4.1.2.2. Законы накопления ошибок косвенных измерений

Закон накопления случайных ошибоккосвенных измерений выглядит следующим образом:

; .

Закон накопления возможных предельных абсолютных систематических ошибок косвенных измерений представляется следующими зависимостями:

; .

Закон накопления возможных предельных относительных систематических ошибоккосвенных измерений имеет следующий вид:

;

.

В случаях, когда искомая величина (y)рассчитывается как функция результатов нескольких независимых прямых измерений вида , закон накопления предельных относительных систематических ошибок косвенных измерений принимает более простой вид:

; .

Ошибки и погрешности измерений определяют их точность, воспроизводимость, сходимость и правильность.

Чем меньше величина погрешности измерения, тем выше его точность.

Воспроизводимостьисходимостьрезультатов измерений улучшаются при уменьшении случайных ошибок измерений.

Правильностьрезультата измерений увеличивается с уменьшением остаточных систематических ошибок измерений.

Более подробно с теорией ошибок измерений и их особенностями познакомьтесь в [6,9]. Я же обращу Ваше внимание на то, что современные формы представления конечных результатов измерений обязательно требуют приведения ошибок или погрешностей измерения (вторичных данных). Погрешности и ошибки измерений должны представлятьсячислами, которые содержат не болеедвух значащих цифр.

4.2. Формы представления конечных результатов измерений

Для представления количественных результатов измерений (при неизвестных параметрах генеральной совокупности) можно использовать следующие формы.

1. При одном единичном значении результата измерений

(n = 1):

y = y₁_y,пр..

2. При наличии нескольких единичных результатов измерений (n 2) и отсутствии сведений о функции их распределения:

a) y = y; S­_y; n ; _y,пр.(может дополнительно еще приводиться значение вероятности Р, если расчет _y,пр.носил вероятностный характер;

б) y=y П_y; S_y; n ; P.

3. При наличии нескольких единичных результатов измерений (n 2) и знании функции их распределения:

а) y =yП_y; P (при симметричной погрешности);

б) y =y; П_yот П_{y, н}до П_{y, в}; P (для несимметричной погрешности, где П_{y, н}- нижняя граница общей абсолютной погрешности, а П_{y, в}- верхняя граница общей абсолютной погрешности).

При окончательном представлении фактического результата измерения число значащих цифриразрядовпосле десятичной запятой должно быть скорректировано исходя из точности математических вычислений и погрешности измерения. Приведу пример обработки первичных данных измерения с целью получения и представления конечного результата измерения.

Пример. При трехкратном взвешивании образца на аналитических весах (класс точности 0,01 ) были получены следующие единичные результаты измерения его массы (m_i ): 1,2356; 1,2345; 1,2348 г. Результаты метрологической поверки весов свидетельствуют об их постоянной абсолютной систематической ошибке _m = - 0,0003 г (для примененной гирьки из разновесов массой 1 г систематическая ошибка была равной нулю). Тогда ряд исправленных единичных результатов измерения массы образца (m_i) будет иметь вид: 1,2359; 1,2348; 1,2351 г.

Первоначально проведем поиск грубых ошибок измерения (промахов). Так как для данной выборки n < 8 (n = 3), то согласно [6, с. 82-84] для обнаружения промахов используем Q-критерий. Единичные результаты измерений представим в виде нового ряда с возрастающими величинами массы образца: 1,2348; 1,2351; 1,2359 г. Проверим на промахи крайние члены этого нового ряда, которые кажутся сомнительными:

1. m_n (проверяемый результат) = 1,2359 г ; m_n-1 (результат соседний с проверяемым) = 1,2351 г ; R (размах) = 1,2359 - 1,2348 = 0,0011 г ;

.

Из данных табл.1 [6, с.82] выбираем табличное значение Q-кри­терия (Q_Т) для n = 3 и Р = 0,95 (принимаем наиболее часто задаваемое значение вероятности в химии и химической технологии). Так как

Q_Т > Q_Р (0,94 > 0,73), то проверяемый результат (1,2359 г) не является грубой ошибкой измерения.

2. m_n = 1,2348 г ; m_n-1 = 1,2351 г ;

.

И этот проверяемый результат (1,2348 г) не является промахом, так как Q_Т > Q_Р (0,94 > 0,27).

Учитывая то, что для непредставительных выборок (n < 10) не рекомендуется проверять их подчинение законам распределения, сделаем допущение о соответствии единичных результатов измерения массы образца нормальному закону распределения. Так как истинный закон распределения результатов измерений неизвестен, то для представления конечных результатов измерения выберем форму 2б(с. 42). Выполним следующие расчеты, применяя правила математических действий и округления с приближенными и случайными числами: г ; (г)²;г ; П_m,пр.=_m,пр.+ S_m ;10^-4г ;= 4,3 (из таблицы квантилей распределения Стьюдента при n = 3 для Р = 0,95); _m,пр. = = Е_m m (делаем допущение, что систематическая ошибка весов намного превосходит прочие систематические ошибки и ими можно пренебречь); Е_m = 0,0110^-2 (исходя из обозначения класса точности весов).

Поскольку , то систематическими ошибками можно пренебречь. Тогда: П_m,пр.  4,33,291410^-4 = 1,41530210^-3  110^-3 г (так как в ошибках оставляют не более двух первых разрядов цифр).

Таким образом, по форме 2б результат измерения массы образца будет выглядеть следующим образом:

m = 1,235  0,001 г ; S_m = 310^-4 г ; n = 3 ; P = 0,95.

В заключениеданной лекции еще раз отмечу, что большинство научных, технических, технологических, экологических и других проблем и задач невозможно решить без проведения измерений, знания и практических навыков в области метрологии (науки об измерениях), которые определяют уровень профессиональной культуры специалиста с высшим образованием. Так как любые результаты измерений являются случайными величинами (из-за невозможности исключения ошибок измерения), то подход к ним должен основываться на методах математической статистики и теории вероятности.

Спецификой измерений в химии и химической технологии (и особенно при выполнении лабораторных работ) можно считать малое число, а иногда и отсутствие параллельных (повторных, кратных) измерений, что затрудняет оценку погрешностей, проведение анализа и выбор формы представления конечных результатов измерений.