Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

ку. Согласно [159, 160] обобщенные энтропии q -го порядка

Как можно понять непосредственно из определения, мультифракталы имеют более сложные свойства, чем непосредственно (моно) фракталы [56, 131, 143, 149]. К мультифракталам относится и траектория классического винеровского процесса броуновского движения и график функции «чертова лестница». Для характеристик таких структур вводятся в рассмотрение различные информационные размерности, которые чувствительны к неоднородностям рассматриваемых множеств [150 – 158]. Одними из наиболее содержательных параметров, используемых для описания таких сложных объектов, являются обобщенные размерности Реньи различных порядков [159, 160].

Предположим, что случайное множество точек разбито на ячейки размером и пусть Pi – вероятность попадания в i -ю ячей-

Kq

определяются следующим образом:

					ln Piq
		Kq			i		,	(5.28)
					1 q
где q 0,1,2, ,n. При q 1,				и полагая q 1 , где 0, можно
получить K	q		P	ln P .				Соответственно, раз-
		q 1	i		i

i

мерность Реньи q -го порядка определяется следующим образом:

D* lim		Kq	.	(5.29)
q	0	ln

	Важно отметить, что при данном определении размерность Ре-
	ньи D* совпадает с размерностью Хаусдорфа рассматриваемого
	0
	множества. Размерность D* называется информационной,							а D* –
	1							2
	показателем корреляционного интеграла
		1	N
	c r lim		r		xi xj		,	(5.30)
		2
	N N		i, j 1

который оценивается					непосредственно для последовательности
точек. Здесь		xi xj		–	расстояние между точками xi , x j в паре, –

258

функция Хевисайда. Для многих фракталов корреляционный интеграл зависит от r при r 0 по степенному закону:

c r rD3 .

Поэтому фрактальную корреляционную размерность D3 1 определяют по наклону прямого участка дважды логарифмического гра-

фика ln c r f ln r .

Рассмотрим внутреннюю размерность, которая получается в случае, когда для измерения кривой вдоль нее откладывается эталон («линейка») длиной . Для самоподобных фрактальных кривых (например, береговых линий) получается длина L 1 DF , где,

как указано выше, DF – размерность рассматриваемого самоподобного фрактала. В качестве самоаффинной кривой будем рассматривать график функции обобщенного броуновского движения. Пусть для данной самоафинной кривой длина линейки выбирается таким образом, что эталон покрывает шаг по оси времени длительностью b . Тогда вклад в общую длину кривой составит [78]

		2			B				2
	b		b2H		H				.	(5.31)
					a

При выборе достаточно большого увеличения для оси y, по кото-

рой откладывается приращение броуновской кривой BH , то есть при достаточно малых a, в (5.31) будет преобладать второе слагаемое и bH . Число таких отрезков, укладывающихся на рассматриваемом интервале T , составляет Tb b 1 1H . Тогда полная длина самоаффинной кривой может быть оценена следующим образом: L 1 1H 1 DF , где DF – размерность фрактала.

В локальном пределе, когда растягивается масштаб по оси y,

внутренняя размерность оказывается равной Dl 1H . При растя-

жении масштаба по оси времени, когда функции X t становятся

1 В литературе для данной размерности также используется термин «корреляционный показатель» и обозначение D3.

259

незаметными1, преобладающим в (5.31) станет первое слагаемое. В данном случае b и полная длина будет оцениваться по сле-

дующей формуле: L T b и поэтому DF 1.

Иногда Dl 1H называют скрытой фрактальной размерностью [161], которая связана с фрактальной размерностью следа броуновской частицы. Показатель Херста H носит в данном случае название аффинного показателя.

В общем случае для n -мерного аффинного пространства при n 2 имеется n n 1 2 аффинных показателей. Сведения о раз-

личных видах фрактальной размерности для случаев самоподобной кривой и самоаффинной кривой на примере обобщенной броуновской функции представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Размерности фрактальной функции [78]

Размерность	Самоподобная	Самоаффинная кривая
	кривая	Локальная	Глобальная
Хаусдорфова	1 H	2 H	---
Клеточная	1 H	2 H	1
Внутренняя	---	1 H	1
Случайного блу-	1 H	---	---
ждания
Подобия	1 H	---	---

Среди процессов с независимыми приращениями винеровский процесс занимает, как отмечалось выше, особое положение. График данного процесса непрерывен, что имеет место только при гауссовом распределении. Важно отметить, что отказ от нормального закона распределения для приращений ведет к разрывным траекториям.

1 В данном случае подразумевается, что масштаб по оси y выбран на-

столько большим, что любые детали поведения рассматриваемой функции становятся незаметными.

