Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

x2 t
		t			t							E									t	t1						1
v02 dt1 dt2 E t1															t2				dt1 dt1' t1 t1'
		0			0																0	0									(6.49)
	t			t2						1
		dt			dt		t		t'		E				t t'						E					t		t'
			2			'		2																			2
					2				2		,				1	1					,							2

00

f t1' f t2' .

Интегрирование в первом члене в правой части данного равенства может быть выполнено в явном виде с использованием представления функции Миттаг – Лефлера в виде ряда. Интеграл по одной из переменных может быть выражен через обобщенную функцию Миттаг – Лефлера:

	t			k tk 1		k tk
	dt1E t1				t		tE2, t	.
				k 1 k 1		k 2
	0		k 0		k 0

Способ вычисления членов, подобных второму слагаемому в (6.49), был неоднократно рассмотрен выше. Таким образом, можно записать среднеквадратичное смещение в следующем виде:

x

2

t

2

2

(6.50)

v0

tE2,

t

DI,

где второе слагаемое имеет вид

k l

t

t

t

I 4

dt tk 1 dt tl

2 F1 1;1 k ;1 l :

.

k

k 1 l 1

l 1 0

0

t

Для выполнения интегрирования по штрихованным переменным и получения последнего выражения была выполнена подстановка интегрального члена I, приведенного выше при рассмотрении автокорреляционной функции скорости, в (6.49). Таким образом, удается понизить порядок интегрирования с четырех до двух, дополнительный множитель, равный двум, возникает вследствие симметрии.

Для вычисления интеграла в последнем выражении вводится масштабная переменная для более позднего из двух моментов времени, как было выполнено выше. Тогда, используя приведенное выше выражение для Ikl , можно получить

308

	t	1		2 F1 1;1 k ;1 l :
Ikl dt t k l		d l
	0	0
	t k l 1		1 d l		F	1;1 k ;1 l : .
	k l 1 0			2	1

Используя интегральное представление для гипергеометричекой функции из [209, 210], приведенное выше, после необходимых преобразований можно получить

1

d d 2 F1 a;b;c :

0

		c	1		1
			d a 1 1 c a 1 d d 1 b
		a c a
			0		0
		c	1		dzza 1 1 z c a 1	F	d 1;b;d 2 : z .
		d 1 a c a 0
					2	1

Сравнивая данный интеграл с соответствующим интегралом в [214], окончательно можно записать

1

c

d 2

a

d d 2 F1 a;b;c :

0

d 1 a c a

d 1 a d 2 a b

1

1

,

c d 2 b d 2 a

d 1 b

k l

где использованы

следующие

обозначения:

a 1, b 1 k ,

c 1 l и d l . Таким образом, можно записать

k l

t k l 1

I 4

.

k l 1 k l

1

k l

k 1 l 1

Справедливо следующее выражение [212]:

k l

t

k l

1

d

k

d 2 I

4

2

t

dt

2

k

l 1

dt

k 1

k 1 l 1

l 1

d

2

2

E t

1 .

dt

309

Интегрируя полученное выражение дважды и учитывая, что I и соответствующая первая производная равны нулю при t 0, можно на основании (6.50) получить следующее выражение для среднеквадратичного смещения:

	2		2			2
x		t
			v0 tE2, t										(6.51)
									'			2
			D t 1 2E2,					dt		'			.
							t		E t
								0

Как и прежде, используя асимптотическую форму функции Миттаг – Лефлера и обратный степенной закон, можно показать, что интеграл в (6.51) сходится при 12 и главный член в (6.51) в асимптотической области имеет следующий вид:

x2 t t.

Это в точности соответствует случаю обычной диффузии, описываемой классическим уравнением Ланжевена. Необходимо отметить, что даже в случае 12 расхождение интеграла будет очень медленным, поэтому асимптотическое поведение будет все еще определяться линейным членом. Таким образом, среднеквадратичное смещение частицы оказывается полностью нечувствительным к динамическим особенностям (классическое / фрактальное движение) данного процесса.

Итак, выше было показано как конструируется и решается стохастическое уравнение дробного порядка, которое может быть использовано для моделирования физических явлений с долговременной памятью и/или дальнодействующими взаимодействиями. Дальнодействующие корреляции, подчиняющиеся степенному закону и характеризующие фрактальное броуновское движение, приводят в результате к немарковскому описанию таких процессов как, например, распространение трещин. Было обнаружено, что непрерывное управляющее уравнение приводит к уравнению эволюции распределения Леви, когда ядро отклика (памяти) может быть представлено обратным степенным законом в координатном пространстве, основываясь на аналогичном законе для параметра «время ожидания» функции распределения во времени [208].

310

Контрольные вопросы

1.Дайте определение устойчивого распределения. Приведите примеры простейших устойчивых распределений.

