Решение. Степень включения множества А в множество В равна T ={0,μA (x) > μB (x)}, следовательно,

η(A B) =1 − max(μA (x) − μB (x)) =1 − 0 =1.

x T

Степень включения множества В в множество А равна

T ={x1 , x2 , x3 , x5 ;μB (x) > μA (x)} ,

следовательно,

η(B A) =1− max(μB (x) −μA (x)) =

x T

=1− max[(0.8 −0),(0.5 −0.3),(0.7 −0.6),(0.6 −0.4)] = =1− max[0.8,0.2,0.1,0.2] =1−0.8 = 0.2,

η(A B) =1 , η(B A) = 0.2 .

7.3.5. Операции «равенство» и «разность»

Равенство нечетких множеств определяется следующим об-

разом:

A= B μA (x) = μB (x), x U .

Вслучае, если значения функций принадлежности μA (x), μB (x)

почти равны между собой, говорят о степени равенства нечетких множеств А и В.

Степенью равенства нечетких множеств А и В называется величина

ρ(A = B) =1 − max | μA (x) − μB (x) | ,

x T

где T ={x U , μA (x) ≠ μB (x)} .

Задача 7.7. Определить степень равенства множеств А и В из предыдущего примера.

Решение.T ={x1 , x2 , x3 , x5 ;μB (x) ≠ μA (x)} , следовательно,

ρ( A = B) =1− max | μA (x) −μB (x) |=

x T

=1− max[| 0 − 0.8 |,| 0.3 −0.5 |,| 0.6 −0.7 |,| 0.4 −0.6 |] = =1− max[0.8,0.2,0.1,0.2] =1− 0.8 = 0.2;

ρ(A = B) = 0.2 .

Очевидно, что ρ(A = B) = η(A B) ∩ η(B A) . Степень равенства может принимать любые значения из отрезка [0,1].

246

Разность двух нечетких множеств определяется формулой: A − B = A ∩ B , таким образом:

μА−В (х) = μА∩В (х) = min(μA (x),1 − μB (x)) .

7.3.6.Операция «дизъюнктивная сумма»

Дизъюнктивная сумма множеств иногда еще называется симметрической разностью множеств. Как видно из названия, в отличие от обычной разности, симметрическая разность не зависит от порядка ее аргументов (если поменять аргументы местами, результат останется неизменным).

Дизъюнктивная сумма двух нечетких множеств определяется по формуле:

АВ = (А− В) (В− А) = (А∩ В) (А∩ В) ,

μА В (х) = max[min(μA (x),1 − μB (x)); min(1 − μA (x), μB (x))] .

7.3.7.Операции «концентрирование» и «растяжение»

Степенью е нечеткого множества А называется нечеткое множество Ае ={х/ μАе (х)}.

При е=2 получается частный случай операции возведения в степень – операция концентрации, обозначаемая CON.

В общем случае:

CON(A) = Ak ,

где k > 0, k − целое. В частном случае:

CON(A) = A2 , μA2 (x) =μ2A (x), x U .

Результатом применения операции концентрирования к нечеткому множеству А является уменьшение степени принадлежности элементов к этому множеству, и происходит оно в квадратичной зависимости: если μA (x) ≈1 , то это уменьшение мало, а если

μA (x) ≈ 0 , то уменьшение велико. В естественном языке примене-

ние операции концентрирования к значению лингвистической переменной соответствует использованию усиления «очень».

247

При е = 0,5 получается операция растяжения DIL: В общем случае:

1

DIL(A) = Ak ,

k > 0, k − целое.

В частном случае:

DIL(A) = A0,5 .

Операция DIL повышает степень нечеткости описания. В естественном языке применение операции концентрирования к значению лингвистической переменной соответствует использованию слов «достаточно» или «более-менее» («более-менее близкий»). Графическая интерпретация этих операций приведена на рис. 7.4.

μ

х

Рис. 7.4

7.3.8. Операция «отрицание»

Пусть задано некоторое отображение λ:[0,1] →[0,1] . Это ото-

бражение будет называться оператором отрицания в теории нечетких множеств, если выполняются условия:

λ(0) =1, λ(1) = 0 ,	(7.1)
μA ≤ μB λ(μA ) ≥ λ(μB ) .	(7.2)
Если, кроме этого, выполняются условия:
λ – строго убывающая функция,	(7.3)
λ – непрерывная функция,	(7.4)

то она называется строгим отрицанием.

248

Функция λ называется сильным отрицанием или инволюцией,

если наряду с условиями (7.1) и (7.2) для нее всегда справедливо:

λ(λ(μ)) = μ.

(7.5)

Точка μ называется инволютивным элементом, если для нее выполняется условие (7.5), в противном случае – неинволютивным.

Если λ(μ) = μ, то μ – равновесная точка. Если такая точка су-

ществует, то она единственная.

Отрицание λ называется сжимающим отрицанием в точке μ, если выполняется неравенство

μ λ(μ) ≤ λ(λ(μ)) ≤ μ λ(μ),	(7.6)
если выполняется неравенство
λ(μ) λ(λ(μ)) ≤ μ ≤ λ(μ) λ(λ(μ)),	(7.7)

то λ называется разжимающим отрицанием.

Для любого λ выполняется, по крайней мере, одно из соотно-

шений (7.6) или (7.7).

Оба соотношения выполняются одновременно тогда и только тогда, когда μ – инволютивный элемент.

Примерами отрицаний могут служить:

•	классическое отрицание:	λ =	μ	(х) =(μ1)− μ(х) ,
•	квадратичное отрицание:	λ(μ) = 1 − μ2 ,

•отрицание Сугено: λ(μ) = 11+−kμμ , −1 < k < ∞,

		1,	если μ ≤ α
•	дополнение порогового типа:			.
		λ(μ) =	если μ > α
		0,

7.3.9. Операция «контрастная интенсивность»

Операция контрастной интенсификации (INT) определяется с помощью функции принадлежности следующим образом:

			2
	2(μA (x))			,	0 ≤ μA (x) ≤ 0.5,
μA
	(x) =	− 2(1−μ			(x))2 , 0.5 ≤ μ		(x) ≤1
	1			A		A

249