260

§13. Функция Вейерштрасса – Мандельброта

В качестве важного примера самоаффинной функции рассмотрим подробно фрактальную функцию Вейерштрасса – Мандельброта, определяемую следующим соотношением [78]:

			n	t
W t	1 exp ib				exp i n	.	(5.32)
		b	2 D		n
n

Здесь параметр D принимает значения 1 D 2; n – произволь-

ные фазы. Важно отметить, что функция W t непрерывна, но не

является дифференцируемой ни в одной точке. Очень часто модификации (5.32) используются при моделировании рассеяния волн фрактальными поверхностями.

Определение 5.12. Косинусной фрактальной функцией Вейерштрасса – Мандельброта называется действительная часть функции

W t :	1 cos bnt
C t ReW t			,	n : n 0 .	(5.33)
	b	2 D n
n

Данная функция подробно проанализирована в [162]. Обычно считается, что функция (5.33) фрактальна с размерностью DF D. Если иметь в виду клеточную размерность, то данная функция действительно имеет размерность D W , значение которой заключено в

пределах D Bb D W D [163]. Предполагается, что входящая в данное неравенство постоянная B достаточно велика, чтобы неравенства выполнялись и при больших b.

Значения функции Вейерштрасса – Мандельброта W t вычис-

лены в [78] при дискретных параметрах на отрезке 0,1 и при

0 t 1. При значении D 1 функция C t по существу гладкая,

при D 2 функция (5.33) сильно флуктуирует и ее график напоминает шум в электрических цепях.

Важно отметить, что косинусная функция Вейерштрасса – Мандельброта является однородной и удовлетворяет соотношению

C bt b2 D C t .

(5.34)

261

Из соотношения (5.34) следует, что если в исходном определении кривой заменить t на b4t и C t на b4 2 D C t , то получится ис-

ходная функция. В этом и проявляются так называемые скейлинговые свойства функции C t . График функции (5.33) является са-

моаффинной кривой, так как для осей, по которым откладываются значения t и C t , используются разные масштабные множители.

Функцию Вейерштрасса – Мандельброта также используют для получения случайных фрактальных кривых, выбирая случайным образом значения фазы из интервала 0,2 . Данные функции под-

робно рассматриваются в [162].

§14. Фурье-анализ фрактального броуновского движения

В данном параграфе рассматривается спектральная плотность обобщенного броуновского движения.

Пусть BH t – фрактальное броуновское движение, относящее-

ся к классу функций X t , для которых выполняются условия, не-

обходимые для существования преобразования Фурье1. Рассмотрим функцию фрактального броуновского движения, определенную следующим образом:

X t , t 0,T ;

BH t,T 0, t ,0 T, .

Преобразование Фурье функции BH t,T , имеющей ненулевое значение на конечном носителе, определяется по формуле

	T
BH ,T X t e i2 tdt.
	0

1 Вследствие важности для дальнейшего изложения преобразование Фурье и его некоторые основные свойства более подробно рассмотрены в приложении 7.

262

Средняя мощность функции X t

на отрезке 0,T

определяет-

1

T

2 dt

ся как

BH t,T

и по теореме Планшереля равна величине

T

0

1

2

BH ,T

d .

T

Определение 5.13. Спектральной плотностью мощности функ-

1

2

ции BH t,T

называется функция SB

,T

BH ,T

.

T

H

Определение 5.14. Спектральной плотностью функции BH t

1

2

называется функция SB

H

lim

BH ,T

.

T T

Одна из основных теорем, относящихся к фурье-анализу фрактального броуновского движения, говорит о степенном росте спектральной плотности как функции частоты.

Теорема 5.13. Пусть функция BH t описывает фрактальное броуновское движение с параметром H , H 0,1 и для нее суще-

ствует преобразование Фурье. Тогда для спектральной плотности справедливо SBH 1 2H 1 .

Доказательство. Полное доказательство данной теоремы использует достаточно глубокие результаты фурье-анализа. Поэтому приводимое ниже упрощенное доказательство выполнено на интуитивно понятном, качественном, уровне.

Предположим, что BH 0 0. Свойство статистического само-

подобия обобщенного броуновского движения приводит к следующему равенству r 0: BH t BH rt rH . Зафиксируем r 0

H

H

B

rt

r

, t 0,T

;

и определим Y t,T

Выполняя замену

0, t ,0 T , .

переменных t s r

в преобразовании Фурье для Y t,T , получаем

T

i2 t

1

rT

ds

Y

,T Y t,T e

dt

BH

s exp

i2

s

,

что при-

r

H

r

0

0

r

263

1

водит

к

соотношению

Y ,T

X

,rT

.

Отсюда, спек-

r

H 1

r

тральная плотность мощности функции Y t,T

равна SY ,T

1

1

2

BH

,rT

.

