Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

ного в 1963 г. Гигантские рефлекторы обсерватории Найроби, имеющие параболические поверхности диаметром 7,3 м с фокусной длиной 12 м (рис. 8.2), были установлены на тележках, перемещавшихся по окружной железной дороге, диаметр которой был 206 м. Каждое зеркало сосредотачивало свет от звезды на фотоумножитель, расположенный в фокусе. Существенным компонентом экспериментальной установки был так называемый коррелятор, то есть радиосхема, которая получала сигналы от обоих зеркал и выполняла их сложение. Ханбери-Браун Р. описал это так: «они

... собирают свет в ковш как дождь ...».

а) б)

Рис. 8.1. Фотография с воздуха (а) и схема аппаратуры (б) дляизмерения углового диаметра Сириуса [237].

Рис. 8.2. Рефлекторы в астрономической обсерватории Найроби, используемые в эксперименте Ханбори-Брауна и Твисса [237]

348

Таким образом, первоначально метод корреляций был использован для определения угловых диаметров звезд главной последовательности [238, 239]. Авторы назвали данный метод «интерферометрия интенсивности».

В течение последних 50 лет изучение корреляций интенсивности превратилось в обширную область исследований с заметными достижениями не только в квантовой оптике, физике твердого тела и астрономии, но и в физике высоких энергий и релятивистской ядерной физике [240 – 243].

Начало применению метода интерферометрии в физике фундаментальных взаимодействий было положено в 1959 г., когда Дж. Голдхабер, С. Голдхабер, В.-Е. Ли и А. Пайс выполнили эксперимент в лаборатории Беркли (США), цель которого состояла в открытии 0 -резонанса [244]. В эксперименте изучались pp - столкновения при импульсе пучка 1,05 ГэВ/c. Авторы пытались обнаружить резонанс при изучении предполагаемого канала распада 0 , измеряя массовое распределение для пар пионов с

различным зарядом и сравнивая его с распределением для пар одинаково заряженных пионов . Впоследствии при анализе экспериментальных данных выяснилось, что набранной статистики было недостаточно для обнаружения 0 -мезона. Однако была обнаружена неожиданная угловая корреляция для пар тождественных пионов. Позже, в 1960 г., авторы успешно воспроизвели эмпирическое угловое распределение, используя симметризованные волновые функции для пар тождественных частиц. Сделав это, Дж. Голдхабер, С. Голдхабер, В.-Е. Ли и А. Пайс заключили, что обнаруженный эффект был проявлением статистики Бозе – Эйнштейна, которой подчиняются пары тождественных заряженных пионов. Они не знали об эксперименте Ханбери-Брауна и Твисса в астрономии. Таким образом, в столкновениях частиц при высокой энергии был обнаружен, достаточно случайно, аналог эффекта, наблюдаемого в астрономии и используемого для определения некоторых геометрических характеристик (размера) источника излучения. В физике высоких энергий данный метод получил название

349

HBT-интерферометрии1. Физической основой нового метода корреляционного анализа является тот факт, что тождественные частицы, располагающиеся близко в фазовом пространстве, испытывают квантовые статистические эффекты, возникающие благодаря (анти)симметризации многочастичной волновой функции. Поэтому для бозонов / фермионов скорость двухчастичных совпадений демонстрирует рост / уменьшение для близких в фазовом пространстве пар частиц, то есть для пар частиц с малыми относительными импульсами. Важно отметить, что диапазон относительных импульсов, в котором наблюдается данное превышение / уменьшение, может быть связан в силу соотношения неопределенности с линейными размерами источника частиц в обычном координатном пространстве.

В 1972 г. Г.И. Копылов и М.И. Подгорецкий предложили использовать особенности поведения корреляционной функции при малых разностях импульсов частиц пары для изучения размеров и формы области взаимодействия2. Они рассматривали влияние на поведение корреляционной функции как эффекта Бозе для пар тождественных заряженных пионов, так и принципа Паули для пар протонов. В 1977 г. С.Е. Кунин учел влияние сильного и электромагнитного взаимодействия в конечном состоянии и рассчитал соответствующие разным расстояниям корреляционные функции для пар протонов, вылетающих из ядер. В 1982 г. эти нетривиальные, зависящие от деталей взаимодействий, расчеты были повторены Р. Ледницки и В.Л. Любошицем. В учете взаимодействий в конечном состоянии у С.Е. Кунина были предшественники. А.Б. Мигдал и К.М. Ватсон еще в 50-х годах, рассматривая механизм образования дейтонов, вылетающих из ядер, предложили модель слияния в дейтон протона и нейтрона на границе ядра. Эта гипотеза не только описывает ряд экспериментально найденных закономерностей об-

