Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

Анализ экспериментальных данных и вычисление моментов H j

в e e -столкновениях и pp pp -взаимодействиях был выполнен в

широком интервале начальных энергий. Список экспериментальных данных с достаточно большой статистикой и детальным разделением упругих и неупругих событий при малых множественностях представлен в табл. 7.1.

Таблица 7.1. Экспериментальные данные, использованные при вычислении отношений кумулянтных и факториальных моментов [38]

Тип взаимодействия		Эксперимент или		S	, ГэВ	Статистика
		спектрометр				событий, шт.
e e -аннигиляция		TASSO	22			1913
		HRS	29			29649
		TASSO	34,8			52832
		TASSO	43,6			8620
		ALEPH	91			90000
		DELPHI	-- // --			47400
		L3	-- // --			169700
		OPAL	-- // --			82941
pp pp	-столкновения	FNAL	23,8			8477
		SMF-детектор (CERN)	30,4			37069
		E743 (FNAL)	38,8			10217
		SMF-детектор (CERN)				26842
		SMF-детектор (CERN)				58196
		UA5				4156
		-- // --				7775
		-- // --				6839

На рис. 7.3, 7.4 представлены зависимости моментов H j от их ранга j, вычисленные на основе приведенных в табл. 7.3 экспери-

ментальных данных, для процессов e e -аннигиляции и pp pp - взаимодействий соответственно. Хотя детальное поведение моментов H j зависит от типа взаимодействия, энергии и методических

особенностей анализа данных в том или ином эксперименте, качественные черты этого поведения близки в обоих типах взаимодей-

ствия, особенно при энергиях S 60 ГэВ. Основные характерные черты поведения зависимости H j j сохраняются как в процессах

338

аннигиляции, так и в адронных столкновениях: быстрое падение при малых j с последующим главным минимумом, расположен-

ном при j 4 6, и дальнейшими осцилляциями. Однако амплитуда осцилляций в адронных взаимодействиях примерно на порядок больше, чем в e e -аннигиляции.

Рис. 7.3. Поведение моментов H j в зависимости от ранга момента j для e e -

аннигиляции при различных энергиях (экспериментальные группы идут в том порядке, как они представлены в табл. 7.1, то есть увеличение энергии идет по мере перехода сверху вниз). Слева – низшие моменты в логарифмической шкале, справа – высшие моменты в линейном масштабе [38]

339

Рис. 7.4. Поведение моментов H j в зависимости от ранга момента j для pp pp -

столкновений при различных энергиях (экспериментальные группы идут в том порядке, как они представлены в табл. 7.1, то есть увеличение энергии идет по мере перехода сверху вниз). Слева – низшие моменты в логарифмической шкале, справа – высшие моменты в линейном масштабе [38]

В то же время, имеется количественная разница даже в результатах экспериментов на электрон-позитронном коллайдере LEP при

одинаковой энергии S 91 ГэВ. Вероятно, это обусловлено несколько различным отбором используемых в анализе событий в

340

разных экспериментах и систематическими погрешностями. На это указывает также сравнение результатов использования различных генераторов событий, использующих метод Монте–Карло, с данными экспериментов: различия в поведении зависимости H j j

для e e -аннигиляции на LEP обусловлено деталями того или иного эксперимента, а не динамикой процесса взаимодействия. Таким образом, для детального сравнения теоретических предсказаний и результатов эксперимента необходимы как более прецизионные данные, так и более совершенный контроль методики обработки и погрешностей.

Как было указано выше, ОБР часто используется для анализа наблюдаемых на эксперименте распределений по множественности в процессах адрон-адронных hh и e e - столкновений при высо-

ких энергий. Примеры сравнения значений H j -моментов, вычис-

ленных на основе экспериментальных данных, и теоретических предсказаний с использованием ОБР для различных взаимодействий представлены на рис. 7.5 [38].

