Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

6.4. ьжжелф рбкетмуб, фептйс утедоезп рпмс											131
ФПОЙБО УŒПВПДОЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ РТЙОЙНБЕФ ŒЙД								@x −
H0		−	2m	− 2m		≈ − F	1		2	@x
	=	+(x)	2	p02	(x)dx	iv	+(x)	@ 1	+(x)	@ 2	dx (6.72)

рТЕДРПМПЦЙН ФЕРЕТШ, ЮФП Œ УЙУФЕНЕ ŒПЪОЙЛМБ УФБФЙЮЕУЛБС НПДХМСГЙС УНЕЭЕОЙС ТЕЫЕФЛЙ u(x) = u0 cos(2p0x + ’). рТЙ ЬФПН ОБ ЬМЕЛФТПОЩ ДЕКУФŒХЕФ ДЕЖПТНБГЙПООЩК РПФЕОГЙБМ U (x) = g@u=@x. уППФŒЕФУФŒХАЭЙК ŒЛМБД Œ ЗБНЙМШФПОЙБО ЕУФШ

Hint =	U (x) +(x) (x) dx ≈ ´	1+(x)	2(x) + h:c:	dx ;	(6.73)

ÇÄÅ ´ = gu0p0ei’. оБН ВХДЕФ ХДПВОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС НБФТЙЮОПК ЖПТНПК ЪБРЙУЙ. вХДЕН УЮЙФБФШ ДŒХИЛПНРПОЕОФОЩН ŒЕЛФПТПН (ЕЗП ЛПНРПОЕОФЩ | 1 É 2). фПЗДБ ЗБНЙМШФПОЙБО НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ У РПНПЭША НБФТЙГЩ, ДЕКУФŒХАЭЕК ОБ ЬФПФ ŒЕЛФПТ:

		−
H =	vF k		´	:	(6.74)
	´		vF k

ъДЕУШ k = −i@=@x. рЕТЕКДС Л ЙНРХМШУОПНХ РТЕДУФБŒМЕОЙА, ОЕФТХДОП ОБКФЙ УПВ-

УФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС Й УПВУФŒЕООЩЕ ŒЕЛФПТЩ ПРЕТБФПТБ (6.74):

"±(k) = ± vF k

+ ´ ;

|±; k =

v

;

(6.75)

2

−

±

2 2

u±

ÇÄÅ

1

;

1

u2

= 1

2 vF k

v2

= 1

2 vF k

:

(6.76)

±

2

± vF k2 + ´2

±

2

vF k2 + ´2

фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЫ ŒЩŒПД П ФПН, ЮФП Œ УРЕЛФТЕ ŒПЪВХЦДЕОЙК ПФЛТЩŒБЕФУС ЭЕМШ, ПЛБЪЩŒБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒЩН, РТЙЮЕН ŒЕМЙЮЙОБ ЭЕМЙ ЕУФШ 2|´|.

йУРПМШЪХС ОБКДЕООЩЕ УПВУФŒЕООЩЕ УПУФПСОЙС Й ЙИ ЬОЕТЗЙЙ (6.75), ОБКДЕН ЙЪНЕОЕОЙЕ РПМОПК ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПОПŒ, ŒЩЪŒБООПЕ ĂŒОЕЫОЙНĄ ДЕЖПТНБГЙПООЩН РПФЕОГЙБМПН U (x). œУЕ ЬМЕЛФТПООЩЕ УПУФПСОЙС (6.75) У " > 0 РТЙ T = 0 ВХДХФ РХУФЩНЙ, Б УПУФПСОЙС У " < 0 | ЪБОСФЩНЙ. рПЬФПНХ ЬОЕТЗЙС УЙУФЕНЩ ТБŒОБ

EÜÌ = −2		vF2 k2 + |´|2	(6.77)
	k

(НОПЦЙФЕМШ 2 ХЮЙФЩŒБЕФ УРЙОПŒПЕ ŒЩТПЦДЕОЙЕ). ьФБ УХННБ ТБУИПДЙФУС УФЕРЕООЩН ПВТБЪПН РТЙ k → ±∞, ВМБЗПДБТС ЬМЕЛФТПООЩН УПУФПСОЙСН, ТБУРПМПЦЕООЩН ЗМХВПЛП РПД ХТПŒОЕН жЕТНЙ. пДОБЛП РПУЛПМШЛХ ЬОЕТЗЙС ЬФЙИ УПУФПСОЙК РПЮФЙ ОЕ НЕОСЕФУС

РТЙ ŒЛМАЮЕОЙЙ РПФЕОГЙБМБ U (x), ПОЙ ДБАФ ПФОПУЙФЕМШОП ОЕВПМШЫПК ŒЛМБД Œ ЙЪНЕОЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ

‹EÜÌ = EÜÌ(´) − EÜÌ(´ = 0) = −2	k		vF2 k2	+ |´|2 − vF |k|	:	(6.78)

132	змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒУЕ ЕЭЕ ТБУИПДЙФУС РТЙ ВПМШЫЙИ k, ОП ХЦЕ МЙЫШ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ. пВТЕЪБС ЬФХ ТБУИПДЙНПУФШ РТЙ k ≈ ±p0, РПМХЮБЕН

‹EÜÌ = −	L ´	2	ln	2"		−	1	;
	ıv| |			|	´		2		(6.79)
	F				|

ÇÄÅ " = vF p0, Б L | ТБЪНЕТ УЙУФЕНЩ. оБЫЕ ŒЩЮЙУЙМЕОЙЕ ‹EÜÌ ЛПТТЕЛФОП, РПУЛПМШЛХ

|´| "F .

