Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

Глава 6

ТРАНСПОРТНЫЕ ПРОЦЕССЫ ВО ФРАКТАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§1. Устойчивые распределения

В физике, так же как и в теории вероятностей, одной из важных проблем является нахождение распределения вероятности суммы большого количества случайных переменных, поскольку такие распределения часто реализуются в природе. Предположение о «гауссовости» исследуемых процессов базируется на центральной предельной теореме1 (ЦПТ) при конечной дисперсии случайных слагаемых. В этом случае сумма большого количества переменных, имеющих конечные математические ожидания (средние) и дисперсии, следует нормальному распределению, которое, в свою очередь, является частным случаем предельных распределений. В противоположном случае (отсутствие конечных дисперсий рассматриваемых переменных) результирующий процесс может и не быть гауссовым. Общий класс распределений сумм большого числа независимых случайных слагаемых при условии его самоподобия – это устойчивые (по Леви) распределения [165]. Устойчивые рас-

пределения s представляют собой точно такие же предельные

распределения, но которые могут возникать согласно обобщенным центральным предельным теоремам (оЦПТ). Их исследование было начато в 20-х годах прошлого века математиком П. Леви, который ввел термин «устойчивое распределение» применительно к распределениям, которые в настоящее время называются строго устойчивыми (см. ниже).

Относительно недавняя работа [166] содержит подробное описание применений устойчивых распределений в вероятностных моделях, коррелированных системах и фракталах, аномальной диффузии и хаосе, физике, радиофизике, астрофизике, стохастических

1 См. приложение 3.

268

алгоритмах, финансовых приложениях, биологии и геологии. Устойчивые распределения обеспечивают решения определенных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с операторами дробных порядков, и широта применений данных распределений предполагает, что их можно рассматривать как класс специальных функций [166 – 169]. Вследствие важности данного типа распределений для приложений в физике фундаментальных взаимодействий, в частности, в фемтоскопии [170], ниже рассматривается подробно одномерный случай.

1.1. Определение устойчивого распределения

Определение 6.1. Функция распределения F x случайной величины называется устойчивой, если для любых действитель-

ных чисел ai 0,bi , i 1,2 найдется пара чисел a 0 и b такие, что имеет место следующее равенство:

F a1x b1 F a1x b1 F ax b ,

(6.1)

где « » – операция свертки [171].

Если же для данного функционального уравнения можно подобрать пару чисел так, чтобы a 0,b 0, то распределение называет-

ся строго устойчивым, при этом выполняется a1 a2 a , где 0 2 – некоторое число, называемое показателем устойчивого распределения.

Важная роль устойчивых распределений связана со следующим результатом.

k	k 1		– последовательность независимых
Теорема 6.1. Пусть	n
					n n 1
одинаково распределенных случайных величин и						последо-
вательность случайных величин, определяемых как
		1		n
n				k An ,		(6.2)
		B
		n k 1

где Bn 0 и An – некоторые нормирующие и центрирующие кон-

станты соответственно. Если F n x – функция распределения слу-

чайной величины n , то предельной функцией распределения для

269

последовательности Fn x n 1 при n может быть лишь ус-

тойчивая функция распределения, то есть устойчивое распределение s . Верно и обратное, для любой устойчивой функции распределения F x существует последовательность случайных ве-

личин вида (6.2) такая, что последовательность Fn x		функций
	n 1
распределения для этих случайных величин сходится к		F x при
n .

Отсюда, в частности, следует, что устойчивые распределения безгранично делимы.

Таким образом, устойчивое распределение является представителем класса G возможных предельных распределений для нормированных сумм (6.2), образованных последовательностями незави-

симых и одинаково распределенных случайных величин k nk 1 и

некоторых постоянных An и Bn 0. Класс G содержит подкласс N строго устойчивых распределений, выделяемый дополнительным условием n : An 0 для сумм (6.2). Можно сказать, что класс G и подкласс N представляют собой множества распределений, для которых функции распределений являются решениями функционального уравнения (6.1) при соответствующих ограничениях для параметров.

1.2. Характеристические функции

За	немногими исключениями ни функции распределения
F s x ,	ни плотности ps x устойчивых распределений не имеют

явных выражений в элементарных функциях. Поэтому устойчивые распределения, как правило, задаются в терминах их характеристических функций.

В общем случае, если	f s t характеристическая функция ус-
тойчивого распределения,	то ai 0, i 1,2 найдутся b и a 0
такие, что выполнено

f s ta1 f s ta2 f s ta exp itb .

270

Теорема 6.2. Для того чтобы функция распределения F x

случайной величины была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм ее характеристической функции имел следую-

щий вид:

t i t

A 1 i sign t

t,

,

ln f s

t

(6.3)

A

A

A

A

A

A

где

tg A 2 , A 1,

A t, A

t

,

A 1.