2.Приведите кинетические уравнения и их решения в случае бесконечной (конечной) скорости частицы.

3.Поясните кратко использование аппарата функции Фокса при описании транспортных процессов во фрактальных средах.

4.Дайте определение обобщенной функции Миттаг – Лефлера.

5.Приведите уравнение Ланжевена в общем случае и для частного случая недиссипативного стохастического процесса.

6.Приведите решение уравнения Ланжевена в общем случае.

7.Приведите выражения для автокорреляционной функции скорости, среднеквадратичной скорости и среднеквадратичного смещения броуновской частицы для уравнения Ланжевена дробного порядка.

Рекомендуемая литература

6.1.Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. N.Y.: John Wiley, 1993.

311

Глава 7

ОПЕРАТОРЫ ДРОБНЫХ ПОРЯДКОВ В ФИЗИКЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

§1. Вводные замечания

Определение 7.1. Множественностью частиц i -го типа ni

называется число частиц данного типа, образованное в одном акте взаимодействия.

Пусть i является случайной величиной «множественность частиц типа i в событии», принимающей целочисленные неотрицательные значения ni . Распределение вторичных частиц данного

типа по множественности ni	с	плотностью распределения
(вероятностей) P ni P n pn	1	является наиболее общей

характеристикой процессов множественного рождения [215]. Определение 7.2. Распределение неупругих событий по числу

вновь образованных в них частиц данного типа называется распределением по множественности, и плотность данного распределения определяется следующим образом:

pn	n	n ,	(7.1)
		n 0
где n – сечение рождения	n частиц данного типа (топологиче-

ское сечение). Распределение по множественности (распределение

1 Индекс, указывающий на тип частицы, может быть опущен для краткости. Важно отметить: часто в литературе (особенно в физической), говоря о распределении при целочисленных неотрицательных значениях (со-

ответствует распределению по множественности в ФВЭ) используют обозначение P n pn , являющееся исторически широко распространен-

ным, тем не менее не совсем строгим с математической точки зрения.

312

вероятностей) нормировано так, что P n 1, то есть pn дейст-

n 0

вительно имеет смысл плотности вероятности.

Данное распределение показывает вероятность рождения заданного количества частиц в процессе взаимодействия данного типа при некоторой фиксированной начальной энергии. Как для КХД, так и для любой феноменологической модели важно изначально правильно описывать распределения по множественности, поскольку все другие инклюзивные характеристики, как правило, получаются путем усреднения с учетом данного распределения. Модель, не способная правильно воспроизвести распределение по множественности, не может претендовать на описание других инклюзивных распределений.

1.1. Гипотеза КНО-скейлинга

В случае ранга момента распределения по множественности выше единицы удобно использовать нормированные моменты

Cq

S nq

S

n

S q ,

(7.2)

где стандартные моменты (в дискретном случае) определяются следующим образом1:

nq		nq			nq		pn		.
	S		S			s		S
					n 0

Вплоть до энергий S 50 ГэВ нормированные моменты (7.2) распределений по множественности частиц различных типов практически не зависели от энергии столкновения для широко спектра реакций. Независимость нормированных моментов (7.2) от энергии явилось одним из аргументов в пользу гипотезы скейлингового описания распределений по множественности для частиц различных типов. Как известно, было получено успешное феноменологи-

1 В данном разделе для характеристик распределения используются, как правило, обозначения, принятые в физических приложениях и отличающиеся от использованных выше в разделах, посвященных теории вероятностей.

313

ческое описание распределений неупругих событий по множественности n в полном фазовом пространстве с помощью масштаб- но-инвариантного КНО-распределения (распределения Кобы – Нильсена – Олесена)

				1		n
	pn	S
				n		n

в процессах различных типов вплоть до энергий S 50 ГэВ.

Здесь , nn считается универсальной функцией, не зави-

сящей явно от энергии, а вся энергетическая зависимость определяется поведением средней множественности. Данное предположение, названное гипотезой КНО-скейлинга, было обосновано изучением фейнмановского плато в быстротных распределениях частиц [216]. Указанная гипотеза была одним из наиболее успешных предположений о форме распределений по множественности. Для универсальной КНО-функции справедливо условие нормировки

x dx 1,

0

и стандартные моменты КНО-распределения не зависят от энергии взаимодействия, а только от своего ранга q :

xq xq xq x dx const S .

0

Однако при более высоких энергиях и для z 2 наблюдается нарушение гипотезы КНО-скейлинга: масштабная инвариантность, определяемая зависимостью функции только от отношения

множественности n к ее среднему значению n , нарушается и

распределения по множественности становятся шире при увеличении энергии столкновения.

