Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

	p z,t t	y,t p z,t	y,t t		p z,t t	y,t		.
				t
								t 0

Можно заметить из формы переходной плотности вероятности, что первый член в правой части разложения является -функцией:

p z,t y,t z y .

Далее, выполняя дифференцирование по интервалу времени t

выражения для переходной плотности, можно получить

	p z,t t		y,t H	2	t	2H 1 2 p z,t t		y,t
t							y2

так, что второй член в правой части разложения определяется следующим выражением:

					2		2H 1 2 z y
		p z,t t	y,t	H		t				.
	t							y	2

Таким образом, подставляя полученные для слагаемых правой части выражения в разложение переходной плотности вероятности, можно получить

p z,t t		y,t z y H	2	t	2H 2 z y			(6.33)
						y	2

так что, подставляя (6.33) в (6.32) и выполняя интегрирование, получается следующее выражение:

p z,t t

x,0 p z,t

x,0 H 2 t2H

2 p z,t

x,0

.

z

2

Отсюда

p z,t t

x,0 p z,t

x,0

H 2

2 p z,t

x,0

,

(6.34)

t2H

z2

что в пределе t 0 явно не соответствует уравнению Фоккера – Планка для общего случая значения H. Таким образом, противоречие доказано.

В частном специфическом случае H 12 видно, что в пределеt 0 левая часть (6.34) становится частной производной по вре-

298

мени и получается уравнение Фоккера – Планка для простого диффузионного процесса

p z,t	x,0		2 2 p z,t			x,0
							.
			2		z2
t

Решением этого уравнения в данном случае является, очевидно, нормальное распределение. Однако, как было отмечено выше, в общем случае H 12 не получается уравнение Фоккера – Планка, а получается уравнение диффузии дробного порядка

H

p z,t t

x,0 p z,t

x,0

lim

Dt p z,t

x,0

t

2 H

t 0

(6.35)

2 p z,t

x,0

H 2

.

z2

Полученное уравнение в данном виде заведомо не представляет корректной формы для описания эволюции плотности вероятности далеко от данного начального состояния x,0 . Однако форма

уравнения с производной дробного порядка по времени достаточна для демонстрации немарковского характера изучаемого процесса.

7.3. Решение однородного уравнения

Однородное уравнение для фрактального броуновского движения получается из уравнения Ланжевена общего вида (6.26) в отсутствии тепловых флуктуаций и имеет следующий вид:

	Dt v t v0	t	v t .	(6.36)
		1

Данное уравнение является полностью определенным с точки зрения математики. Важно также более подробно рассмотреть (6.36) с физической точки зрения. Из статистической физики известно, что флуктуации в уравнении движения тесно связаны с диссипацией и, фактически, они имеют один и тот же источник происхождения. Это то основание, которое в результате приводит к флуктуационнодиссипационному соотношению, связывающему силу флуктуаций с отношением температуры к параметру диссипации. Однако в (6.36) диссипация присутствует без соответствующего множества флуктуаций. Вследствие того, что все операторы, входящие в

299

(6.36), являются линейными, возможно интерпретировать данное уравнение в терминах средней скорости.

Таким образом, ниже, если другое не оговорено особо, формула (6.36) трактуется как математическое выражение, соответствующее учету ненулевого значения начальной скорости v0 и учету временной зависимости, поскольку присутствует хорошо определенная проблема начального значения, и для которого отмасштабированный нужным образом параметр диссипации имеет единицы, соответствующие порядку дробной производной.

Определение 6.2. Функцией Миттаг – Лефлера называется функция, задаваемая следующим рядом:

		z	k
	E z			, 0.	(6.37)
		k 1
	k 0

Определение 6.3. Обобщенной функцией Миттаг – Лефлера называется функция, задаваемая следующим рядом:

		z	k
	E , z			, 0, 0.	(6.38)
		k
	k 0

Видно, что обобщенная функция Миттаг – Лефлера сводится к обычному случаю при 1: E ,1 z E z .

Решение уравнения (6.36) находится из соответствующего интегрального уравнения дробного порядка

v t v0 Dt v t ;

(6.39)

выполняя преобразование Лапласа после некоторых алгебраических преобразований можно получить

v s	v0	s
			.
1		s

Обратное преобразование Лапласа с использованием функции Фокса позволяет получить следующее выражение:

		1	k
	v t v0			t k ,
		1 k
	k 0

так, что решение уравнения Ланжевена для однородного случая определяется функцией Миттаг – Лефлера

	.	(6.40)
v t v0E t

300

Таким образом, фундаментальный процесс не характеризуется экспоненциальной релаксацией как в случае процесса Орнштейна – Уленбека, а характеризуется скорее растянутой экспоненциальной релаксацией в течение короткого времени и долговременным распадом, подчиняющимся обратному степенному закону, процесса Миттаг – Лефлера. Время перехода между двумя областями релаксации определяется параметром диссипации .

§8. Решение уравнения Ланжевена общего вида

В данном параграфе подробно рассмотрено решение уравнения Ланжевена дробного порядка для неоднородного случая.

