Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1

170

« ¢ 8

-

áá¥ï­¨¥ í«¥ªâà®­ ­ áâ â¨ç¥áª®¬ § - à拉: ¯®¯à ¢ª¨ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢.

нв®© £« ¢¥ ¬л а бᬮва¨¬ ¯а¨¬¥ал а бз¥в ­¥ª®в®але ª®­ªа¥в­ле ндд¥ªв®¢ ¢ а ¬ª е ª¢ ­в®¢®© н«¥ªвத¨­ ¬¨ª¨, в ª¦¥ ª ª ¨ ап¤ ¢®¯а®б®¢ ¯а¨­ж¨¯¨ «м­®£® е а ªв¥а , ®в­®бпй¨ебп ª ®б­®¢ ¬ нв®© в¥®а¨¨. г¦­® § ¬¥в¨вм, зв® ª¢ ­в®¢ п н«¥ªвத¨­ ¬¨ª п¢«п¥вбп ®¡а §ж®¬ за¥§¢лз ©­® гб¯¥и­®© в¥®а¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©- бв¢¨п н«¥¬¥­в а­ле з бв¨ж. ­ ¤ ¥в ¢®§¬®¦­®бвм ¯®а §¨в¥«м­® в®з­ле а бз¥- в®¢ ндд¥ªв®¢ н«¥ªв஬ £­¨в­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п, а¥§г«мв вл ª®в®але ­ 室пвбп ¢ ¨¤¥ «м­®¬ б®®в¢¥вбв¢¨¨ б б®¢а¥¬¥­­л¬¨ нªб¯¥а¨¬¥­в ¬¨. а¨¬¥ал ¤¥в «м­®£® ­ «¨§ ¬­®¦¥бв¢ ª¢ ­в®¢®н«¥ªвத¨­ ¬¨з¥бª¨е § ¤ з ¬®¦­® ­ ©в¨ ¢ ª­¨£ е [1, 2], §¤¥бм ¬л, ¢ б®®в¢¥вбв¢¨¨ б е а ªв¥а®¬ ­ и¥£® ªгаб , ®£а ­¨з¨¬бп в®«мª® а冷¬ ¨§¡а ­­ле ¢®¯а®б®¢. а¨ н⮬ ¤¥в «¨ ¢лз¨б«¥­¨©, ª®в®ал¥ «¥£ª® ­ ©в¨ ¢ «¨в¥а вга¥, ¡г¤гв ¯® ¡®«ми¥© з бв¨ ¯а®бв® ®¯гбª вмбп. л¤¥«пвмбп ¡г¤¥в в®«мª® ª з¥бв¢¥­­ п бв®а®­ ¤¥« .

ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® ¯à¨¬¥à	¢¥à­¥¬áï ª 㦥 à áᬠâਢ ¢è¥©áï ¢ « ¢¥ 4 § -
¤ ç¥ ® à áá¥ï­¨¨ í«¥ªâà®­ ­	áâ â¨ç¥áª®¬ § à拉 ï¤à (१¥àä®à¤®¢áª®¥ à áá¥ï-

­¨¥). ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© íâ®â ¯à®æ¥áá ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪®¬

171

172

¨á. 8-1

¨á.8-1( )1, £¤¥ áâ â¨ç¥áª¨© § àï¤ ®¡®§­ 祭 ªà¥á⨪®¬. ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¨¬¨

¯à ¢¨« ¬¨ ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨,	¬¯«¨â㤠í⮣® ¯à®æ¥áá		§ ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
Mfi = ;i Z	d4x < fjj (x)ji > A (x)		(8.1)
£¤¥ ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ⮪ ¯¥à¥å®¤ ¥áâì:
< f j (x)		i >= euf uie;iqx	(8.2)
j	j

£¤¥ q = pi ; pf ¨ ¢¢¥¤¥­ë ᯨ­®àë ­ ç «ì­®£® ¨ ª®­¥ç­®£® á®áâ®ï­¨© í«¥ªâà®­ .¥ªâ®à - ¯®â¥­æ¨ « A (x) ®¯¨áë¢ ¥â í«¥ªâ஬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ áâ â¨ç¥áª®£® § àï¤ .®®â¢¥âá⢥­­®, ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

	Mfi = ;ieuf uiA (q)									(8.3)
	£¤¥
	A (q) = Z		d4xe;iqxA (x)							(8.4)
	á«ãç ¥ áâ â¨ç¥áª®£® § àï¤ ¢¥«¨ç¨­		A (x) ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨, ¯®í⮬ã:
	A (q) = Z dte;i(Ei;Ef )t Z d3reiqrA (r) = 2 (Ef ; Ei)A (q)									(8.5)
	â â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ªá¢¥«« ¨¬¥îâ ¢¨¤:
	r2A (r) = ;4 j (r)									(8.6)
	®£¤ ¨¬¥¥¬:			4
	A (q) =				j (q)					(8.7)
				jqj2
	®®â¢¥âá⢥­­®, ¨§ (8.3) ¨ (8.5) ¯®«ãç ¥¬:
			4						j (q)	(8.8)
	Mfi = ;2 (Ef ; Ei)ieuf ui
								jqj2
	â®¡ë ­¥ § £à®¬®¦¤ âì ¤ «ì­¥©è¨¥ ®æ¥­ª¨, ®¯ãá⨬ -äã­ªæ¨î § ª®­									á®åà ­¥­¨ï
	í­¥à£¨¨ ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬¯«¨âã¤ã M ª ª:
			4				j (q)
	; iM = ieuf ui									(8.9)
						jqj2

1 ¯¥à¢®© ¯®«®¢¨­¥ ¤ ­­®© £« ¢ë, â ª¦¥, ª ª ¢ « ¢¥ 4, ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ¢­¥è­¥¥ ¯®«¥ ¨ ä®â®­ë ¢®«­¨áâ묨 «¨­¨ï¬¨.

