Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

12 ГЛ I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

горую точку и некоторые направления. В связи с этим возникает вопрос о том, каким образом можно ввести системы отсчета в однородном и изотропном пространстве при однородном времени. Решение этого вопроса непосредственно связано с введением еще одной абстракции — «геометрическая твердая среда, снабженная часами».

Классическое миропонимание исходит из предположения о том, что как пространство, так и время «метризуемы», т. е. что можно определить и измерить расстояния между геометрическими точками в пространстве и интервалы между отдельными моментами времени. Более того, предполагается, что существуют приборы для таких измерений — твердые масштабы и часы.

В классической механике свойства пространства и времени конкретизируются следующим образом: пространство предполагается евклидовым, а время представляется евклидовой прямой.

Условимся называть континуальное множество геометрических точек, расстояния между которыми фиксированы, геометрической твердой средой. Если геометрическая твердая среда задана, то положение произвольной (не связанной с этой средой) геометрической точки будет характеризоваться той точкой среды, с которой рассматриваемая точка совпадает. В этом смысле геометрическую твердую среду можно принять за геометрическую систему отсчета.

Бессмысленно было бы пытаться задать положение геометрической твердой среды в пустом однородном и изотропном пространстве. В то же время геометрическую твердую среду можно связать с ка- ким-либо реальным объектом, находящимся в таком пространстве, например с каким-либо материальным телом. Но объектов такого рода много, так что геометрическая твердая среда не единственна и можно ввести множество таких сред, каждая из которых будет «абсолютно проницаемой» для точек другой среды. Тогда можно определить положение какой-либо геометрической твердой среды относительно любой другой геометрической твердой среды, определив положение каждой точки первой среды относительно второй. В отличие от пустого однородного и изотропного пространства, в каждой геометрической твердой среде может быть различным образом задана система координат как совокупность чисел, которые определяют положение каждой точки этой среды по отношению к некоторым специально выделенным «базовым», или «основным», точкам. В классической кинематике рассматриваются трехмерные твердые геометрические среды, т. е. среды, в которых для определения положения точки достаточно указать для нее три таких числа; Е некоторых случаях вводятся в рассмотрение «вырожденные» среды — двумерные и одномерные.

Системой отсчета (без добавления слова геометрическая) р механике называется геометрическая система отсчета, дополненная «чэсами», находящимися в каждой точке рассматриваемой геометрической твердой среды. Как уже говорилось выше, пред-

§ I. ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ И СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

13

полагается, что время течет независимо от положения часов. Иначе говоря, предполагается, что часы могут быть синхронизированы раз и навсегда и что, следовательно, в разных точках одной и той же геометрической твердой среды и даже, более того, в разных геометрических твердых средах показания всех часов совершенно одинаковы. Теперь, когда геометрическая твердая среда снабжена часами, мы можем дать следующее разъяснение: говоря ранее

отом, что расстояния между точками среды фиксированы, мы имели

ввиду, что они не изменяются во времени. Так как по предположению время течет одинаково во всех системах отсчета, положение любой геометрической точки может быть задано ее координатами, меняющимися во времени, т. е. время можно рассматривать как параметр, от которого зависят координаты точки. Теперь понятно, что изучение движений может быть сведено к изучению геометрических свойств некоторых кривых, заданных в параметрической форме (время играет роль параметра) по отношению к какой-либо геометрической твердой среде. Именно это мы имели выше в виду, говоря, что кинематика, собственно, является разделом геометрии

и лишь по традиции включается в курсы механики.

В силу однородности и изотропности пространства и однородности времени все системы отсчета равноправны, среди них нельзя выделить какую-либо примечательную систему отсчета, имеющую преимущества по сравнению с другими. Поэтому можно говорить лишь о движении одной системы отсчета по отношению к другой, но нельзя говорить об «абсолютном» движении систем отсчета; можно говорить о движении геометрической точки относительно некоторой фиксированной системы отсчета, но нельзя говорить об ее «абсолютном» движении. В связи с этим возможны следующие четыре ситуации.

1° Избрана некоторая система отсчета. Наблюдатель, связанный с этой системой, т. е. неподвижный относительно нее, видит движущуюся точку (рис. 1.1, а).

В этой простейшей ситуации задача состоит в изучении различных способов описания наблюдаемого движения точки.

2° Заданы две системы отсчета (рис. 1.1, б). Наблюдатель, связанный с первой из них, видит движение второй.