Рис. 7.5. Зависимость H j j по данным эксперимента DELPHI для e e - анниги-

ляции (а) [230] и эксперимента UA5 для pp -взаимодействий (б) [231]. Штриховой линией показаны теоретические зависимости, полученные с использованием ОБР

341

Здесь, как и выше, ввиду большого различия в числовой величине, данные при малых j выделены в виде врезки, где заметен быстрый спад отношения кумулянтных и факториальных моментов соответствующих рангов. В основной части рис. 7.5 как для элек- трон-позитронной аннигиляции, так и для pp -столкновений видны

два отрицательных минимума (при j 5 и 12 ) и два положитель-

ных максимума (при j 8 и 15). Важно отметить, что предсказа-

ния ОБР демонстрируют уменьшение величин моментов H j с рос-

том их рангов, но не имеют максимумом и минимумов, то есть моменты H j , полученные из производящей функции ОБР, не демон-

стрируют осциллирующего поведения при увеличении ранга. Таким образом, можно утверждать, что ОБР способно воспроизвести лишь основные детали экспериментальных распределений по множественности (соответственно, поведение моментов H j низших

рангов), но не их более тонкие особенности (осцилляции при больших значениях j ).

В настоящее время существуют несколько модельно зависимых физических интерпретаций наблюдаемых осцилляций. В частности, данные осцилляции могут быть связаны с рождением различного числа подструй [1, 38]. Важно то, что осцилляции моментов H j вызваны динамическими особенностями процесса взаимодей-

ствия и однозначно указывают на то, что феноменологические модели адронизации, в которых образуются кластеры, распределенные по пуассоновскому закону, не пригодны для точного описания экспериментальных данных [38].

Для вычисления моментов H j на основе уравнения Фоккера – Планка дробного порядка в [230] были использованы наблюдаемые

значения n		и C2		n2		n	2	для заряженных частиц. Тогда,
ch				ch		ch
при фиксированных и t ,								параметр	в (7.19) определя-
ется следующим выражением:							1 E t 2
1				1
		C2								1.
						1 2E t E 2 t
				nch

342

Представленные ниже результаты расчетов соответствуют слу-

чаю 0,5.

На рис. 7.6,а вычисленные H j -моменты сравнены со значения-

ми данных моментов, вычисленных на основе экспериментальных

данных для	e e -столкновений при энергии	S 91 ГэВ [232].
Параметр	подбирался с шагом 0,01 так, чтобы первый относи-

тельный минимум вычисленного H j -момента был наблюден при j 5. Из рис. 7.6,а видно, что сила осцилляций вычисленных для уравнения Фоккера – Планка дробного порядка H j -моментов со-

поставима с осцилляциями моментов, вычисленных на основе экспериментальных данных. Тем не менее период осцилляций и положение первого относительного минимума различаются для данных, полученных на основе (7.16) и в эксперименте. Сравнение результатов расчетов при значении 1,0 66,82 и при величине

2,0 10,24 с моментами H j , вычисленных на основе экс-

периментальных данных по pp -столкновениям при начальной

энергии S 546 ГэВ [231], представлено на рис.7.6,б. Видно, что вычисленные значения H j -моментов для первого набора парамет-

ров демонстрируют осцилляции такой же силы, что и экспериментальные данные. Необходимо отметить, что если параметр под-

бирается с шагом 0,01 таким образом, чтобы выполнялось следующее условие: первый относительный минимум вычисленного H j -момента должен быть наблюден при j 5, то вычисленное значение первого относительного минимума оказывается равным H7 3,323 10 5. Полученное абсолютное значение H7 оказалось намного меньше значения, полученного из экспериментальных данных.

Важно отметить, что подобные исследования (7.16) были выполнены также в [233] и привели к несколько отличным конечным формулам.

Для вычисления моментов H j в адрон-адронных взаимодейст-

виях также использовалось усеченное ОБР, при этом результаты

343

данных вычислений могли достаточно хорошо описывать экспериментально наблюдаемое поведение данных моментов на качественном уровне [234, 235]. Однако важно отметить, что даже если для вычисления H j -моментов используется усеченное ОБР, осцил-

ляции полученных значений H j -моментов оказываются намного слабее, чем наблюдаются для H j -моментов, полученных на основе

экспериментальных данных, в частности, в процессах электронпозитронной аннигиляции [236].

Рис.7.6. Вычисленные для уравнения Фоккера – Планка дробного порядка моменты H j как функции ранга j в сравнении с H j -моментами, вычисленными на

основе экспериментальных данных для e e - (а) и pp - столкновений (б) [229]

Таким образом, использование уравнения Фоккера – Планка дробного порядка, то есть введение дробной производной по времени, позволяет улучшить описание экспериментальных данных как для электрон-позитронной аннигиляции, так и для адронных взаимодействий при высоких энергиях. За последние годы достигнут заметный прогресс в сближении на качественном уровне предсказаний КХД и данных эксперимента о распределении по множественности вторичных частиц, достигнуто понимание того, насколько важны те или иные приближения в теоретических подходах и детали экспериментального анализа для выполнения сравнения на количественном уровне. Тем самым создана реальная основа

344

для прецизионного подхода к проблеме описания распределения по множественности в целом [38]. Однако необходимы дальнейшие исследования как для получения согласованных результатов, так и для более точного описания экспериментальных данных.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение распределения по множественности.