173

¨á. 8-2

ਠà áá¥ï­¨¨ ­ áâ â¨ç¥áª®¬ § à拉 í«¥ªâà®­ ¨á¯ëâë¢ ¥â ®â¤ çã ¨ pi =6 pf, ­® í­¥à£¨ï á®åà ­ï¥âáï ¨ Ei = Ef , ¨«¨ q0 = 0. ®í⮬ã:

q2 =

;j

q

2 <

0

(8.10)

j

{ ¯à®áâà ­á⢥­­® ¯®¤®¡­ë© ¢¥ªâ®à à áá¥ï­¨ï,

(8.9) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

; iM = (ieuf ui)

;4q2ig

(;ij (q))

(8.11)

¤¥áì ¯¥à¢ë© ¬­®¦¨â¥«ì ®¯¨áë¢ ¥â ¢¥à設­ãî ç áâì,

¢â®à®© { ä®â®­­ë© ¯à®-

¯ £ â®à. «ï áâ â¨ç¥áª®£® ï¤à á § à冷¬ Ze ¨¬¥¥¬:

j0(r) = (r) = Ze (r)

j(r) = 0

(8.12)

â ª çâ®

;4 i

(;iZe)

; iM = (ieuf 0ui)

(8.13)

q2

çâ® ¨§®¡à ¦ ¥âáï ¤¨ £à ¬¬®© ¨á.8-1(¡) ¨, ¯® áã⨠¤¥« , ᮢ¯ ¤ ¥â á (4.77). â¨

ä®à¬ã«ë ¨ ®¯¨áë¢ îâ १¥àä®à¤®¢áª®¥ à áá¥ï­¨¥, á¥ç¥­¨¥ ª®â®à®£® (4.81):

d

1

d jMj2 q;4

(8.14)

sin4

2

£¤¥ { 㣮« à áá¥ï­¨ï, ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ª¨­¥¬ ⨪¨:

q2 = (pi ; pf )2

;2k2(1 ; cos ) = ;4k2 sin2 2

(8.15)

£¤¥ ¯à¥­¥¡à¥£«¨ ¬ áᮩ í«¥ªâà®­

(¯® áà ¢­¥­¨î á ¬ áᮩ ï¤à ) ¨ ¢¢¥«¨ k jpij =

jpfj.

ª à⨭ à áá¥ï­¨ï ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©. ®á¬®âਬ

ª®¢

ª 祬㠯ਢ®¤ïâ ¢ëá訥 ¯®à浪¨ (à ¤¨ 樮­­ë¥ ¯®¯à ¢ª¨). ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à

à áᬮâਬ ¤¨ £à ¬¬ã âà¥â쥣® ¯®à浪 , ¯®ª § ­­ãî ­

¨á.8-2. ᯮ«ì§ãï ®¡é¨¥

¯à ¢¨«

¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¥© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â:

iM = (

1)(ieuf ui)

i4 g 0

d4p

(ie 0 )

i(^p + m)

(ie 0 )

i(^q ; p^ + m)

;

;

;

Z (2 )4

q2

p2 ; m2

(q ; p)2 ; m2

;i

4 g 0

(;ij (q))

q2

(8.16)

174

¨¤­®, çâ® ¯® áà ¢­¥­¨î á १ã«ìâ ⮬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪

(8.11) §¤¥áì ¯à®¨§®è«

®ç¥¢¨¤­ ï ¬®¤¨ä¨ª æ¨ï ä®â®­­®£® ¯à®¯ £ â®à , ¢ ª®â®à®¬ ¯®ï¢¨« áì ®¤­®¯¥â«¥-

¢ ï ¯®«ïਧ 樮­­ ï \¢áâ ¢ª ", â ª çâ®

4 g

4 g

;i

4 g 0

0

0

;i

4 g 0

=

;i

q2

! ;i

q2

+

q2

I

q2

4 g

( 4 i)

(

4 i)

= ;i

+

;

I

(q2)

;

(8.17)

q2

q2

q2

£¤¥

d4p

I (q2) = ( 1)

Sp

(ie )

i(^p + m)

(ie )

i(^q

; p^ + m)

(8.18)

Z (2 )4

;

p2 ; m2

(q ; p)2 ; m2

à §ã ¦¥ ¢¨¤­®, çâ® ¯à¨

p

¨­â¥£à « ¢ I

ᮤ¥à¦¨â ¢ª« ¤ (®â ¯®«ïਧ -

樮­­®© ¯¥â«¨) ¢¨¤

pj3 j ! 1

¢¥àå­¥¬

dpp2 , ª § «®áì ¡ë ª¢ ¤à â¨ç­® à á室ï騩áï ­

¯à¥¤¥«¥. â® ¯à¨¬¥à ⨯¨ç­®©R à á室¨¬®áâ¨, ¯®ï¢«ïî饩áï ¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪 å ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ «î¡®© ¬®¤¥«¨ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¨§¨ç¥-

áª ï ¯à¨à®¤ à á室¨¬®á⨠á¢ï§ ­ , ¥áâ¥á⢥­­®, á â®ç¥ç­ë¬ («®ª «ì­ë¬) å à ªâ¥- ஬ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯®«¥© ¢ ५ï⨢¨áâ᪮© ⥮ਨ. ªâ¨ç¥áª¨, íâ à á室¨¬®áâì §¤¥áì ¡®«¥¥ á« ¡ ï («®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï), ­® ¯à®¡«¥¬ ®áâ ¥âáï. ¨¦¥ ¬ë á­ ç « ®¡- á㤨¬ ª ç¥á⢥­­ãî áâ®à®­ã ¤¥« .