1Обнаруженный Дж. Голдхабером, С. Голдхабером, В.-Е. Ли и А. Пайсом эффект также часто упоминается в литературе как HBT-, или GGLPэффект, или интерферометрия интенсивности, или просто как бозеэйнштейновкие (BE) корреляции.

2Поэтому в литературе для метода исследования геометрии источника частиц на основе поведения двухчастичной корреляционной функции можно встретить термин «метод Копылова – Подгорецкого».

350

разования дейтонов, но и позволяет по величине коэффициента слияния найти также размеры области, из которой вылетели протон

инейтрон. Это соотношение было найдено в 1981 г. японскими физиками Х. Сато и К. Язаки. Оно дает в соответствующих условиях размеры области реакции в согласии с данными о поведении корреляционной функции [245].

Экспериментальные исследования в этой области начались с работ, посвященных наблюдению эффекта интерференции пионов

иизмерению размеров протона. Затем в число исследуемых объектов попали ядра, размеры области взаимодействия в которых были исследованы по парам нейтронов, и даже по парам дейтонов и pd -

парам.

В настоящее время растет число исследований корреляционной функции как в p -, pp -, pA -, eA -реакциях, так и в процессах аннигиляции и AA -взаимодействиях. В последние годы интерес к изучению корреляционных функций в ядерных реакциях значительно усилен благодаря поискам нового экзотического состояния сильновзаимодействующей материи – КГП, которое может образовываться в экстремальных условиях высокой температуры и плотности ядерного вещества.

Необходимо отметить, что как в астрономии, так и в физике элементарных частиц при открытии метода HBT-интерферомет- рии рассматривались тождественные частицы. Поэтому данное название справедливо только при рассмотрении пар тождественных частиц, корреляции которых обусловлены проявлением статистик Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака. Однако в последние годы интенсивно развиваются исследования корреляций пар нетождественных частиц, позволяющие получить дополнительную важную информацию о структуре и геометрии источника испускания. Определяемые размерные параметры источника в физике фундаментальных взаимодействий имеют значения порядка одного ферми.

Под фемтоскопией, в общем случае, понимают область науки об измерении объектов с размерами порядка 1 фм. Термин «фемтоскопия» есть точная копия более широко известного термина «микроскопия», под которым подразумевается наука о способах измерения и изучения объектов микронных размеров. Однако в

351

физике фундаментальных взаимодействий под «фемтоскопией», как правило, подразумевается следующее.

Определение 8.1. Направление корреляционного анализа в физике фундаментальных взаимодействий, изучающее корреляции пар частиц (как тождественных, так и нетождественных) с малыми относительными импульсами и / или скоростями, называется фемтоскопией.

Важно отметить, что данное, более конкретное и развернутое, определение полностью совпадает с общим случаем, поскольку в настоящее время, по крайне мере, только двухчастичные корреляции являются единственным экспериментальным методом для определения пространственно-временной протяженности источника эмиссии в физике частиц и атомного ядра.

Ниже основное внимание будет уделено корреляциям тождественных частиц, то есть именно методу HBT-интерферометрии.

1.2. Принципы метода HBT

Как было указано выше, при изучении некоторого источника излучения, характеризуемого конечной пространственно-временной протяженностью, в настоящее время в физике вообще и в физике фундаментальных взаимодействий, в частности, широко используется приближение точечных источников. На рис. 8.3 представлена общая схема эксперимента по интерферометрии (рис. 8.3,а), а также схемы, характерные для астрономических наблюдений (рис. 8.3,б) и для исследований в физике элементарных частиц и атомного ядра (рис. 8.3,в). Рассмотрим два точечных источника a и b, располо-

женные на расстоянии R друг от друга, испускающие некоторые тождественные частицы (фотоны, пионы, протоны и так далее) с

одинаковой энергией Ep m2 p2 , которые, после прохождения расстояния L, регистрируются детектирующими элементами 1 и 2,

расположенными друг от друга на расстояние d (рис. 8.3,а). При

этом расстояние L должно быть много больше, чем R и d. Данное условие может считаться выполненным как в астрономии, так и в физике микромира.