8.1. Решение в общем случае

На основании изложенного выше можно рассмотреть решение полного уравнения Ланжевена. Заменяя (6.26) эквивалентным интегральным уравнением1

v t v0 Dt v t Dt f t

(6.41)

и используя преобразование Лапласа2 данного уравнения, можно получить

v s vs0 s v s fs s .

Отсюда образ Лапласа решения уравнения Ланжевена общего вида для дробного порядка записывается следующим образом:

		v0s	1			s
	v s				f		.	(6.42)
		s				s

1 Как было указано выше, при построении уравнения Ланжевена (6.26) считается, что случайный процесс в правой части является винеровским процессом. Однако в рамках представленного ниже рассмотрения никаких дополнительных требований на случайный процесс не накладывается, и поэтому используется обозначение случайного процесса общего вида f t .

2 Обобщенные (для дробных порядков) интегральные преобразования рассмотрены подробнее в приложении 7.

301

Образ решения записан именно в виде двух членов для наглядности вследствие разной s -зависимости коэффициентов. Обратное преобразование Лапласа первого слагаемого в правой части (6.42) представляет собой функцию Миттаг – Лефлера, как это было найдено выше для однородного случая. Обратное преобразование второго члена представляет собой свертку случайных флуктуаций и стационарного ядра. Ядро определяется посредством функции Фокса следующим образом:

																		1
															0,
					1				1
	1							1			11
LT							;t	t		H	12	t								.
					s										1
														0,			, 1 ,1

Разложение в ряд для данной функции Фокса может быть записано в виде

1			0,1				1	k
	H11	t							t k	E	t .
			0,1 , 1 ,1
	12						k			,
					k	0

Таким образом, как однородный, так и неоднородный члены в решении (6.41) могут быть выражены в терминах функции Миттаг – Лефлера.

Общее решение уравнения Ланжевена дробного порядка, используя обратное преобразование Лапласа, можно также записать в следующем виде:

	t	1	E ,		'
	'						'	'	.	(6.43)
v t v0E t	t t			t t			f t	dt
	0

В частном случае 1 функция Миттаг – Лефлера превращается в экспоненциальную функцию и решение уравнения Ланжевена становится идентичным решению, получаемому для процесса Орн-

штейна – Уленбека при f t w t

и v0 0 :

t

v t v0 e t e t t' w t' dt' ,

0

как и должно быть. Данные результаты были получены также в [212] на основе использования стандартной техники для решения интегральных уравнений Вольтера.

302

8.2. Автокорреляционная функция скорости

Традиционными количественными характеристиками, вычисляемыми на основе временных рядов скорости, являются автокорреляционная функция скорости, среднеквадратичная скорость и среднеквадратичное смещение броуновской частицы. Ниже данные характеристики вычисляются на основе решения (6.43) уравнения Ланжевена дробного порядка. Автокорреляционная функция скорости, учитывая (6.43), записывается следующим образом:

v t1 v t2 v t1,t2

		t1	1 t2		t2 t2'	1
v02E t1	E t2	dt1' t1	t1'	dt2'		(6.44)

00

f t1' f t2' E , t1 t1' E , t2 t2' ,

где усреднение в данном уравнении связано со статистикой случайной силы, управляющей поведением системы. Традиционным является предположение, что случайные флуктуации описываются гауссовой статистикой и характеризуются отсутствием памяти, то есть они (флуктуации) являются -коррелированными во времени

f t1' f t2' D t1' t2' .

Здесь D характеризует силу флуктуаций.

Как уже встречалось выше, в данном случае видно, что корреляционный интеграл является полностью симметричным относительно моментов времени t1 и t2. Вводя более ранний t и более

поздний t моменты времени, подставляя -функцию, инте-

гральный член в (6.44) может быть записан в следующем виде:

t

I 2 dt t t 1 t t 1 E , t t E , t t .

0

Используя разложение в ряд обобщенной функции Миттаг – Лефлера (6.38) и изменяя начальное значение при суммировании, можно получить:

303

						k l			t
	I 2						Ikl , Ikl dt t t k 1 t t l 1.
		k l
	k 1 l 1								0
	Введение масштабной					переменной			t	t позволяет получить
	следующее выражение:
						1			k 1
								t
	Ikl tk 1tl d						1			1 l 1.
								t
						0

Используя, как и ранее, интегральное представление гипергеометрической функции, можно выразить данный интеграл следующим образом:

k 1 l		l		t
Ikl t	t		2 F1 1;1 k ;1 l :		.
		l 1
				t

Таким образом, интегральный член в автокорреляционной функции скорости имеет вид

				k l	k 1	l
					t	t		t
I 2							2 F1 1;1 k ;1 l :		,
	k l 1
k 1 l 1								t

соответственно, полная автокорреляционная функция запишется как

v t v t v02 E t E t

	k l	tk 1tl		t		(6.45)
2D			2 F1 1;1 k ;1 l :		.
	k l 1
k 1 l 1				t

Очевидно, данный результат является нестационарным вследствие того, что он зависит от обоих моментов времени по отдельности, но не от их разности. Аналитические методы не дают возможности дальнейшего исследования (6.45) в силу его общности. Поэтому для использования аналитического подхода необходимо некоторое упрощение (6.45).