àï¬ë¥, ­® ¤®¢®«ì­® £à®¬®§¤ª¨¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¯®ª §ë¢ îâ [2], çâ® I ¬®¦­®

§ ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:
			I (q2) = ;ig q2I(q2) + :::								(8.19)
£¤¥	e2 1 dp2						1
					2e2			q2z(1	z)
I(q2) =		Zm2		;		Z0	dzz(1 ; z) ln 1 ;	m2;			(8.20)
	3		p2

¬­®£®â®ç¨¥¬ ¢ (8.19) § ¬¥­¥­ë ç«¥­ë ¯à®¯®à樮­ «ì­ë¥ q q , ª®â®àë¥ ®¡à é - îâáï ¢ ­ã«ì ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ⥭§®à­®© ᢥà⪨ ä®â®­­®£® ¯à®¯ £ â®à á ¢­¥è­¨¬¨ § àï¤ ¬¨ (⮪ ¬¨). ¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (8.19) ª ª à § ¨ ¢ë¤¥«ï¥â «®£ à¨ä¬¨ç¥áªãî à á室¨¬®áâì ¯®«ïਧ 樮­­®© ¯®¯à ¢ª¨ 2.

®«¥§­® ¢ë¯¨á âì ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï I(q2) ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¡®«ìè¨å ¨ ¬ «ëå (;q)2. «ï ¯à¨¤ ­¨ï ®¯à¥¤¥«¥­­®£® §­ 祭¨ï ¨­â¥£à «ã ¢¢¥¤¥¬ ¢ ¯¥à¢®¬ ç«¥­¥ (8.20) ¯ à -

¬¥âà ®¡à¥§ ­¨ï 2 (à §¬¥à­®á⨠ª¢ ¤à â

¨¬¯ã«ìá (¬ ááë), 2

m2) ­ ¢¥àå­¥¬

¯à¥¤¥«¥. ®£¤ ¯à¨ (;q2) m2 ¨¬¥¥¬:

ln 1 ; q2z(1m2; z) ;q2z(1m2; z)

(8.21)

¨ ᮮ⢥âá⢥­­®:

e2

2

e2 q2

I(q2)

ln m2

+

(8.22)

3

15 m2

ਠ(;q2) m2 ¨¬¥¥¬:

;

m2

m2

ln

1

q2z(1 ; z)

ln

;q2

(8.23)

2 ®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨©, ­¥ ª¢ ¤à â¨ç­ë©, å à ªâ¥à à á室¨¬®á⨠á¢ï§ ­ §¤¥áì á ­¥ª®â®à®© \áªàë⮩" «£¥¡à®© ¯®¤¨­â¥£à «ì­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï [2].

175

â ª çâ®:

e2

2

e2

;q2

e2

2

I(q2)

ln

ln

=

ln

(8.24)

m2 ;

;q2

3

3

m2

3

®£¤ ¬¯«¨âã¤ã à áá¥ï­¨ï á ãç¥â®¬ ®¤­®¯¥â«¥¢®© ¯®¯à ¢ª¨ ¬®¦­® § ¯¨á âì ¯à¨

(;q2) m2 ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥3:

4 i

e2

2

e2 q2

; iM = (ieuf 0ui) ; q2

1 ;

ln m2 ;

+ O(e4) (;iZe)

(8.25)

3

15

m2

â® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¬®¦­® á ⮩ ¦¥ â®ç­®áâìî ¯¥à¥¯¨á âì ª ª:

4 i					eR2		q2
; iM = (ieRuf 0ui) ; q2		1 ;			15		m2	(;iZeR)	(8.26)
£¤¥ ¢¢¥¤¥­ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ë© § àï¤:
	e2	2		1=2
eR = e 1 ;
			ln m2						(8.27)
	3

।¯®«®¦¨¬, çâ® ¢¥«¨ç¨­ eR ¨§ (8.27) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© \¨á⨭­ë©" (íªá¯¥à¨- ¬¥­â «ì­® ¨§¬¥à塞ë©) í«¥ªâà¨ç¥áª¨© § àï¤. ®£¤ ¬¯«¨â㤠à áá¥ï­¨ï (8.26) áâ ­®¢¨âáï ª®­¥ç­®©, à á室¨¬®áâì \ã¡à « áì" ¢ eR, ª®â®àë© ¡¥à¥âáï ¨§ íªá¯¥- ਬ¥­â ¨ ­¥ ¯®¤«¥¦¨â ¢ëç¨á«¥­¨î ¢ à ¬ª å à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ. ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¬ 㤠«®áì ¢ ®¬ ¢¨¤¥ ¯à®¢¥á⨠¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã à á室ï饩áï à ¤¨- 樮­­®© ¯®¯à ¢ª¨. ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® ¢ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥ ¢á¥ à á室¨¬®áâ¨, ¢®§­¨ª î騥 ¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪 å ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©, 㤠¥âáï ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ \á¯àïâ âì" ¢ ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ¯ à ¬¥â஢, ¯®¤«¥¦ é¨å ®¯à¥- ¤¥«¥­¨î ¨§ íªá¯¥à¨¬¥­â . í⮬ ¯à®ï¢«ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®¥ ᢮©á⢮ ¯¥à¥- ­®à¬¨à㥬®á⨠í⮩ ⥮ਨ. ®«ìª® ¯¥à¥­®à¬¨àã¥¬ë¬ ¬®¤¥«ï¬ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¤ ­ 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«.

í¬¡®¢áª¨© ᤢ¨£ ¨ ­®¬ «ì­ë© ¬ £­¨â- ­ë© ¬®¬¥­â.

¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ä®à¬ã«¥ (8.26) ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡à §®¬ á¢ï§ ­® á ªã«®­®¢áª¨¬ ¯®-

â¥­æ¨ «®¬:	Z	d3q				Ze2
			4
V0(r) = ;ZeR2			eiqr		= ;	rR	(8.28)
		(2 )3		jqj2
â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (8.26) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª¢ ­â®¢ë¬ ¯®¯à ¢ª ¬ ª ªã«®­®¢áª®¬ã ¯®-

â¥­æ¨ «ã, á¢ï§ ­­ë¬ á ¢®§¬®¦­®áâìî ஦¤¥­¨ï ¢¨àâã «ì­ëå e+e;-¯ à. ®¤¥à¦ -
騩áï ¢ ­¥¬ ¬­®¦¨â¥«ì				j	q 2	¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ª®®à¤¨­ â­®¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î § ¬¥­ï-
¥âáï ­ ;r	2				j
		. ®£¤	c ãç¥â®¬ (8.28) ¨ äãàì¥ - à §«®¦¥­¨ï -ä㭪樨
							(r) = Z	d3q
									eiqr	(8.29)
								(2 )3

3 ¯®¬­¨¬, çâ® à §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饭¨© ¨¤¥â §¤¥áì ¯® ¡¥§à §¬¥à­®¬ã ¯ à ¬¥âàã e2 ! e2 1 .

~c 137

176

¨á. 8-3

¨«¨, ¢á¯®¬¨­ ï ¨§¢¥áâ­®¥ ᮮ⭮襭¨¥ [25] r2 1r = ;4 (r), ¢¨¤¨¬, çâ® ä®à¬ã« (8.26) ¢ ª®®à¤¨­ â­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨î ¢¨¤ :

	e2		1	Ze2		Ze4
2	R	2	r = ;	R		R
V (r) = ;ZeR 1 ; 60 2m2 r				r	; 15 m2		(r)	(8.30)

ª¨¬ ®¡à §®¬ ஦¤¥­¨¥ ¢¨àâã «ì­ëå e+e;-¯ à (¯®«ïਧ æ¨ï ¢ ªã㬠) ¯à¨¢®¤¨â ª ¬®¤¨ä¨ª 樨 ªã«®­®¢áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ­ ¬ «ëå à ááâ®ï­¨ïå { ¢®§­¨ª ¥â ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ¯à¨â殮­¨¥ ª ï¤àã. ®­¥ç­®, í⨠ä®à¬ã«ë ­¥ ¢¯®«­¥ ª®à४â­ë, ¯®áª®«ìªã ®­¨ ¯®«ãç¥­ë ¨§ ᨬ¯â®â¨ª¨ ®¤­®¯¥â«¥¢®£® ¢ª« ¤ ¢ ¯à¥¤¥«¥ (;q)2 m2. ¤­ ª® ¤«ï ¯à®áâëå ®æ¥­®ª ®­¨ ¢¯®«­¥ ¤®áâ â®ç­ë.

áᬮâਬ á«ãç © Z = 1 (¯à®â®­). á­®, çâ® ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (8.30) ¬®¦¥â

¤âì ¢ª« ¤ ¢ í­¥à£¥â¨ç¥áª¨¥ ã஢­¨ ⮬ ¢®¤®à®¤ Enl. áᬠâਢ ï ¥£® ª ª ¢®§¬ã饭¨¥, ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢ª« ¤ ¢ ᤢ¨£ ã஢­¥© ¢ ¢¨¤¥:

		e2		2		8e2
		R				R
	Enl = ;	15 m2	j	nl(0)j	l0 = ;	15 n3	Ry l0	(8.31)
£¤¥	nl(0) { ¢®«­®¢ ï äã­ªæ¨ï ⮬			¢®¤®à®¤ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï £« ¢­®¬ã ª¢ ­-
⮢®¬ã ç¨á«ã n ¨ ®à¡¨â «ì­®¬ã ¬®¬¥­âã l, Ry = me4=2 { ¯®áâ®ï­­ ï ¨¤¡¥à£
(Ry	13:5eV ). §-§ â®ç¥ç­®£® å à ªâ¥à				¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢
(8.30), ®­® ¤¥©áâ¢ã¥â «¨èì ­ ¢®«­®¢ë¥ ä㭪樨, ®â«¨ç­ë¥ ®â ­ã«ï ¢ ­ ç «¥ ª®®à-

¤¨­ â, â.¥. ­ s-á®áâ®ï­¨ï (l = 0). ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 («í¬¡®¢áª¨©) ᤢ¨£ ã஢­¥© ­ - ¡«î¤ ¥âáï íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ¨ ¨§¬¥àï¥âáï á ¢¥áì¬ ¢ë᮪®© â®ç­®áâìî. ¯¥à¢ëå íªá¯¥à¨¬¥­â å í¬¡ ¨§¬¥àï« áì à §­¨æ í­¥à£¨© ã஢­¥© 2s1=2 ¨ 2p1=2, ª®в®ал¥ п¢«повбп ¢л஦¤¥­­л¬¨ ¢ а ¬ª е в¥®а¨¨ а¥¤¨­£¥а { ¨а ª , ­¥ гз¨вл¢ ой¥© а ¤¨ ж¨®­­ле ¯®¯а ¢®ª. ª § «®бм, зв® ¢¥«¨з¨­ б¤¢¨£ а ¢­ +1057MHz. бз¥в ¯® д®а¬г«¥ (8.31) ¤ ¥в ¢¥«¨з¨­г -27MHz. ¤­ ª® ¯¥в«п ¯®«па¨§ ж¨¨ ¢ ªгг¬ ®в-

¢¥ç ¥â ⮫쪮 § ç áâì ᤢ¨£	ã஢­¥© 2s1=2 ¨ 2p1=2. ®«­ë© ­ ¡®à 䥩­¬ ­®¢áª¨å
¤¨ £à ¬¬, ®â¢¥âá⢥­­ëå §	«í¬¡®¢áª¨© ᤢ¨£ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ

¢®§¬ã饭¨© ( e3) ¯®ª § ­ ­ ¨á.8-3. ᥠ¢®§­¨ª î騥 ¢ íâ¨å ¤¨ £à ¬¬ å à á- 室¨¬®á⨠¬®£ãâ ¡ëâì \á¯àïâ ­ë" ¢ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ªã § àï¤ , ¬ ááë ¨ ¢®«­®¢®©

