μA (x) ≥ μB (x) при μB (x) > 0,5 ;

μA (x) – любое при μB (x) = 0,5 ;

4)d(A) = d(A) – симметричность по отношению к 0,5;

5)d(A B) + d(A ∩ B) = d(A) + d(B) .

Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются свойствами 1, 2 и 3, либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.

7.6. Нечеткие бинарные отношения

Теория нечетких отношений находит применение в задачах, в которых традиционно используется теория обычных (четких) отношений. Как правило, аппарат теории четких отношений используется при качественном анализе взаимосвязей между объектами исследуемой системы, когда связи носят дихотомический характер и могут быть проинтерпретированы в терминах «связь присутствует», «связь отсутствует», либо когда методы количественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам неприменимы и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотомическому виду. Например, когда величина связи между объектами принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду. Однако, подобный подход, позволяя проводить качественный анализ систем, приводит к потере информации о силе связей между объектами либо требует проведения вычислений при разных порогах на силу связей. Этого недостатка лишены методы анализа данных, основанные на теории нечетких отношений, которые позволяют проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами.

7.6.1. Нечеткие бинарные отношения

Нечетким бинарным отношением R на универсальном мно-

жестве U =U ×U называется нечеткое подмножество декартова произведения U =U ×U , которое характеризуется такой функцией

260

принадлежности μR (x, y) , что U ×U μR →[0,1] . Причем μR (x, y)

принимается как субъективная мера выполнения отношения xRy. Используется и другой способ записи:

R = (x, y) / μR (x, y) .

( x, y) U ×U

Пусть, например, заданы:

а) четкое отношение R1 (≥, x ≥ y), где x [0,1] – «больше или

равно»;

б) нечеткое отношение R2 (>>, x >> y) – «намного больше».

На рис. 7.6, а приведены пары (х,у) из интервала [0,1], связанные отношением R1, т.е. такие, что x ≥ y . Они образуют множество то-

чек заштрихованной области, которые отделены четкой границей – диагональю от других точек.

а

б

в

Рис. 7.6

Строя нечеткое отношение R2 : x >> y на единичном квадрате,

убеждаемся, что существуют пары (х,у), которые можно определенно отнести ко множеству R2 (например, точка (0,9; 0,01)), а также те, которые определенно не принадлежат R2 (например, (0,01; 0,9)). Кроме того, имеется несчетное множество пар (х,у), о принадлежности которых к множеству R2 можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка (0,8; 0,6). Поэтому нечеткое множество R2 характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества R2, и степень принадлежности μR2 (x, y) пары (х,у) следует характеризовать плотно-

стью штриховки (рис. 7.6, б). Можно рассмотреть некоторые сече-

261

ния отношения R2 при фиксированном х0. Соответствующее семейство функций μR2 (x, y) приведено на рис. 7.6, в).

Если нечеткое отношение R на Х конечно, то его функция принадлежности μR (x, y) задается в виде квадратной матрицы

rij , i, j =1, n с элементами rij [0,1] . Если rij = α, то это означает, что степень выполнения отношения xi Rx j равна α.

Носителем нечеткого отношения R на множестве U называ-

ется подмножество декартова произведения U ×U , определяемое так:

supR ={(x, y) : μR (x, y) > 0, x U, y U}.

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде взвешенного графа, в котором каждая пара вершин (х,у) из U ×U соединяются ребром с весом R(x,y).

7.6.2. Свойства нечетких бинарных отношений

Рефлексивность.

• Нечеткое отношение R на U ×U называется рефлексивным, если выполняется условие μR (x, x) =1, (x, x) U ×U .

Интуитивно понятно, что отношения «у примерно равно х», «у близко х» являются рефлексивными.

• Нечеткое отношение R на U ×U называется иррефлексив-

ным, если μR (x, x) = 0, x U .

Симметричность.

•Нечеткое отношение R на U ×U называется симметричным, если для всех (x, y) U ×U : μR (x, y) = μR ( y, x) .

Если R – множество действительных чисел, то отношение «у близко к х» интуитивно воспринимается как нечеткое симметричное отношение в R × R .

•Нечеткое отношение R на U ×U называется антисиммет-

ричным, если

262

(x, y) U ×U при x ≠ y μR (x, y) ≠ μR ( y, x) или

μR (x, y) = μR ( y, x) = 0.

•Нечеткое отношение R на U ×U называется совершенно ан-

тисимметричным, если из того, что (x, y) U ×U при x ≠ y

μR (x, y) > 0 , следует μR ( y, x) = 0 .

Транзитивность.

• Нечеткое отношение R на U ×U транзитивно, если x, y, z U , (x, y),( y, z),(x, z) U ×U :

μR (x, z) ≥ max[min{μR (x, y), μR ( y, z)}].

y

Чтобы проверить транзитивность для конечного множества U мощности n, если нет правила, позволяющего доказать это с помощью функции принадлежности, нужно выполнить n2 раз n операций.

Например, следующие отношения транзитивны: «Y много больше Х», «А чище, чем В». Отношения «Х – дальний родственник Y», «Х похож на Y» нетранзитивны. Здесь все зависит от характера функции принадлежности, оценивающей сходство. Так, например, может случиться так, что «Х похож на Y» и «Y похож на Z», но Х не обязательно похож на Z.

Как и в случае четких отношений, над нечеткими бинарными отношениями можно определять различные операции.

7.6.3. Операции над нечеткими отношениями

Пусть на множестве U1 ×U 2 заданы два нечетких отношения R1 и R2 с функциями принадлежности μR1 (x, y),μR2 (x, y) .

Нечеткое отношение R = R1 R2 называется объединением нечетких отношений R1 и R2, если его функция принадлежности определяется выражением μR (х, у) = max{μR1 (x, y),μR2 (x, y)} .

Нечеткое отношение R = R1 ∩ R2 называется пересечением нечетких множеств R1 и R2, если μR (х, у) = min{μR1 (x, y),μR2 (x, y)} .

263

Нечеткое отношение R1 включает в себя (или содержит) не-

четкое отношение R2 ( R1 R2 ), если для них выполняется соотношение

μR1 (х, у) ≤ μR2 (х, у), х, у Х .

Нечеткое отношение R называется дополнением нечеткого отношения R, если его функция принадлежности определяется выражением

μR (x, y) =1 − μR (x, y) .

Нечеткое отношение R-1 называется обратным к отношению R, если его функция принадлежности определяется выражением

μR−1 (x, y) = μR ( у, х) .

Отношение R называется обычным отношением, ближай-

шим к нечеткому, если его функция принадлежности определяется выражением

	если μR (x, y) ≤ 0,5;
0,
μR (x, y) =
	если μR (x, y) > 0,5.
1,

Gα называется обычным подмножеством α-уровня нечеткого

отношения, если оно определяется выражением

Gα ={(x, y) | μR (x, y) ≥ α} , α [0,1] .

Нечеткое отношение R(1) называется первой проекцией нечеткого отношения R, если его функция принадлежности определяется выражением

μ(1)R (x) = max μR (x, y) .

y

Нечеткое отношение R(2) называется второй проекцией нечеткого отношения R, если его функция принадлежности определяется выражением

μ(R2) ( y) = max μR (x, y) .

x

Вторая проекция первой проекции (или наоборот) h(R) на-

зывается глобальной проекцией нечеткого отношения R, если она определяется выражением

264