Квадратичный индекс нечеткости:

de (A) = 1 e(A, A) , 0 < de(A) < 1.

n

Здесь e( A, A) – квадратичное (евклидово) расстояние.

Мы ввели линейный и квадратичный индексы нечеткости, используя понятие расстояния и понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому.

Эти же индексы можно определить, используя операцию дополнения, следующим образом:

dr (A) = 1 ∑n min(μA (xi ),μA (xi )) – линейный индекс; n i=1

	1		n
de ( A) =			∑min(μ2A (xi ),μ	2	(xi )) – квадратичный индекс.
	n			A
			i=1

Можно отметить следующий факт. Для х U :| μA − μA |= μA∩A ,

откуда для линейного индекса нечеткости имеем:

d( A) = 1 ∑n μА∩А (хi ) , n i=1

т.е. в этом представлении становится очевидным, что d(A) = d(A) .

7.5.3. Аксиоматический подход

Основная идея аксиоматического подхода заключается в формулировании некоторых «естественных» требований (аксиом) к степени нечеткости и поиске конкретных функционалов, удовлетворяющих этим требованиям.

В общем случае показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала d(A) со значениями в R (положительная полуось), удовлетворяющего условиям:

1)d(A) = 0 А – обычное множество;

2)d(A) максимально μА (х) = 0,5 для всех x U ;

3)d(A) ≤ d(B) , если А является заострением В, т.е.

μA (x) ≤ μB (x) при μB (x) < 0,5 ;

259