177

ä㭪樨 í«¥ªâà®­ . ª¨¬ ®¡à §®¬ 㤠¥âáï à ááç¨â âì ¯®«­ãî ¢¥«¨ç¨­ã «í¬¡®¢- ᪮£® ᤢ¨£ , ª®â®à ï ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ¨¤¥ «ì­®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á íªá¯¥à¨¬¥­â®¬4.᢮¥ ¢à¥¬ï íâ® ¡ë« âà¨ã¬ä ⥮ਨ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢®ª ¢ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨- ­ ¬¨ª¥. ®áª®«ìªã ¢¥«¨ç¨­ ᤢ¨£ ¨§¢¥áâ­ á â®ç­®áâìî 0.01%, â® ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï ¢ áãé¥á⢥­­®á⨠¢ª« ¤®¢ ª ¦¤®© ¨§ ¤¨ £à ¬¬ ¨á.8-3, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ à áᬮâ७­®£® ¢ëè¥ ®â­®á¨â¥«ì­® ¬ «®£® ¢ª« ¤ ¯®«ïਧ 樨 ¢ ªã㬠, á¢ï§ ­- ­®£® á ¤¨ £à ¬¬®© ¨á.8-3( ). á­®¢­®© ¢ª« ¤ ¢ ᤢ¨£ á¢ï§ ­ á ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª®© ¬ ááë í«¥ªâà®­ (¤¨ £à ¬¬ë ¨á.8-3(¢)). ¨§¨ç¥áª¨ íâ®â íä䥪â á¢ï§ ­ á ⥬, çâ® ¢¥«¨ç¨­ (¡¥áª®­¥ç­ ï) à ¤¨ 樮­­ëå ¯®¯à ¢®ª ª ¬ áᥠ᢮¡®¤­®£® í«¥ªâà®­ ®â- «¨ç ¥âáï ®â (â ª¦¥ ¡¥áª®­¥ç­®©) ¨å ¢¥«¨ç¨­ë ¤«ï í«¥ªâà®­ , á¢ï§ ­­®£® ¢ ⮬¥.§­®áâì íâ¨å ¤¢ãå ¡¥áª®­¥ç­ëå ¢¥«¨ç¨­ ª®­¥ç­ [5, 31] ¨ ¤ ¥â ®á­®¢­®© ¢ª« ¤ ¢ ᤢ¨£ ⮬­ëå ã஢­¥©.

áᬮâਬ ¯®¤à®¡­¥¥ íä䥪âë, á¢ï§ ­­ë¥ á ¤¨ £à ¬¬®© ¨á.8-3(¡). ªâ¨ç¥-

᪨, íâ

¤¨ £à ¬¬

¬®¤¨ä¨æ¨àã¥â áâàãªâãàã í«¥ªâà®­­®£® ⮪

¯¥à¥å®¤ (¢¥à-

設ã)

euf ui. ëç¨á«¥­¨¥ ª®­¥ç­®© ç á⨠í⮩ ¤¨ £à ¬¬ë ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¬ «ëå

(;q2) ¤;¥â [25, 2, 31]:

ln m ; 8

; 2

2mi q ui (8.32)

; euf

ui ! ;euf 1 + 3 m2

e2 q2

m 3

e2

1

i

£¤¥

=

(

). ëà ¦¥­¨¥ ¢ ¯¥à¢ëå ª¢ ¤à â­ëå ᪮¡ª å §¤¥áì ¤ ¥â á®®â-

2

¢¥âáâ¢ãî騩 ¢ª«;¤ ¢ «í¬¡®¢áª¨© ᤢ¨£, ¯®áª®«ìªã íâ®â ç«¥­ ¯® ä®à¬¥ ­ «®£¨ç¥­

(8.26). ® ¯à¨ í⮬ ¬ë áâ «ª¨¢ ¥¬áï ¥é¥ ¨ á à á室¨¬®áâìî ­

¬ «ëå ¨¬¯ã«ì-

á å, çâ® ä®à¬ «ì­® ®¡å®¤¨âáï ¢ (8.32) ¢¢¥¤¥­¨¥¬ ¬ «®© 䨪⨢­®© ¬ ááë ä®â®­ m . â® â ª ­ §ë¢ ¥¬ ï ¨­äà ªà á­ ï ª â áâà®ä . ªâ¨ç¥áª¨ ¢ª« ¤, á¢ï§ ­­ë© á 䨪⨢­®© ¬ áᮩ m , ¯®«­®áâìî ᮪à é ¥âáï á ­ «®£¨ç­ë¬¨ ¢ª« ¤ ¬¨, ¢®§- ­¨ª î騬¨ ®â ¤¨ £à ¬¬ ¨á.8-3(¢). ­äà ªà á­ë¥ à á室¨¬®áâ¨, ¢®§­¨ª î騥 ¢ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥, ­¥ ­®áïâ áâ®«ì ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­®£® å à ªâ¥à , ª ª ®¡- á㦤 ¢è¨¥áï ¢ëè¥ ã«ìâà 䨮«¥â®¢ë¥ (â.¥. ¢®§­¨ª î騥 ®â à á室¨¬®á⥩ 䥩­- ¬ ­®¢áª¨å ¨­â¥£à «®¢ ­ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥¤¥«¥). ¨§¨ç¥áª¨ ¨­äà ªà á­ ï ª â áâà®ä á¢ï§ ­ á ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ãî饩 (¤«ï «î¡ëå í«¥ªâத¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ) ¢®§- ¬®¦­®áâìî ¨§«ã祭¨ï ¡®«ì讣® ç¨á« \¬ï£ª¨å" ä®â®­®¢ á ®ç¥­ì ¬ «®© í­¥à£¨¥© (ç áâ®â®©). ®í⮬㠨­äà ªà á­ ï à á室¨¬®áâì ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ­¥ ¢¯®«­¥ ª®à४⭮© ¯®áâ ­®¢ª¨ ¢®¯à®á : ª ª®¢ ¬¯«¨â㤠¢¥à®ïâ­®á⨠à áá¥ï­¨ï í«¥ª- âà®­ ­ áâ â¨ç¥áª®¬ ï¤à¥ ¡¥§ ¨§«ã祭¨ï ä®â®­ ? ªâ¨ç¥áª¨ ­ã¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¬¯«¨âã¤ã à áá¥ï­¨ï í«¥ªâà®­ ¡¥§ ¨§«ã祭¨ï ä®â®­ , â ª¦¥ ¢¥à®ïâ­®á⨠¨§- «ã祭¨ï ®¤­®£®, ¤¢ãå ¨ â.¤. \¬ï£ª¨å" ä®â®­®¢ á í­¥à£¨¥© ¬¥­ìè¥ m . ¦¤ ï ¨§ íâ¨å ¬¯«¨â㤠¯® ®â¤¥«ì­®á⨠à á室¨âáï, ­® ¨áªãáá⢥­­®¥ ¢¢¥¤¥­¨¥ m ¤¥« ¥â

