Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

x,t							Kd		2 x,t		,
										2
			t
										x
								1
x,t
										x,t ,
			t
где 0 1,1 2 2.			Диффузионно-релаксационные процессы,

исследуемые в [204, 205], описываются в одномерном случае следующим уравнением:

	x,t	K		2 x,t		1	x,t	(6.16)
	t		d x2

и для его решения используется именно аппарат функций Фокса, определяемых через обобщенный интеграл Меллина – Барнса [200, 201].

Действуя на обе части уравнения (6.15) дробным интегральным

1

t

g t '

оператором (2.23) в виде

D0

g

t

I0 g t

0

dt ',

t t ' 1

можно получить следующее уравнение:

2

1

x,t x,0 D0

Kd

x,t

(6.17)

x

2

при начальном условии x,0 0 x .

Применение левосторон-

него дробного оператора в (6.17) при условии D D 1 дает

0

0

D

x,t

x,0

2

K

1

x,t

.

d

0

x

2

Далее необходимо использовать преобразование Фурье по отношению к пространственной координате и для амплитуды Фурье –

преобразование Лапласа вида

k,t e

pt

dt

по времени.

k, p

k,t

0

Для амплитуды Фурье

справедливо уравнение

2

1

k,t

0

k,t

0

k

K

d

ik

k,t

D

T

.

Действие дробной производной	по времени на не зависящую от
времени функцию 0 x равно	D0 0 x 0 x t 1 и не

288

равно нулю. Для образа k, p можно получить следующее урав-

p 1

нение:

k, p

p k,t .

Далее, представляя k,t через

1 Tp

функцию Фокса [204, 205]

T k

k

1 1 ,1

0

1,1

k, p

H1,1

T k p

1 1 ,1

и выполняя обратное преобразование Лапласа, можно получить следующее выражение для фурье-амплитуды плотности распределения:

					k,t	0 k			1,1		t					0,1
									H1,2					0,1 , 0,							.
											T
Решение уравнения (6.17) имеет следующий вид:
x,t
																				0,1			(6.18)
	1			ikx	1,1					2						1
			dk e	0	k H1,2		t		ik			Kd										.
																				0,1 , 0,
	2

Представляя функцию Фокса H1,21,1 в виде ряда, можно получить следующее выражение для решения (6.17):

t

n

2

n

1

ikx

k

Kd ik

x,t

dk e

0

.

(6.19)

2

1 n

n 0

Интеграл в (6.18) в ряде случаев может быть вычислен в явном виде.

При 1

0 формула (6.18) приводится к виду

1

ikx

1,1

2

0,1

1

x,t

dk e

1

0 k H1,2

ik

0,1 , 0,

Kd t

2 , (6.20)

2

где x1 x

Kd t 1

2

.

Для функций

Фокса удобнее использовать

синус Fs - и косинус Fc -преобразования Френеля.

Ниже рассматривается частный случай при следующих услови-

ях:

const, 0 x 0 x

и пусть 1 , 0 1 2.

0 k 0

289

После ряда преобразований [204, 205] можно получить точное решение уравнения (6.17), выраженное через функции Фокса, при

1 0 и начальных условиях x,0 0 x																			и 1 2,1 в сле-
дующем достаточно громоздком явном виде:
x,t									0
						4 Kd t 1 2
				1	2						2			1,1				2 , 1, 2 , 1,1 2
							H3,32,3			1		x1				1,1 , 1,1 2 , 1,1 2
				x
				1
		1			2
							H3,32,1			1 2		x1			1,1 2 , 1, 2 , 1,1				2			(6.21)
				x												1,1 , 1,1 2 , 1,1 2
				1
1					1 2 1											x1		1,1 2 , 1, 2 , 1		2,1 2
					x				H3,32,1 1				2
																		1,1 , 1,1 2 , 1	2,1 2
					1
				1 2 1														1,1 2 , 1, 2 , 1		2,1 2
	1												2
								H3,32,1 1								x1					.
					x													1,1 , 1,1 2 , 1	2,1 2
					1

Для 1 после ряда преобразований решение (6.21) уравнения (6.17) совпадает с хорошо известным решением обычного уравнения диффузии.

