ложными будут высказывания xP(x) и конъюнкция P(a1 ) & P(a2 ) & ... & P(an ) . Следовательно, существует равносиль-
ность xP(x) = P(a1 ) & P(a2 ) & ... & P(an ) .
Рассмотрим предикат Q(x), определенный на множестве M={a1, a2,…,an}. Если Q(x) тождественно ложен, то ложными будут высказыванияQ(a1 ),..., Q(an ) . При этом ложными будут выказывание
xQ(x) и дизъюнкция Q(a1 ) Q(a2 ) ... Q(an ) . Если найдется хотя бы один элемент aj из М, на котором Q(aj ) =1 , то истинными будут высказывания xQ(x) и дизъюнкция
Q(a1 ) Q(a2 ) ... Q(an ) .
Следовательно, существует равносильность
xQ(x) = Q(a1 ) Q(a2 ) ... Q(an ) .
Таким образом, кванторные операции можно трактовать как обобщение дизъюнкции и конъюнкции на случай бесконечных множеств.
3.3.3. Формальное определение исчисления предикатов
Исчисление предикатов – это формальная теория, в которой определены следующие компоненты [2].
Алфавит:
связки основные: ,→ , связки вспомогательные: &, ; служебные символы: ( , ); свантор всеобщности: , квантор существования ;
предметные константы: a, b,…, a1, b1, … ; предметные переменные: x, y,…, x1, y1,… ; предметные предикаты: P, Q, R, ….; предметные функторы: f, g, h,…..
Формулы (определены в нотации Бэкуса – Наура): <формула> ::= <атом>│< фoрмула >│
│<формула> → <формула> │ <переменная><формула> │ │ <переменная><формула>;
105
<атом> ::= <предикат>(<список термов>); <список термов> ::= <терм> │<терм> , <список термов> ;
<терм> ::= <константа>│<переменная>│<функтор> (<список термов>).
Аксиомы:
P1 : xA(x) → A(t); P2 : A(t) → xA(x).
Кроме того, выполняется любая система аксиом исчисления высказываний.
Правила вывода:
Modus ponens
Правило обобщения Помимо этого, в исчислении предикатов действует правило
подстановки и теорема о дедукции.
Исчисление предикатов, в котором кванторы могут связывать только предметные переменные, но не предикаты или функторы, называется исчислением первого порядка.
Исчисления, в которых кванторы связывают не только предметные переменные, но и предикаты, функторы и т.д., называются исчислениями высших порядков.
Равносильные формулы. Рассмотрим основные равносильности исчисления предикатов. Их можно разбить на четыре группы
[1,3]:
1) равносильности для двойственности:
xP(x) = xP(x),
xP(x) = xP(x),xP(x) = xP(x),
xP(x) = xP(x);
2) равносильности для конъюнкции и квантора всеобщности:
x(P(x) & Q(x)) = xP(x) & xQ(x),
x yP(x, y) = y xP(x, y);
3) равносильности для дизъюнкции и квантора существования:
106
x(P(x) Q(x)) = xP(x) xQ(x),x yP(x, y) = y xP(x, y);
4) вынесение константы:
x(C & Q(x)) = C & xQ(x),
x(C Q(x)) = C xQ(x),
x(C & Q(x)) = C & xQ(x),
x(C Q(x)) = C xQ(x),x(C →Q(x)) = C → xQ(x),x(C →Q(x)) = C → xQ(x).
Задача 3.3. Доказать равносильность
x(P(x) & Q(x)) = x(P(x) & xQ(x)) .
Решение. Если предикаты P(x) и Q(x) тождественно истинны, то тождественно истинен предикат, а поэтому будут истинны высказывания xP(x) , xQ(x) , x(P(x) & Q(x)) , т.е. обе части равно-
сильности принимают значение истина.
В случае если один из предикатов, например, P(x) (а как следствие P(x) & Q(x) ) будет не тождественно истинен, то ложными бу-
дут xP(x) , xQ(x) , x(P(x) & Q(x)) .
Задача 3.4. Определить, являются ли равносильными
x(P(x) Q(x)) = xP(x) xQ(x) .
Решение. Если предикаты P(x) и Q(x) тождественно истинны, то тождественно истинен предикат P(x) Q(x) , а поэтому, будут
истинны высказывания xP(x) , xQ(x) , x(P(x) Q(x)) , т.е. обе
части равносильности принимают значение истина.
В случае если один из предикатов, например, P(x), будет не тождественно истинен, то можно рассмотреть случай P(x) = Q(x) . В этом случае, ложными будут xP(x) , xQ(x) , x(P(x) Q(x)) . Ноx(Q(x) Q(x)) = x1 будет тождественно истинен. Следователь-
но, указанные предикаты не являются равносильными. Интерпретация. Возьмем множество М = {0, 1} и заданный на
нем предикат P(x,у):
107
|
x |
|
y |
|
P(x, y) |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
Определить, на |
каких |
областях |
истинны высказывания |
||||
x yP(x, y) и x yP(x, y) . |
|
|
|
|
|||
При x = 1 высказывание x yP(x, y) |
истинно при любых значе- |
||||||
ниях y.
При y = 1 высказывание x yP(x, y) истинно при любых значе-
ниях y.
Общезначимость и выполнимость. Формула A выполнима в области М, если существуют значения переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М, при которых формула принимает истинные значения.
Формула A выполнима, если существует область, на которой она выполнима.
Формула A тождественно истинна в области М, если она принимает истинные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.
Формула A тождественно ложна в области М, если она принимает ложные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.
Формула A общезначима, если она тождественно истинна во всякой области.
Из этих определений следуют следующие утверждения:
1)если формула A общезначима, то она и выполнима на любой области;
2)если формула A тождественно истинна в области М, то она и выполнима в этой области;
3)если формула A невыполнима, то она тождественно ложна в любой области.
Задача 3.5. Доказать, что формула |
B → A(x) |
(обобщение |
|
B → xA(x) |
|||
|
|
||
квантора всеобщности) общезначима. |
|
|
108
Решение. Обозначим формулу R как
R = (B → A(x)) → (B → xA(x)) .
Применим следующие аксиомы и равносильности:
1)аксиому для представления импликации через дизъюнкцию
иотрицание
R= (B A(x)) → (B xA(x)) ;
2)равносильность для вынесения константы
R= (B A(x)) → x(B A(x)) .
Можно утверждать, что формула R тождественно истинна (по правилу обобщения)
Так как R – тождественно истинна, значит, R общезначима.
Задача 3.6. Доказать, что формула |
A(x) → B |
(обобщение |
|
xA(x) → B |
|||
|
|
квантора существования) общезначима. Решение. Обозначим формулу R как
R = ( A(x) → B) → ( xA(x) → B) .
Применим следующие аксиомы и равносильности:
1)аксиому для представления импликации через дизъюнкцию
иотрицание
R= (A(x) B) → ( xA(x) B) ;
2)равносильность для двойственности
R= (A(x) B) → ( xA(x) B) ;
3)равносильность для вынесения константы
R= (A(x) B) → x(A(x) B) .
Можно утверждать, что формула R тождественно истинна (по правилу обобщения).
Так как R – тождественно истинна во всякой области, значит, R общезначима.
Разрешимость. Проблема разрешимости для исчисления предикатов ставится стандартно: существует ли алгоритм, позволяющий для любой формулы установить, является ли она общезначимой, выполнимой или тождественно ложной?
Ответ на этот вопрос для бесконечных областей дает теорема Черча.
109