1.2. Отрицательное биномиальное распределение

Феноменологические подходы к описанию распределения по множественности пока ограничиваются простейшими приближениями отдельных, как правило, независимых источников с приме-

314

нением некоторых распределений, хорошо известных в теории вероятности. Среди них наибольшей популярностью пользуется отрицательное биномиальное распределение (ОБР), обычно достаточно разумно описывающее основные особенности экспериментальных данных для распределений по множественности в различных реакциях в широком интервале начальных энергий при выборе соответствующих значений параметров. В связи с нарушением КНО-скейлинга в [217] было предложено использовать именно ОБР для описания распределений по множественности в широком

интервале начальных энергий S 10 103 ГэВ.

Определение 7.3. Отрицательным биномиальным распределением (распределением Паскаля) с параметрами r, называется дискретное распределение случайной величины , принимающей целочисленные значения k 0,1,2, с вероятностями

pk P k Crk k 1 r 1 k ,

где 0 1 и r 0, причем для нецелых r величина Crk k 1 опре-

деляется следующим образом: Crk k 1 r k 1 r k 2 r . k!

ОБР встречается во многих приложениях как теории вероятностей, так и физики. При целом r 0 ОБР интерпретируется как распределение времени ожидания r го «успеха» в схеме испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» . Именно в данном случае ОБР, как правило, называется распределением Паскаля и является дискретным аналогом гамма-распределения. Характеристическая функция ОБР имеет следующий вид:

		r
f t		.

1 1 exp it

Некоторые стандартные и центральные моменты низших рангов ОБР равны:

	r 1	,	D	r 1	,	3	r 1 2	,
				2			3

4 r 1 4 3r 1 6 1 2 .

315

Коэффициент асимметрии: 1 2

r 1 , коэффициент

эксцесса: 2 6r 2 r 1 .

Одной из наиболее привлекательных черт ОБР является именно наличие асимптотического КНО-скейлинга при высоких энергиях, то есть при стремящейся к бесконечности средней множественности.

В настоящее время возможен учет членов более высоких порядков в рамках ТВ КХД, что приводит к приближенному КНОскейлингу с формой распределения, зависящей теперь уже от константы связи (или аномальной размерности КХД). Необходимо отметить, что наблюдается некоторое расхождение теоретического описания и экспериментальных данных при наивысших доступных энергиях (в ТэВной области).

§2. Математический формализм

Изложение в данном разделе следует [38, 218, 219], где соответствующие математические аспекты рассмотрены подробно.

2.1. Плотности распределений для различных процессов

Для введения основных определений и соотношений между физическими величинами, которые будут полезны в дальнейшем, рассматривается процесс

a b 1 2 n,		(7.3)
соответствующий взаимодействию начальных частиц a		и b с об-
разованием в точности n	частиц в некоторой области n полного
фазового пространства .	В противоположность (1.1) процесс (7.3)

является (полностью) эксклюзивным. При фиксированном числе вторичных частиц образованную систему можно характеризовать плотностью вероятности pne xn , n 1,2, где xn x1, , xn и xi

– (многомерная) координата i -й частицы в фазовом пространстве, то есть совокупность всех физических параметров, характеризую-

316

щих данную частицу1. Такое описание называется эксклюзивным. В случае тождественности всех вторичных частиц эксклюзивные распределения (плотности вероятностей) pne x1, , xn полностью

симметричны относительно перестановки аргументов и описывают распределения частиц, когда их число в точности равно n. В действительности, особенно при высоких энергиях, чаще бывает удобно использовать так называемый инклюзивный подход, когда число частиц не фиксировано, а рассматриваются всевозможные n - частичные характеристики процесса взаимодействия. Именно таким образом проводится большинство экспериментов, в которых изучается множественное рождение частиц. Соответствующие инклюзивные плотности распределения для данного фиксированного n 1,2, учитывают интегральный вклад процессов с более высокой множественностью и характеризуются плотностью вида

		1			m
pni x	pne xn			pne m xn , xm'	dxn'	i ,	(7.4)
	m 1 m!				i 1
			n

то есть инклюзивные плотности порядка n определяются суммой эксклюзивной плотности того же порядка и интегралов от эксклюзивных плотностей более высокого порядка по всем неучитываемым переменным. Соответственно, обратное соотношение имеет следующий вид:

		1	m			m
pne x	pni xn				pni m xn , xm'	dxn'	i .	(7.5)
		m!
	m 1			n		i 1

Таким образом, инклюзивная плотность pni xn задает плотность вероятности обнаружить n частиц в точках фазового пространства x1, xn независимо от наличия и расположения других частиц.

Плотность вероятности p0e не найти ни одной частицы в заданном объеме равна

1 Например, если процесс рассматривается в одномерном пространстве быстрот вторичных частиц, то i : xi yi – быстрота частицы, в трехмер-

ном пространстве импульсов – i : xi pi – импульс частицы и так далее.

317