• для любого n доказано, что если верно Pn, то верно Pn+1 (это утверждение называется индукционным переходом).
Тогда все утверждения нашей последовательности верны. Трансфинитная индукция – метод доказательства, обобщаю-
щий математическую индукцию на случай несчетного числа значений параметра.
Теорема 4.1. Пусть M – упорядоченное множество, P(x) при х М – некоторое утверждение. Пусть для любого х М из
того, что P(y) истинно для всех y < x следует, что верно P(x), и пусть верно утверждение P(x), если x – минимальный элемент M, тогда утверждение P(x) верно для любого x.
Задача 4.2. Доказательство по индукции. Доказать, что бинарное отношение T(N) = {res(b+1, a) =1}, заданное на множестве натуральных чисел N > 1, обладает свойством рефлексивности.
Решение.
1.База индукции. Пусть а = 2, b = 2. Тогда res(2+1,2) = 1, и пара (2,2) принадлежит бинарному отношению Т.
2.Индукционный переход. Рассмотрим b = а = i. Тогда res(i+1,i)=
=(i+1) – i = 1, и пара (i,i) принадлежит бинарному отношению Т.
Возьмем b = а = i+1, тогда res(i+1+1, i+1) = (i+1+1) – (i+1) =1, и па-
ра (i+1, i+1) принадлежит бинарному отношению Т для любого i.
3.Тогда наша последовательность верна и все рефлексивные пары на натуральных числах N>1 принадлежат нашему бинарному отношению Т.
Что и требовалось доказать.
4.2.Косвенные доказательства
Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса. Оно особенно ценно и незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например, понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.
Не имея в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности
119
провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям, и, стало быть, является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают на основании закона исключенного
третьего ( a a ) вывод об истинности тезиса.
Известны следующие схемы косвенных доказательств:
•доказательство от противного;
•доказательство через контрпример.
4.2.1. Доказательство «от противного»
Доказательство «от противного» в математике – один из самых часто используемых методов доказательства утверждений.
Дана последовательность формул G и отрицание A (G, A). Если
из этого следует B и его отрицание (G, A, B, B ), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекает истинность A. Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности фор-
мулы ((A → B) & B) → A в классической логике и законе двойного
отрицания A = A .
Доказательство утверждения A проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение A неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы
верно некоторое утверждение B, которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предполо-
жение было неверным, и поэтому верно утверждение A = A, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению A.
Задача 4.3. Доказать равносильность формул
xP(x) & xQ(x) = x(P(x) & Q(x))
Решение. Воспользуемся доказательством «от противного». Предположим, что это не так, что формулы не равносильны, т.е.
xP(x) & xQ(x) ≠ x(P(x) & Q(x)) .
Тогда должны найтись P(x) и Q(x), такие, что равносильность не выполняется. В этом случае возможны три варианта:
120
1)P(x) и Q(x) оба тождественно истинные,
2)P(x) – тождественно истинная, а Q(x) – нет,
3)P(x) и Q(x) оба не тождественно истинные.
Рассмотрим случай 1, когда P(x) и Q(x) оба тождественно истинные (табл. 4.1).
Таблица 4.1
Таблица для случая 1 задачи 4.3
Предикат |
Значение |
P(x) |
Тождественно истинное |
Q(x) |
Тождественно истинное |
P(x) &Q(x) |
Тождественно истинное |
xP(x) |
1 |
|
|
xQ(x) |
1 |
|
|
xP(x) & xQ(x) |
1 |
|
|
x(P(x) & Q(x)) |
1 |
|
|
Рассмотрим случай 2, когда P(x) – тождественно истинный, а
Q(x) – нет (табл. 4.2).
Таблица 4.2
Таблица для случая 2 задачи 4.3
Предикат |
|
Значение |
|
P(x) |
Тождественно истинное |
||
Q(x) |
0 |
|
1 |
P(x) &Q(x) |
0 |
|
1 |
xP(x) |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
xQ(x) |
0 |
|
0 |
xP(x) & xQ(x) |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
x(P(x) & Q(x)) |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Рассмотрим случай 3, когда P(x) и Q(x) обе не тождественно истинные (табл. 4.3).
121
|
|
|
|
|
Таблица 4.3 |
|
Таблица для случая 3 задачи 4.3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Предикат |
|
Значение |
|
|
|
|
P(x) |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
Q(x) |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|
P(x) &Q(x) |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
xP(x) |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xQ ( x) |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
xP(x) & xQ(x) |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(P(x) & Q(x)) |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Во всех трех случаях, обе формулы принимают одинаковые значения при одинаковых условиях, следовательно, наше предположение о неравносильных формулах было неверным.
Следовательно, указанные формулы равносильны. Что и требовалось доказать.
Задача 4.4. Доказать общезначимость формулы
x(R(x) P(x)) → ( xR(x) xP(x)) .
Решение. Воспользуемся доказательством «от противного». Предположим, что это не так, что формула не общезначима, т.е. должны найтись P(x) и R(x), такие, на которых формула равна 0. Тогда
x(R(x) P(x)) → ( xR(x) xP(x)) =
=x(R(x) P(x)) xR(x) xP(x) =
=x(R(x) & P(x)) xR(x) xP(x) =
=x(R(x) & P(x) R(x) P(x)) = x1 ≡1.
Таким образом, мы получили тождественно истинное высказывание для любых P(x) и R(x).
Следовательно, наше предположение об отсутствии общезначимости было неверным, и наша формула – общезначима.
Что и требовалось доказать.
122