¨å ª®­¥ç­ë¬¨. 㬬 ¦¥ íâ¨å ¢¥à®ïâ­®á⥩ ­¥ à á室¨âáï,	¯ à ¬¥âà m ¢ ®â¢¥â¥
᮪à é ¥âáï. ⠯஡«¥¬ ¡ë« ¤¥â «ì­® ¯à® ­ «¨§¨à®¢ ­	¨ à¥è¥­ ¥é¥ ­ à ­-

­¥¬ íâ ¯¥ à §¢¨â¨ï ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¨ [1, 2, 31]. «ï ­ á ᥩç á ¨­â¥à¥á¥­ ¢â®à®© ç«¥­ ¢ ª¢ ¤à â­ëå ᪮¡ª å (8.32), ª®â®àë© ¬®¤¨ä¨æ¨àã¥â ¢¥«¨ç¨­ã , â.¥. «®à¥­æ¥¢ã áâàãªâãàã ⮪ .

ªâ¨ç¥áª¨, ¬®¦­® ã¡¥¤¨âìáï [1, 2, 31], çâ® ¢ª« ¤ ⨯						q ®¯¨áë¢ ¥â ¬ £­¨â-
­ë© ¬®¬¥­â í«¥ªâà®­ =				e	, ª®â®àë© ®¡ëç­® § ¯¨áë¢ îâ ¢ ¢¨¤¥ =			g	e	s,
	1		;2m				;		2m
£¤¥ ᯨ­ s = 2 , g { £¨à®¬ £­¨â­®¥ ®â­®è¥­¨¥ í«¥ªâà®­						(¢ ⥮ਨ ¨à ª	g = 2).

4 ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 à áç¥âë ¢¥áì¬ £à®¬®§¤ª¨ ¨ ¬ë ®âáë« ¥¬ ç¨â â¥«ï § ¤¥â «ï¬¨ ª ª­¨£ ¬ [1, 2]

178

®®â¢¥âá⢥­­®, ¢â®à®© ç«¥­ ¢ (8.32) ®¯¨áë¢ ¥â ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¢ª« ¤ ¢ ¬ £­¨â-

­ë© ¬®¬¥­â í«¥ªâà®­ , â ª çâ®

e

e2

= ;

1 +

(8.33)

2m

2

¨«¨

2

g = 2 + e

(8.34)

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®¯®«­¨â¥«ì­® ª ¤¨à ª®¢áª®¬ã ¬ £­¨â­®¬ã ¬®¬¥­âã í«¥ªâà®­

¢®§­¨ª ¥â ­®¬ «ì­ë© ¬ £­¨â­ë© ¬®¬¥­â e2=2 . ®«¥¥ â®ç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ­®-

¬ «ì­®£® ¢ª« ¤

¢ £¨à®¬ £­¨â­®¥ ®â­®è¥­¨¥, ¯®«ãç î饥áï ¯®¬®éìî ¢¥áì¬

£à®-

¬®§¤ª¨å ¢ëç¨á«¥­¨© á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ e6 ¨¬¥¥â ¢¨¤:

g ; 2

= 1 e2

e2

2

e2

3

0:32848

+(1:49

0:2)

+::: = (1159655:4

3:3)

10;9

(8.35)

2

2 ;

ª § ­­ ï §¤¥áì ®è¨¡ª

á¢ï§ ­ á âà㤭®áâﬨ ¢ëç¨á«¥­¨© ¡®«ì讣® ç¨á«

¤¨ -

£à ¬¬

e6. ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®¥ §­ 祭¨¥ ­®¬ «ì­®£® ¬ £­¨â­®£® ¬®¬¥­â

í«¥ª-

âà®­

à ¢­®:

g ; 2

j

exp = (1159657:7

3:5)

10;9

(8.36)

2

®â ¯®í⮬㠪¢ ­â®¢ ï í«¥ªâத¨­ ¬¨ª

¨ áç¨â ¥âáï, ¯®¦ «ã©, á ¬®© â®ç­®© ¨§

¨¬¥îé¨åáï ⥮਩ äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© í«¥¬¥­â à­ëå ç áâ¨æ. -

᪮«ìª® ¨§¢¥áâ­®

¢â®àã, ¤® á¨å ¯®à ­¥ ®¡­ à㦥­® ­¨ª ª¨å à á宦¤¥­¨© ¬¥¦¤ã

¥¥ ¯à¥¤áª § ­¨ï¬¨ ¨ íªá¯¥à¨¬¥­â®¬, ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ à¥çì ¨¤¥â ® ç¨áâ® í«¥ª-

âத¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¥­¨ïå.

