5.1.1.1. Анализ поля корреляции (визуальный анализ)

Полем корреляции называют рисунок (график), выполненный на плоскости в системе двух прямоугольных координат y и х, на котором приведены точки с координатамиy_v иx_v(V -номер уровня фактора х от 1 доm).Пример поля корреляции одного свойства объекта(y) и одного фактора (х) приведен на рис. 3.

Анализ поля корреляции проводится визуально. Для облегчения анализа рекомендуется весь массив точек с координатамиy_v иx_v( на рис. 3 приведены точки с координатамиy₁ и х₁,y₂ и х₂,y₃ и х₃, ...,y_v и х_v, ...,y₈ и х₈) обвести замкнутым контуром. Характер этого контура помогает более точно сделать все выводы корреляционного анализа, например, чем больше контур приближается к форме окружности, тем выше вероятность того, что нет зависимости междуy иx.

Метод анализа поля корреляции не является достаточно точным в основном из-за влияния на вид поля корреляции выбранного масштаба координатных осей y иx. Однако при корреляционном анализе это единственный метод определения характеранелинейной зависимостимеждуyи х.

5.1.1.2. Анализ выборочного коэффициента корреляции

Этот метод является более точным при установлении линейной корреляции между y иx_j,так как он основан не на визуальном восприятии графического представления случайных чисел, а на математических расчетах и постулатах.

Рассмотрим самый простой случай: корреляцию между двумя случайными величинами (yих).

Присвоим каждой точке на поле корреляции свой номер i(такой же номер будет и у взаимосвязанной пары координат этой точки). ОбозначимNобщее число точек с координатамиy_i иx_i.Тогда выборочный коэффициент парной корреляции можно рассчитать по формуле

,

гдеy - общее среднее арифметическое значениеy;x - общее среднее арифметическое значениех;S_x иS_y - выборочные абсолютные стандартные отклонения соответственнох иy(эти параметры используются как характеристики рассеивания единичных значений хиy относительно их общих средних арифметических значений).

Общие средние арифметические значения находят по формулам

; .

Выборочные абсолютные стандартные отклонения х иyможно рассчитать следующим образом:

; .

Выборочный коэффициент парной корреляции имеет следующие свойства:

1. .

2. Величина r_yxне изменяется при изменении начала отсчета величин, а также масштаба координатных осей y и х.

3. В величине r_yxодновременно заложена доля случайности и нелинейности связи междуy и х.

По величине и знаку r_yxможно сделать большинство выводов корреляционного анализа (табл. 6). Однако выводы корреляционного анализа можно делать только после доказательств равенства или отличия от нуля рассчитанного значенияr_yxметодами математической статистики (так называемая статистическая проверка нуль-гипотезы). С методами проверки нуль-гипотезыr_yxпознакомьтесь самостоятельно в[6,8].

Как следует из табл. 6, значениеr_yxпозволяет сделать все выводы только в случае линейной зависимостиyот х. При нелинейных зависимостяхyот хзначениеr_yxоднозначно определяет только их знак, а для формулировки остальных выводов нужно анализировать и поле корреляции. Совместный анализr_yxи поля корреляции необходим в случае, когдаr_yx= 0 (r_yxявляется "незначимым").

Более сложные случаи корреляционного анализа возникают при влиянии на случайную величину (y) нескольких случайных величин (х₁, х₂,...x_j). В такой ситуации анализируют выборочные коэффициенты частной и множественной корреляции. Анализ частных и множественных коэффициентов корреляции позволяет разобраться в ситуации, когда один из факторов не оказывает непосредственного влияния наy, хотя их парный коэффициент корреляции отличен от нуля.

Более подробно с особенностями проведения корреляционного анализа познакомьтесь самостоятельно в [6,8].

Таблица 6

Выводы корреляционного анализа в зависимости от значения r_yx

Выводы корреляционного анализа	Значения ryx
Наличие зависимости между yj иxz: есть	0< или ryx = 0 (при наличии доказательств анализом поля кор­реляции);
нет	ryx = 0 (при наличии доказательств анализом поля кор­реляции)
Характер и тип зависимости : "функциональная линейная"
"корреляционная линейная"	0<< 1
Знак связи: "положительный"	ryx >0
"отрицательный"	ryx<0
Теснота (сила) линейной корреляционной связи	Определяется близостью к единице модуля ryxи величинойN по усмотрению исследователя