юФПВЩ ПРТЕДЕМЙФШ ПРФЙНБМШОХА ŒЕМЙЮЙОХ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЭЕМЙ ´, ОБКДЕН ЙЪНЕОЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ ТЕЫЕФЛЙ РТЙ ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙЙ НПДХМСГЙЙ:

	jc2		@u	2	L ´	2
				dx = jc2p02u02L =
EÒÅÛ =	2		@x		|g2 |	:	(6.80)

œЙДОП, ЮФП РТЙ УБНЩИ НБМЩИ |´| ПФТЙГБФЕМШОПЕ ЙЪНЕОЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПОПŒ (6.79) РТЕПВМБДБЕФ. œЕМЙЮЙОБ ´ ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ ХУМПŒЙС НЙОЙНЙЪБГЙЙ РПМОПК ЬОЕТЗЙЙ ‹EÜÌ + EÒÅÛ ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ´, ЮФП ДБЕФ

´0 = " exp −ı vF =g2 :

(6.81)

œЕМЙЮЙОБ ´0 ПРТЕДЕМСЕФ ИБТБЛФЕТОЩК НБУЫФБВ ЬОЕТЗЙК, РТЙ ЛПФПТЩИ ЙНЕЕФ НЕУФП ЬЖЖЕЛФ рБКЕТМУБ. лБЛ ŒЙДОП ЙЪ (6.75), ЙНЕООП РТЙ ЬОЕТЗЙСИ " ≈ ´0 РТПЙУИПДСФ ЙЪНЕОЕОЙС Œ УРЕЛФТЕ ЬМЕЛФТПОПŒ. œЕМЙЮЙОБ ´0 ФБЛЦЕ ПРТЕДЕМСЕФ ФЕНРЕТБФХТХ Tc ≈ ´0, РТЙ ЛПФПТПК РТПЙУИПДЙФ ЖБЪПŒЩК РЕТЕИПД Œ РБКЕТМУПŒУЛПЕ УПУФПСОЙЕ (УН. ЪБДБЮХ 39). œ ТЕБМШОЩИ НБФЕТЙБМБИ ФЕНРЕТБФХТБ Tc НПЦЕФ УПУФБŒМСФШ ПФ ОЕУЛПМШЛЙИ ЕДЙОЙГ ДП УПФЕО ЗТБДХУПŒ.

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ЖПОПОПŒ. вМБЗПДБТС ОБМЙЮЙА РТБŒЩИ Й МЕŒЩИ УПУФПСОЙК, ДМС ПРЙУБОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ, ТБУУЕЙŒБАЭЙИУС ОБ НПДХМСГЙЙ У k = 2p0, ОЕПВИПДЙНП ЙУРПМШЪПŒБФШ ЮЕФЩТЕ ЖХОЛГЙЙ:

G11(x; x ) = −i T	1(x)	1+(x ) ;	G22(x; x ) = −i T	2(x)	2+(x ) ;
G12(x; x ) = −i T	1(x)	2+(x ) ;	G21(x; x ) = −i T	2(x)	1+(x ) :

жХОЛГЙЙ G

ij

(x; x ) НПЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ, ПВТБФЙŒ НБФТЙГХ

"

−

H:

G21

G22

=

" − H

−

= "2

−

v2 k2

´ 2

+ i0

´+

"

−

vF k

: (6.82)

G11

G12

";k

1

F

− | |

" + vF k

1

´

рПМАУЩ ЬМЕЛФТПООЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ (6.82) ДБАФ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ "(k) = ± (k2vF2 + ´2)1=2, Œ ФПЮОПУФЙ УПŒРБДБАЭЙК У (6.75). оБМЙЮЙЕ ЭЕМЙ Œ УРЕЛФТЕ РПДФŒЕТЦДБЕФ ОБЫ ŒЩŒПД П ДЙЬМЕЛФТЙЮЕУЛПН ИБТБЛФЕТЕ ПУОПŒОПЗП УПФПСОЙС.

рЕТЕД ФЕН, ЛБЛ ЙУУМЕДПŒБФШ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ, ПФНЕФЙН ОЕЛПФПТЩЕ ЛБЮЕУФŒЕООЩЕ ЮЕТФЩ РБКЕТМУПŒУЛПЗП УПУФПСОЙС. рТЙ ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙЙ ŒПМОЩ ЪБТСДПŒПК РМПФОПУФЙ Œ УЙУФЕНЕ УРПОФБООП ОБТХЫБЕФУС ФТБОУМСГЙПООБС УЙННЕФТЙС ДŒЙЦЕОЙС

6.4. ьжжелф рбкетмуб, фептйс утедоезп рпмс

133

ЬМЕЛФТПОПŒ ПФОПУЙФЕМШОП ТЕЫЕФЛЙ (ŒПЪОЙЛБАЭБС НПДХМСГЙС ТЕЫЕФЛЙ РПОЙЦБЕФ УЙННЕФТЙА ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС). рТЙ ЬФПН, ПДОБЛП, ЙУИПДОЩК НЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛЙК ЗБНЙМШФПОЙБО УŒПЕК УЙННЕФТЙЙ ОЕ ФЕТСЕФ. рПЬФПНХ Œ УЙУФЕНЕ ДПМЦОБ РПСŒЙФШУС НСЗЛБС ŒЕФŒШ УРЕЛФТБ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК РПДПВОБС БЛХУФЙЮЕУЛЙН ЖПОПОБН 4, ЮБУФПФБ ЛПФПТПК ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ РТЙ k = 0.

œ ДБООПН НСЗЛБС НПДБ ŒПЪОЙЛБЕФ ВМБЗПДБТС ФПНХ, ЮФП ЬОЕТЗЙС УЙУФЕНЩ ОЙЛБЛ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЖБЪЩ ŒПМОЩ ЪБТСДПŒПК РМПФОПУФЙ ’, ЕУМЙ РПУМЕДОСС РПУФПСООБ. еУМЙ ЦЕ ’ НЕДМЕООП ЙЪНЕОСЕФУС Œ РТПУФТБОУФŒЕ, ФП ЬФП ЬЛŒЙŒБМЕОФОП ФПНХ, ЮФП ŒПМОПŒПК ŒЕЛФПТ k(x) ПФЛМПОСЕФУС ПФ 2p0 ОБ @’=@x. нПДХМСГЙС У ŒПМОПŒЩН ŒЕЛФПТПН, ПФЛМПОСАЭЙН-

УС ПФ ПРФЙНБМШОПЗП ЪОБЮЕОЙС k = 2p0, РТЙŒПДЙФ Л ОЕЛПФПТПНХ ХŒЕМЙЮЕОЙА ЬОЕТЗЙЙ УЙУФЕНЩ. йЪ ЬФЙИ ТБУУХЦДЕОЙК ŒЙДОП, ЮФП ФПМШЛП ЙЪНЕОЕОЙЕ ЖБЪЩ НПДХМСГЙЙ ’(x; t)

