì à¥è î騩 è £! ®¦­® § ¤ âìáï ¤®- áâ â®ç­® ä®à¬ «ì­ë¬ ¢®¯à®á®¬ { ­¥«ì§ï-«¨ ᤥ« âì ­ èã ⥮à¨î ¨­¢ ਠ­â­®© ®â­®á¨â¥«ì­® «®ª «ì­ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ⨯ (2.63), ­® á ä §®© (㣫®¬), ïî饩áï ¯à®¨§¢®«ì­®© ä㭪樥© ¯à®áâà ­á⢥­­® { ¢à¥¬¥­­®© â®çª¨, ¢ ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«¥­® ­ è¥ ¯®«¥:

'(x) ! e;i(x)'(x) ' (x) ! ei(x)' (x) (2.75)

ᮡëå ¯®¢®¤®¢ ¤«ï â ª®£® ¦¥« ­¨ï, ¢ ®¡é¥¬-â®, ­¥â. ã à §¢¥ çâ® ¬®¦­® ᪠§ âì, çâ® £«®¡ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (2.63) ­¥¢ ¦­® ᬮâà¨âáï á â®çª¨ §à¥­¨ï ®¡é¥© ¨¤¥®«®£¨¨ ५ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ { ¬ë \¢à é ¥¬" ­ è¥ ¯®«¥ ­ ®¤¨­ ¨ â®â ¦¥ 㣮« (¢ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥) ¢® ¢á¥å â®çª å ¯à®áâà ­á⢠{ ¢à¥¬¥­¨, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¢ â¥å, ª®â®àë¥ à §¤¥«¥­ë ¯à®áâà ­á⢥­­® { ¯®¤®¡­ë¬ ¨­â¥à¢ «®¬, â.¥. ­¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¨ç¨­­® á¢ï§ ­ë. ® ¢¥¤ì ¨ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­¨ª ª ¯®ª ­¥ á¢ï§ ­® á ¯à®áâà ­á⢮¬ { ¢à¥¬¥­¥¬. ® ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® âॡ®¢ ­¨¥ ¨­¢ - ਠ­â­®á⨠⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­® (2.75) ¯®ç⨠­¥¬¥¤«¥­­® ¯à¨¢®¤¨â ª ᮢ¥à襭­®

§¬¥ç ⥫ì­ë¬ १ã«ìâ â ¬.

¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ ¨­¢ ਠ­â­®áâì ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­® (2.75) ­¥¢®§¬®¦­ . á-

ᬮâਬ ®¯ïâì á«ãç © ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© á (x) 1. ®£¤ (2.75) ᢮¤¨âáï ª:

' ! ' ; i ' ' = ;i '

(2.76)

çâ® ¨¤¥­â¨ç­® á (2.64). ¤­ ª® ¤«ï ¯à®¨§¢®¤­ëå ¯®«ï ¢á¥ á«®¦­¥¥ ¢ ᨫã ®© § ¢¨á¨¬®á⨠(x) ®â ª®®à¤¨­ âë:

@ ' ! @ ' ; i(@ )' ; i (@ ')	(2.77)
(@ ') = ;i (@ ') ; i(@ )'	(2.78)

çâ®, ¥áâ¥á⢥­­®, ­¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á (2.65). «ï ª®¬¯«¥ªá­® ᮯà殮­­®£® ¯®«ï ¢á¥ ­ «®£¨ç­®:

' ! ' + i ' ' = i '	(2.79)
@ ' ! @ ' + i(@ )' + i (@ ' )	(2.80)
(@ ' ) = i (@ ' ) + i(@ )'	(2.81)

вг б¨вг ж¨о ®¡лз­® е а ªв¥а¨§гов б«®¢ ¬¨ ® ⮬, зв® ¯а®¨§¢®¤­л¥ ¯®«п ' ¯а¥- ®¡а §говбп в¥¯¥ам (¢ ®в«¨з¨¥ ®в б ¬®£® ¯®«п) ­¥ª®¢ а¨ ­в­®, в.¥. ­¥ ¯а®¯®аж¨®- ­ «м­® б ¬¨¬ б¥¡¥. б¥ ¯®ав¨в б« £ ¥¬®¥ б ¯а®¨§¢®¤­®© ! ¨ª ª®© ¨­¢ а¨ ­в­®бв¨ « £а ­¦¨ ­ (2.60) ®в­®б¨в¥«м­® в ª¨е ¯а¥®¡а §®¢ ­¨© ¯а®бв® ­¥в. ®б¬®ва¨¬, ®¤- ­ ª®, ­¥«м§п-«¨ ¥¥ ®¡¥б¯¥з¨вм?

	§¬¥­¥­¨¥ « £à ­¦¨ ­			¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ¢ ਠæ¨ïå ¯®«¥© ¨ ¨å ¯à®¨§¢®¤­ëå
	¨¬¥¥â ¢¨¤:			@L ' +	@L
		L	=			(@ ') + ('	!	' )	(2.82)
					@(@ ')
				@'

.									27
¥à¥¯¨áë¢ ï ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ á ¯®¬®éìî ãà ¢­¥­¨© £à ­¦ (2.29) ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï
(2.76) ¨ (2.78), ¯®«ã稬:
L = @	@L	(; ') +		@L	(;i @ ' ; i'@ ) + (' ! ' ) =
	@(@ ')		@(@ ')
		= ;i @		@L		' ; i	@L	(@ )' + (' ! ' )	(2.83)
				@(@ ')			@(@ ')
¥à¢ë© ç«¥­ §¤¥áì ¯à®¯®à樮­ «¥­ ¤¨¢¥à£¥­æ¨¨ ®â á®åà ­ïî饣®áï ⮪									(2.67) ¨
à ¢¥­, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ã«î. â®à®¥ ¦¥ á« £ ¥¬®¥, á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ®£® ¢¨¤
« £à ­¦¨ ­ , ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤:
		L = i@ (' @ ' ; '@ ' ) = J @							(2.84)
£¤¥ J ¢á¥ â®â ¦¥ á®åà ­ïî騩áï ⮪ (2.68).

â ª, ¤¥©á⢨¥ ­¥¨­¢ ਠ­â­® ¯® ®â­®è¥­¨î ª «®ª «ì­ë¬ ª «¨¡à®¢®ç­ë¬ ¯à¥- ®¡à §®¢ ­¨ï¬. ª §ë¢ ¥âáï, ®¤­ ª®, çâ® ¨­¢ ਠ­â­®áâì ¤¥©áâ¢¨ï ¬®¦­® ®¡¥á¯¥- ç¨âì ¯ã⥬ ¢¢¥¤¥­¨ï ­®¢®£® ¢¥ªâ®à­®£® ¯®«ï A , ­¥¯®á।á⢥­­® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî- 饣® á ⮪®¬ J , ¤®¡ ¢¨¢ ª ­ 襬㠫 £à ­¦¨ ­ã á«¥¤ãî騩 ç«¥­ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï:

1 =	;	eJ A =		;	ie(' @ '	;	'@ ' )A	(2.85)
L
£¤¥ e { ¡¥§à §¬¥à­ ï ª®­áâ ­â			á¢ï§¨. ®âॡ㥬 ⥯¥àì, çâ®¡ë ®¤­®¢à¥¬¥­­® á «®-
ª «ì­ë¬¨ ª «¨¡à®¢®ç­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨ ¯®«ï ' (2.75) ¯®«¥ A ¯®¤¢¥à£ «®áì
¡ë £à ¤¨¥­â­®¬ã ¯à¥®¡à §®¢ ­¨î ¢¨¤ :
			A ! A + 1e @					(2.86)
®£¤ ¯®«ã稬:
L1 = e( J )A ; eJ ( A ) = ;e( J )A ; J @								(2.87)