В этой ситуации возникает вопрос о том, каким образом описать движение одной системы отсчета относительно другой.

3° Заданы две системы отсчета, и с каждой из них связан свой наблюдатель. Оба наблюдателя видят одну и ту же движущуюся точку (рис. 1.1, в). Наблюдаемые ими движения точки, вообще говоря, различны (так, например, первый наблюдатель может видеть неподвижную точку, в то время как второй наблюдатель видит движущуюся).

В этой ситуации возникает следующая задача: известно, как движется точка относительно первого наблюдателя (ситуация 1°);

14	ГЛ I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

известно, как движется система отсчет, с которой связан первый наблюдатель, относительно второй (ситуация 2°); требуется описать движение точки, которое видит второй наблюдатель.

4° Задано п + 1 систем отсчета (п — произвольное конечное число). Системы отсчета перенумерованы (0, 1, ..., /г), с каждой

а)

б)

\

в)

Рис. 1.1.

из них связан свой наблюдатель, и известно, как движется k-я система отсчета (k = 1, 2, ..., п) относительно (k — 1)-й (рис. 1.1, г).

В этой ситуации возникает следующая задача: описать движение п-й системы отсчета относительно нулевой.

Основное содержание кинематики состоит в анализе четырех описанных выше ситуаций и связанных с ними задач. Они поочередно рассматриваются в следующих параграфах этой главы.

r(i)=ix(t)+Jy(t) + kz(t).

§ 2. ДВИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТОЧКИ

15

§ 2. Движение геометрической точки

Рассмотрим движение геометрической точки относительно ка- кой-либо системы отсчета (рис. 1.1, а). Предположим, что в соответствующей геометрической твердой среде каким-либо образом выбраны четыре несовпадающие точки такие, что любые три из них не лежат на одной прямой, причем одна из них принята за «начало координат», а три прямые, соединяющие начало координат с остальными тремя точками, задают три направления. Тогда радиусвектор г, проведенный из начала координат к любой точке среды,

можно задать, например, проекци-
ями	на эти направления, и изуче-
ние	любого		движения			геометри-
ческой точки относительно системы
отсчета		сведется		к	исследованию
вектор-функции г{1).					Поэтому дан-
ный	параграф			лишь		напоминает		J( j	у
читателю основы				векторного			ана-	У1
лиза	в	объеме,		необходимом для				>^Г
понимания дальнейшего материала.
Условимся считать, что три направ-									Рис. 1.2.
ления, выбранные в геометрической
твердой		среде,		образуют			правую	декартову	систему коор-
динат х, у, г.			Определить движение геометрической точки —значит
задать		ее положение относительно выбранной системы координат х,
у, z	в любой		момент времени t, т. е. задать вектор-функцию r(t)
(рис.	1.2). Производная

v(t) = dr(t)/dt

называется скоростью точки, а вторая производная

w (/) = dv (t)/dt = d2r (t)/dt2

— ее ускорением.

Для того чтобы задать вектор-функцию r(t), достаточно задать три скалярные функции x(t), y(t), г (t) —координаты точки. Если /, /, ft —орты осей х, у, г и, следовательно, постоянные векторы, то

Скорость в этом случае выражается так:

где vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt — проекции вектор-функции v (t) на оси х, у и г. Очевидно, что

	(t),
cos(©, i) = vx/v,	cos(©, j) = Vyiv, cos (г», k) = vt/v.

16 ГЛ I КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

Аналогично устанавливаются выражения для ускорения:

		(t\ — d-—i		—			(3)
где	wx	= d2x/dt2,	wy ••= d2y/dt2,		Wg= d2z/dt2	— ускорения вдоль осей х,
у и	г;	тогда
го (0 = | к;(01=)/Я (0+^ ( 0 +^(0.							(4)
COS (tW, /) =			KJ^/ffi)	cos (w,	j) = wy/w,	=	wjw.
	При ином способе задания движения, так называемом						естест-

венном способе, в пространстве х, у, z задается кривая, по кото-

рой движется точка, —траектория точки. На траектории					фикси-
руются начало, положительное			направление	отсчета и скалярная
функция	s(t), задающая	длину	дуги траектории от начала отсчета
до того	места, где в	момент	t находится	движущаяся	точка

				J/
Рис. 1.3.			Рис.	1.4.
(рис. 1.3). В том случае, когда		движение	все время происходит
в одном и том	же направлении,	значения	этой	функции совпа-
дают с путем,	пройденным по траектории.

