Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

ратный учет нормировки соответствующих корреляционных функ-

ций [248 – 252].

Как правило, корреляционная функция изучается в зависимости от следующих переменных, смысл которых явно следует из их определения:

K k1 k2 ; q k1 k2. 2

При рассмотрении релятивистского случая для определения корреляционной функции в обрасти фемтоскопии удобным оказывается формализма функции Вигнера.

2.2. Формализм функции Вигнера

В рамках данного подхода эмиссия частиц характеризуется функцией источника или, другими словами, функцией эмиссии S x,k . В нерелятивистском пределе эта функция соответствует

производной по времени от функции Вигнера, которая, в свою очередь, непосредственно является квантово-механической аналогией для классического распределения в фазовом пространстве, и эта же функция S x,k может также рассматриваться как релятивистская,

ковариантная форма функции Вигнера. Часто в литературе S x,k

называется также эффективной одночастичной вигнеровской плотностью (источника)1.

Наиболее прямая связь между измеренными двухчастичными корреляциями в импульсном пространстве и распределением источника в координатном пространстве может быть установлена, в случае если частицы испускаются независимо (приближение полностью хаотического источника) и свободно распространяются от источника к детектору [250, 251, 253 – 259]. Тогда инвариантное распределение по импульсу и двухчастичная корреляционная функция могут быть выражены в формализме функции Вигнера следующим образом:

1 Определенная таким образом плотность является действительной, но не всегда положительно определенной величиной.

358

E

d

E

dN

d 4 xS x,k ,

3

3

d k

d k

C2 q, K 1

d 4 x S x, K exp iqx

2

,

q

d

4

d

4

q

x1

S x1, K

x2

S x2

,K

2

2

где в формуле для корреляционной функции верхний знак соответствует бозонам, нижний – фермионам.

Функция источника S x,K , при условии положительной опре-

деленности, может рассматриваться как вероятность того, что частица с импульсом K испущена из пространственно-временной точки x в области столкновения. Важно отметить, что различные

источники приведенного выше соотношения для C2 q, K дают

различные микроскопические интерпретации функции Вигнера [260]. Отличия в интерпретациях могут становиться концептуально важными для источников с большой плотностью в фазовом пространстве [252]. До ввода в строй LHC и начала тяжелоионной программы исследований даже в столкновениях тяжелых ядер при высоких энергиях достигнутые фазово-пространственные плотности при «застывании» являются достаточно низкими, что позволяет пренебрегать отличиями в интерпретациях S x, K [261, 262].

	q,K d 4 x exp iqx S x,K			, формулу для корреляци-
Вводя S
онной функции можно записать в виде
			2
	C2 k1,k2 1	S q,K		0,k1 S 0,k2
			S		.

Две измеряемые частицы, для которых вычисляется корреляци-

онная функция, находятся на массовой поверхности,						то есть для
них выполнено i 1,2 : k0	E				, где m –	масса рас-
		i		m2 k 2
i				i

сматриваемых тождественных частиц. В то же время, эволюция корреляционной функции рассматривается вне массовой поверхности, то есть q и K находятся вне массовой поверхности. Для массовой поверхности выполнено условие ортогональности qK 0.

Приведенные выше выражения для корреляционной функции трудно решаемы и не применимы непосредственно для анализа

359

экспериментальных данных, поскольку требуют a priori знания функции источника. Поэтому данные выражения требуют дальнейшего упрощения в рамках некоторых дополнительных предположений. Для этого используется приближение гладкой аппроксимации [263 – 265], то есть предполагается, что функция источника имеет гладкую зависимость от импульса и справедливо

S	x , K		q	S	x ,K		q		S x ,K S x ,K .
		1	2			2	2		1	2

Тогда приведенные выше выражения для корреляционной функции можно переписать следующим образом:

C2 q, K

	d 4 x S x,K exp iqx				2					q, K			2				(8.4)
									S						K	2
1						1								1			,
	d	4	x S x, K							0,K			2
									S
где exp iqx является функцией										K благодаря функции источ-

ника.

Важно отметить, что справедливость приближения гладкой аппроксимации была проверена для расширяющихся источников, находящихся в термодинамическом равновесии. Было обнаружено, что данное приближение очень хорошо выполняется и является вполне разумным для источников с большими пространственновременными размерами, подобными тем, которые были экспериментально наблюдены в столкновениях релятивистских тяжелых ионов при энергиях RHIC. Однако применимость приближения гладкой аппроксимации для адрон-адронных pp, pp и электрон-

позитронных столкновений является гораздо менее очевидной и представляет собой предмет для серьезных дополнительных исследований и обсуждений [266].

Выражение (8.4) допускает дальнейшее упрощение в частном случае факторизуемой функции источника:

S x,k f x g k .

(8.5)

Нормировка выбрана таким образом, что справедливо

d 4 xf x 1,

d 4kg k n .

Одночастичный спектр записывается в следующем виде:

360

N1 k d 4 xS x,k g k .

Предполагая хаотическую эмиссию частиц и справедливость приближения плоской волны, двухчастичная симметризованная для статистики Бозе – Эйнштейна волновая функция запишется как

k ,k	x1, x2	1			exp ik1x1 ik2 x2 exp ik1x2	ik2 x1	.
1	2	2

В формализме Яно – Кунина [267] двухчастичное импульсное распределение определяется следующим образом:

2	2 .
N2 k1,k2 d 4 x1d 4 x2 S xi ,ki k1 ,k2 x1, x2

i 1

Соответственно, результирующая двухчастичная корреляционная функция определяется как

C2 k1,k2 1		q	2		q d 4 x exp iqx f x .
	f		,	f		(8.6)

где нижний знак получается для фермионов при использовании, соответственно, антисимметричной ВФ для статистики Ферми – Дирака.

Образ Фурье f q плотности источника в координатном про-

странстве f x , при условии положительной определенности

функции источника, может рассматриваться в качестве характеристической функции для распределения источника (в координатном пространстве).

Соотношение (8.6) позволяет на основе экспериментальных данных получать информацию об абсолютном значении квадрата образа Фурье для функции распределения источника вторичных частиц в координатном пространстве.

Необходимо отметить, что при высоких энергиях, в силу того, что образуется много вторичных частиц, экспериментально регистрируются не все частицы и поэтому измеряется, как правило, инклюзивное сечение. В данном случае формализм ВФ неприменим и свойства симметрии тождественных частиц выражаются коммутационными соотношениями операторов рождения и уничтожения в методе вторичного квантования. Вторичное квантование посредством понятия «матрица плотности» обеспечивает глубокую связь между корреляциями и распределением по множественности. Это

361

видно из определения 8.3, носящего общий характер и применимого для инклюзивных реакций при высоких энергиях.

2.3. Проблема обратимости

Одной из основных задач корреляционного анализа является извлечение информации о пространственно-временной структуре источника, то есть о функции S x,k , на основе экспериментально

измеренной функции C2 q,K . Для этого формально необходимо

выполнить обратные преобразования.

Существенно отметить, что поскольку двухчастичная корреляционная функция определяется модулем образа Фурье распределения источника, то данная функция нечувствительна к фазе фурьепреобразования. Таким образом, указанный квадрат модуля фурьеобраза дает возможность измерить только распределение относительных координат источника, но они не чувствительны к параметрам смещения, например, к координатам центра распределения источника в пространстве-времени.

Условие ортогональности, справедливое для массовой поверхности, позволяет исключить одну из четырех компонент относительного 4-импульса пары q :

qK 0 q0 q,

где KK0 – скорость пары. Таким образом, имеются только

три независимых компоненты 4-вектора

q.

Формулу (8.4) можно

переписать следующим образом:

C2 q, K 1

d

4

2

d

4

2

x S x,K exp iq x t

x S t, x t,K exp iqx

.

d 4 x S x, K

d 4 x S x, K

Видно, что обратное преобразование Фурье данного выражения не может быть выполнено только с тремя независимыми компонентами q. Таким образом, пространственно-временная структура источника не может быть полностью восстановлена обратным преобразованием Фурье экспериментально измеренной корреляционной

362

функции. Разделение пространственной и временной структуры источника требует дополнительных модельно зависимых гипотез о функции S x,k . Для решения данной проблемы был предложен, в

частности, метод изображений, подробно описанный в [268], суть которого заключается в следующем. Вводится нормированная функция распределения по относительному расстоянию, представляющая собой свертку одночастичных функций испусканий:

d x,k

d 4 ys

y

x

, K

s

y

x

,K

, s x, K

S x, K

. (8.7)

2

2

d 4 xS x,K

Тогда, согласно [260] справедливо:
C2 q,K 1 d	4	x cos qx d x, K d	3		SK		,
				x cos qx		x

где SK x – относительная функция источника, определяемая сле-

дующим образом:

SK x dtd t, x t;K .

В системе покоя пары, то есть при 0, функция SK x пред-

ставляет собой интеграл по времени функции распределения по относительному расстоянию d t, x;K и, таким образом, времен-

ная структура источника оказывается полностью интегрируемой. С другой стороны, функция SK x для каждого значения импульса

пары K полностью реконструируется на основе экспериментально измеренной корреляционной функции с помощью обратного 3- мерного преобразования Фурье.

Детальный анализ формы двухчастичной корреляционной функции достаточно сложен, но важен потому, что данная форма несет информацию о пространственно-временной структуре процесса эмиссии частиц. Относительно недавно был предложен мо- дельно-независимый метод для анализа формы данной функции [269]. Метод основан на экспериментально оптимизированных функциях и полном наборе ортогональных полиномов, где ортогональность определяется относительно оптимизированной весовой функции. В частном случае приблизительно гауссовых корреляционных функций, метод приводит к разложению Эджуорта, и пол-

363

ным набором ортогональных полиномов являются полиномы Эрмита. В случае приблизительно экспоненциальной формы, разложение дается в терминах полиномов Лаггера. Для приблизительно сферических распределений разложение может быть выполнено по сферическим гармоникам [269].

Разложение Эджуорта и Лаггера являются очень общими методами для изучения и характеристики двухчастичной корреляционной функции. Данные методы зависят только от следующих экспериментальных условий:

1)функция корреляции имеет тенденцию к выходу на константу при больших значениях относительного импульса пары q;

2)корреляционная функция отклоняется от своей асимптотики, наблюдаемой при больших q, в некоторой определенной области

своего аргумента.

Для простоты предполагается, что область, где корреляционная функция отклоняется от своего асимптотического значения, другими словами, местоположение ее нетривиальной структуры, является область вблизи q 0, что полностью соответствует всей полученной до настоящего времени совокупности экспериментальных результатов. Данное условие подразумевает, что разложения Эджуорта и Лаггера могут быть применены ко всем видам данных, которые удовлетворяют свойствам 1) и 2), поскольку бозонные / фермионные свойства наблюдаемых частиц не используются. Такие разложения полезны, если изучают и пытаются характеризовать на количественном уровне короткодействующие корреляции в рамках единого общего подхода, и если не делается попытка связать структуру формы корреляционной функции с особенностями изучаемой пространственно-временной картины взаимодействия1.

На основе рассмотренной выше общей методики была выработана процедура для получения модельно-независимой характеристики корреляционной функции с учетом следующего дополнительного предположения:

3) двухчастичная функция корреляции связана преобразованием Фурье с пространственно-временным распределением источника,

1 Условия сходимости таких расширений подробно описаны в [269].

364

другими словами, с геометрией источника в 4-мерном пространст- ве-времени.

Последнее предположение подразумевает, что справедливость приближения плоской волны может быть гарантирована, и вклады дополнительных возможных короткодействующих корреляций вследствие, например, кулоновского или сильных взаимодействий в конечном состоянии, так же как сохранения энергии-импульса, или струйной структуры источника могут быть удалены из данных, или их величина может находиться под теоретическим и/или экспериментальным контролем.

Разложение Эджуорта было использовано для анализа экспериментальных данных с высокой статистикой, полученных в столкновениях тяжелых ионов при релятивистских энергиях в эксперименте STAR на коллайдере RHIC [270].

§3. Системы координат

Связь между параметрами, извлекаемыми в эксперименте на основе метода НВТ-интерферометрии1, и пространственно-времен- ной структурой функции источника можно установить, используя гауссову параметризацию функции источника:

					1
S x,K S x K ,K exp
						x		K B K x	K	.	(8.8)
					2

Пространственно-временные координаты x , 0, ,3 в (8.8) оп-

ределены относительно эффективного центра источника x K для бозонов (фермионов), испущенных с импульсом K :

x K x

x

K ,

x

K x

K ,

1 В литературе данные параметры для краткости часто называют HBTпараметрами размеров источника, или размерными параметрами HBT. Часто встречается название «HBT-радиусы». Однако последний термин должен использоваться с известной осторожностью, так как несмотря на то, что извлекаемые значения параметров HBT характеризуют простран- ственно-временную протяженность источника, они не являются непосредственно его радиусами.

365

где ... означает усреднение с весом, равным функции источника

S x,K :
f	K		d 4 x f x S x, K
								.
			d 4 x S x,K
Используя соотношение
	B 1		K x		x	K

означающее, что гауссова параметризация (8.8) имеет пространст- венно-временные ширины распределения такие же, как и истинная функция источника и делая подставку (8.8) в (8.4), можно получить следующую гауссову форму двухчастичной корреляционной функции в общем случае:

C2 q, K 1 exp
		q q	x		x		(8.9)
						K .

Величины x x формально представляют собой ширины га-

уссовой формы (8.9), то есть пространственно-временные дисперсии, характеризующие геометрию источника частиц при данном значении K. Учитывая определения параметров, можно сказать, что уравнение (8.9) выражает ширину пика корреляционной функции в терминах ширин (дисперсий) одночастичной функции Вигнера S x,K .

Важно отметить, что дисперсии, определяемые с помощью функции источника и с помощью функции относительно расстояния (8.7), связаны соотношением

x			2				,
		x		x	x	S
		d

где нижние индексы указывают вес для усреднения. Таким образом, можно записать также общую гауссову форму корреляционной функции в следующем виде:

			1
C2	q,K 1 exp				q q x	x		d	K .	(8.10)
			2

Видно, что параметры дисперсии гауссовой формы (8.9) непосредственно связаны с ширинами одночастичной функции испускания, в то время как форма (8.10) связывает дисперсии с ширинами функции распределения по относительному расстоянию, или отно-

366

сительной функции источника SK x . Ниже, если специально не

оговорено, используется форма (8.9).

Так как корреляционная функция зависит от относительных расстояний x по отношению к центру источника, то нельзя получить никакой информации о положении x K центров эмиссии,

что полностью совпадает с выводом, полученном при рассмотрении проблемы обратимости.

Пусть C2 k1,k2 определена на эксперименте и удовлетворяет

условиям 1) - 3). Относительный импульс может быть разложен на некоторые компоненты наиболее оптимальным с точки зрения эксперимента способом в одном, двух или трех измерениях. Например, экспериментальные данные представляются в одном измерении в зависимости от разности инвариантных импульсов частиц

2

пары QI q k1 k2 , или как функция различных компо-

нентов относительного импульса, например, для 3-мерного разло-

жения q ,q

,q

,k

k

,

k

k

2

E E

2 z

2i

, где ось z со-

0

z

t

1 2

1z

1i

i x, y

ответствует оси столкновения.

Для экспериментальных данных по двухчастичным корреляциям обычно используется декартова параметризация общей гауссовой формы (8.9) в терминах НВТ размерных параметров Rij K и

параметра , описывающего степень хаотичности источника [271]:

			3	2			(8.11)
C2 q,K 1	K	exp	Rij		K qi qj .
			i, j 1
В данном случае индексы i	и	j пробегают по трем из четырех
компонент q. Четвертая компонента q				зафиксирована требовани-

ем того, чтобы частицы в конечном состоянии находились на массовой поверхности, то есть условием ортогональности. Поэтому в данном случае корреляционная функция и параметры в правой части (8.11) зависят от трехмерных векторов. Разный выбор трех неза-

висимых компонент q q0 ,q соответствует различным формам

гауссовой параметризации.

367