2.Приведите формулы для плотности распределения эксклюзивного и инклюзивного процессов.

3.Получите прямые и обратные формулы, связывающие инклюзивные плотности распределений и кумулянтные корреляционные функции низших порядков.

4.Приведите формулы для моментов дробных порядков, справедливые в общем случае.

Рекомендуемая литература

7.1.1 Kendall M.G., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. V.1. London: C. Griffin and Co., 1969.

1 Данная книга полезна для более углубленного изучения корреляционного анализа, в частности, здесь приведены формулы для кумулянтных корреляционных функций более высоких порядков.

345

Глава 8

ФЕМТОСКОПИЯ И УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

§1. Метод интерферометрии

При высоких энергиях частицы и ядра, столкнувшись, образуют некую область, в которой происходит образование вторичных частиц и из которой данные частицы испускаются1. Одна из наиболее важных задач заключается в определении пространственновременных параметров данной области, установлении фундаментальной связи между геометрией источника эмиссии вторичных частиц и динамикой его образования. Решающим здесь оказалось установление физической аналогии между парными корреляциями тождественных частиц, образующихся в столкновениях квантовых объектов, и корреляциями фотонов, испускаемых оптическими источниками, в частности звездами. Как известно, Ханбери-Браун и Твисс показали, что регистрация двухфотонных корреляций позволяет измерить угловые размеры звезды. С другой стороны, пионы распространяются в пространстве по таким же волновым законам, как и фотоны. Поэтому в принципиальном плане источник пионов аналогичен звезде, излучающей фотоны, а тогда должен существовать некоторый аналог астрономического метода Ханбери-Брауна и Твисса, позволяющий измерять размеры области генерации пионов. Такой метод, как выяснилось, существует и назван НВТинтерферометрия (НВТ – английское сокращение от фамилий Хан- бери-Браун и Твисс соответственно). Это очень мощный метод для определения пространственно-временных параметров области излучения.

1 Для столкновения ядер данная область имеет исторически устоявшееся название – «файербол» – и характеризуется значительными, по масштабам сильного взаимодействия, пространственно-временными размерами.

346

В данной главе рассмотрены корреляции только тождественных частиц. За рамки изложения выведена очень значительная и прогрессирующая часть фемтоскопии, а именно, корреляции в парах нетождественных частиц и взаимодействие в конечном состоянии. За последнее время накоплен очень существенный массив экспериментальных результатов по фемтоскопии, особенно для столкновений релятивистских тяжелых ядер. Обзор новых и важных результатов может составить предмет отдельной книги и сознательно не рассматривается здесь. Данная глава сфокусирована на основных положениях формализма корреляционного анализа и использованию именно распределений общего типа для исследований в области фемтоскопии.

1.1. Краткая историческая справка

Сама идея определять размеры объектов по интерференции двух бозе-частиц – а именно, двух фотонов видимого света – пришла в физику микромира из области астрономии, то есть из физики мегамира, в которой выполняются измерения размеров объектов, находящихся на противоположном, по отношению к квантовой физике, конце линейных масштабов. Р. Ханбери-Браун и Р. Твисс впервые применили метод интерферометрии интенсивностей для двух фотонов в астрономии при определении угловых диаметров звезд.

Для сохранения когерентности сигналов данный интерферометр должен был обладать (очень) большой базой. Первый звездный амплитудный интерферометр появился в 1955 г. Это оборудование использовалось для проведения первого измерения углового диаметра самой яркой звезды северного полушария – Сириуса. Схема данного эксперимента представлена на рис. 8.1. Данный эксперимент выполнял роль контрольного, одна из основных задач которого состояла в демонстрации применимости метода корреляций интенсивности. После успешного измерения углового диаметра двух звездных радиоисточников данный метод был использован для измерения углового размера видимых звезд. Успех первого эксперимента обусловил строительство звездного амплитудного интерферометра в астрономическом центре в Найроби (Австралия), закончен-

347