¨¤¨¬, çâ® ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (2.87) ª ª à § â®ç­® ᮪à é ¥â (2.84). ® ­ã¦­® ⥯¥àì ¥é¥ ¨§¡ ¢¨âìáï ®â ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® ¢ (2.87). ¯®¬®éìî (2.76), (2.79) ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì:

J = i (' @ ' ; '@ ' ) = 2' '@					(2.88)
â ª çâ®				2eA (@ )' '
	L	+ 1 =	;		(2.89)
		L
® ¤®¡ ¢¨¬ ª L ¥é¥ ®¤¨­ ç«¥­:
		L2 = e2A A ' '			(2.90)
®£¤ ¯®¤ ¢®§¤¥©á⢨¥¬ (2.86) ¨¬¥¥¬:
2 = 2e2A A ' ' = 2e2A (@ )' '					(2.91)
L
¥¯¥àì «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ®
		L + L1 + L2 = 0			(2.92)

â ª çâ® ¨­¢ ਠ­â­®áâì ¤¥©áâ¢¨ï ®â­®á¨â¥«ì­® «®ª «ì­ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥- ®¡à §®¢ ­¨© ®¡¥á¯¥ç¥­ !

28

.

ç⥬ ⥯¥àì, çâ® ¢¢¥¤¥­­®¥ ­ ¬¨ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯®«¥ A ¤®«¦­® ®¡« ¤ âì ¨ á®®â- ¢¥âáâ¢ãî騬 \᢮¡®¤­ë¬" ¢ª« ¤®¬ ¢ « £à ­¦¨ ­. â®â ¢ª« ¤ ¤®«¦¥­ ¡ëâì ¨­¢ - ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® £à ¤¨¥­â­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© (2.86). ®­ïâ­®, ª ª âãâ ­ ¤® ¯®áâ㯨âì. ¢¥¤¥¬ 4-¬¥à­ë© à®â®à ¯®«ï A :

		F = @ A ; @ A						(2.93)
ª®â®àë©, ®ç¥¢¨¤­®, ¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® (2.86). ®£¤					¬®¦­® ¯à¨­ïâì:
1				F F
		L3 = ;						(2.94)
			16
®¡¨à ï ⥯¥àì ¢á¥ ç«¥­ë ­®¢®£® « £à ­¦¨ ­ , ¯®«ã稬:
				Ltot = L	+ L1 + L2 + L3 =
					1
= (@ ')(@ ' ) ; m2' ' ; ie(' @ ' ; '@ ' )A + e2A A ' ' ;							F F (2.95)
						16
çâ® ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ áâ ­¤ àâ­®¬ ¢¨¤¥ ª ª:
1		F F + (@ + ieA )'(@ ; ieA )' ; m2' '
Ltot = ;								(2.96)
	16

ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ¯®«ã稫¨ « £à ­¦¨ ­ í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¨ ª®¬¯«¥ªá­®£® ᪠«ïà- ­®£® ¯®«ï '! ­ «¥£ª® ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¨á室­®£® « £à ­¦¨ ­ «¥©­ { ®à¤®­

(2.60) áâ ­¤ àâ­®© § ¬¥­®© [25] ®¡ëç­®© ¯à®¨§¢®¤­®© @ ' ­	ª®¢ ਠ­â­ãî ¯à®¨§-
¢®¤­ãî 4:
D ' = (@ + ieA )'	(2.97)

¨ ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ç«¥­ ᢮¡®¤­®£® í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï (2.94).

