Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

1		t		H 1 2
BH t		t t	'		dB t ' ,	(5.22)
	H 1 2
где x – гамма-функция. Согласно (5.22)					значение случайной
функции в некоторый момент времени t			зависит от всех предшест-

вующих t ' t приращений dB t ' обычного гауссова случайного

процесса B t BH 1 2 t с нулевым средним и единичной диспер-

сией.

Обозначение dB t ' представляется физически оправданным и

особенно понятным при замене интегрирования в (5.22) суммированием. Будем считать, что переменная t принимает целочисленные значения, и, соответственно, можно записать переменную интегрирования в виде t ' in, где i , , 2n, 1n,0,1n, ,tn.

Тогда приращение dB t ' исходного гауссова процесса с незави-

симыми значениями можно записать в виде i n , где i является дискретной гауссовой случайной величиной с нулевым средним и единичной дисперсией. Множитель 1n учитывает перенормировку согласно определению 4.9 инфинитезимального оператора. Тогда для дискретного случая (5.22) перепишется в виде

		1	t n
	BH t		t in H 1 2 i		n	.
		H 1 2 i
	Однако данный ряд не сходится, следовательно,			при t ' будет

расходиться и интеграл в (5.22). Поэтому более корректно и точно

случайная функция BH t	при заданном значении BH 0						опреде-
ляется следующим образом [129]:
BH t BH 0		1		t	K t t ' dB t ' ,
							(5.23)
	H 1 2
с модифицированным ядром
		H 1 2	,		0 t ' t;
t t '							(5.24)
K t t '			t ' H 1 2 ,			t ' 0.
t t ' H 1 2

248

Соотношение (5.23) является общим уравнением линейного отклика. Независимое гауссово приращение dB t ' , имеющее еди-

ничное значение в момент t ', в более поздний момент t вносит вклад в смещение фрактальной броуновской частицы BH t , опре-

деляемый функцией отклика K t t ' [139]. Изменим масштаб вре-

мени, то есть пусть t bt. Тогда

1

bt

BH bt BH 0 H 12 K bt t ' dB t '

и введена новая переменная интегрирования t ' bt . Используя формулу из свойства масштабной инвариантности, справедливого для классического броуновского движения (то есть для гауссовых

и замечая, что справед-

приращений), в виде dB t ' bt

bdB t

ливо

K bt t ' K bt bt bH 1

2K t t ,

можно получить сле-

дующее соотношение:

BH bt BH 0

1

bt

1

bt

H

K bt bt

dB bt

b

K t t

dB t

H 1 2

H 1 2

H

1

bt

H

H

H

b

K

t

t

dB

t

b

t

B

0

H 1 2

B

,

являющееся справедливым в статистическом смысле для всех значений масштабного параметра b.

Считая t 1 и приращение t bt, можно получить, что приращение координаты фрактальной броуновской частицы определяется выражением

B

t

B

0

t

H B

1 B

0

t

H

,

(5.25)

H

H

H

H

которое статистически пропорционально

t

H .

Поэтому дисперсия

приращений будет определяться формулой (5.18) при t t t0 и t0 0.

249

В [140-142] получено следующее выражение для дискретных приращений (фрактальный шум) при обобщенном броуновском движении:

BH t

BH t 1

n H

H 1 2

(5.26)

nt

n q 1

H 1 2

H 1 2

H 1 2

n i

i

1 n q 1 t i

,

i

1 n q t i

i 1

i 1

где q

– номер конечного интервала целочисленных значений вре-

мени

t; j – набор гауссовых случайных величин с единичной

дисперсией и нулевым средним,

i 1,2, ,q.

На основе соотношения (5.25) с использованием последовательности гауссовых случайных чисел можно получить значения приращений функции BH . Выражение (5.26) эквивалентно вычислению скользящего среднего со степенной весовой функцией от гауссова процесса. При t q приращения становятся независимыми.