Œ РТПУФТБОУФŒЕ (ЙМЙ ŒП ŒТЕНЕОЙ) НПЦЕФ РТЙŒЕУФЙ Л УПУФПСОЙА У В«ПМШЫЕК ЬОЕТЗЙЕК. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЖБЪБ ’(x; t) Й ЕУФШ РЕТЕНЕООБС, ПРЙУЩŒБАЭБС Œ ДБООПН УМХЮБЕ НСЗЛХА НПДХ, ЮБУФП РПЬФПНХ ОБЪЩŒБЕНХА ĂЖБЪПООПК НПДПКĄ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН ОЙЦЕ, ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТПОБНЙ ЖБЪПООБС НПДБ РТЙПВТЕФБЕФ УЛПТПУФШ vF c. лТПНЕ ЖБЪПООПК НПДЩ, Œ УЙУФЕНЕ ЕУФШ ФБЛЦЕ ДТХЗБС НПДБ, УŒСЪБООБС У ПФЛМПОЕОЙЕН |´| ÏÔ ´0 (ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ĂБНРМЙФХДПОĄ). рПУЛПМШЛХ ЬОЕТЗЙС УЙУФЕНЩ СŒОП ЪБŒЙУЙФ ПФ |´|, НПДБ ЛПМЕВБОЙК БНРМЙФХДЩ ´ ОЕ СŒМСЕФУС НСЗЛПК: УРЕЛФТ УППФŒЕФУФŒХАЭЙИ ŒПЪВХЦДЕОЙК ПФДЕМЕО ПФ ЬОЕТЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ЭЕМША ЛПОЕЮОПК ŒЕМЙЮЙОЩ.

йНЕС Œ ŒЙДХ ŒЩЫЕУЛБЪБООПЕ, ТБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖПОПОПŒ D(!; k). хТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ЙНЕЕФ ŒЙД

D−1(!; k) = D0−1(!; k) − g2˝(!; k) ; D0(!; k) = !2	!2(k)
	0	!2	(k)	;	(6.83)
	−	0

ÇÄÅ !0(k) = c|k|. рТЙ ЙОФЕТЕУХАЭЙИ ОБУ k ≈ 2p0 РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; k) ЙНЕЕФ ОЕФТЙŒЙБМШОХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ‹k = k − 2p0. œ ЬФПК ПВМБУФЙ ПО ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ НБФТЙЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (6.82) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

˝(!; k) = −i	Tr ( xG("+; q+) xG("−; q−)) (2ı)2 ;	(6.84)
	d" dq

ÇÄÅ "± = " ± 12 !, q± = q ± 12 ‹k, Б НБФТЙГБ рБХМЙ x Й УМЕД Tr ::: ПРТЕДЕМЕОЩ Œ ДŒХНЕТОПН РТПУФТБОУФŒЕ РТБŒЩИ Й МЕŒЩИ УПУФПСОЙК ЬМЕЛФТПОПŒ, Œ УППФŒЕФУФŒЙЙ У (6.82). йУРПМШЪХС ŒЩТБЦЕОЙС (6.82) ДМС НБФТЙЮОЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, РПМХЮБЕН

−		("+2 − vF2 q+2	− ´2 + i0)("−2 − vF2 q−2 − ´2	+ i0) (2ı)2
˝(!; k) =	i	("+	− vF q+)("− + vF q−) + ´2	d" dq ;	(6.85)

тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ УМХЮБК ! = 0, ‹k = 0 (Ф. Е. k = 2p0). œЩТБЦЕОЙЕ (6.85) РТЙ ЬФПН

ÄÁÅÔ	0		−vF	("2 − q~2 − ´2 + i0)2	(2ı)2
0 ≡
˝	˝(! = 0; k = 2p	) =	i	"2 − q~2 + ´2	d" dq~ ;	(6.86)

4юЙФБФЕМШ, ЪОБЛПНЩК У ФЕПТЕНПК зПМДУФПХОБ, ЪОБЕФ, ЮФП Œ ЬФПН РТПСŒМСЕФУС ПВЭЙК РТЙОГЙР, ФТЕВХАЭЙК РПСŒМЕОЙС НСЗЛПК ЗПМДУФПХОПŒУЛПК НПДЩ РТЙ ОБТХЫЕОЙЙ ОЕРТЕТЩŒОПК УЙННЕФТЙЙ Œ ПУОПŒОПН УПУФПСОЙЙ УЙУФЕНЩ.

134 змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ

ÇÄÅ q~ = vF q. œЩЮЙУМЙФШ ЙОФЕЗТБМ Œ (6.86) НПЦОП УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. рЕТЕКДЕН ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ЮБУФПФЩ Л НОЙНПК РП ЖПТНХМЕ " −→ i". рТЙ ФБЛПН РТЕПВТБЪПŒБОЙЙ, ЛБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ОБРТБŒМЕОЙС ПВИПДБ РПМАУПŒ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (6.86) ПУФБАФУС РТЕЦОЙНЙ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ЙОФЕЗТБМ ПФ ЖХОЛГЙЙ, ПВМБДБАЭЕК ЛТХЗПŒПК УЙННЕФТЙЕК:

˝

=

1

−"2 − q~2 + ´2 d" dq~

=

1

"0

−r2 + ´2

rdr =

−

1

ln

"0 ;

0

vF

("2 + q~2 + ´2 + i0)2 (2ı)2

2ıvF

(r2 + ´2)2

2ıvF

e´

0

(6.87)

ÇÄÅ r

= ("2 + q~2)1=2, Б ЪОБЮЕОЙЕ ЬОЕТЗЙЙ "0, ОБ ЛПФПТПК ПВТЕЪБО МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ

ТБУИПДСЭЙКУС ЙОФЕЗТБМ, ŒЩВТБОП РПТСДЛБ EF .

юБУФПФБ ЖПОПОПŒ У k = 2p0, УПЗМБУОП ТБУУХЦДЕОЙСН П НСЗЛПК НПДЕ, ДПМЦОБ ВЩФШ ТБŒОБ ОХМА. оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЙНЕООП ФБЛ Й РПМХЮБЕФУС, ЕУМЙ ЪБРЙУБФШ ЪБЛПО

ДЙУРЕТУЙЙ D−1(!; k)k=2p0 = 0 У РПНПЭША ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ (6.83):
!02(k) − 1 − g2	˝(!; k)	= 0 :	(6.88)
!2

k=2p0

хУМПŒЙЕ ФПЗП, ЮФП ДБООПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ОБ ! ЙНЕЕФ ТЕЫЕОЙЕ ! = 0, ЕУФШ 1 + g2˝0 = 0, ЮФП, УПЗМБУОП ТЕЪХМШФБФХ (6.87), ЬЛŒЙŒБМЕОФОП УППФОПЫЕОЙА (6.81) ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС, ПРТЕДЕМСАЭЕНХ ŒЕМЙЮЙОХ ЭЕМЙ ´.