Важно отметить, что вследствие неразличимости рассматривае-

352

мых частиц существуют два возможных пути их попадания на данный детектирующий элемент, изображенные двумя сплошными линиями. Таким образом, результирующий сигнал в детекторе представляет собой суперпозицию сигналов от тождественных частиц, испущенных каждым из точечных источников и прошедших различные расстояния до данного детектирующего элемента.

Рис. 8.3. Схематическое изображение эксперимента по интерференции в общем случае (а). Экспериментальные схемы, применяемые в астрономии (б) и в физике фундаментальных взаимодействий (в) [242]

Амплитуда результирующего сигнала в детекторе

j j 1,2

оп-

ределяется следующим образом:

1

exp

Aj

i prja

a exp i prjb b

,

L

где , a

и , b

– амплитуды и фазы волн, описывающих ис-

пущенные частицы,

в пространственных точках a и

b соответст-

венно,

rja

и rjb – расстояния

от данных точечных источников до

детектора j. Интенсивность результирующего сигнала равна:

2

1

2

2

I j

Aj

2

2 Re exp i

p rjb rja b a

.

L

Второе слагаемое в данной формуле, содержащее информацию о расстоянии R между точками эмиссии частиц a и b, то есть о про-

353

странственном распределении протяженного источника. Данное слагаемое пропадает после усреднения сигнала по времени:

j 1,2 : I j 2 2 L2 .

Отсюда видно, что произведение средних по времени интенсивностей результирующих сигналов в двух детекторах I1 I2 не зави-

сит от пространственных параметров эксперимента R и d. Однако для усредненного по времени произведения интенсивностей результат получается другой:

	I1I2 I1	I2		2				2				2 cos p r1a r2a r1b r2b .
				4
				L

Определение 8.2. Двухчастичной корреляционной функцией в рамках метода интерферометрии интенсивностей (HBT-метода) называется отношение среднего по времени произведения интенсивностей к произведению средних по времени интенсивностей:

		I	I			2								2								2
C2 R,d		1		2	1																			cos p r1a r2a r1b r2b . (8.1)
																				2			2
		I1		I2						2

Для асимптотического случая L R,d пространственный множитель аргумента второго, осциллирующего слагаемого, имеет следующий вид:

			dR
	r1a r2a r1b r2b			cos d, R cos d ,L cos R,L .
		L R,d	L
	Данное выражение симметрично относительно R и d.					Однако дан-

ная симметрия исчезает в двух важных с практической точки зрения предельных случаях.

1. В астрономии, вследствие того, что точечные источники a и b являются частью поверхности звезды или объектов, характеризуемых даже более значительными линейными масштабами, величина R сопоставима с диаметром звезды. Детекторы расположены на поверхности Земли, то есть величина d имеет порядок метров или километров. Поэтому в астрономии реализуется следующее условие: R d. В данном случае (см. рис. 8.3,б) косинус в (8.1) пре-

вращается в cos d pa pb , где pa,b pea,b и единичные векторы ea,b направлены от детекторов к точкам излучения a и b. Для оп-

354

ределения углового размера объекта экспериментально варьируется параметр d и искомая величина pa pb .

2. В физике ядра и элементарных частиц реализуется другой предельный случай (см. рис. 8.3,в): линейные размеры всего протяженного источника намного меньше расстояния, разделяющего детекторы: R d. Тогда косинус в (8.1) может быть записан в следую-

щем виде: cos R p1 p2 . В данном случае главная эксперимен-

тальная переменная – разность импульсов p1 p2 .

Как было указано выше, в действительности источник эмиссии вторичных частиц, особенно в столкновениях атомных ядер, характеризуется некоторым пространственным (и временным) распреде-

лением точек эмиссии с плотностью R . Для случая R d по-

сле усреднения (8.1) по распределению относительных расстояний между точками испускания, измеряемая экспериментально корреляционная функция будет иметь следующий вид:

C2 p1 p2 1 d 3R R cos R p1 p2 .