Однако алгоритм, использующий соотношение (5.26), неэкономичен. Вследствие этого был разработан быстрый алгоритм получения фрактального шума, основанный на весовом суммировании ряда марковских гауссовых переменных с возрастающими временами корреляций и на учете высокочастотной компоненты с марковскими свойствами. При расчетах по (5.26) при H 12 моделируется белый шум. По мере увеличения значения показателя Херста усиливается низкочастотный шум, приводящий к большим отклонениям амплитуды [56]. Результаты моделирования приращений обобщенной броуновской функции при различных значениях показателя H показаны на рис. 5.7,а-в.

Эволюция во времени функции фрактального броуновского движения1 BH t при BH 0 0 описывает изменение положения

частицы, начинающей движение из начала координат. При возрастании параметра H увеличивается амплитуда вариаций координаты положения частицы и уменьшается шум (рис. 5.7,д-е). При

1 Иногда в литературе используется термин «фрактальная броуновская функция» или «обобщенная броуновская функция».

250

фрактальном движении с H 12 отклонения от начала координат, по сравнению с классическим броуновским движением, оказываются аномально большими [143].

Действительно, используя выражение (5.18) совместно с соотношением Эйнштейна, можно определить коэффициент фрактальной аномальной диффузии следующим образом:

KdH Kd t 2H 1 ,

где Kd – коэффициент диффузии для классического случая. Данная формула играет важную роль в анализе процессов фрактального переноса. Важно подчеркнуть, что в данном случае аномальный характер диффузии связан с фрактальными свойствами блужданий частицы в евклидовом пространстве [56]. Когда блуждания происходят на фрактальном множестве в евклидовом пространстве, коэффициент диффузии остается аномальным, но характеризуется другим показателем в степенной зависимости от времени1 [144].

Пусть X t, – случайный процесс с дискретным целочислен-

ным временем t, причем 0 t , где – длительность рассматриваемого интервала времени. Как показал Херст, величина нормированного размаха R S хорошо аппроксимируется сле-

дующим эмпирическим соотношением:

R S 2 H ,

где R max X t, min X t, – максимальный (для фиксиро-

1 t	1 t	S является
ванного ) размах амплитуд случайного процесса,

среднеквадратичным отклонением процесса. При отсутствии долговременной статистической зависимости величина нормированного размаха R S должна быть асимптотически пропорцио-

нальна . Известно, что если временные ряды связаны со случайными процессами с независимыми приращениями и конечной дисперсией, то справедливо следующее соотношение:

R S 2 12 .

1 Подробнее о современных методах описания диффузионных процессов во фрактальных пространствах см. гл. 6.

251

Рис. 5.7. Фрактальный шум или приращения обобщенной (фрактальной) броуновской функции BH t для классического броуновского движения – белый шум –

при H 12 (а) и для фрактального броуновского движения – фрактальные при-

ращения – при H 0,7 (б) и H 0,9 (в). Обобщенная (фрактальная) броунов-

ская функция BH t , рассчитанная при условии BH 0 0 для классического броуновского движения при H 12 (г) и для фрактального броуновского движе-

ния при H 0,7 (д) и H 0,9 (е) [143]

Таким образом, как было отмечено выше, в ряде приложений интерес могут представлять именно случаи, соответствующие отличию показателя Херста от значения H 12.

252

Соотношение подобия (5.25) показывает, что случайная функ-

ция BH t		t		H . Отсюда	следует [115, 127], что размах R
при величине запаздывания					также является случайной функцией,

подчиняющейся закону подобия: R H . Поскольку везде выше предполагалось единичное значение дисперсии фрактальной бро-

уновской функции DBH t S2 1,							то для общего случая можно
записать:
	R			H			R		H
											(5.27)
					или					.
	S
							DBH
Таким образом, показатель Херста							H можно оценивать,				аппрок-
симируя экспериментальные данные соотношением (5.27).