у РПНПЭША ЙЪМПЦЕООПЗП НЕФПДБ НПЦОП ОБКФЙ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; k) РТЙ РТПЙЪŒПМШОЩИ ! Й k. дМС ЬФПЗП РЕТЕКДЕН Л НОЙНЩН ЮБУФПФБН " −→ i", ! −→ i! ОЕРПУТЕДУФŒЕООП Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (6.85). рТЙ ЬФПН РПМХЮБЕН

	2ivF	(z+z+ + ´2)(z−z−	+ ´2) (2ı)2		±		±
˝(w; w ) =	1	−z+z− + ´2	dz dz ;	z		= z		w=2	;	(6.89)

ÇÄÅ z = vF q +i", w = vF ‹k +i!. œ УЙМХ ЛТХЗПŒПК УЙННЕФТЙЙ ЙОФЕЗТЙТХЕНПК ЖХОЛГЙЙ, ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.89) ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ БВУПМАФОПК ŒЕМЙЮЙОЩ ЛПНРМЕЛУОПЗП w, РТЙЮЕН ˝(w = 0) = ˝0. рТЙ НБМЩИ w ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.89) РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

g2	w w
˝(w; w ) = ˝0 + ¸ vF	´2	;	|w| ´ ;	(6.90)

ЗДЕ ¸ > 0 | ЛПОУФБОФБ РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ. йОФЕЗТБМ Œ (6.89) ОЕФТХДОП ŒЩЮЙУМЙФШ ФПЮОП, ЕУМЙ УОБЮБМБ РТПЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП ХЗМХ arg(z), Б ЪБФЕН | РП |z|. пДОБЛП ДМС БОБМЙЪБ ЪБЛПОБ ДЙУРЕТУЙЙ РТЙ k ≈ 2p0 ОБН ВХДЕФ ŒРПМОЕ ДПУФБФПЮОП ТБЪМПЦЕОЙС (6.90).

ъБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ D−1(!; k) = 0, У ХЮЕФПН ХТБŒОЕОЙС дБКУПОБ (6.83), Œ ЛПФПТПН НЩ ЙУРПМШЪХЕН РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ Œ ЖПТНЕ (6.90), ДБЕФ

!2	g2	w w
!02(k)k=2p0	− ¸ vF	´2	= 0	(6.91)

6.4. ьжжелф рбкетмуб, фептйс утедоезп рпмс

135

(ÍÙ ÕÞÌÉ, ÞÔÏ 1+g2˝0 = 0). рЕТЕИПДС Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (6.91) ПФ НОЙНПК ЮБУФПФЩ ПВТБФОП Л ŒЕЭЕУФŒЕООПК, ! −→ !=i, РПМХЮБЕН МЙОЕКОЩК ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ŒВМЙЪЙ k ≈ 2p0:

!02(k)k=2p0	vF		vF
´2	+ ¸ g2	!2	= ¸ g2 v2	‹k2	:	(6.92)
			F

рТЙ НБМПК ЛПОУФБОФЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС g ŒЕМЙЮЙОБ ´ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМБ, Й РПЬФПНХ ЖБЪПŒБС УЛПТПУФШ v = d!=dk ВМЙЪЛБ Л vF . лБЮЕУФŒЕООЩК ŒЙД ЪБЛПОБ ДЙУРЕТУЙЙ ЖПОПОПŒ, РПМХЮБАЭЕЗПУС Œ ЙЪМПЦЕООПК ФЕПТЙЙ УТЕДОЕЗП РПМС, ЙЪПВТБЦЕО ОБ ТЙУ. 6.6. йУИПДОЩК МЙОЕКОЩК ЖПОПООЩК УРЕЛФТ Й МЙОЕБТЙЪПŒБООЩК ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ (6.91) Œ ПЛТЕУФОПУФЙ k = 2p0 РПЛБЪБОЩ ЫФТЙИПŒПК МЙОЙЕК.

1.5	w(k)
		w=ck
1
0.5
		k=2p	k
		0
0	0.5	1	1.5
0

òÉÓ. 6.6

тБЪŒЙФЩК ŒЩЫЕ БРРБТБФ ŒП НОПЗПН БОБМПЗЙЮЕО ФЕПТЙЙ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ (УН. Р. 10.2.2). пУОПŒОПЕ ЖПТНБМШОПЕ ПФМЙЮЙЕ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП Œ ФЕПТЙЙ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ ТБУУНБФТЙŒБАФУС РТПГЕУУЩ ТБУУЕСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ, Б Œ ДБООПК ЪБДБЮЕ | РТПГЕУУЩ РЕТЕВТПУБ ЬМЕЛФТПОПŒ У ПДОПК УФПТПОЩ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ ОБ ДТХЗХА (ЙМЙ, ЮФП ФП ЦЕ УБНПЕ, ТБУУЕСОЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ДЩТПЛ, ДŒЙЗБАЭЙИУС Œ РТПФЙŒПРПМПЦОЩЕ УФПТПОЩ). рПЬФПНХ, ЛБЛ ЙОПЗДБ ЗПŒПТСФ, Œ РБКЕТМУПŒУЛПН ДЙЬМЕЛФТЙЛЕ ЙНЕЕФ НЕУФП УРБТЙŒБОЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ Й ДЩТПЛ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ.

œБЦОПЕ ПФМЙЮЙЕ ПФ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ ЪБЛМАЮБЕФУС ПДОБЛП Œ ФПН, ОБУЛПМШЛП ФЕПТЙС УТЕДОЕЗП РПМС, РТЕОЕВТЕЗБАЭБС ЖМХЛФХБГЙСНЙ ´, УППФŒЕФУФŒХЕФ ТЕБМШОПНХ РПМПЦЕОЙА ŒЕЭЕК. пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБИ ЖМХЛФХБГЙСНЙ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ ЙЪ-ЪБ НБМПУФЙ ФЕНРЕТБФХТЩ ЖБЪПŒПЗП РЕТЕИПДБ РП УТБŒОЕОЙА У EF (ЬФБ НБМПУФШ УŒСЪБОБ У ФЕН, ЮФП ФЕНРЕТБФХТБ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЗП РЕТЕИПДБ РТПРПТГЙПОБМШОБ !D ). œ УМХЮБЕ ЦЕ У ЬЖЖЕЛФПН рБКЕТМУБ ŒУЕ ОЕ УФПМШ РТПУФП. œП-РЕТŒЩИ, ФЕНРЕТБФХТБ РЕТЕИПДБ рБКЕТМУБ, ЛБЛ РТБŒЙМП, ŒЩЫЕ, ЮЕН Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБИ, Й РПЬФПНХ ЖМХЛФХБГЙЙ УЙМШОЕЕ. œП-ŒФПТЩИ, ДПРПМОЙФЕМШОПЕ ХУЙМЕОЙЕ ЖМХЛФХБГЙК РТПЙУИПДЙФ