Таким образом, измеряя корреляционную функцию и выполняя обратное преобразование Фурье, можно получить информацию о геометрической структуре (линейные размеры, пространственное распределение) источника вторичных частиц. Важно отметить, что данное выражение справедливо только в случае статичных источников, что соответствует простейшему приближению. В случае столкновения тяжелых ядер, особенно при релятивистских энергиях, источник эмиссии испытывает существенное изменение геометрии за малый промежуток времени, то есть является быстро эволюционирующим. Как результат, двухчастичные корреляции, измеряемые в столкновениях тяжелых ионов, с одной стороны, несут более разнообразную информацию о структуре источника, с другой

– интерпретация результатов фемтоскопии становится более сложной и менее однозначной.

§2. Метод HBT в физике микромира

Ниже рассматриваются корреляции тождественных частиц. Наряду с общими подходами, основное внимание уделяется двухчас-

355

тичной корреляционной функции для столкновений тяжелых ионов при высоких энергиях. При рассмотрении корреляций, для исключения путаницы с обозначениями теории вероятностей, будут использоваться следующие обозначения для 4-вектора координаты и

импульса, соответственно: x t, x

и импульса k E,k . Ис-

пользование именно 4-векторов позволит обобщить большинство результатов для релятивистской области. Важно отметить, что при изучении физики микромира используются не интенсивности, а сечения и различные распределения (спектры) вторичных частиц.

2.1. Определение корреляционной функции

Важно отметить, что в различных источниках даются разные определения корреляционной функции в области фемтоскопии. Следуя изложенному выше общему формализму построения корреляционных функций в многочастичных процессах, можно дать следующее определение.

Определение 8.3. В физике фундаментальных взаимодействий двухчастичная корреляционная функция в области фемтоскопии определяется как отношение двухчастичной инклюзивной плотности распределения (сечения) к произведению одночастичных инклюзивных плотностей (сечений):

C		k ,k			p2i k1,k2
					p1i k1 p1i k2
	2	1	2							(8.2)
							d 2 k1,k2
					1
											,
					in
							d dk1 d dk2

где k1 и k2 – 4-векторы импульсов частиц пары, in – полное сечение неупругого взаимодействия налетающей частицы. В (8.2) была учтена приведенная выше взаимосвязь инклюзивных плотностей pni xn и дифференциальных сечений. Важно отметить, что в рам-

ках данного определения во втором равенстве естественным образом возникает нормировочный множитель, обеспечивающий безразмерность корреляционной функции. Учитывая (7.9), справедлива следующая взаимосвязь корреляционной функции в области

356

фемтоскопии и нормированной кумулянтной корреляционной функцией: K2 k1,k2 C2 k1,k2 1.

В трехмерном случае корреляционная функция часто определяется как отношение соответствующих импульсных распределений,

поскольку d n const d n N, где d n N – число отсчетов в канале гистограммы, const – постоянная соответствующей размерности. Учитывая безразмерность величин d n N, корреляционная функция может быть определена следующим образом.

Определение 8.4. В физике фундаментальных взаимодействий двухчастичная корреляционная функция в области фемтоскопии определяется как отношение инвариантного двухчастичного импульсного распределения к произведению одночастичных импульсных распределений:

d 6 N

k1,k2

dk1dk2

C

k ,k

.

(8.3)

2

1

2

dN 3 k1

dk1 dN 3 k2

dk2

Поскольку C2 k1,k2 представляет собой отношение инвариант-

ных распределений по импульсу, то данная корреляционная функция также является инвариантной наблюдаемой. Данное свойство может быть подчеркнуто использованием соответствующего обозначения C2 k1,k2 и в определении (8.3). В данном определении одно- и двухчастичные сечения нормированы на среднее число частиц n и на среднее число пар частиц рассматриваемого типа

n n 1 в событии соответственно. Видно, что определения (8.2)

и (8.3) совпадают с точностью до постоянного множителя. Различные нормировки, используемые для двухчастичной корреляционной функции, подробно описаны в [246, 247]. Без уменьшения общности и для простоты рассмотрения ниже предполагается, что при больших относительных импульсах корреляционная функция стремится к единице. Таким образом, влиянием дальнодействующих корреляций и различием нормировочных коэффициентов в (8.2) и (8.3) можно пренебречь. Однако нормировка играет более существенную роль при изучении эффектов симметрии в многочастичных корреляциях и в таких случаях требуется более акку-

357