Магнитное поле в вакууме 19.7

Если контур расположен внутри
тороида, то он охватывает N
витков с током (N – число витков в
тороидальной катушке). Тогда
количество токов охватываемых
контуром радиуса r равно NI.
Следовательно, по теореме о
циркуляции получаем , откуда
следует, что внутри тороида
B 0	NI
2	r

Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает, поэтому для такого контура . Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.

Магнитное поле в вакууме 19.8

Магнитное поле плоскости с током.

Рассмотрим безграничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно распределенный ток одного направления. Введем понятие линейной плотности тока как вектор i, направленный вдоль линий

тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходящийся на единицу

длины, которая играет роль поперечного Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити сечения.

с током, нетрудно видеть, что результирующее поле В будет направлено параллельно плоскости, причем направление с разных сторон плоскости будет различным и определяться по правилу

правого винта.

Магнитное поле в вакууме 19.9

Зная, как расположены в этом случае линии вектора В, выберем

контур в виде прямоугольника. Две стороны, которого параллельны плоскости, а две перпендикулярны. Тогда

циркуляция вектора В по перпендикулярным сторонам будет

равна нулю, так как так как проекция вектора В на них равна

нулю. Следовательно по теореме о циркуляции получаем

2Bl 0il

В итоге находим

B 12 0i

Магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь на расстояниях близких к пластине и удаленных от ее краев.

Магнитное поле в вакууме 19.10

Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о циркуляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.

Однако теорема о циркуляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее. Вместе с тем надо понимать, что число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора В, небольшое. Примером может служить задача о нахождении магнитного поля на оси кругового тока.

B

dBz dB

zr

R dl

I

	Прямой расчет дает следующее значение для магнитной
	индукции на оси кругового тока:2 R2I
	B(z)	0
		4 z2 +R2 3 2

Магнитное поле в вакууме 19.11

В центре витка с током (z=0) и на расстоянии z>>R модуль

вектора В равен

	B(z=0)	0	2 I	,	B(z ? R)	0	2 R2I
		4	R			4	z3

Лекция 20 Сила Ампера. Работа поля В при перемещении контура

стоком.

Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому движутся заряды. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током.

Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд – носитель тока, равный ρdV. Тогда сила, действующая на элемент dV проводника, может быть записана в виде:

dF dq v,B v,B dV

Так какj v	dF j,B dV	Закон Ампера
		jdV Idl получим
Если ток течет по тонкому проводнику, то так как
	dF I dl,B	Закон Ампера

Магнитное поле в вакууме 20.2

dF I dl,B

Пусть в пространстве имеется два параллельных проводника. Первый проводник создает в пространстве магнитное поле, на второй проводник, находящейся в поле первого будет

действовать сила Ампера. Аналогично и на первый проводник

будет действовать поле второго проводника. В результате между проводниками возникают силы притяжения или

отталкивания, обусловленные магнитным взаимодействием токов. Можно убедиться в том, что токи, одинаково

направленные, притягиваются, а противоположно

Магнитное поле в вакууме 20.3

Результирующая сила Ампера, которая действует на контур с

током в магнитном поле, определяется следующим образом:

F IÑdl,B

Где интегрирование проводится по всему данному контуру с током. Если магнитное поле однородно, то вектор В можно

вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислениюÑdl

векторного интеграла Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку

элементарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит и F=0, т.е. результирующая сила Ампера равна нулю в однородном магнитном поле.

Если магнитное поле неоднородно, то результирующая сила отлична от нуля и определяется с помощью интегрирования.

F IÑdl,B

Магнитное поле в вакууме 20.4

Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента pm. По определению

pm ISn

Подробный расчет по

формуле с учетом малости контура приводи к следующему выражению

для силы, действующей на элементарный контур с током в

неоднородном магнитном поле: B F pm n

B	– производная вектора В по направлению нормали n
n	или по	направлению вектора pm.

Магнитное поле в вакууме 20.5

Из анализа полученной формулы можно сделать следующие

выводы: B 0

n

1) как и ожидали, в однородном магнитном поле F=0, так как

;

2)направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с

вектором pm; вектор F совпадает лишь с направлением

контура.