2ln

Здесь A, A, A , A

– постоянные, причем 0 A 2,

A

1, A 0

и A R.

Характеристические функции одномерных устойчивых распределений могут быть определены, используя различные схемы. Указанная выше формула (6.3) соответствует параметризации A . В

ряде случаев более удобной с аналитической точки зрения оказывается другая система параметризации характеристической функции устойчивого распределения, обозначаемая ниже как параметризация B . При данной параметризации справедливо

ln f sB

t i Bt B

t

B B t, B , B ,

(6.4)

где

B

exp

i

K B sign t

, B 1,

B t, B , B

2

i B ln

t

sign t ,

B 1.

2

Здесь K B B 1 sign B 1

и параметры имеют ту же об-

ласть значений, что и для параметризации A .

Таким образом, в общем случае одномерные устойчивые распределения характеризуются четырьмя параметрами: индексом стабильности (Леви) или характеристическим показателем 0 2, параметром асимметрии 1 1, параметром масштаба 0, и

параметром положения . Как правило параметр мас-

271

штаба является положительным 0 , случай 0 соответству-

ет вырожденному распределению, сконцентрированному вблизи точки x . Индекс стабильности и параметр асимметрии определяют форму распределения.

Значения соответствующих параметров в случае различных параметризаций связаны друг с другом следующим образом:

A B ;
1: A B , A B 2, A 2 B ;
					B			B
1: A ctg		tg , A				, A			,		B K .
				cos			cos			2
	2
Видно, что в случае 1			при 0 обе параметризации совпа-

дают.

Важно отметить, что все устойчивые распределения с характеристическим показателем 0 непрерывны, и их плотности в каждой точке имеют производные всех порядков.

Ниже, если специально не оговорено, без уменьшения общности рассмотрения используется параметризация A . Используя обо-

значения и соглашения, аналогичные принятым в [168], данный

выбор соответствует соглашению S , , , ; A S
		, , , ;1 .

Выбор данной параметризации обусловлен также тем, что это приводит, в частности, к естественному обобщению параметризаций данных, используемых ранее при исследовании корреляций Бозе – Эйнштейна в физике высоких энергий.

Учитывая обозначения [169], для параметризации B можно получить соответствие S , , , ;B S , , , ;0 .

Устойчивое распределение s N тогда и только тогда, когда для любой системы параметризации выполнена совокупность условий 1, 0 или 1, 0 . Устойчивые распределения

класса N, то есть строго устойчивые распределения ss , образуют трехпараметрическое семейство. Для данного класса распределений существует своя аналитически оправданная система параметризации характеристической функции. Именно,

272

C

ln f

C t C

t

exp

i

C sign t

,

2

где 0 C 2, C 0,

min 1, 2 C

C . Данная параметри-

зация условно может быть названа параметризацией C . Пара-

метры , , для данной параметризации связаны с параметрами

параметризации B следующими равенствами:

C B ;

2

2

B

2

1:

arctg

, C

B

B2 ;

4

1:

K

,

.

B

C

B

1.3. Плотность устойчивого распределения

Если выполнены необходимые условия теоремы П3.2, соответствующая плотность вероятности устойчивого распределения в общем случае определяется как

ps x

1

f s t dt.

e itx

2

ps x; , , , при

Для плотности устойчивого распределения

0 справедливы следующие соотношения:

1 ps

x

; , ,1,0

,

1,

p

s

x; , , ,

s

x

2

1

p

ln ;1, ,1,0

, 1.

Следовательно, не уменьшая общности, для любой параметризации, устойчивое распределение можно стандартизовать, то есть получить 1 и 0. Для плотности стандартного устойчивого распределения используется следующее обозначение:

ps x; , ps x; , ,1,0 .

273

Основные аналитические свойства стандартных устойчивых распределений [172]:

1) x, , : ps x; , ps x; , ;

2) если x 0 и 1, то ps x; ,1 ps x; , 1 , во всех ос-

тальных случаях ps x; , 0;

3) каждая плотность ps x; , является одновершинной функ-

цией;		ps x 1 ; , при 1
4) функции ps x; ,	при 1 и
аналитически продолжаются с полуоси		x 0, представляя собой

целые функции.

Примеры плотностей стандартных устойчивых распределений для двух основных видов соглашений и при различных значениях параметра устойчивости представлены на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Плотности вероятностей стандартных устойчивых распределений для соглашений S , ;0 – (а) и S , ;1 – (б) при 0,8 и указанных значениях параметра [169]

Необходимо отметить, что строго устойчивые распределения

связаны соотношением двойственности.				С учетом	соглашения
стандартизации x, , ,				данное	соотношение
		x 1 , , ,1
имеет следующий вид: если 1 2,			то для любых допустимых

274

значений параметра

выполнено равенство: xpss x, , ,1

xpss x ,1 , * ,1 , где 1 * 1 .