£à ­¦¨ ­ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï (2.94) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ª ª L = aF F [25], £¤¥ ¯®áâ®ï­­ ï a ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¡à ­ à §­®©, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢ë¡®à á¨áâ¥¬ë ¥¤¨­¨æ. £ ãáá®- ¢®© á¨á⥬¥ ¥¤¨­¨æ, ¯à¨­ï⮩, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¢ ªãàᥠ­¤ ã ¨ ¨äè¨æ , ¯®« £ ¥âáï a = ; 161 .àï¤ã á £ ãáᮢ®©, ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï â ª¦¥ á¨á⥬ ¥¤¨­¨æ ¥¢¨á ©¤ , ¢ ª®â®à®© a = ;14 , ª®в®а п ¨б¯®«м§г¥вбп, ­ ¯а¨¬¥а, ¢ [8]. нв®© б¨бв¥¬¥ ¢ га ¢­¥­¨п ¯®«п ­¥ ¢е®¤¨в ¬­®¦¨в¥«м 4 , ­® § в® ®­ ¢®§­¨ª ¥в ¢ § ª®­¥ г«®­ . £ гбб®¢®© б¨бв¥¬¥ ­ ®¡®а®в 4 ¢е®¤¨в ¢ га ¢­¥­¨пªб¢¥«« , ­® ®вбгвбв¢г¥в ¢ § ª®­¥ г«®­ . «¨в¥а вга¥ ¯® ª¢ ­в®¢®© н«¥ªвத¨­ ¬¨ª¥ з й¥ ¨б¯®«м§г¥вбп б¨бв¥¬ ¥¢¨б ©¤ . л ¢ ¤ «м­¥©и¥¬ ¡г¤¥¬, ¢ ®б­®¢­®¬, ¯®«м§®¢ вмбп £ гбб®¢®©

á¨á⥬®©, á¯¥æ¨ «ì­® ®£®¢ ਢ ï ¯¥à¥å®¤ ª á¨á⥬¥ ¥¢¨á ©¤ ¢ ®â¤¥«ì­ëå á«ãç ïå.

®â«¨ç¨¥ ®â @ ' ¢¥«¨ç¨­ (2.97) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¯à¨ ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®- ¢ ­¨ïå ª®¢ ਠ­â­ë¬ ®¡à §®¬, â.¥. ª ª á ¬® ¯®«¥ ':

(D ') = (@ ') + ie( A )' + ieA ' = ;i (@ ' + ieA ') = ;i (D ') (2.98)

®«î ' ᮮ⢥âáâ¢ã¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥ªâà¨ç¥áª¨© § àï¤ e, ᮯà殮­­®¥ ¯®«¥ ' ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § àï¤ã (;e):

D ' = (@ ; ieA )'

(2.99)

®­ïâ­®, çâ® ¢¢¥¤¥­­ ï ¢ëè¥ ¢¥«¨ç¨­ F ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⥭§®à ­ ¯à殮­- ­®á⥩ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï [25].

4 ਠí⮬ ª®­áâ ­â e ¨¬¥¥â á¬ëá« í«¥ªâà¨ç¥áª®£® § àï¤ .

LM = M2A A

.

29

à ¢­¥­¨ï ªá¢¥«« á«¥¤ãîâ ¨§ (2.96) ª ª ãà ¢­¥­¨ï £à ­¦

@L	@	@L	= 0
@A ;		@(@ A )

çâ® ¤ ¥â:

@ F = ;ie(' @ ' ; '@ ' ) + 2e2A j'j2 = = ;ie(' D ' ; 'D ' ) ;4 eJ

£¤¥

J = i(' D ' ; 'D ' )

{ ª®¢ ਠ­â­ ï ä®à¬ ⮪ . § ­â¨á¨¬¬¥âਨ F áà §ã á«¥¤ã¥â:

¤«ï ¯®«ï A :

(2.100)

(2.101)

(2.102)

@ J = 0	(2.103)
в ª зв® ¢ ¯а¨бгвбв¢¨¥ н«¥ªв஬ £­¨в­®£® ¯®«п б®еа ­п¥вбп в®ª J ,	­¥ J .