Асимптотическое разложение для функции x,t при t

позволяет записать плотность распределения частицы, совершающей одномерные блуждания, в случае процесса недебаеской диффузии в виде

	1		t	n 1							k e		ikx
x,t									dk	0						. (6.22)
	2		1			n	1			Kd ik	2				n 1
												1
		n 0

Для некоторых случаев конкретного вида 0 k можно получить явные выражения на основе (6.22). Пусть, например, выполнено

0 k 0 k , Kd 0. Тогда в асимптотике при t

					1	n 1	t			n 1
x,t t		0								,
				1 n 1
	2 n 0

290

что совпадает с результатом [192] и t t .

Случай		k 0	const	и 1		0	соответствует чистой
	0

диффузии. Решение дается (6.21) и диффузионное смещение частицы со временем x t 2 . При 1 получается хорошо из-

вестное соотношение: x t. Необходимо отметить, что приближенное суммирование ряда по n в (6.19) для больших t, которое осуществляется путем сохранения небольшого числа слагаемых в рассматриваемом ряде и заменой функции 1 n на функцию

1 n	при 1, позволяет получить асимптотическое выражение
по t	и при 1.

§6. Волновое уравнение во фрактальных средах

Ниже представлены результаты исследования нелинейного уравнения типа обобщенного волнового уравнения во фрактальном пространстве, частными случаями которого являются как волновое уравнение для нелинейной среды, так и нелинейное уравнение диффузии, полученные в [206]. Данное нелинейное уравнение учитывает процессы с сохранением временной и пространственной памяти и записывается в следующем виде:

D	,t x,t K0D ,x				0	x,t D ,x	x,t	,	(6.23)
где 0, 0,	D	и D	– дробные производные Римана – Лиу-
	,t	,x

вилля по времени и координате, соответственно, const, 0.

K0 x

Рассматриваемое обобщенное уравнение отличается от уравнения нелинейной диффузии вида [207]

x,t
			K0		0	x,t		x,t		(6.24)
t		x					x

с автомодельным решением

												1
					0				1
		x,t					x,t				t x		, 0 x t	(6.25)

заменой производных по временной и пространственной переменной на дробные производные, рассматриваемые как обобщенные функции. При этом граничные и начальные условия уравнения

291

(6.24) сохраняются и для обобщенного уравнения (6.23) во фрактальных средах, а x,t рассматривается, соответственно, как

обобщенная функция.

Уравнение (6.23) описывает, в частности, распространение электромагнитных волн в нелинейных фрактальных или слабофрактальных 2, 1 средах при соответствующем выборе значе-

ний параметров , , . При добавлении нелинейных по x,t

слагаемых уравнение (6.23) будет описывать как нелинейную диффузию, так и процессы самоорганизации [207].

§7. Стохастические процессы с операторами дробных порядков

Как было показано выше, простейшие модели случайных блужданий для процессов нормальной диффузии приводят к гауссовой статистике и среднеквадратичному смещению, увеличивающемуся линейно со временем. Было также доказано, что обратный степенной закон для памяти в случайных флуктуациях, то есть в шагах блуждающей частицы, может приводить к возникновению к аномальному отклику системы в том смысле, что среднеквадратичное смещение будет пропорционально t2H , где 0 H 1, t – интервал

времени наблюдения при условии t0 0. Такие временные серии являются случайными фракталами с фрактальной размерностью, определяемой как D 2 H. Наиболее сложное явление, включающее в свое описание предел приращений дробных порядков, соответствующий дробным производным, – это стохастический процесс с длительной памятью. Процесс данного типа может быть получен с помощью дифференцирования дробного порядка винеровского процесса. Данные процессы характеризуются гауссовой статистикой, но также они имеют спектр, описываемый обратным степенным законом [208].

При изложении вопросов, связанных с использованием операторов дробных порядков для описания стохастических процессов, в рамках настоящей книги авторы используют [208], в которой дано достаточно строгое и современное изложение данного вопроса.