Как было сказано выше, плотности устойчивых распределений, как правило, не выражаются через элементарные функции явным образом. Поэтому для работы с плотностями ps x; , полезны-

ми являются асимптотические разложения [171].

Если F s x – функция устойчивого распределения c характери-

стическим показателем для случайной величины , то сущест-

вует константа c 0 такая, что

lim x 1 F s x F s x c.

x

Если 0 1 и

x 0,

то

k 1

s

1

k 1

k

k

p

x; ,

1

sin

1

x

,

2

x k 1

k!

при 1 ряд в правой части расходится.

Если 1 2 и

x 0,

то

k 1

s

1

k

k

1 2

k

p

x; ,

1

cos

1

1

x

,

2

k

k 1

k!

при 1 ряд в правой части расходится.

Если 1,

x 0, то для любого натурального N

s

2

p

x 1

;1,

1

N

x k

t

k

2

k

N 2

Im

dte

t

i 1

ln t O x

.

x k 0

k!

0

1.4. Простейшие частные случаи

Для плотностей устойчивых распределений существуют явные формулы только в следующих специальных случаях [171]:

1)нормальное распределение устойчиво с 2;

2)распределение Коши устойчиво с 1;

3)вырожденное распределение устойчиво с 0;

275

4) распределение с плотностью

		exp 1 2x
p	s					, x 0
		x; ,		2 x3
						x 0
		0,

устойчиво с характеристическим показателем 12.

Для более детального рассмотрения специального случая 1, а также для наглядного знакомства с функциями плотности ста-

бильных распределений в параметризации S , , , ;1 можно рекомендовать [168]. Необходимо отметить, что для 0 физиче-

ская интерпретация - и -параметров для рассматриваемого со-

глашения не является тривиальной.

Представляется важным рассмотреть один из самых простых случаев. Математически это соответствует выбору симметричных0 устойчивых распределений. Соотношение таких распреде-

лений с гауссовым случаем являются также наиболее очевидными. Используя обозначения, принятые в [168], данный выбор соответ-

ствует S ,0, , ;1 -соглашению.

Для симметричных устойчивых распределений характеристическая функция, то есть функция распределения плотности после фу- рье-преобразования, для S ,0, , ; A -соглашения имеет простую форму:

f t exp it t ,

где областью определения функции плотности f t является чи-

словая ось.

Важная особенность устойчивых распределений состоит в том, что их характеристическая функция является неаналитической при t 0 для всех значений индекса стабильности Леви 2. Для симметричных распределений, следующее разложение по степеням t ( t – мало) отражает это неаналитическое поведение:

f t 1 it t .

276

Аналитичность данного разложения восстанавливается только при

2, что соответствует гауссовому пределу.

Вобщем случае, устойчивые распределения с 0 2 являются медленно убывающими1 и часто связываются с самоподобием механизма образования вторичных частиц. Например, как было описано в [1] в КХД, претендующей на роль теории сильных взаимодействий, струи испускаются внутри струй, испускаемых, в свою очередь, внутри струй и так далее. Данный процесс характеризуется самоподобным ветвлением и фрактальной структурой, где фрактальная размерность источника связана с аномальной размерно-

стью КХД [173 – 175].

Вмодели адронизации Лунда самоподобный процесс фрагментации струн определяет распределение первично образованных2 частиц [1, 176]. Среди данных частиц первого поколения присутствуют различные резонансы с распределением времен распада в широком диапазоне, и распад таких резонансов также может приводить к медленно убывающему (по степенному закону) «хвосту» распределения флуктуаций эффективных размеров источника [177]. Численно подобные результаты были получены в [178] при рассмотрении корреляции Бозе – Эйнштейна для источников с фрактальной, подчиняющейся степенному закону, структурой в пространстве-времени.

Ожидается возникновение фазового перехода второго рода в случае, если процесс столкновения релятивистских тяжелых ионов

входе своей пространственно-временной эволюции проходит через критическую точку кварк-глюонной плазмы, фазовый переход к адронной материи, через конечную точку границы раздела фаз, вдоль которой переход является фазовым переходом первого рода. В окрестности критической точки ожидается, что фазовый переход второго рода будет сопровождаться флуктуациями в координатном пространстве, подчиняющимся степенному закону. Распределения координат с медленно убывающими по степенному закону «хво-

1В литературе часто встречается, что при описании распределений данного типа они имеют длинные, медленно убывающие «хвосты».

2Здесь подразумеваются частицы, образованные непосредственно при фрагментации струны, а не при распаде резонансов, то есть частицы «первого поколения» [1].

277