Введем в рассмотрение так называемый сопровождающий трехгранник1), образованный ортами т, п и Ь касательной, главной нормали и бинормали 2) в точке А траектории (рис. 1.4). Направление ортов т, п и Ъ меняется при движении точки Л, т. е. эти орты представляют собой вектор-функции т = т (t), n=n (t), &=&(/)

!) Иногда этот трехгранник называют естественным, натуральным или подвижным.

2) Напоминаем читателю, что главной нормалью называется нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, а бинормалью — нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости (Соприкасающаяся плоскость получается как предел плоскостей, проходящих через три близкие точки кривог, при неограниченном сближении этих точек В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью самой кривой.)

	§ 2. ДВИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙТОЧКИ					17
Определим	ориентацию	векторов			v (t) и w (t)	относительно
осей сопровождающего трехгранника. По определению
	v(t)	dr(t)	_	dr(t)	ds_4
		~~ dt	~	ds	dt'
но производная от радиуса-вектора				по дуге равна		орту касатель-
ной dr/ds = x,	так что

ds	(5)

т. е. вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории и по абсолютной величине равен модулю производной ds/dt.

Формула (5) устанавливает связь между выражениями скорости при векторном и естественном способе задания движения; аналогично

	_d\(ds/dt)x(t)]
			dt
	.	ds	Idx	ds'	2 d t
dt*		It	{ ds ~di
	C+
Ho dx/ds — ne что	иное,		как	вектор	кривизны, равный л/р
(р —радиус кривизны) и		направленный			по главной нормали;
поэтому
	w(t) = -^_x-\-~ п.				(6)

Таким образом, вектор w лежит в соприкасающейся плоскости сопровождающего трехгранника. Его проекция на касательное направление

-dt*

(7)

называется касательным (или тангенциальным) ускорением, а его проекция на направление главной нормали

(8)

— нормальным ускорением. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Ясно, что

w—

Вчастном случае, когда траекторией движения является окружность, касательное ускорение направлено перпендикулярно радиусу окружности, а нормальное — по радиусу к центру (рис. 1,5).

18	ГЛ I КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА
Система координат,		которая	вводится	при построении системы
отсчета, не обязательно		должна	быть декартовой системой. В част-
ности,	положение точки относительно			геометрической	твердой
среды	можно задать, используя		не только линейные, но и угло-
вые величины. Так, например,			на плоскости положение		точки

9

	Рис. 1.5. •	Рис. 1.6.
может	быть определено не только двумя	линейными	координа-
тами	х и t/, но и полярными координатами: линейной величи-
ной р и углом ф (рис. 1.6). Аналогично,		в трехмерной	геометри-

ческой твердой среде положение точки может быть задано двумя линейными величинами р и h и одной угловой величиной ф (цилиндрические координаты, рис. 1.7) илидвумя угловыми величинами ф и г|з и одной линейной величиной р (сферические координаты, рис. 1.8). Но каким бы способом ни определялось положение точки, в трехмерной геометрической твердой среде должны

л,

		Рис. 1.7.	Рис. 1.8.
быть		введены в рассмотрение три независимые			величины; мы
назовем их обобщенными координатами			точки иобозначим через qlt
q2	и <73- Так,например, в декартовых		координатах		q^= x, q2 — y,
q3	= z, в цилиндрических координатах q1 = p, q2			= h, q3 = ф, а в сфе-
рических координатах <7i = p, <72= Ф> 9з = ^ и				т - Д-
	В любом случае задание <7i(0> 9г(0' <7з(^) полностью опреде-
ляет		движение точки, т. е. вектор-функцию

r[t)=r[q1(t)tqt{t),qa(t)].

§ 2 ДВИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТОЧКИ

19

Пусть

в момент t — t*

положение

ючки

определено значениями

обобщенных

координат

q*, qt,

qt,

т.

е.

радиусом-вектором

r(qt,

qt,

qt)-

Положив теперь q2 = qh

q3

= qt,

будем изменять q^.

Тогда

r(qu

qt, qt)

определит в

пространстве кривую — ее назы-

вают

координатной

линией

qt.

Аналогично,

фиксируя две другие

обобщенные

координаты

и меняя

третью, можно построить коор-

динатные

линии qt и q3

(рис. 1.9).

Касательные

к координатным

ли-

ниям в точке qf, <7*. Яз

образуют

систему

осей

координат

qlt

q2

и q3.