Переходя в данном выражении к пределу

r

2H 1

rT

r

при T ,

можно получить спектральную плотность Y t,T :

SY SX r

r2H 1 .

Вследствие определения функции

BH t ,

статистического

самоподобия

функций

BH t

и

Y t,T

спек-

тральные плотности SBH

и

SY

должны совпадать и,

следо-

вательно,

выполнено

SBH SBH

r

r2H 1 .

Если формально

положить r ,

то SBH

SBH 1

2H 1 . Теорема доказана. ▲

§15. Спектр обобщенного броуновского движения

В данном параграфе приведены некоторые сведения о концепциях спектральных представлений обобщенного броуновского движения BH t , опирающиеся на результаты [164]. Для этого оп-

ределим обобщенный броуновский процесс [128, 129], основываясь на формуле (5.22) в следующем виде:

	BH t
		1	0
				t s	H 1 2
		H 1 2

t

s H 12 dB s t s H 12

0

(5.35) dB s .

Учитывая свойства самоподобия и стационарности малых приращений (инкрементов) можно получить:

d

BH t a BH t aH BH .

Задача нахождения спектра обобщенного броуновского движения не может быть решена напрямую с использованием стандартной спектральной плотности мощности. Поэтому необходимо ввести зависящий от времени спектр с помощью частотно-временного анализа. Для этого в [164] рассматривается спектр Винера – Вилля,

264

который для нестационарного процесса t с функцией ковариа-

ции r t,s задается следующим выражением:

G t, r t	2,t	2 exp i d .	(5.36)

Величина (5.36) не обязательно является положительной и обладает многочисленными важными свойствами. Данная величина обобщает концепцию спектра, предложенную для стационарного слу-

чая, и сводится к ней, когда рассматриваемый процесс

t

ста-

ционарен. Учитывая, что

rBH t, s BH t BH s *

1 2H

cos H

t

2H

s

2H

t s

2H ,

2

H

и используя (5.36), можно получить

1

GBH t, 1 21 2H cos 2 t

.

(5.37)

2H 1

Способом, похожим на тот, который использовался для нахождения белого гауссова шума как производной от классического броуновского движения, можно определить парциальный гауссов шум как производную от обобщенного броуновского процесса. Можно

2

1

2G t,

показать [161], что G

'

t,

G

t,

. Тогда

4

t2

GB' t, 1

2 H 1 .

(5.38)

H

Важно отметить, что величина (5.36) не зависит от времени, что говорит о стационарности рассматриваемого процесса, который является результатом стационарности приращений обобщенного броуновского движения. Стационарность приращений также может быть подтверждена на основе рассмотрения спектра Винера – Вилля. Если положить H ,T t BH t T BH t , то из (5.36) следует справедливость следующего соотношения:

G H ,T t, 4sin	2	T					1		.	(5.39)
		2						2H 1

Выражение (5.39) соответствует спектральной плотности мощности стационарного процесса. Значение производной имеет сле-

265

дующий вид: B'

t

lim

1

t

и с учетом (5.38) приводится

H ,

H

0

к выражению limG1

t,

1

, которое в точности совпада-

2H 1

0

H ,

ет с (5.38), соответствующее парциальному гауссову шуму [78]. Усредненный спектр находится из (5.36) в виде

1 T

S ,T T 0 G t, dt.

Тогда из формулы (5.37) можно получить следующее выражение:

			1 2 H	sin 2 t				1
S		,T 1 2							.
	BH			2 t				2H 1

Благодаря свойствам самоподобия к обобщенному броуновскому движению можно применить вейвлет-преобразование, которое для процесса t имеет вид

	1					s t
	T t,					s g		ds,	(5.40)

где 0, g t – произвольный локализованный вейвлет. При за-

данном базовом вейвлете g t уравнение (5.40) позволяет провес-

ти анализ сигнала в большом диапазоне масштабов. Таким образом, в [164] предложено два подхода к исследованию обобщенного броуновского движения.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение и укажите основные свойства одномерного классического броуновского движения.

2.Дайте определение и укажите основные свойства одномерного обобщенного (фрактального) броуновского движения.

3.В чем заключается принципиальное отличие обобщенного и классического броуновского движения?

4.Приведите определение самоаффинного и статистически самоаффинного множества.

266

5. Дайте определение мультифрактала и приведите формулу для вычисления размерностей Реньи.

6. Приведите выражение для спектра обобщенного броуновского движения.

Рекомендуемая литература

5.11. Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. Berlin, Heidelberg: Springler-Verlag, 1999.

5.2.Nelson E. Dynamical theories of Brownian motion. Princeton University Press, 2001.

1 Данная книга будет полезна для более углубленного изучения броуновского движения, а также для специалистов в данной области.

267