136	змбœб 6. ьмелфтпощ й жпопощ

ЙЪ-ЪБ ЛŒБЪЙПДОПНЕТОПУФЙ. лПОЕЮОП, ТЕБМШОЩЕ ЛТЙУФБММЩ ŒУЕ-ФБЛЙ ФТЕИНЕТОЩ, Й РПЬФПНХ ЖМХЛФХБГЙЙ ОЕ ТБЪТХЫБАФ ДБМШОЙК РПТСДПЛ РПМОПУФША, ЛБЛ ЬФП ДПМЦОП ВЩМП ВЩ УМХЮЙФШУС Œ ЮЙУФП ПДОПНЕТОПН УМХЮБЕ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ЬЖЖЕЛФЩ ФТЕИНЕТОПУФЙ ПВЩЮОП НБМЩ, ПДОБЛП УПŒУЕН РТЕОЕВТЕЮШ ЙНЙ ОЕМШЪС | ПОЙ ПФŒЕЮБАФ ЪБ РПДДЕТЦБОЙЕ ДБМШОЕЗП РПТСДЛБ. œУМЕДУФŒЙЕ ŒУЕЗП ЬФПЗП ЙОФЕТŒБМ ФЕНРЕТБФХТ ŒВМЙЪЙ T = Tc, Œ ЛПФПТПН ЬЖЖЕЛФЩ ЖМХЛФХБГЙК УХЭЕУФŒЕООЩ, ПВЩЮОП ПЛБЪЩŒБЕФУС ДПŒПМШОП ВПМШЫЙН.

пФНЕФЙН ФБЛЦЕ, ЮФП ПДОПНЕТОПУФШ ЙЗТБЕФ Œ ЬЖЖЕЛФЕ рБКЕТМУБ УХЭЕУФŒЕООХА ТПМШ. нПЦОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП Œ ТБЪНЕТОПУФСИ ВПМШЫЕ ЕДЙОЙГЩ УЙОЗХМСТОПУФШ РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ РТЙ k = 2p0 (ФБЛ ОБЪЩŒБЕНБС ЛПОПŒУЛБС ПУПВЕООПУФШ) ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМЕЕ УМБВПК Й ОЕ РТЙŒПДЙФ Л ОЕХУФПКЮЙŒПУФЙ.

оЕУНПФТС ОБ ПДОПНЕТОПУФШ, ЬЖЖЕЛФ рБКЕТМУБ | ЮБУФП ŒУФТЕЮБАЭЕЕУС СŒМЕОЙЕ. уХЭЕУФŒХАФ ЛТЙУФБММЩ, Œ ЛПФПТЩИ НПМЕЛХМЩ ХРПТСДПЮЕОЩ Œ ПДОПНЕТОЩЕ ГЕРПЮЛЙ, ŒДПМШ ЛПФПТЩИ ТБУРТПУФТБОСАФУС ЬМЕЛФТПОЩ. œ ФБЛЙИ ЛŒБЪЙПДОПНЕТОЩИ УТХЛФХТБИ ЬЖЖЕЛФ рБКЕТМУБ РТЙŒПДЙФ Л ЖБЪПŒПНХ РЕТЕИПДХ, РТЙ ЛПФПТПН ЙЪНЕОСЕФУС РЕТЙПД ТЕЫЕФЛЙ. жЙЪЙЛБ ŒПЪОЙЛБАЭЙИ Œ ФБЛЙИ УЙУФЕНБИ УПУФПСОЙК ŒЕУШНБ ТБЪОППВТБЪОБ Й ЙОФЕТЕУОБ, РПУЛПМШЛХ РПНЙНП ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЮБУФП ПЛБЪЩŒБ-

ЕФУС УХЭЕУФŒЕООЩН ФБЛЦЕ Й ЬМЕЛФТПО-ЬМЕЛФТПОООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ. œ ТЕЪХМШФБФЕ Œ ФБЛЙИ УЙУФЕНБИ НПЗХФ ŒПЪОЙЛБФШ ОЕ ФПМШЛП ŒПМОЩ ЪБТСДПŒПК РМПФОПУФЙ, ТБУУНПФТЕООЩЕ ŒЩЫЕ, ОП Й ŒПМОЩ УРЙОПŒПК РМПФОПУФЙ, Б ФБЛЦЕ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФШ. лТПНЕ

ФПЗП, ЙОПЗДБ ЬЖЖЕЛФ рБКЕТМУБ НПЦЕФ РТПСŒМСФШУС Œ ĂОЕДПТБЪŒЙФПНĄ ŒЙДЕ Й Œ ФТЕИНЕТОЩИ ЛТЙУФБММБИ (ОБРТЙНЕТ, Œ ŒЙУНХФЕ, ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФШ ЛПФПТПЗП ЙНЕЕФ РМПУЛЙЕ ПВМБУФЙ, Й ŒЩЗМСДЙФ УЛПТЕЕ ЛБЛ ЗМБДЛП ПВУФТХЗБООЩК ВТХУПЛ, Б ОЕ ЛБЛ УЖЕТБ) 5.

5рПДТПВОЕЕ У ЖЙЪЙЛПК ŒПМО ЪБТСДПŒПК РМПФОПУФЙ НПЦОП ПЪОБЛПНЙФШУС РП ПВЪПТБН: м. р. вХМБЕŒУЛЙК, хжо, Ф. 115, У. 261 (1975); G. Gruner,­ Rev. Mod. Phys., v. 60 (4), p. 1129{1181 (1988); Й ЛОЙЗЕ: Charge density waves in solids, eds. L. P. Gorkov, G. Gruner­ (North Holland, 1989); УН. ФБЛЦЕ ПТЙЗЙОБМШОЩЕ ТБВПФЩ: P. A. Lee, T. M. Rice, P. W. Anderson, Solid State Comm., v. 14, p. 703 (1974); у. б. вТБЪПŒУЛЙК, й. е. дЪСМПЫЙОУЛЙК, цьфж, Ф. 71, У. 2338 (1976).