292

Ниже, хотя будет обсуждаться плотность вероятности для немарковских процессов, основное внимание будет уделено стохастическим динамическим уравнениям с производными дробных порядков. В частности, будет подробно рассмотрено, чем решения этих уравнений отличаются от решений общеизвестного уравнения Ланжевена, когда обычные дифференциалы заменяются на дифференциальные операторы дробных порядков. Стохастические динамические уравнения с дробными производными данного типа отождествляются с уравнением Ланжевена дробного порядка. Функция Миттага – Леффлера заменяет экспоненциальную функцию при анализе этих уравнений и может быть использована как оператор неунитарной эволюции для формального описания эволюции динамических переменных. Данные методы с использованием уравнений дробных порядков для собственных значений широко применяются при изучении транспортных процессов в фрактальных и/или флуктуирующих средах.

7.1. Общий вид уравнения Ланжевена дробного порядка

Уравнение Ланжевена (5.15) может быть обобщено с учетом нелокальных воздействий, то есть определенного вида процессов релаксации, которые имеют место, например, в полимерах и вязкоупругих средах (материалах). Необходимо отметить, что уравнение Ланжевена (5.15) носит феноменологический характер, поэтому представляется разумным в случае вязкоупругих средах заменить обычный закон Ньютона для силы на производную скорости дробного порядка. Физически такая замена означает, что сила зависит только от фрактального множества точек. Для гарантии физической приемлемости данной модели во фрактальный закон для силы следовало бы включить зависимость от начальной скорости для того, чтобы обеспечить правильную интерпретацию проблемы начальных условий. Дополнительно, параметр диссипации должен иметь соответствующие масштабные единицы. Таким образом, можно записать динамическое уравнение дробного порядка для скорости в следующем, наиболее общем, виде:

	Dt v t v0	t	v t f t ,	(6.26)
		1

293

где, как правило, f t w t – винеровский процесс, v0 – началь-

ная скорость1. Уравнение (6.26) явно представляет собой уравнение Ланжевена дробного порядка. Необходимо отметить, что уравнение Ланжевена является одним из первых и наиболее широко известных примеров стохастических дифференциальных уравнений.

7.2. Недиссипативный стохастический процесс

Прежде, чем решать полное уравнение Ланжевена дробного порядка (6.26) представляется разумным рассмотреть несколько более простую версию данного уравнения в отсутствии диссипации:

	Dt v t v0	t	f t .	(6.27)
		1
	Здесь не приводится физической интерпретации x t			в явном виде,

поскольку в данном случае основное внимание уделяется формальным математическим свойствам решения уравнения (6.27). Решение (6.27) может быть формально записано в терминах интегрального оператора дробного порядка следующим образом:

x t x0

Dt f t .

(6.28)

Известно также, что статистический закон распределения для решения данного уравнения является гауссовым в случае, если f t w t – винеровский процесс и спектр решения подчиняется

обратному степенному закону. Можно записать двухчастичную корреляционную функцию, используя формальные свойства полученного решения, в виде

										t1		t2			w t1 w t2
x t		x	x t		x				1		dt'		dt'										,
				2		0			2							'	1				'	1
	1		0								1		2	1					2
												0			1					t	2
									0					t	t			t

где предполагается, что флуктуации подчиняются гауссовой статистике и являются -коррелированными во времени:

1 В данном случае, без потери общности, коэффициент в левой части уравнения Ланжевена положен равным единице m 1 в отличие от

(5.15).

294

w t1' w t2' D t1' t2' .

Здесь D – сила флуктуаций.

Можно также получить формальное выражение для корреляционной функции для двух моментов времени. Важно отметить, что интеграл в двухчастичной корреляционной функции является полностью симметричным относительно переменных времени t1 и t2 , но известно, что -функция будет ограничивать область интегрирования более ранним (меньшим) из двух времен, так как здесь обе переменные должны быть равны. Таким образом, для дальнейшего рассмотрения вводится обозначение t для большего (более позд-

него) и t для меньшего (более раннего) из двух времен. Применяя свойство -коррелированность флуктуаций во времени к интегралу в двухчастичной корреляционной функции, можно получить

