Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

Как и ожидалось, при целых рангах обобщенные (дробные) моменты равны единице, а при вещественных q – осциллируют с ам-

плитудой, зависящей от ранга и от n. Амплитуда осцилляций

кумулянтов и, как следствие, H Pj -моментов быстро падают с рос-

том средней множественности. Возникновение осцилляций объясняется поведением -функций в знаменателях факториальных моментов и кумулянтов.

При больших n факториальные моменты стремятся к единице

во всей комплексной плоскости q. Однако кумулянты стремятся к

нулю лишь при Req 1 и растут по величине в обратном случае с

ростом n в области высоких энергий. Важно отметить, что ука-

занные качественные особенности присутствуют в поведении моментов и других распределений, рассмотренных ниже.

3.2. Отрицательное биномиальное распределение

Важность ОБР для физики частиц была кратко рассмотрена выше. Здесь необходимо отметить, что ОБР получается также при рассмотрении ветвящегося процесса, а также процесса рождения и уничтожения с иммиграцией.

Для физических приложений плотность и производящая функция ОБР могут быть записаны в виде

pNB Cn			n	, NB z 1 z r	,	n	,
						r
n	n r 1 1 n r
где, в данном случае,			r – свободный параметр.		В частных случаях

ОБР переходит в другие хорошо известные распределения: в пределе r получается распределение Пуассона, при r 1 – распределение Бозе – Эйнштейна. Видно, что производящая функция обладает сингулярностью в точке z 1 и z 0 при n и

r const. Таким образом, по мере роста энергии вычисления производной производящей функции происходит все ближе к данной точке сингулярности.

Моменты целочисленных рангов определяются по следующим формулам:

328

NB

1 r j

NB

j

NB

j r 1

f

, k

, H

rB j,r .

r j r

r j 1

j

j

j

r j

Из полученных соотношений видно, что при фиксированном значении параметра r факториальные моменты ОБР увеличиваются с ростом r быстрее экспоненциальной функции. Кумулянты всегда положительны, значения их сначала быстро падают, достигая минимума при j r, и растут при дальнейшем увеличении ранга. Не-

обходимо отметить, что кумулянты остаются положительными даже для произведения производящих функций ОБР с разными параметрами. Отношения факториальных моментов и кумулянтов, H j -

моменты, монотонно уменьшаются при увеличении ранга ( j r при больших j ) и тоже всегда положительны. Указанные харак-

терные особенности поведения моментов ОБР в зависимости от их ранга графически продемонстрированы на рис. 7.1. На данном ри-

сунке представлены зависимости ln Mj j , где M f,k, H, для значений параметра r 5,10 и при j 20. Поскольку увеличение параметра распределения r приводит к более узкому распределению, рост fj при r 10, как и ожидалось, оказывается медленнее,

чем при r 5. Зависимость от r еще более явно видна в поведении кумулянтов и частично компенсируется в поведении H j -моментов.

Важно отметить, что указанные особенности являются специфическими для ОБР и не столь явно проявляют себя в КХД.

ОБР, так же как и распределение Пуассона, помимо КНО - скейлинга в асимптотической области n характеризуется постоян-

ством моментов как функций n при фиксированном значении параметра r, то есть f -скейлингом. При n и фиксированном значении r КНО-функция для ОБР определяется по формуле

	x	rr		xr 1 exp rx .
		r 1 !

Общие выражения для моментов, справедливые во всей комплексной плоскости ранга q, имеют следующий вид [38]:

329

F r, q;1 q;

r

F 1,1;2 q; ln

fNB

, kNB

1 q

,

n q 1 q

q

n q 1 q

q

NB

r F 1,1;2 q; 1 q ln

H j

r

,

.

1 q F 1,r;1 q;

1

Рис. 7.1. Зависимость (целочисленных) факториальных моментов (а), кумулянтов (б) и H -моментов (в) от ранга для ОБР при двух различных значениях параметра распределения. Кривые плавно соединяют точки при целых рангах и проведены для наглядности [38]

330

Осцилляции моментов между целочисленными положительными q вымирают с увеличением n , то есть они малы при высоких энергиях, и уменьшением параметра r. При отрицательных значениях q моменты растут с увеличением средней множественности.

3.3. Распределение для фиксированной множественности

Пример данного распределения явно демонстрирует, что поведение моментов (даже целочисленных рангов) может радикально отличаться от того, что наблюдалось для рассмотренных выше распределений. Дополнительно данный пример подчеркивает важность процедуры отбора событий в эксперименте и, соответственно, степень ее влияния на получаемые результаты.

Как известно, достаточно часто для анализа выбираются события вида

a b 1 2 n0 X ,

n0 const,

то есть с заданной множественностью вторичных частиц (полуинклюзивные события). В данном случае плотность и производящая функция (7.10) определяются как

pn nn0 , z 1 z n0 .

Поскольку n n0 , то для моментов целочисленных рангов спра-

ведливы следующие соотношения:

						1 j		n0
			n0 !			n0			,1 j n0 ,
F
		j	n0 j !			n0 j 1
fj	n0
		0,							j n0 ,
kFj n0 1 j j , H Fj							1 1 j n0 B j,n0 j 1 .

Необходимо отметить, что вследствие поведения факториальных моментов в зависимости от ранга, H j -моменты можно вычислять

только при j n0.

Факториальные моменты уменьшаются монотонно с ростом ранга до n0 (рис. 7.2,а), данное поведение является не типичным для КХД. Характерной чертой рассматриваемого бесконечно узкого распределения являются осцилляции кумулянтов при целых зна-

331

чениях рангов, которые положительны при нечетных значениях j и отрицательны при четных (рис. 7.2,б). Амплитуда осцилляций

кумулянтов уменьшается при увеличении значения ранга от	j 1
до j n0 , а затем монотонно растет. Необходимо отметить,	что

подобное поведение наблюдается при анализе распределений, возникающих в результате уравнений КХД, хотя «периоды» осцилляций будут существенно отличаться от данного случая [38]. Необходимо подчеркнуть, что появление осцилляций для кумулянтов и, соответственно, для H j -моментов (рис. 7.2,в) в данном случае мо-

жет быть связано только с процедурой отбора событий в эксперименте, а не с динамикой взаимодействия. Таким образом, в полуинклюзивном случае детальное знание условий отбора событий для анализа является исключительно существенным при проведении сравнения экспериментальных данных и результатов расчетов по феноменологическим моделям.

При произвольных значениях ранга моменты распределения с фиксированной множественностью определяются следующим образом:

fF	n01 q B n0 ,1 q		, kF n	1 q	1 1 q	, H F	1 1 q		,
q	1 q		q 0		1 q	q	B n0	,1 q

где x d ln x dx – -функция. При асимптотически вы-

сокой множественности n0 для фиксированного значения ран-

га fq 1, k H q 0.

Важно подчеркнуть, что для всех рассмотренных примеров значения дробных моментов вычислялись именно на основе производных дробного порядка согласно (7.15), а не с помощью прямого «аналитического продолжения» формул для целочисленных рангов на общий случай.

Общим свойством осцилляций моментов в рассмотренных распределениях является смена максимума на минимум при изменении ранга момента на единицу. Однако если для распределения Пуассона и ОБР при целочисленных рангах находятся узлы, то для распределения с фиксированной множественностью – именно точки экстремумов.

332

Рис. 7.2. Моменты распределения с фиксированной множественностью в зависи-

мости от ранга. Зависимости ln

k j j

и ln

H j j

представлены на врезках для

(б) и (в) соответственно, Кривые соединяют точки при целых рангах и проведены для наглядности [38, 224]

Важно отметить, что амплитуды наблюдаемых осцилляций малы при больших множественностях (высоких энергиях) и могут быть полезными в действительности лишь для распределений с малой и средней множественностью. Данное условие при высоких

333

энергиях может реализовываться при рассмотрении малых областей фазового пространства. В то же время рост отрицательных моментов с увеличением n оказывается полезным при анализе

структуры и особенностей распределений в полном фазовом пространстве [219].

§4. Уравнение Фоккера – Планка дробного порядка

Распределение вероятности (распределение по множественности) и уравнение расщепления с помощью преобразования Пуассона трансформируются, соответственно, в плотность вероятности (в скейлинговую KNO-функцию) и уравнение Фоккера – Планка.

Как было указано выше, интегродифференциальное исчисление дробных порядков имеет достаточно длинную историю. Однако уравнение Фоккера – Планка дробного порядка было введено для описания явления аномальной диффузии относительно недавно [225 – 228], при этом соответствующие производные дробных порядков заменили обычные производные по пространственным переменным и времени. Если производная дробного порядка для временной переменной введена в правую часть уравнения Фоккера – Планка, то это означает, что вводится своего рода задержка по времени или эффект памяти в уравнение Фоккера – Планка или в уравнение расщепления. Ниже рассмотрен более подробно данный тип уравнения Фоккера – Планка дробного порядка. Необходимо отметить, что решение указанного уравнения сводится к гамма-распре- делению в случае замены производной дробного порядка обычной производной.

В данном параграфе рассматривается следующее уравнение Фоккера – Планка дробного порядка:

z,t
t					2 z z,t						(7.16)
1	2									1
D0,t									z z,t D0,t		L z,t ,
			2		z	2		z

с начальным условием

z,t 0 z z0 .

334

Здесь 0 1, 0, 0	и	– реальная постоянная, D1	–
		0,t

дробная производная Римана – Лиувилля (2.26) по времени при t 0. Дифференциальный оператор обычного уравнения Фоккера – Планка в данном случае формально может быть записан в следую-

щем виде: L	2		2	z		z .	Важно отметить, что D0	1,
			z2
2					z		0,t
то есть при 1			выполнено D0,0 t f				t f t и уравнение (7.16)

переходит в обычное уравнение Фоккера – Планка с параметрами a z 2 z2 и b z z.

Необходимо отметить, что если в момент t0 распределение ха-

рактеризовалось средней множественностью n0 , то плотность распределения по множественности pn t для момента времени t

может быть связана с соответствующей скейлинговой КНО - функцией z,t с помощью преобразования Пуассона:

n

n0

n

p

t

un exp n

0

u

u,t

du.

(7.17)

n!

0

Используя в данном параграфе стандартное определение (П3.5), с учетом последнего соотношения производящая функция может быть определена следующим образом:

1 zn0 u,t exp zu du.

0

В соответствии с методом, предложенным в [228], можно предположить, что

z,t Rs t Gs z ds,

0

и что функция Gs z удовлетворяет следующему уравнению:

		Gs z
LGs z				,
		s
	z z z0		.
G0

335

При выполнении указанных условий функция Gs z

определяется

по следующей формуле [229]:

1

2

z z

0

1 p

2

zz

1 p

Gs z

1

z

0

exp

I 1

kp

kp

1

p

kp

z0

и становится скейлинговой КНО-функцией. Здесь I x

–

моди-

фицированная функция Бесселя, k 2

2 , 2

2

, p 1 e s .

Применяя преобразование Лапласа к (7.16) можно получить

1

1 Rs u

uRs u u

R0 u

z z0 ,

s

Gs z ds 1 u

0

Rs t .

– лапласов образ для

Далее

где Rs u Rs t exp ut dt

0

можно предположить, что обе части полученного уравнения равны нулю, то есть справедливо

u

1

u 1,

R0

1 Rs u

u

uRs u .

u

u

exp

, тогда

u

1

su

Решением данной системы является Rs

s

t c0 i

1

s

0

R

t

2 i c i

exp

t

d ,

c

0.

0

что 0. Тогда

Для дальнейшего рассмотрения предполагается,

полученная выше формула для Gs z

может быть переписана в

виде следующего ряда по полиномам Лаггера Lm 1 x :

1

z 1

z

m!

1 z

1 z

0

Gs z

exp

Lm

Lm

exp m s .

k

k

k

k

m 0 m

k

Необходимо отметить, что для функции Миттаг – Лефлера справедливо следующее интегральное представление:

	E t	sin
			dx
			0

	exp	xt 1
			,	t 0.
	x2 2x cos 1

336

Таким образом, при z0 0 решение уравнения Фоккера – Планка дробного порядка (7.16) будет иметь вид

z 1

z

m!

1 z

z,t

exp

Lm

E m t

. (7.18)

k

m

k m 0

k

При 1 данное выражение сокращается до гамма-распределе- ния, представляющего собой скейлинговую KНО-функцию для ОБР.

Производящая функция, соответствующая (7.18) и определению (П3.5), может быть записана как

	m		k n0	z 1	m
						E m t		.
z
	m!		1 k n0	z 1	m
m 0

Можно показать, что при 1 данное выражение сокращается до

			NB	z			NB	z 1
	производящей функции ОБР					n				, где
					1

средняя множественность равна nNB k n0 1 exp t .

На основе формулы для производящей функции можно получить следующее выражение для нормированных факториальных моментов целочисленного ранга:

			j
fj	j		1 m Cmj E m t						(7.19)
			m 0					.
	j			t			j
			1 E

Видно, что различие между нормированными факториальными моментами, полученными для уравнения Фоккера – Планка дробного порядка 0 1 , и соответствующими моментами для ОБР

1 определяется функцией Миттаг – Лефлера [229].

§5. Сравнение с экспериментом

Ниже рассматриваются некоторые экспериментальные результаты и обсуждается эффект влияния производной дробного порядка на поведение моментов, являющихся экспериментально определяемыми характеристиками распределений по множественности.

337