çÌÁŒÁ 7.

дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ РТЙ ЛПОЕЮОЩИ ФЕНРЕТБФХТБИ

7.1. нБГХВБТПŒУЛПЕ ŒТЕНС

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ДЙБЗТБННОХА ФЕИОЙЛХ ДМС УЙУФЕН РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ.

пВПВЭЕОЙЕ ОХМШ-ФЕНРЕТБФХТОПК ФЕИОЙЛЙ ОБ ЛПОЕЮОЩЕ ФЕНРЕТБФХТЩ ПЛБЪЩŒБЕФУС ХДЙŒЙФЕМШОП РТПУФЩН Й ЛТБУЙŒЩН. пОП ОБЪЩŒБЕФУС ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛПК нБГХВБТЩ.

пУОПŒОБС ЪБДБЮБ, ТЕЫБЕНБС Œ УФБФЙУФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЕ ТБŒОПŒЕУОЩИ УЙУФЕН, УПУФПЙФ Œ ХУТЕДОЕОЙЙ ТБЪМЙЮОЩИ ŒЕМЙЮЙО РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА зЙВВУБ. рТЙ ЬФПН ТБУУНБФТЙ-

ŒБАФУС УТЕДОЙЕ ŒЙДБ	'A : : : B	(Ô =	n	wn	'n$	A : : : B	$n(	;	(7.1)
					$		$
					$		$

ЗДЕ ЙОДЕЛУ ĂФĄ ХЛБЪЩŒБЕФ ОБ ФП, ЮФП УТЕДОЕЕ ВЕТЕФУС РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА ŒЕТПСФОПУФЕК ТБЪМЙЮОЩИ УПУФПСОЙК РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ T :

wn = e−˛En =Z ; Z = e−˛En :	(7.2)

n

ъДЕУШ |n | УПВУФŒЕООПЕ УПУФПСОЙЕ УЙУФЕНЩ У ЬОЕТЗЙЕК En, wn | ŒЕТПСФОПУФШ РТЕВЩŒБОЙС Œ ЬФПН УПУФПСОЙЙ, ˛ = 1=T | ПВТБФОБС ФЕНРЕТБФХТБ, Б Z | УФБФЙУФЙЮЕУЛБС УХННБ. œЩТБЦЕОЙЕ (7.1) НПЦОП ЪБРЙУБФШ ФБЛ:

'	A	: : : B	(	=	Tr	A : : : B e−˛H :					(7.3)
								− H
			Ô				Tr e	˛
фЕПТЙС ŒПЪНХЭЕОЙК, РПЪŒПМСАЭБС ОБИПДЙФШ							РПДПВОЩЕ УТЕДОЙЕ, УФТПЙФУС УМЕДХАЭЙН

ПВТБЪПН. рТЕДУФБŒЙН ЗБНЙМШФПОЙБО Œ ŒЙДЕ H = H0 + Hint, ÇÄÅ Hint | ŒПЪНХЭЕОЙЕ. БОБМПЗЙС НЕЦДХ ПРЕТБФПТОПК ЬЛУРПОЕОФПК

œ ПУОПŒЕ НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЙ МЕЦЙФ
ЗБНЙМШФПОЙБОБ	−˛	H0	+ Hint	(7.4)
U˛ = exp

137

138змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

Й ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛЙН ПРЕТБФПТПН ЬŒПМАГЙЙ
	U (t) = exp	−it H0	+ Hint	:	(7.5)
рЕТЕИПД ПФ U (t) Л U˛ ПУХЭЕУФŒМСЕФУС РТПУФПК ЪБНЕОПК: t → −i˛.

пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ФБЛБС БОБМПЗЙС ЙНЕЕФ ДБМЕЛП ЙДХЭЙЕ РПУМЕДУФŒЙС. б ЙНЕООП,

НПЦОП ТБУУНПФТЕФШ ЬŒПМАГЙА УЙУФЕНЩ ŒП НОЙНПН ŒТЕНЕОЙ t = −ifi (fi ОБЪЩŒБАФ ЙОПЗДБ НБГХВБТПŒУЛЙН ŒТЕНЕОЕН). œŒЕДЕН ЗЕКЪЕОВЕТЗПŒcЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ

AM (fi ) = e	A e			:
	fi H		−fi H

ьŒПМАГЙС ЬФЙИ ПРЕТБФПТПŒ ŒП НОЙНПН ŒТЕНЕОЙ ДБЕФУС ХТБŒОЕОЙЕН

dfi	= H; AM (fi ) :
dAM (fi )

дБМЕЕ НПЦОП ŒŒЕУФЙ НБГХВБТПŒУЛПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС:

A(fi ) = e		A e
	fi H0		−fi H0

Й НБГХВБТПŒУЛХА S-НБФТЙГХ:

(7.6)

(7.7)

(7.8)

S(fi ) = e− e		:
	fi H fi H0

оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ЬФБ S-НБФТЙГБ ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА

dS(fi )

dfi

= −Hint(fi )S(fi ) ;

ÇÄÅ

Hint(fi ) = e		Hint e
	fi H0		−fi H0

(7.9)

(7.10)

(7.11)

| ПРЕТБФПТ ŒПЪНХЭЕОЙС, ЪБРЙУБООЩК Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. тЕЫЕОЙЕ ХТБŒОЕОЙС (7.10) ЙНЕЕФ ŒЙД

S	(fi ) = Tfi exp	−		H		:	(7.12)
			fi	int(fi ) dfi
			0

óÉÍŒÏÌ Tfi ПВПЪОБЮБЕФ ИТПОПМПЗЙЮЕУЛПЕ ХРПТСДПЮЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ РП НБГХВБТПŒУЛПНХ ŒТЕНЕОЙ fi . ьФБ РТПГЕДХТБ БОБМПЗЙЮОБ ПВЩЮОПНХ T-ХРПТСДПЮЕОЙА (УТ. У ŒЩТБЦЕОЙЕН (2.3)).

