- •1.3.6. Экстремальные характеристики отношения
- •3.2.3. Связь между исчислением высказываний и алгеброй
- •3.2.4. Основные результаты исследования исчисления
- •Предисловие
- •1.1. Понятие компьютинга и дискретной математики
- •1.2. Теория множеств
- •1.2.1. Основные понятия теории множеств
- •1.2.2. Способы задания множеств
- •1.2.3. Операции над множествами
- •1.2.4. Свойства операций над множествами
- •1.2.5. Аксиоматика теории множеств
- •1.3. Бинарные отношения и их свойства
- •1.3.1. Декартово произведение и бинарное отношение
- •1.3.2. Функции и операции
- •1.3.3. Способы задания бинарных отношений
- •1.3.4. Свойства бинарных отношений
- •1.3.5. Типы бинарных отношений
- •1.3.7. Отношение толерантности
- •1.3.8. Операции над отношениями
- •Контрольные вопросы и задания
- •2.1. Фундаментальные алгебры
- •2.2. Алгебра высказываний
- •2.3. Формализация логических высказываний
- •2.4. Таблицы истинности сложных высказываний
- •2.5. Равносильности алгебры высказываний
- •2.6. Булевы функции
- •2.7. Формы представления логических функций
- •2.7.1. Дизъюнктивные нормальные формы
- •2.7.2. Конъюнктивные нормальные формы
- •2.8.1. Законы алгебры Буля
- •2.8.2. Упрощение логических функций
- •2.8.3. Метод Квайна – МакКласки
- •2.9.1. Теорема о полноте системы булевых функций
- •2.10. Построение логических схем
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 3. Формальные теории
- •3.1. Основные свойства формальных теорий
- •3.1.1. Выводимость
- •3.1.2. Интерпретация
- •3.1.3. Разрешимость
- •3.1.4. Общезначимость
- •3.1.5. Непротиворечивость
- •3.1.6. Полнота
- •3.1.7. Независимость
- •3.2. Исчисление высказываний
- •3.2.1. Интерпретация
- •3.2.2. Правило подстановки
- •3.2.3. Связь между исчислением высказываний
- •3.2.5. Другие формализации исчисления высказываний
- •3.3. Исчисление предикатов
- •3.3.2. Кванторные операции над предикатами
- •3.3.3. Формальное определение исчисления предикатов
- •Контрольные вопросы и задания
- •4.1. Прямые доказательства
- •4.1.1. Правило подстановки
- •4.1.2. Правило вывода
- •4.1.3. Дедукция
- •4.1.4. Математическая индукция
- •4.2. Косвенные доказательства
- •4.2.1. Доказательство «от противного»
- •4.2.2. Доказательство через контрпример
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 5. Основы комбинаторики
- •5.1. Правила суммы и произведения
- •5.2. Перестановки
- •5.3. Размещения и сочетания
- •5.4. Разбиения
- •5.5. Формула включений и исключений
- •5.6. Рекуррентные соотношения
- •5.7. Производящие функции
- •5.8. Числа Стирлинга второго и первого рода
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 6. Основы теории графов
- •6.1. Основные понятия
- •6.1.1. Классификация графов
- •6.1.2. Способы задания графов
- •6.2. Операции над графами
- •6.2.1. Удаление вершин и ребер
- •6.2.2. Дополнение
- •6.2.3. Объединение графов
- •6.2.4. Сложение графов
- •6.2.5. Произведение графов
- •6.3. Связность в графах
- •6.3.1. Компоненты связности
- •6.3.2. Вершинная и реберная связность
- •6.3.3. Сильная связность в графах
- •6.4. Цикломатика графов
- •6.4.1. Ациклические графы
- •6.4.2. Базисные циклы и цикломатическое число
- •6.4.3. Базисные разрезы и ранг
- •6.4.4. Эйлеровы графы
- •6.4.5. Гамильтоновы графы
- •6.5. Диаметр графа
- •6.5.1. Основные определения
- •6.5.2. Алгоритм нахождения диаметра
- •6.5.3. Поиск диаметра при операциях над графами
- •6.6. Устойчивость графов
- •6.6.1. Внутренняя устойчивость
- •6.6.1. Внешняя устойчивость
- •6.7. Хроматика графов
- •6.7.1. Хроматическое число
- •6.7.3. Двудольное представление графов
- •6.7.4. Хроматический класс
- •6.8. Преобразование графов
- •6.8.1. Реберные графы
- •6.8.2. Изоморфизм графов
- •6.8.3. Гомеоморфизм графов
- •6.8.4. Автоморфизм графов
- •6.9. Планарность
- •6.9.1. Основные определения
- •6.9.2. Критерии непланарности
- •6.10. Построение графов
- •6.10.1. Преобразование прилагательных в числительные
- •6.10.3. Оценка количества ребер сверху и снизу
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.1. Введение в теорию нечетких моделей
- •7.1.1. Принятие решений в условиях неопределенности
- •7.1.2. Основы нечетких моделей
- •7.2. Нечеткие множества. Базовые определения
- •7.2.1. Базовые и нечеткие значения переменных
- •7.2.2. Основные определения
- •7.2.3. Типовые функции принадлежности
- •7.3. Операции над нечеткими множествами
- •7.3.1. Операция «дополнение»
- •7.3.2. Операция «пересечение»
- •7.3.3. Операция «объединение»
- •7.3.4. Операция «включение»