Для практических приложений [143] считается, что показатель Херста можно оценить, анализируя временные ряды, состоящие примерно из 2500 измерений. Важно отметить, что для многих естественных процессов (метеоданные, число солнечных пятен, водобмен, слоистые отложения и т.п.) для показателя Херста оказывается справедливо соотношение H 12. Например, анализ одной из самых длительных выборок методом нормированного размаха был выполнен в [78, 143] при исследовании древних климатических изменений по толщине слоев в слоистых отложениях озера Тимлепаминт (Канада). Обработанные данные охватывают период в 1809 лет, рассчитанное по ним значение показателя Херста оказалось очень велико H 0,96 .

Изучение рядов измерений и применение метода нормированного размаха в физике частиц и атомного ядра было впервые выполнено в [145 – 147]. Были рассмотрены различные реакции с участием адронов и атомных ядер при различных начальных энергиях. В данных исследованиях также было обнаружено отличие значения показателя Херста от H 12.

Алгоритмы построения не только обычной фрактальной броуновской функции, но и фрактальных броуновских поверхностей и объемов на основе последовательного случайного сложения предложены в работе [148]. Для построения обобщенной броуновской кривой с вертикальной координатой, описываемой законом обоб-

253

щенного броуновского движения, необходимо, чтобы дисперсия приращений координаты удовлетворяла условию V t t 2 H 02 ,

где 02 – начальная дисперсия случайных сложений. В алгоритме базисной точкой всего построения служит последовательность значений координаты Y t1 ,Y t2 , ,Y tN , заданных для соответст-

вующих моментов времени t1,t2 , ,tN .

Пример 5.2.

Рассмотрим простейший случай при N 3 с моментами време-

ни t1	0,1 2,1; i 1,2,3,	причем исходные значения координаты по-
i		К значениям Y t1 ,Y t2 ,Y t3 приближа-
ложим равными нулю.

ются случайные числа с гауссовым распределением, нулевым средним и единичной дисперсией 02 12 1. На каждом интервале выделяются затем средние значения времени. Значение координаты в данные средние моменты времени оценивается с помощью интерполяции. Следовательно, в результате выполнения данного этапа получены временные точки ti2 0,14,12,34,1; i 1, ,5. На следующем этапе ко всем координатам Y ti , i 1, 5 прибавля-

ются случайные числа с гауссовым распределением, нулевым средним и уменьшенной дисперсией 22 12 2H 12 . Затем между пятью значениями времени ti2 , i 1, ,5 вновь проводится интерполяция к серединам временных интервалов, что приводит к значениям координаты в девяти моментах времени. После n -кратного применения данного алгоритма получаются значения координаты

					моментов времени.
обобщенной броуновской частицы в	1 2n
Дисперсия слагаемых n -го поколения:		2	2		2H	2	2	2Hn		2	В
		n				n 1				0 .

[148] также показано, что заполненность синтезированных фрактальных поверхностей контролируется выбором коэффициента12, так что в общем случае суммирование в n -ом поколении

проводится при нулевом среднем и n2 2Hn 02.

Достоинство представленного алгоритма заключается в том, что он может применяться до тех пор, пока не будет достигнуто любое, наперед заданное разрешение. Синтезированные поверхности дают

254

возможность достаточно просто алгоритмически описать реальные природные ландшафты при малом числе входных параметров. Данный метод объединяет синтезирование ландшафтов с анализом наблюдений и, таким образом, представляется одним из наиболее многообещающих подходов.

§12. Самоаффинность фрактальной броуновской функции

В соотношении подобия, полученного выше для приращения фрактальной броуновской функции, время и координата входят с различными коэффициентами: если время умножается на коэффициент b, то координата умножается на bH . Поэтому обобщенный броуновский процесс относится к самоаффинным фракталам. Анализ фрактальных структур показывает, что необходимо различать фракталы самоподобные и самоаффинные.

Определение 5.7. Ограниченное фрактальное множество точек A называется самоподобным с отношением (коэффициентом) подобия r, если A является объединением N непересекающихся подмножеств A1, A2 , , AN , каждое из которых конгруэнтно множе-

ству r A , полученному из A преобразованием подобия с отно-

шением (коэффициентом) 0 r 1.