œ НБГХВБТПŒУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УТЕДОЙЕ (7.3) РТЙОЙНБАФ УМЕДХ-

ÀÝÉÊ ŒÉÄ:		= Tr A(˛) : : : B(˛)S(˛)e−˛H0
	A : : : B								:	(7.13)
'	Ô	Tr	(˛)e	−	˛	0
	(		S		H

7.1. нбгхвбтпœулпе œтенс

139

дМС ŒЩŒПДБ ЬФПЗП УППФОПЫЕОЙС ОБДП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ФЕН, ЮФП ПРЕТБФПТЩ РПД ЪОБЛПН УМЕДБ НПЦОП РЕТЕУФБŒМСФШ ГЙЛМЙЮЕУЛЙ. фБЛЙН ПВТБЪПН,

	A : : : B	=	'A(˛) : : : B(˛) S(˛)(Ô;0			;	(7.14)
'	Ô
	(		'	S(˛)	Ô;0
					(

ЗДЕ ХУТЕДОЕОЙЕ : : : Ô;0 ПВПЪОБЮБЕФ Tr(: : : e−˛H0 )= Tr(e−˛H0 ) | УТЕДОЕЕ РП ТБУРТЕДЕМЕ-

ОЙА зЙВВУБ У ОЕŒПЪНХЭЕООЩН	ЗБНЙМШФПОЙБОПН		H
			0.
фБЛЙН ПВТБЪПН, ŒПЪОЙЛБАЭЙЕ ЖПТНХМЩ		ПФМЙЮБАФУС ПФ УМХЮБС T = 0 Œ ПУОПŒОПН

ЪБНЕОПК ŒТЕНЕОЙ t ОБ −ifi . дТХЗПЕ ПФМЙЮЙЕ ЪБЛМАЮБЕФУС Œ УМЕДХАЭЕН. хУТЕДОСС РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА РТЙ T = 0, НЩ РПМБЗБМЙ, ЮФП ŒПЪНХЭЕОЙЕ РТЙ t = −∞ ПФУХФУФŒХЕФ, Б ЪБФЕН НЕДМЕООП ŒЛМАЮБЕФУС. рПЬФПНХ ŒП ŒУЕИ ŒЩТБЦЕОЙСИ ŒПЪОЙЛБМЙ

		S(	)
ŒЕМЙЮЙОЩ S	(t; −∞), S				(∞; t) É S(∞; −∞). рТЙ ЛПОЕЮОПК ЦЕ ФЕНРЕТБФХТЕ ŒП ŒУЕ ЖПТ-
НХМЩ ŒИПДЙФ			fi	ФПМШЛП РТЙ 0 < fi < ˛. рПЬФПНХ Œ НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЕ ОБУ
ЙОФЕТЕУХЕФ	ЬŒПМАГЙС УЙУФЕНЩ ŒП НОЙНПН ŒТЕНЕОЙ Œ ЙОФЕТŒБМЕ ПФ 0 ДП ˛.
							n n| : : : |n .
лТПНЕ ФПЗП,			Œ	ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.14) ŒИПДЙФ УМЕД, Ф. Е. УХННБ ŒЙДБ
ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ОБ ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛХА ЪБДБЮХ ОБЛМБДЩŒБЕФУС						ДПРПМОЙФЕМШОПЕ

ПЗТБОЙЮЕОЙЕ: ЮЕТЕЪ ŒТЕНС ˛ УЙУФЕНБ ПВСЪБОБ ŒЕТОХФШУС Œ ЙУИПДОПЕ УПУФПСОЙЕ. рПЬФПНХ ПЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН УЮЙФБФШ, ЮФП НБГХВБТПŒУЛПЕ ŒТЕНС | ЬФП РЕТЕНЕООБС, РТЙОЙНБАЭБС ЪОБЮЕОЙС ОБ ПЛТХЦОПУФЙ, Б ˛ | ДМЙОБ ЬФПК ПЛТХЦОПУФЙ.

фБЛЙН ПВТБЪПН, НЩ РТЙИПДЙН Л ŒБЦОПНХ ŒЩŒПДХ: ŒЩЮЙУМЕОЙЕ УТЕДОЙИ РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА зЙВВУБ УŒПДЙФУС Л ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК ЪБДБЮЕ ŒП НОЙНПН ŒТЕНЕОЙ 0 < fi < ˛ У РЕТЙПДЙЮЕУЛЙНЙ РП ŒТЕНЕОЙ ЗТБОЙЮОЩНЙ ХУМПŒЙСНЙ.

фЕРЕТШ НПЦОП ТБЪŒЙФШ ФЕПТЙА ŒПЪНХЭЕОЙК ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙИ

ŒЕМЙЮЙО. дМС ЬФПЗП ŒŒПДЙФУС ФБЛ ОБЪЩŒБЕНБС НБГХВБТПŒУЛБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ:
G(r; r ; fi; fi ) = − Tfi (r; fi ) +(r fi ) Ô :	(7.15)

(дМС ЖЕТНЙ- Й ВПЪЕ-УФБФЙУФЙЛЙ ЪОБЛ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ.)

рПУЛПМШЛХ Œ ОБЫЕК ЪБДБЮЕ ŒУЕЗДБ 0 < fi < ˛, ФП −˛ < fi − fi < ˛. рПЬФПНХ ЖХОЛГЙС зТЙОБ (7.15) ПРТЕДЕМЕОБ ОБ ПФТЕЪЛЕ [−˛; ˛]. лТПНЕ ФПЗП, НПЦОП РПЛБЪБФШ (УН. [1], § 11), ÞÔÏ

G(fi ) = ±G(fi + ˛) ;

(7.16)

ŒЕТИОЙК ЪОБЛ ПФОПУЙФУС Л ВПЪЕŒУЛЙН ЮБУФЙГБН, Б ОЙЦОЙК | Л ЖЕТНЙЕŒУЛЙН.

óРПНПЭША ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НПЦОП ŒЩЮЙУМСФШ fi -ХРПТСДПЮЕООЩЕ УТЕДОЙЕ. лБЛ Й

ŒДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ РТЙ T = 0, Œ НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЕ ŒЕТОБ ФЕПТЕНБ œЙЛБ,

РПЬФПНХ fi -ХРПТСДПЮЕООПЕ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ -ПРЕТБФПТПŒ ŒУЕЗДБ НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ РБТОЩЕ УТЕДОЙЕ. ьФП, Œ УŒПА ПЮЕТЕДШ, ПЪОБЮБЕФ, ЮФП НПЦОП РПУФТПЙФШ ДЙБЗТБННОХА ФЕИОЙЛХ ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ФБЛЙИ УТЕДОЙИ. œ ЛППТДЙОБФОПН РТПУФТБОУФŒЕ РТБŒЙМБ РТБЛФЙЮЕУЛЙ УПŒРБДБАФ У РТБŒЙМБНЙ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ РТЙ T = 0, ЪБ ФЕН ЙУЛМАЮЕОЙЕН, ЮФП ПВМБУФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП НБГХВБТПŒУЛПНХ ŒТЕНЕОЙ fi ЕУФШ ПФТЕЪПЛ [0; ˛]. лТПНЕ ФПЗП, ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РЕТЕД НБГХВБТПŒУЛПК ДЙБЗТБННПК ЕУФШ (−1)n+F (n | РПТСДПЛ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, F | ЮЙУМП ЖЕТНЙПООЩИ РЕФЕМШ), Б ОЕ in(−1)F , ЛБЛ Œ ПВЩЮОПК ФЕИОЙЛЕ.

140змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

7.2. дЙУЛТЕФОЩЕ ЮБУФПФЩ

œЩЮЙУМЕОЙС Œ НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЕ РПЮФЙ ŒУЕЗДБ РТПЭЕ РТПЙЪŒПДЙФШ ОЕ ŒП ŒТЕНЕООПН, Б Œ ЮБУФПФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. пРЙЫЕН, ЛБЛ ŒЩЗМСДЙФ УППФŒЕФУФŒХАЭЙК ЖПТНБ-

МЙЪН. рПУЛПМШЛХ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПРТЕДЕМЕОЩ ОБ ПФТЕЪЛЕ [−˛; ˛], ЙИ НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ
Œ ТСД жХТШЕ:
	G(fi; r; r ) = T e−i!nfi G(i!n; r; r ) ;	(7.17)

!n

ÇÄÅ !n = ın=˛, Б НОПЦЙФЕМШ T Œ (7.17) ŒŒЕДЕО ДМС ХДПВУФŒБ. хУМПŒЙЕ (БОФЙ)РЕТЙПДЙЮОПУФЙ (7.16) ПЪОБЮБЕФ, ЮФП G(i!n) = 0 ÄÌÑ !n = 2ınT Œ УМХЮБЕ ВПЪЕ-

ЮБУФЙГ, Й !n = (2n + 1)ıT Œ УМХЮБЕ ЖЕТНЙПОПŒ. рПЬФПНХ Œ НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЕ ЮБУФПФБ РТЙОЙНБЕФ ДЙУЛТЕФОЩЕ ЪОБЮЕОЙС | ЮЕФОЩЕ ДМС ВПЪПОПŒ Й ОЕЮЕФОЩЕ ДМС ЖЕТ-

НЙПОПŒ. тПМШ ДЙУЛТЕФОПК ЮБУФПФЩ !n Œ НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЕ | ФБЛБС ЦЕ, ЛБЛ Х ЬОЕТЗЙЙ Œ ПВЩЮОПК ФЕИОЙЛЕ. рПЬФПНХ ПУОПŒОПЕ ПФМЙЮЙЕ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ Œ ЮБУФПФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ УПУФПЙФ Œ ЪБНЕОЕ ЙОФЕЗТБМПŒ РП ЬОЕТЗЙСН Œ ЖХОЛГЙСИ зТЙОБ ОБ УХННЩ РП ДЙУЛТЕФОЩН ЮБУФПФБН. рТЙ ЬФПН УХННБ ЮБУФПФ Œ ŒЕТЫЙОЕ ПВСЪБФЕМШОП ТБŒОБ ОХМА (ĂЪБЛПО УПИТБОЕОЙС ЬОЕТЗЙЙĄ).

рТЙŒЕДЕН ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ЬМЕЛФТПООПК Й ЖПОПООПК ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ:

G(i"n; p) =	1	; "n = (2n + 1)ıT ;	(7.18)
	i"n − ‰(p)

!2(k)

D(i!n; k) = − 2 0 2 ; !n = 2ınT : (7.19) !n + !0(k)

ъБНЕФЙН, ЮФП ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС НПЦОП РПМХЮЙФШ ЙЪ РТЙЮЙООЩИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ЪБНЕОПК "; ! → i"n; i!n. рТЙŒЕДЕН ФБЛЦЕ РПМОХА УŒПДЛХ РТБŒЙМ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ДМС УМХЮБС ДŒХИЮБУФЙЮОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (УТ. ЗМ. 4).

1)оБ ЛБЦДПК ДЙБЗТБННЕ ОХЦОП ТБУУФБŒЙФШ ЙНРХМШУЩ p Й НБГХВБТПŒУЛЙЕ ЮБУФПФЩ !n ФБЛ, ЮФПВЩ Œ ЛБЦДПК ŒЕТЫЙОЕ ŒЩРПМОСМЙУШ ЪБЛПОЩ УПИТБОЕОЙС ЬОЕТЗЙЙ Й ЙНРХМШУБ. рТЙ ЬФПН МЙОЙЙ ВПЪЕ-ЮБУФЙГ ДПМЦОЩ РЕТЕОПУЙФШ ЮЕФОЩЕ ЮБУФПФЩ (!n = 2ınT ), Б МЙОЙЙ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ | ОЕЮЕФОЩЕ (!n = (2n + 1)ıT ).

2)рПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ЙОФЕЗТЙТХЕФУС РП ŒУЕН ŒОХФТЕООЙН ЙНРХМШУБН Й УХННЙТХЕФУС РП ŒУЕН ŒОХФТЕООЙН ЮБУФПФБН.

3)оБЛПОЕГ, ПФŒЕФ УМЕДХЕФ ХНОПЦЙФШ ОБ

(−1)n+F	T n
	(2ı)3n ;	(7.20)

ЗДЕ n | РПТСДПЛ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, Б F | ЮЙУМП ЖЕТНЙПООЩИ РЕФЕМШ.

йФБЛ, ТЕГЕРФ ХЮЕФБ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЩ ŒЩЗМСДЙФ ЪБНБОЮЙŒП РТПУФП. оХЦОП ЪБНЕОЙФШ ЬОЕТЗЙЙ ОБ i"n, ЙОФЕЗТБМЩ РП ЬОЕТЗЙСН :::d"=2ı ОБ T "n ::: Й РТПУХННЙТПŒБФШ РП ДЙУЛТЕФОЩН ЮБУФПФБН "n. иПФС ОБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД ЛБЦЕФУС, ЮФП ŒЩТБЦЕОЙС,