										2D				t				1			1
x t		x	x t		x										dt t		t		t		t	.
													2
		0			0
													0

Вводя нормированную переменную tt , после некоторых алгебраических преобразований можно получить

												1					1
									1							t
x t		x	0	x t		x		2Dt		t			d		1			1 1 .
											2
						0										t
												0

Используя следующее интегральное представление для гипергеометричекой функции [209, 210]:

2 F1 a;b;c : z	c	1	a 1	1	c a 1	1 z	b
		0 d						,
	a c a

где Rec Rea 0, и учитывая коэффициенты при соответствующих членах в двухчастчиной корреляционной функции, получаем следующее выражение:

x t

x

x t

x

2Dt 1t

F

1;1 ;1 :

t

. (6.29)

0

0

2 2 1

t

Важно отметить, что несмотря на то, что статистика решения (6.28) является гауссовой, она также является нестационарной вследствие

295

того, что корреляционная функция зависит от t и t по отдельно-

сти и не зависит от разности t t .

На основании представленных выше результатов можно получить выражение для зависящей от времени вариации. Используя выражение (6.29), для второго момента распределения по времени

при условии t t t

можно записать:

x

t

x

2

2Dt2 1

F

1;1 ;1 :1

.

0

2 2 1

Используя соотношение [210]

2 F1 a;b;c :1

c c a b

,

c a c b

справедливое при условиях

Rec Re a b

и

c

не является це-

лым, получается следующее выражение:

x

t x0

2

2Dt2 1

.

(6.30)

2 1 2

Данный результат согласуется с результатами для аномальной диффузии, если выполнить отождествление H 12, где пара-

	1		3
метр ,	в общем случае, может находиться в пределах		;			,
		2
			2

так что 0 H 1. Если рассматривать область значения 1, то получается 0 H 12 и, таким образом, процесс обладает свойством антиперсистентности.

Случай немарковской статистики. Известно, что благодаря ли-

нейной природе процедуры дифференцирования статистика динамического процесса, описываемого уравнением дробного порядка (6.28), является гауссовой, если предполагается, что случайная сила распределена по закону Гаусса. Но при этом вариация, определяемая согласно (6.30), явно нелинейна. Таким образом, функция плотности распределения (плотности вероятности) в общем случае имеет вид

296

p x x ,t t					1				x x0				2
								exp							, (6.31)
	0									2	t t			2 H
				2		2H
0									2
				2 t t0								0

где параметр второго момента распределения определяется как

	2		D	.
		H	H 1 2 2

Выражение (6.31) соответствует плотности вероятности для ФБД в определении 5.5. Как было подробно рассмотрено выше, распределение Гаусса является решением уравнения Фоккера – Планка, которое, в свою очередь, получается как разложение в ряд уравнения Колмогорова – Чепмена. Поэтому можно ожидать, что изучаемый случайный процесс, описываемый (6.31), является марковским. Однако это не так. Для того чтобы показать, что распределение (6.31) не описывает марковский процесс, можно воспользоваться следующим подходом [211]: предположить, что (6.31) удовлетворяет уравнению Колмогорова – Чепмена и показать, что данная гипотеза приводит к противоречию.

В одномерном случае при переходе из точки x,t1 0 в точку

z,t3 t t через точку y,t выражение (4.19) можно перепи-

сать для плотности вероятности в следующем виде1:

p z,t t		x,0 dzp z,t t		y,t p y,t		x,0 .	(6.32)

Учитывая выражение (6.31) переходная плотность вероятности может быть записана в виде

		1					z y 2
	p z,t t	y,t				exp					.
							2	2	t	2H
				2 2 t2H

Можно было бы ожидать, что при t t можно получить уравнение Фоккера – Планка из (6.32) путем разложения переходной плотности вероятности в окрестности t 0 следующим образом:

1 В данном случае, в отличие от главы 3, используется несколько иная запись плотностей вероятностей, в которой в явном виде «начальная / конечная» пространственная точка объединена с соответствующим моментом времени, что представляется более оправданным именно с физиче-

ской точки зрения. При этом p t1,t2 , x1 , x2 p x2 ,t2

x1,t1 .

297