Второй момент распределения для скорости получается из (6.45) при условии t t t, что в результате дает следующее выражение для среднего квадрата скорости:

304

2

2

2

v

t

t

v0 E

k l

t

k l 1

2D

2 F1 1;1 k ;1 l :1 .

k

l 1

k 1 l 1

Используя

выражение

для

гипергеометрической функции

2 F1 a;b;c :1 из [210] и выполняя необходимые сокращения, мож-

но переписать данную формулу для v2 t в следующем виде:

k l

k l 1

2

2

2

t

l

v

t

v0

E t

2D

.

k

k 1 l 1

l 1 l k 1

Если второе слагаемое в правой части данного уравнения обозначить I, то справедливы следующие соотношения [212]:

k l

t

k l 2

t

'

k

2

'

dt

d I

,

I

t

.

k

l

k

'2

dt

t

k 1 l 1

0

k 1

С другой стороны, для производной функции Миттаг – Лефлера справедливо:

dE t						k
				t		1
									,
dt				k
			k 1					t

где член при k 0 равен нулю в силу наличия полюса -функции. Таким образом, второй момент распределения скорости может быть переписан в виде [212]

'

2

2

2

2

t

dE

t

'

v

t

v0

E t

2D

dt

.

(6.46)

dt

'

0

Можно также определить асимптотические свойства второго момента, так как известно, что функция Миттаг – Лефлера в асимптотике подчиняется обратному степенному закону:

lim E t t ,

t

так что интегральный член в (6.46) гарантировано сходится при t для всех 0, причем данный член спадает быстрее на

305

множитель 1t , чем зависимость t 2 для первого члена. Таким

образом, главный член при асимптотическом поведении второго момента распределения имеет следующий вид:

	lim	v2 t		1	,
				t2
	t

что является отличительной чертой процессов с долговременной памятью.

Необходимо отметить, что производную функции Миттаг – Лефлера можно также записать в терминах обобщенной функции Миттаг – Лефлера:

dE t t 1E , t .

dt

Таким образом, среднеквадратичная скорость может быть переписана как

	v2 t			2	t			2
					2D 2			dt' . (6.47)
		v02 E t				t' 1E , t'
					0

Данное выражение, естественно, обладает теми же асимптотическими свойствами, что и (6.46).

Важно отметить, что в пределе 1 и при f t w t можно

получить из (6.46) и (6.47) результат Орнштейна – Уленбека, при указанных выше условиях, как и следовало ожидать, справедливо

v2 t v02 e 2 t D 1 e 2 t .

В асимптотическом пределе данное выражение дает флуктуацион- но-диссипационное соотношение между параметром диссипации и коэффициентом диффузии следующего вида D Kd

K			kT	.
	d

При получении данного соотношения использовалась теорема о равном распределении энергии между степенями свободы в рамках статистической физики для замены кинетической энергии в случае

единичной размерности массы частицы v2 t 2 на kT2 (см.

приложение 5).

306

8.3. Среднеквадратичное смещение

Смещение частицы в случае обобщенного (фрактального) броуновского движения может быть выражено через интеграл по времени от скорости так, что среднеквадратичное смещение броуновской частицы может быть записано в следующем виде:

x2 t	t	t	v t1 v t2 .
	dt1 dt2			(6.48)
	0	0

Необходимо отметить, что выбранная формула является одним из возможных соотношений между скоростью и смещением, которое позволяет вводить производные дробных порядков. В [212] были рассмотрены два различных соотношения между скоростью и смещением броуновской частицы. Первое из них, приведенное выше, позволяет получить смещение в зависимости от времени, что является обычным условием. Второй возможный вариант рассматривает смещение как интеграл дробного порядка от скорости так, что смещение частицы определяется только ее скоростью на множестве точек внутри временного интервала размерности . Данный подход аргументирован тем, что на микроскопическом уровне траектория диффундирующей частицы является недифференцируемой кривой, как указывали и Больцман, и Перрен, но в [212] сделано более сильное предположение о том, что дробная производная такой кривой все-таки может быть получена. Это предположение основывается на [213], где было показано, что наблюдаемое движение частицы может быть представлено ее средним движением. Также выдвигается аргумент, что некоторые мгновенные значения скоростей и смещений не дают вклад в результирующее макроскопическое движение даже в случае классического броуновского движения. Это, как утверждается, является источником аномальной диффузии. Строго говоря, это может рассматриваться только как один из возможных источников аномальной диффузии.

Рассмотрение ниже ограничивается интегралом (6.48). Подставляя решение уравнения диффузии дробного порядка в (6.48), можно записать среднеквадратичное смещение в следующем виде:

307