- •7.3.5. Операции «равенство» и «разность»
- •7.3.6. Операция «дизъюнктивная сумма»
- •7.3.7. Операции «концентрирование» и «растяжение»
- •7.3.8. Операция «отрицание»
- •7.3.9. Операция «контрастная интенсивность»
- •7.3.10. Операция «увеличение нечеткости»
- •7.4. Обобщенные нечеткие операторы
- •7.4.1. Треугольные нормы
- •7.4.2. Треугольные конормы
- •7.4.3. Декомпозиция нечетких множеств
- •7.5. Индекс нечеткости
- •7.5.1. Оценка нечеткости через энтропию
- •7.5.2. Метрический подход к оценке нечеткости
- •7.5.3. Аксиоматический подход
- •7.6. Нечеткие бинарные отношения
- •7.6.1. Нечеткие бинарные отношения
- •7.6.2. Свойства нечетких бинарных отношений
- •7.6.3. Операции над нечеткими отношениями
- •7.7. Нечеткие числа
- •7.8. Приближенные рассуждения
- •7.8.1. Нечеткая лингвистическая логика
- •7.8.2. Композиционное правило вывода
- •7.8.3. Правило modus ponens
- •Контрольные вопросы и задания
- •Список литературы
Список литературы
К главе 1
1.Лихтарникова Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика: Курс лекций. СПб.: Лань, 1998.
2.Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М.:
Наука, 1999.
3.Капитонова Ю.В. и др. Лекции по дискретной математике. СПб.: БВХПетербург, 2004.
4.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Пи-
тер, 2006.
5.Горбатов В.А., Горбатов А.В., Горбатова М.В.. Дискретная математика: Учебник для студентов втузов. М.: ООО «Издательства АСТ»: ООО
«Издательство Астрель», 2003.
6.Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.
К главе 2
1.Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. М.:Наука, 1983.
2.Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М.:
Наука, 1999.
3.Капитонова Ю.В. и др. Лекции по дискретной математике. СПб.: БВХПетербург, 2004.
4.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Пи-
тер, 2006.
5.Гусева А.И. Учимся информатике: задачи и методы их решения. М.:
ДИАЛОГ-МИФИ, 2005.
6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.
7.Свами М., Тхуласироман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.
8.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 2006.
К главе 3
1.Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М.:
Наука, 1999.
2.Капитонова Ю.В. и др. Лекции по дискретной математике. СПб.: БВХПетербург, 2004.
278
3.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Пи-
тер, 2006.
4.Гусева А.И. Учимся информатике: задачи и методы их решения. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003.
5.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.
6.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 2006.
К главе 4
1.Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М.:
Наука, 1999.
2.Капитонова Ю.В. и др. Лекции по дискретной математике. СПб.: БВХПетербург, 2004.
3.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Пи-
тер, 2006.
4.Гусева А.И. Учимся информатике: задачи и методы их решения. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2005.
5.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.
6.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 2006.
К главе 5
1.Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М.:
Наука, 1999.
2.Капитонова Ю.В. и др. Лекции по дискретной математике. СПб.: БВХПетербург, 2004.
3.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Пи-
тер, 2006.
4.Гусева А.И. Учимся информатике: задачи и методы их решения. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2005.
К главе 6
1.Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.
2.Оре О. Графы и их применение. М.: Мир, 1965.
3.Оре О. Теория графов. – 2-е изд. М.: Наука, 1980.
4.Свами М., Тхулалираман К. Графы, сети и алгоритмы. М: Мир, 1984.
279
5.Татт У. Теория графов./Пер. с англ. М.: Мир, 1988.
6.Уилсон Р. Введение в теорию графов./Пер с англ. М.: Мир, 1977.
7.Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
8.Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. Мир, 1977.
9.Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика. М.: Наука, 2000.
К главе 7
1.Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети. М.: Бином, 2006г.
2.Борисов В.В., Круглов В.В., Федулов А.С. Нечеткие модели и сети. М.: Горячая линия – Телеком, 2007.
3.Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. Санкт-Петербург, 2002.
4.Птускин А. С. Нечеткие модели и методы в менеджменте. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2008.
5.Корченко А.Г. Построение систем защиты информации на нечетких множествах. М.: МК-Пресс, 2006.
280