0,				x ≤ a,
		− a
x
γ(x;a,b) =			,	a ≤ x ≤ b,
b		− a
1,				x ≥ b.

Функция принадлежности класса t определяется как

0,						x ≤ a,
x			− a		,	a ≤ x ≤ b,
			− a
t(x;a,b,c) = b
c − x					, b ≤ x ≤ c,
		c	−b
						x ≥ c.
1,
Функция принадлежности класса L определяется как
1,						x ≤ a,
			− x
b
L(x;a,b) =					,	a ≤ x ≤ b,
b			− a
0,						x ≥ c.

Для некоторых предметных областей и практических задач достаточно подобрать соответствующие коэффициенты функций принадлежности этого вида, но зачастую они модернизируются более существенно или создаются специальные функции, которые точнее определяют принадлежность элемента к заданному нечеткому множеству. Вопросы выбора класса функции принадлежности и соответствующих коэффициентов являются наиболее спорными и сложными при нечетком моделировании, точных требований и критериев здесь в силу той же самой нечеткости понятий не существует. Вся ответственность лежит на исследователе.

7.3.Операции над нечеткими множествами

Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда множество является четким, операции переходи-

242

ли в обычные операции теории множеств, то есть операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.

7.3.1. Операция «дополнение»

Дополнение нечеткого множества А определяется как A = (x,μA (x)) , где

μA (x) =1 − μA (x) .

На рис 7.1 приведены непрерыв-
ные функции принадлежности, харак-
теризующие множество А (тонкая ли-
ния) и его дополнение А (жирная ли-
ния).	Рис. 7.1
Для нечеткого множества, заданно-

го перечислением, дополнение строится еще проще.

Задача 7.3. Дано нечеткое множество А = «середина недели»:

А ={(ПН, 0), (ВТ,0.4), (СР,1), (ЧТ, 0.9),(ПТ,0),(СБ,0),(ВС, 0)} .

Найти дополнение «не середина недели».

Решение.

А ={(ПН,1),(ВТ,0.6),(СР,0),(ЧТ,0.1),(ПТ,1),(СБ,1),(ВС,1)}.

7.3.2. Операция «пересечение»

Для определения пересечения нечетких множеств наибольшей популярностью пользуются следующие три группы операций:

•максиминная: μA∩B (x) = min{μA (x), μB (x)},

•алгебраическая: μA∩B (x) =μA (x) μB (x) ,

• ограниченная: μA∩B (x) = max{0, μA (x) + μB (x) −1}.

243

	Графическая интерпретация	мак-
	симинного пересечения представлена
	на рис. 7.2 (исходные функции при-
	надлежности – тонкие линии, резуль-
	тирующая – жирная линия).
	Для нечетких множеств, заданных
	перечислением, построение пересече-
	ния строится аналитически.
Рис. 7.2	Задача 7.4. Пусть даны два нечет-
	ких множества:
(ПН,1.0),(ВТ,0.6),(СР,0.4),(ЧТ,0.2),(ПТ,0.0),(СБ,0.8),
А =		,
(ВС,0.0)
(ПН,0.7),(ВТ,0.2),(СР,1.0),(ЧТ,0.6),(ПТ,0.1),(СБ,0.0),
В =		.
(ВС,0.0)
Найти максиминное пересечение этих множеств.
Решение.
(ПН,0.7),(ВТ,0.2),(СР,0.4),(ЧТ,0.2),(ПТ,0.0),
А∩ В =		.
(СБ,0.0),(ВС,0.0)

7.3.3. Операция «объединение»

Для определения объединения нечетких множеств наибольшей популярностью пользуются следующие три группы операций:

•максиминная:

μA B (x) = max{μA (x), μB (x)} ,

•алгебраическая:

μA B (x) =μA(x) +μB (x) −μA(x) μB (x),

Рис. 7.3	•	ограниченная:
	μA B (x) = min{1,	μA (x) + μB (x)}.

Графическая интерпретация максиминного объединение представлена на рис. 7.3. (исходные функции принадлежности – тонкие линии, результирующая – жирная линия).

244

Задача 7.5. Пусть даны два нечетких множества:

(ПН,1.0),(ВТ,0.6),(СР,0.4), (ЧТ,0.2),(ПТ,0.0),		,
А =
(СБ,0.8), (ВС,0.0)
(ПН,0.7),(ВТ,0.2),(СР,1.0),(ЧТ,0.6),(ПТ,0.1),
В =	.
(СБ,0.0),(ВС,0.0)
Найти их максиминное объединение.
Решение.
(ПН,1.0), (ВТ,0.6), (СР,1.0), (ЧТ,0.6), (ПТ,0.1),
А В =		.
(СБ,0.8),(ВС,0.0)

Важно отметить, что законы, которые выполняются в теории обычных (четких) множеств в теории нечетких множеств выполняются только частично.

7.3.4. Операция «включение»

Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В (является подмножеством В) если для всех элементов U значение функции принадлежности к множеству А меньше или равно значению функции принадлежности к множеству В:

A B μA (x) ≤ μB (x) .

В случае, если условие μA (x) ≤ μB (x) выполняется не для всех

x U , говорят о степени включения нечеткого множества А в нечеткое множество В.

Степенью включения нечеткого множества А в нечеткое множество В называется величина η:

η(A B) =1 − max(μA (x) − μB (x)) ,
	x T
где T ={x U ,μA (x) > μB (x)}.Степень		включения может прини-
мать любые значения из отрезка [0,1].
Задача 7.6. Пусть даны нечеткие множества
A ={< 0.3 / x2 >, < 0.6 / x3	>, < 0.4 / x5	>} и
B ={< 0.8 / x1 >, < 0.5 / x2	>, < 0.7 / x3	>, < 0.6 / x5 >} ,

определенные на множестве U ={x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } . Определить

степень включения множества А в множество В и степень включения множества В в множество А.

245