того

чтобы

определить

Рис 1-9.

Для

компоненты скорости

v

по постро-

енным таким образом

осям координат, введем в рассмотрение соот-

ветствующие

орты:

Ортт, оси

д,

(t = l,

2,

3)

равен%—• drldq,\

(9)

и функции Ламе (иногда их называют коэффициентами Ламе)

(10)

тогда

(И)

3

3

(12)

т. е. компонента vq. скорости v по оси qt равна

(13)

Определим, далее, wq. —проекциюх) ускорения w на ось qi, т. е. скалярное произведение и/-т;:

Из выражения (12), которое определяет функцию v(q,q),		следует
равенство
dd	dd	(15)

J ) В связи с тем, что в общем случае оси qi не ортогональны, понятия «проекция вектора» (ортогональная) и «компонента вектора по оси» не совпадают.

20 ГЛ. I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

но, с другой стороны, очевидно, что

d дг д dr dv

Используя (15) и (16), представляем равенство (14) в виде

«..-«[!(••«)—&]•

или

1	Г d	д (v-/2)	(17)
qi ~ Hi
	[ dt	dqi	dqt

Коль скоро вектор-функция v(q, q) определена поформуле (12), v2 = v-v может быть подсчитана как скалярная функция q и q, и тогда формула (17) для любой системы обобщенных координат определяет проекцию ускорения w на ось qt.

§3. Общие соображения о движении систем отсчета

Вэтом параграфе будет начато рассмотрение движения одной системы отсчета относительно другой (рис. 1.1,6). О системе отсчета, относительно которой рассматривается движение, как и ранее, предполагается, что соответствующая геометрическая твердая среда содержит континуум геометрических точек, заполняющих пространство, и поэтому в любой момент времени каждая

точка второй системы отсчета обязательно совпадает с какой-либо точкой первой1). В этой первой системе отсчета по-прежнему будем рассматривать прямоугольную декартову систему коорди-

нат х, у, г и условимся называть эту систему отсчета «латинской средой»2).

Вгеометрической твердой среде второй системы отсчета также введем декартову систему координат, но ее оси обозначим греческими буквами |, т), £ (векторы /, /, Л —орты этих осей) и будем называть условно вторую систему отсчета «греческой средой». Интересующая нас задача состоит в изучении движения греческой среды относительно латинской.

Непосредственно ясно, что условие неизменности расстояния между точками греческой среды во время движения накладывает ограничения на возможные скорости ее точек. Так, например,

х) Можно было бы предположить, что эта геометрическая твердая среда содержит счетное множество точек, образующих некоторую упорядоченную «решетку». Тогда положение движущейся точки определялось бы тем, в какой клетке этой решетки она находится в рассматриваемый момент.

2) Термины «латинская среда» и «греческая среда» (см. ниже), конечно, могут встретить вполне естественные возражения, но они очень удобны и поэтому будут широко использоваться в дальнейшем (даже без кавычек).

§ 3 ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ ОТСЧЕТА

21

две точки среды заведомо не могут иметь отличные по величине скорости, направленные вдоль соединяющей эти точки прямой, ибо при таких скоростях менялось бы расстояние между точками. Поэтому при движении срелы скорости ее точек не произвольны, а распределены некоторым специальным образом.

Наша цель состоит в том, чтобы выяснить, как распределены скорости точек греческой среды, движущейся относительно латинской среды.

	Пусть в момент t оси х, у, г
	и £> Л» £ совпадают, а в момент	Рис 1.10.
	tx за счет движения греческой
	среды это совпадение несохраня-

ется (рис. 1.10). В связи с тем, что по предположению расстояния

между точками среды не меняются		во время движения, коорди-
наты |, т), £ любой точки	греческой	среды неизменны во времени.
Из рис. 1.10 следует, что

поэтому

(18)

и, следовательно,

dj dfc

d4	d*k	(19)
	dP
Рассмотрим теперь два частных	случая движения среды.

В первом случае во все время движения оси £, т], £ параллельны

осям х, у, г, т. е.	каждый	из ортов	/, /, k всегда параллелен
самому себе (рис. 1.11). Тогда
di	dj dk	d4 dy	d*k
~dt==~diz=~di==dP=1dP~d!*			=

и поэтому

(20)

т. е. скорости и ускорения всех точек греческой среды в любой фиксированный момент времени одинаковы. Такое движение называется поступательным. Легко видеть, что при поступательном