5.2.2.3. Составление планов экспериментов для проведения многофакторного дисперсионного анализа

При многофакторном эксперименте одновременно изменяются три и более факторов. Общее число опытов (без их повторений) для ПФЭ сkизменяемыми факторами (если каждый из них имеет одно и то же максимальное число уровнейm) будет равно:

N_ПФЭ = m^k.

Очевидно, что с увеличением числа исследуемых факторов (k) общее число опытов в эксперименте будет резко возрастать. Поэтому при многофакторных экспериментах часто применяютпланы дробных факторных экспериментов(ДФЭ), которые предусматривают выполнение опытов только с частью всех возможных сочетаний различных уровней всех факторов. Долю общего числа опытов ДФЭ (N_ДФЭ) отN_ПФЭназывают степенью дробности ДФЭ.

Необходимо помнить, что сокращение числа опытовв эксперименте, т.е. переход от ПФЭ к ДФЭ, всегдаприводит к снижению точностидисперсионного анализа результатов эксперимента.

Существуют различные принципы составления и типы планов ДФЭ: составление планов по принципу дробных реплик, латинских квадратов и кубов, планы ПлакеттаБермана и др. Эти планы относятся кпланам математического планирования эксперимента, так как при их построении сочетание уровней факторов в опытах (выбор части опытов из планов ПФЭ) происходит не произвольно, а по определенным принципам математической комбинаторики.

Планы ДФЭ широко применяются при отсеивающих экспериментах, т.е. тогда, когда необходимо изучить достаточно большое число факторов при небольшом числе опытов и определить те факторы, которые оказывают наиболее сильное влияние на свойство y. Одними из самых экономичных по числу опытов и эффективных для дисперсионного анализа из известных планов ДФЭ являются планы ПлакеттаБермана.

В качестве примера приведу порядок выбора и составления плана 10-факторного эксперимента (k =10). С целью экономии числа опытов в эксперименте возьмем наименьшее число уровней всех факторов (m_j = m = 2)и откажемся от проведения повторных опытов(n_z,j = n = 1). Тогда для проведения ПФЭ необходимо будет выполнить следующее число опытов:

N_ПФЭ = m^k= 2¹⁰ = 1024.

Из известных 2-уровневых планов ДФЭ оценим число опытов для планов по принципу дробных реплик ПФЭ (ДР) и планов Пла­кеттаБермана (ПБ):

N_ДР= 2^k-a =2^10-a , где а равно 1, 2, 3, ...,10 и соответственноN_ДРравно 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1;

N_ПБ= 4b,гдеbравно 1, 2, 3, ...,и соответственноN_ПБравно 4, 8, 12, ....

Из таких 2-уровневых планов можно выбирать только те, для которых выполняется соотношение:

N  k+110+111.

Требованиям этого соотношения и минимального числа опытов лучше всех удовлетворяет план ПлакеттаБермана сN_ПБ= 12. Построим такой план с кодированными факторами, обозначая знаком "+" одно из двух натуральных значений каждого из факторов, а знаком "-" другое значение. Например, примем следующие обозначения (табл. 11).

Таблица 11

Значения факторов

Фактор	Значения факторов
	натуральные (Хj) и их размерность	кодированные (xj)
Время реакции	130 мин	+
	100 мин	-
Тип катализатора	Катализатор № 3	+
	Без катализатора	-
...	...	...
Температура реакции	90^ОС	+
	60^ОС	-

Тогда план эксперимента типа N_ПБ= 12 (план ПлакеттаБермана) будет следующим (табл. 12).

При построении данного плана в ячейки последнего опыта с N = k+1(№ 12) заносится кодированное значение (-) для всех факторов. Затем во втором столбце плана (для х₁) по рекомендациям литературы[8,9]или по случайному принципу в ячейках располагается6 (k/2) знаков (+) и 5 (k/2-1)знаков (-). Ячейки последующего столбца получаются из предыдущего. Первая ячейка последующего столбца является предпоследней ячейкой предыдущего столбца, а остальные первыеk-2 ячейки предыдущего столбца переносятся под первую ячейку последующего столбца (со сдвигом по диагонали плана слева-направо-вниз).

Таблица 12

План эксперимента типа N_ПБ= 12

Но-	Кодированные значения факторов													y
мер	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
опы-											(*)	(*)
та n
1	+	-	+	-	-	-	+	+	+	-	+	+
2	+	+	-	+	-	-	-	+	+	+	-	+
3	-	+	+	-	+	-	-	-	+	+	+	-
4	+	-	+	+	-	+	-	-	-	+	+	+
5	+	+	-	+	+	-	+	-	-	-	+	+
6	+	+	+	-	+	+	-	+	-	-	-	+
7	-	+	+	+	-	+	+	-	+	-	-	-
8	-	-	+	+	+	-	+	+	-	+	-	-
9	-	-	-	+	+	+	-	+	+	-	+	-
10	+	-	-	-	+	+	+	-	+	+	-	+
11	-	+	-	-	-	+	+	+	-	+	+	-
12	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
* Фиктивные факторы, используемые для расчета случайных ошибок эксперимента.

Правильность построения плана ПлакеттаБермана определяется двумя признаками:

1. Диагональным расположением одинаковых знаков в ячейках плана.

2. Равенством количества знаков (+) и (-) в каждом столбце плана.

План с натуральными значениями факторов получается из плана с кодированными значениями путем замены знаков (+) и (-) на соответствующие им натуральные значения для каждого фактора.

Примеры составления других планов многофакторного ДФЭ для проведения дисперсионного анализа и алгоритмы математической обработки результатов эксперимента изучите самостоятельно [8].

Проведение дисперсионного анализа можно легко осуществить с помощью ПЭВМ с использованием различных общепризнанных статистических программных продуктов: STATGRAPHICS, STADIA [7], STATISTICAи др.