⬥⨬, çâ® ¡¥§¬ áᮢ®áâì í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï ®ª §ë¢ ¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬®© { ¥á«¨ ¡ë ã í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï ¡ë« ¡ë ª®­¥ç­ ï ¬ áá M, â® ª « £à ­¦¨ ­ã (2.94) ­ã¦­® ¡ë«® ¡ë ¯à¨¯¨á âì ç«¥­ ⨯ :

(2.104)

祢¨¤­®, çâ® â ª®© ¢ª« ¤ ­¥¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® «®ª «ì­ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ -

­¨©.

áᬮâ७­ë© ᯮᮡ ¢¢¥¤¥­¨ï í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ë« ¢¯¥à- ¢ë¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­ ¥©«¥¬ ¯à¨ ¯®¯ëâª å ¯®áâ஥­¨ï ¥¤¨­®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ ­ ç «¥ 20-å £®¤®¢. «¥ªâத¨­ ¬¨ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡¥«¥¢®© ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯¥ U(1),

í«¥ªâ஬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ ï¥âáï ¯à®á⥩訬 ¯à¨¬¥à®¬ ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï.

®«ï ­£ { ¨««á .

â ª, à áᬮâॢ ¨­¢ ਠ­â­®áâì ®â­®á¨â¥«ì­® «®ª «ì­ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥- ®¡à §®¢ ­¨© £à㯯ë U(1), ¬ë ¯®«ã稫¨ ¨§ « £à ­¦¨ ­ ᢮¡®¤­®£® ¯®«ï «¥©­ {®à¤®­ ᪠«ïà­ãî í«¥ªâத¨­ ¬¨ªã, â.¥. ⥮à¨î á ¢¥áì¬ ­¥âਢ¨ «ì­ë¬ ¢§ ¨¬®- ¤¥©á⢨¥¬. ®¦­® ᪠§ âì, ç⮠ᨬ¬¥âà¨ï \­ ¢ï§ « " ­ ¬ ä®à¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨ ¯à¨¢¥« ª ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢¢¥á⨠ª «¨¡à®¢®ç­®¥ ¯®«¥ A , ª ª ¯¥à¥­®á稪 í⮣®

¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. áᬮâ७­ ï ª «¨¡à®¢®ç­ ï £à㯯 U(1) ¡ë«		¡¥«¥¢®©. ¡®¡-
饭¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­­®£® ­ «¨§ ­	á«ãç © ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå £à㯯 ¡ë«® ¯à®-
¢¥¤¥­® ¢ ­ ç «¥ 50-å £®¤®¢ ­£®¬ ¨ ¨««á®¬. १ã«ìâ ⥠¡ë«		®âªàëâ ¤®à®£
ª ¯®áâ஥­¨î è¨à®ª®£® ª« áá	¢¥áì¬ ­¥âਢ¨ «ì­ëå ⥮਩ (¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©),

ª®â®àë¥, ª ª ®ª § «®áì, ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«®¦¥­ë ¢ ®á­®¢ã ᮢ६¥­­®£® ¯®­¨¬ ­¨ï ¤¨­ ¬¨ª¨ í«¥¬¥­â à­ëå ç áâ¨æ 5.

à®á⥩訬 ¢ ਠ­â®¬ ­¥ ¡¥«¥¢®© ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯ë, à áᬮâ७­ë¬ ¥é¥ ¢ ¯¥à¢®© à ¡®â¥ ­£ ¨ ¨««á , ï¥âáï £à㯯 ¨§®â®¯¨ç¥áª®£® ᯨ­ { SU(2), ¨§®¬®àä­ ï £à㯯¥ âà¥å¬¥à­ëå ¢à 饭¨© O(3). ëè¥ à áᬠâਢ «®áì ª®¬¯«¥ªá- ­®¥ ᪠«ïà­®¥ ¯®«¥, ª®â®à®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï«®áì ¤¢ã¬¥à­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ '~ = ('1; '2).

5 ®à®èãî ¯®¤¡®àªã à ­­¨å ®à¨£¨­ «ì­ëå áâ ⥩ ¯® ⥮ਨ ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥© ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ ᡮ୨ª¥ [28]