§5. Функция Фокса и процессы во фрактальных средах
Применение аппарата функции Фокса [165, 200 – 202] при рассмотрении процессов релаксации и диффузии в средах с фрактальной размерностью, характеризуемых уравнениями типа уравнения диффузии с производными дробных порядков по пространственным координатам и времени, ниже продемонстрировано на основе результатов [203 – 205]. Для потока частиц j в случае фрактальной среды, в отличие от стандартного уравнения диффузии (6.6), когда справедливо j t и j 2 x2 , вследствие самоподобия на-
рушается локальность указанных связей. Величина потока начинает зависеть от предыстории процесса, то есть от значений концентраций частиц в более ранние, по отношению к рассматриваемому, моменты времени:
|
|
|
t |
|
|
|
j t |
|
x, K t, d . |
(6.15) |
|
t |
|
|
0 |
|
|
Таким образом, процессы диффузии и релаксации становятся недебаевскими.
В (6.15) ядро K t, включает фрактальную размерность DF
рассматриваемой среды и в стационарном режиме зависит от разности аргументов. Одновременно, K t, при замене фрактальной
среды на обычную должно удовлетворять стандартному уравнению диффузии. Для стационарного режима простейшим вариантом ядра, удовлетворяющего указанным условиям, является степенная
функция K t t DF с показателем, зависящим от фрак-
тальной размерности пространства диффузии DF . В данном случае правая часть (6.15) совпадает по структуре с определением дробной производной Римана – Лиувилля (2.26) порядка 0 1, то есть
справедливо j x,t x,t |
t . Одновременно, вследствие |
сложности и запутанности траекторий движения частиц, производная по пространственной координате (градиент) становится фрактальной и j x,t 2 x,t x2 . Уравнения недебаевской диф-
фузии и релаксации примут, соответственно, следующий вид [189 – 192, 203 – 205]: