5.2. Планирование эксперимента для применения дисперсионного анализа

5.2.1. Некоторые общие положения дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ - это метод математической статистики, который широко применяется в различных отраслях науки как самостоятельно, так и в сочетании с другими методами.

Суть дисперсионного анализазаключается в сравнении между собой двух или более дисперсий и доказательстве нуль-гипотезы разности этих дисперсий.

При установлении зависимости дисперсионным анализом исходят из следующих соображений.

В эксперименте изменения средних арифметических значений свойства объекта (y_v )зависят не только от изменяемых факторовx_j(с известными уровнями) , но и от случайных факторов. Поэтому рассеивание (разброс)y_v относительно общего среднего арифметического значения (рис. 5), характеризуемое общей дисперсией (), разделяется на составляющие: рассеивание, обусловленное случайными факторами (,,), и рассеивание, обусловленное известными факторами за счет изменения их значений, т.е. перехода с одного уровня на другие (,и др.). Попарное сравнение всех факторных дисперсий () с дисперсией, характеризующей действие случайных факторов, т.е. воспроизводимость эксперимента (), позволяет на основании закона распределения Фишера сделать следующие основные выводы дисперсионного анализа:

1. Установить или опровергнуть влияние x_j наy с заданной вероятностью("влияет", "не влияет" и др.).

2. Определить вероятность влияния x_j наy.

Рис. 5. Поле корреляции величин y и x

Так, например, после проведения эксперимента и математической обработки результатов измерений можно вычислить F-отношение(F_p):

; ; .

Задав вероятность (Р) и вычислив по известным формулам числа степеней свободы для факторной дисперсии f_факт. (f₁)и дисперсии воспроизводимостиf_воспр. (f₂),из справочных данных выбираем табличное значение квантиля распределения Фишера(F_т). При выполнении неравенстваF_P > F_т можно делать вывод, что данный фактор хс вероятностью Р влияет на свойствоy, т.е. "значима" разность между влиянием на свойствоy известного фактора хи случайных факторов. При невыполнении этого неравенства делается вывод об отсутствии влияния фактора хна свойствоy, т.е. это влияние соизмеримо со случайными ошибками эксперимента.

Дисперсионный анализ по сравнению с корреляционным анализом имеет существенные преимущества:

1. Позволяет делать однозначные и более точные выводы о влиянии фактора x_jна свойствоy.

2. Позволяет определить влияние на свойство y не только количественных, но и качественных факторов (например, типа растворителя, времени года и др.).

3. Позволяет оценить значение (уровень) фактора x_j, при котором он начинает влиять с заданной вероятностью на свойствоy.

Планирование эксперимента для проведения дисперсионного анализа зависит от числа известных факторов, одновременно изменяемых в эксперименте. Различают планы экспериментов для проведения одно-, двух- и многофакторного (трех- и более ) дисперсионного анализа.

5.2.2. Составление планов эксперимента для проведения дисперсионного анализа

Общим требованием к планированию любого эксперимента для проведения дисперсионного анализа является выполнение условия m_j > 1.Желательно, чтобы план эксперимента для проведения дисперсионного анализа предусматривал:

1) широкую область изменения значений факторов x_j,

2) большое числоm_jзначений (уровней) факторовx_j, при этом разница между уровнями должна быть больше абсолютной погрешности их измерения.

Остальные требования к составлению плана эксперимента зависят от числа исследуемых факторов и выбранного числа опытов.