5. Выбор и составление плана эксперимента

Наиболее часто при выполнении НИР целью экспериментальных исследований является получение математической модели объекта, т.е. математической зависимости свойства изучаемого объекта (условно обозначим егоy ) от значений факторов (x_j ), влияющих на эти свойства:

y = (x₁, x₂, ..., x_j, ...x_k )+,

где - величина, не зависящая отx_j ( назовем ее случайной величиной).

Выбор плана эксперимента зависит от того, какой характер зависимости вы желаете получить: качественный или количественный.

Зависимость являетсякачественной, если она выражается словами, например: " x_jвлияет наy", " увеличениеx_jуменьшает значениеy" и др.

Зависимость являетсяколичественной, если она представляет собой уравнение или систему уравнений.

Так как результаты измерений значений x_jиyявляются случайными величинами, то для установления зависимостинеобходимо использовать соответствующие методы математической статистики.

Для получения качественнойзависимостинаиболее часто используют методыкорреляционногоидисперсионногоанализов, для полученияколичественнойзависимости- методрегрессионногоанализа. Производными от этих методов являются другие методы: ковариационного, кластерного, факторного анализов и др.

5.1. Планирование эксперимента для применения корреляционного анализа

5.1.1. Некоторые общие положения корреляционного анализа

Корреляционный анализ - это один из наиболее простых методов математической статистики, позволяющий качественно предсказывать изменения yпри изменяющихся значенияхx_j (устанавливать связь между этими случайными величинами).

Если каждому значению x_jсоответствует всегда строго определенное значениеy, то считают, что между этими величинами существуетфункциональнаясвязь, т.е. зависимостьявляется функциональной. При наличии и знании такой зависимости можно точно предсказывать величинуy, задавая конкретное значениеx_j.

Однако на практике функциональные зависимости обнаруживаются очень редко, поскольку на все результаты измерений оказывают влияние различные случайные факторы.

В большинстве случаев, задавая конкретное значение x_j, можно предсказать лишь тенденцию измененияy. Эта тенденция обнаруживается лишь при достаточно большом числеm_j различных значений (уровней) изменяемого фактораx_j, а при малых величинахm_jданная тенденция может не наблюдаться (рис.3).

Рис. 3. Влияние числа значений х (m) на тенденцию измененияy:

1 - тенденция изменения y приm = 8,

2 - тенденция изменения yприm = 3

Связь между y иx, представленная на рис. 3, называетсякорреляционной(стохастической). Чем больше корреляционная связь соответствует функциональной связи, тем болеетеснойона считается.

Корреляционная связь имеет два крайних предельных случая: функциональная связь (самая тесная зависимость y отx_j) и полное отсутствие связи (влиянияx_j наy ).

Наличие между y иx_jкорреляционной или функциональной связи устанавливается только в результате проведения корреляционного анализа.

При корреляционном анализе отражают следующие выводы в форме слов:

1. Наличие зависимости между y иx_j("есть" или "нет" и др.)

2. Характер зависимости ("функциональная" или "корреляцион­ная") и ее тип ("линейная", "нелинейная", "экспоненциальная", "пара­болическая", "синусоидальная" и др.)

3. Знак связи: "положительная" - если с увеличением величины значений x_jрастет величинаy ; "отрицательная" - если с уменьшением величины значенийx_jснижается величинаy.

4. Теснота (сила) корреляционной связи ("очень тесная", "тесная", "не очень тесная", "ярко выраженная", "выраженная", "слабо выраженная" и др.)

Корреляционный анализ проводят двумя методами: анализом поля корреляции и анализом коэффициента линейной корреляции.