áᬮâ७¨¥ à ¤¨ 樮­­ëå ¯®¯à ¢®ª ­ ®á­®¢¥ 䥩­¬ ­®¢áª®£® ä®à¬ «¨§¬ ï¥âáï ¤®- áâ â®ç­® á«®¦­ë¬ ¨ £à®¬®§¤ª¨¬. «ï ¯®­¨¬ ­¨ï 䨧¨ª¨ íâ¨å ¥­¨© ¯®«¥§­® à áᬮâà¥âì ª - ç¥á⢥­­ë© ¯®¤å®¤, ¯à¥¤«®¦¥­­ë© ¥«ìâ®­®¬, ¨ ¯®§¢®«ïî騩 ¤ âì ¯à®áâãî ª ç¥á⢥­­ãî ¨å ¨­â¥à¯à¥â æ¨î, ®á­®¢ ­­ãî ­ ª à⨭¥ ¢ ªã㬭ëå ä«ãªâã 権 í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï ¨ ஫¨ í«¥ªâà®­ - ¯®§¨âà®­­®£® ¢ ªã㬠.

¡á㤨¬, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª®¥ §­ 祭¨¥ ¨¬¥¥â á।­¥ª¢ ¤à â¨ç­®¥ §­ 祭¨¥ ­ - ¯à殮­­®áâ¨ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¥ 䨧¨ç¥áª®£® ¢ ªã㬠. áᬮâਬ

¯®«¥ ¢ ­¥ª®â®à®¬ ­®à¬¨à®¢®ç­®¬ ®¡ê¥¬¥ V . ã«¥¢®¥ ª®«¥¡ ­¨¥ á ç áâ®â®© ! ¨¬¥¥â í­¥à£¨î

~!

.

2

®¦­® ­ ¯¨á âì ®ç¥¢¨¤­®¥ à ¢¥­á⢮:

~!

1

1

E2

=

dV (E2

+ H2

) =

dV E2

=

0!

V

(8.37)

8 Z

4 Z

2

0!

0!

0!

8

£¤¥ E0! ¨ H0! { ¬¯«¨âã¤ë ­ ¯à殮­­®á⥩ ¯®«¥© ¢ ¢ ªã㬥, ®â¢¥ç îé¨å à áᬠâਢ ¥¬ë¬

­ã«¥¢ë¬ ª®«¥¡ ­¨ï¬ á ç áâ®â®© !, ç¥àâ

®¡®§­ ç ¥â ãá।­¥­¨¥ ¯® ¯¥à¨®¤ã ª®«¥¡ ­¨©. § (8.37)

­ 室¨¬ á।­¥ª¢ ¤à â¨ç­ãî ¬¯«¨âã¤ã ­ã«¥¢ëå ª®«¥¡ ­¨© ¯®«ï á ç áâ®â®© !:

E2

=

4 ~!

(8.38)

0!

V

áᬮâਬ í«¥ªâà®­ ¢

⮬¥. íâ®â í«¥ªâà®­ ¤¥©áâ¢ã¥â ªã«®­®¢áª®¥ ¯®«¥ ï¤à

¨ ä«ãªâã -

樨 ­ã«¥¢ëå ª®«¥¡ ­¨© ¯®«ï ¢ ¢ ªã㬥. ®í⮬㠭

®à¡¨â «ì­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ í«¥ªâà®­

­ « £ ¥âáï

å ®â¨ç¥áª®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ íâ¨å ¢ ªã㬭ëå ä«ãªâã 権. ãáâì V (r) ®¡®§­ ç ¥â ¯®â¥­- æ¨ «ì­ãî í­¥à£¨î í«¥ªâà®­ , ­ 室ï饣®áï ¢ â®çª¥ r. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ª®®à¤¨­ âã í«¥ªâà®­

¬®¦­® ­ ¯¨á âì ª ª r = r0 + r0, £¤¥ r0 { ®¡ëç­®¥ §­ 祭¨¥ ª®®à¤¨­	âë í«¥ªâà®­ , ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥-
­¥¥ ¯« ¢­® ¬¥­ïî饥áï ¯à¨ ¥£® ®à¡¨â «ì­®¬ ¤¢¨¦¥­¨¨, r0 { ¥£® ¬	«®¥ ᬥ饭¨¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬

á«ãç ©­®© ᨫë á® áâ®à®­ë ä«ãªâã¨àãî饣® ¢ ªã㬭®£® ¯®«ï. ®£¤ ¬®¦­® § ¯¨á âì á«¥¤ãî饥 ¨§¬¥­¥­¨¥ á।­¥© ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ í«¥ªâà®­ , ¨á¯ëâë¢ î饣® á«ãç ©­ë¥ ᬥ饭¨ï:

0			0 @V		1		0	0		@2V
< V (r) >=< V (r0 + r ) ; V (r0) > < xi @xi				+	2	(xixk)				@xi@xk	>=
=	1	2	0	2			1		2	0	)	2	>	(8.39)
	2 r		V < (xi) >=				6 r			V < (r

179

£«®¢ë¥ ᪮¡ª¨ §¤¥áì ®¡®§­ ç îâ á।­¥¥ ¯® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦­ë¬ §­ 祭¨ï¬ á«ãç ©­®© ¢¥«¨ç¨­ë r0.

ਠãá।­¥­¨¨ ãç⥭®, çâ® < x0 >= 0,

¢ ᨫ㠯à®áâà ­á⢥­­®© ¨§®âய¨¨ á«ãç ©­ëå ᬥ饭¨©

< xi0xk0 >=

1

< (r0)2 >.

i

3

ªã«®­®¢áª®¬ ¯®«¥ ¯à®â®­

r2V (r0) = 4 e2 (r0)

â ª çâ®

(8.40)

2 e2

< V (r) >= V (r0) +

(r0) < r02

>

(8.41)

3

«ï ¯®«ã祭¨ï «í¬¡®¢áª®£® ᤢ¨£ ⮬­®£® ã஢­ï ­ã¦­® ãá।­¨âì (8.41) ¯® á®áâ®ï­¨î í«¥ª-

âà®­

¢ ⮬¥, ⮣¤ ¨¬¥¥¬:

e2 Z

2

2

ELamb =

dV j

n(r0)j2 (r0) < r02 >=

e2j

n(0)j2 < r02 >

(8.42)

3

3

£¤¥

n { ¢®«­®¢ ï äã­ªæ¨ï à áᬠâਢ ¥¬®£® á®áâ®ï­¨ï.

