h(R) = max max μR (x, y) = max max μR (x, y)
x y	y x

или h(R)=R(1)(2) =R(2)(1) .

Если h(R)=1 – отношение нормально, если h(R)<1 – субнормально.

Важное значение в теории нечетких множеств имеет композиция (или произведение) нечетких отношений. В отличие от обычных (четких) отношений композицию (произведение) нечетких отношений можно определить разными способами.

Нечеткое отношение R = R1R2 называется максиминной компо-

зицией (произведением) нечетких отношений R1 и R2, если его функция принадлежности определяется выражением

μR (x, z) = max min{μR (x, y), μR		( y, z)}.
y U	1	2

Нечеткое отношение R = R1 R2 называется минимаксной ком-

позицией (произведением) нечетких отношений R1 и R2, если его функция принадлежности определяется выражением

μR (x, z) = min max{μR		(x, y), μR	( y, z)}.
y U	1		2
Нечеткое отношение R = R1 R2		называется максимультипли-

кативной композицией (произведением) нечетких отношений R1 и R2, если его функция принадлежности определяется выражением

μR (x, z) =sup{μR1 (x, y) μR2 (y, z)} .

y U

7.7. Нечеткие числа

Нечеткое число – это нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности, то есть такую, что:

•существует значение носителя, в котором функция принадлежности равна единице (условие нормальности);

•при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности не возрастает (условие выпуклости).

Нечеткое число А унимодально, если условие μА (х) =1 справедливо только для одной точки действительной оси.

265

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

μА (0) = sup(μA (x)) .

U

Подмножество S A называется носителем нечеткого числа А,

если S A ={x | μA > 0}.

Нечеткое число А положительно, если x S A x > 0 , и от-

рицательно, если x S A x < 0 .

Нечеткие числа (L-R)-типа – это разновидность нечетких чисел специального вида, задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и

R(x).

Возможные графики функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены на рис. 7.7.

Рис. 7.7

Пусть L(у) и R(у) – функции (L-R)-типа. Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. μА (а) =1 ) задается с помощью L(у) и R(у)

следующим образом:

μА

L( (х) =

R(

a α− x ), x −β a ),

если х ≤ а;

если х ≥ а,

266

где а – мода; α > 0, β>0 – левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(у) и R(у) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А=(а;α,β).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров А=(а1,а2;α,β), где а1 и а2 – границы толерантности, т.е. в промежутке [а1;а2] значение функции принадлежности равно 1. Толерантные нечеткие числа (L-R)-типа называются тра-

пезоидными числами.

Унимодальные нечеткие числа (L-R)-типа называются тре-

угольными числами.

Треугольные числа формализуют высказывания типа «приблизительно равно a». Ясно, что а ± δ≈ а, причем по мере убывания δ до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы.

На практике часто используется альтернативное определение нечеткого треугольного числа.

Треугольным нечетким числом А называется тройка <a,b,c> (a≤b≤c) действительных чисел, через которые его функция принадлежности μА (х) определяется следующим образом:

x − a			,	если х [a;b];
b		− a
x − c
μА(x) =			,	если х [b; c];
		− c
b
0,		в противном случае.

Второе число b тройки <a,b,c> обычно называют модой или

четким значением нечеткого треугольного числа. Числа a и c характеризуют степень размытости четкого числа.

В общем случае при определении нечеткого треугольного числа не обязательно использовать линейные функции. Часто в различных приложениях используются две функции, из которых одна монотонно возрастает на интервале [a;b], а другая монотонно убывает на интервале [b;c].

267