Свойство конгруэнтности означает, что каждое рассматриваемое подмножество Ai , i 1, , N совпадает с множеством r A

после переноса и/или поворота. Тогда гомотетическая размерность определяется следующим образом:

ln N Dh ln 1r .

Определение 5.8. Множество A статистически автомодельно, если оно является объединением N отдельных (непересекающихся) подмножеств, каждое из которых получено из A преобразованием подобия с коэффициентом r 0 r 1 , и обладает такими же

статистическими свойствами, что и r A .

Ранее [1] были рассмотрены конструктивные фракталы, основой алгоритма построения которых служит преобразование подобия, при котором координаты всех точек исходного элемента конструк-

255

тивного фрактала изменяются с одинаковым коэффициентом подобияr 0 r 1 .

Однако можно предположить, что данный вид преобразования не является единственно возможным и наиболее общим.

Аффинное преобразование	переводит точку	x x1, , xN в
новую точку с координатами	x ' r1x1, ,rN xN ,	где не все коэф-

фициенты r1, ,rN одинаковы1.

Определение 5.9. Ограниченное множество A самоаффинно по отношению к вектору подобия r r1, rN , если A является объе-

динением N непересекающихся подмножеств A1, A2 , , AN , каждое из которых конгруэнтно множеству r A , полученному из данного множества A с помощью аффинного преобразования, которое оп-

ределяется вектором r.
Определение 5.10. Множество	A статистически самоаффинно,
если оно является объединением	N непересекающихся подмно-
жеств Ai , i 1, , N, каждое из которых получено из множества		A
аффинным преобразованием с вектором подобия r r1, rN ,		и

обладает такими же статистическими свойствами, что и r A .

Кроме траектории винеровского процесса, математически описывающего классическое броуновское движение, в силу того, что координаты времени и смещения входят в соотношение подобия с разными коэффициентами, примером самоаффинного фрактала может служить функция «чертова лестница».

Фрактальная размерность самоаффинных фракталов не определяется однозначно. При анализе самоаффинных фрактальных кривых следует различать локальную и глобальную размерности [138].

В силу важности ниже приводится подробное рассмотрение данного вопроса на примере графика фрактальной функции BH t

с длительностью полного рассматриваемого периода времени T. Тогда для покрытия рассматриваемого интервала на оси времени

1 Видно, что частным случаем аффинного преобразования является преобразованием подобия, когда r1 rN r.

256

необходимо Tb отрезков длиной b . В пределах каждого отрезка диапазон изменений функции имеет величину порядка

BH b bH BH .

Для покрытия данного размаха необходимы bH BH ba рядов

клеток, высота каждой клетки при этом равна ba. Поэтому для покрытия всего графика фрактальной функции на рассматриваемом интервале оси времени требуется

N b,a, bH BH T bH 2 b Dl ba b

клеток. В данном случае рассматриваются клетки, размер которых мал как по сравнению с длительностью процесса T 1, так и с диапазоном изменения функции. Приведенные выше рассуждения неприменимы, если для покрытия кривой используются клетки, размер которых сопоставим с размахом кривой на исследуемом интервале оси времени. Если выбрать значение a, соответствующее ха-

рактерному размеру клетки, a

D

2

1, то на каждом

временном отрезке длительностью b для покрытия кривой с размахом BH b потребуется всего один ряд клеток, общее количе-

ство которых будет равно

N b,a, T b 1 b DG . b

Таким образом, при анализе самоаффинных фрактальных кривых следует различать локальную фрактальную размерность, равную Dl 2 H , и глобальную фрактальную размерность, равную

DG 1 (для рассматриваемого случая фрактальной кривой броуновского движения).

Определение 5.11. Мультифракталом называется объединение фракталов, имеющих различные размерности.

1 Как было указано выше, под T подразумевается полная длительность периода, на котором рассматривается график фрактальной функции. С другой стороны, данная величина может быть отождествлена с длительностью процесса фрактального броуновского движения, описываемого функцией BH t .

257