«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï < r02

> ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, ç⮠ᬥ饭¨¥ í«¥ªâà®­

¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ä«ãªâã 権

¯®«ï ¯à®¨á室¨â ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¥£® ®à¡¨â «ì­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï. ¯¨è¥¬ ª« áá¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥

¤¢¨¦¥­¨ï:

d2r0!

m

= eE0! = eE0! sin(kr ; !t)

(8.43)

®âªã¤ ¯®«ã稬:

dt2

eE0!

0

sin(kr ; !t)

r

!

= ; m!2

(8.44)

®®â¢¥âá⢥­­®:

e2

2 e2~

E2

< (r0!)2

> =

=

(8.45)

m2!3V

2m2!4 0!

¢®á¯®«ì-

£¤¥ ç¥àâ á­®¢ ®§­ ç ¥â ãá।­¥­¨¥ ¯® ¢à¥¬¥­¨,

¤«ï ¯®«ã祭¨ï ¯®á«¥¤­¥£® à ¢¥­áâ¢

§®¢ «¨áì (8.38).

®бª®«мªг ­г«¥¢л¥ ª®«¥¡ ­¨п б а §­л¬¨ з бв®в ¬¨ п¢«повбп ­¥§ ¢¨б¨¬л¬¨, ¨е ¢ª« ¤ ¢

¯®«­®¥ á।­¥ª¢ ¤à â¨ç­®¥ ᬥ饭¨¥ í«¥ªâà®­

¬®¦­® ­ ©â¨ ¯à®áâë¬ á㬬¨à®¢ ­¨¥¬:

2

V

2e2~

!max d!

< r0

>=

2c3

Z

d!!2< (r0!)2 > =

c3m2

Z!min !

(8.46)

᫨ ¡ë ­¥ áãé¥á⢮¢ «® í«¥ªâà®­ - ¯®§¨âà®­­®£® ¢ ªã㬠, â® ¢¥àå­¨© ¯à¥¤¥« §¤¥áì ¬®£ ¡ë ¯à¨- ­¨¬ âì «î¡ë¥ §­ 祭¨ï ¨ ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë à á室ï騩áï १ã«ìâ â. ¤­ ª®, ¯à¨ ç áâ®â å ¯®à浪 mc2=~ ¢®§­¨ª ¥â ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬¥¦¤ã ­ã«¥¢ë¬¨ ª®«¥¡ ­¨ï¬¨ ¯®«ï ¨ § ¯®«­¥­­ë¬ ä®­®¬ ®â- à¨æ ⥫ì­ëå í­¥à£¨© ä¥à¬¨®­®¢. £«ï¤­® ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤¥«® â ª, çâ® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ä«ãªâã 樨 ⮪®¢, á¢ï§ ­­ëå á® á«ãç ©­ë¬¨ ᬥ饭¨ï¬¨ í«¥ªâà®­ á ¯®«®¦¨â¥«ì­®© í­¥à£¨¥© ¨ ­ «®£¨ç­ë¥ ⮪¨, á¢ï§ ­­ë¥ á® á«ãç ©­ë¬¨ ᬥ饭¨ï¬¨ í«¥ªâà®­®¢ ä®­ § ¯®«­¥­­ëå á®- áâ®ï­¨©. ®áª®«ìªã ¢ ᨫ㠯ਭ樯 㫨 ¢á¥ í«¥ªâà®­ë áâ६ïâáï ­ 室¨âìáï ¢ 㤠«¥­¨¨ ¤à㣠®â ¤à㣠, í⨠ä«ãªâã 樨 ⮪®¢ ¡ã¤ã⠯நá室¨âì ¢ ¯à®â¨¢®ä §¥, çâ® ¯à¨¢¥¤¥â ª ¨å ¢§ - ¨¬­®¬ã ¯®£ 襭¨î. १ã«ìâ ⥠¢á¥ ᢮¤¨âáï ª ¢®§­¨ª­®¢¥­¨î íä䥪⨢­®£® ®¡à¥§ ­¨ï (8.46)

¯à¨ !max mc2. ¥«¨ç¨­ ®¡à¥§ ­¨ï (8.46) ­ ­¨¦­¥¬ ¯à¥¤¥«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ­¥ª®â®à®©	á।­¥©
ç áâ®â®© ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï í«¥ªâà®­ ¢ ⮬¥, ¬ áèâ ¡ ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ਤ¡¥à£®¢áª®© ç	áâ®â®©:

!min = !0 Ry~

=

me4

. ®£¤ (8.46) ᢮¤¨âáï ª:

2~3

2e2~

mc2

2 e2

~

2

mc2

< (r02) >=

ln

~!0 =

ln

(8.47)

c3m2

~c

mc

~!0

®£¤ ¤«ï ¢¥«¨ç¨­ë «í¬¡®¢áª®£® ᤢ¨£

(8.42) ¯®«ãç ¥¬:

4 e2

~

2

mc2

ELamb =

3 ~c

j

n(0)j2 ln

~!0

(8.48)

mc

â®â ᤢ¨£ ¢á¥£¤

¯®«®¦¨â¥«¥­ { s-ã஢¥­ì ¢á¥£¤ «¥¦¨â ¯® í­¥à£¨¨ ¢ëè¥, 祬 íâ® ¯à¥¤áª §ë¢ -

¥âáï ⥮ਥ© ।¨­£¥à { ¨à ª . ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ¢

⮬¥ ¢®¤®à®¤ :

j n(0)j2

=

1

3

(8.49)

~2

na 1=3

£¤¥ a =

{ ¡®à®¢áª¨© à ¤¨ãá, ¯®«ãç ¥¬

me2

8

e2

3

Ry

mc2

ELamb =

~c

n3

ln ~!0

(8.50)

3