МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 3-ГО КУРСА

А.Г.Аленицын, А.С.Благовещенский, М.А.Лялинов, В.В.Суханов

Cанкт-Петербургский Государственный Университет Физический факультет

Оглавление

1.1.5Ряд Лорана. Особые точки функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.8Разложение функций в ряды простых дробей и в бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3Интегралы от многозначных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.1Дробно-линейная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.2 Степенн´ая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.3Функция Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.4Функции exp z, ln z, sin z и cos z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.5 Интеграл Кристоффеля-Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.6Применение конформных отображений в электростатике . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1Пространство K основных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6Основные и обобщённые функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7Предельный переход в пространстве обобщённых функций. Обобщённые функции, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.8Свёртка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.9Дифференциальные уравнения с обобщёнными

функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.9.1Обыкновенные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.9.2Уравнения с частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.10Фундаментальные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.11 Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2

3.1Классификация уравнений 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2Метод разделения переменных (метод Фурье).

Элементаpные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.1 Две независимых переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3Три или четыре независимых переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4 Метод Даламбера для уравнения колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.1Неограниченная струна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.1Цилиндpические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1Понятие асимптотического разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.1Монотонная фазовая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.2Фазовая функция с наибольшим значением

внутри промежутка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3Асимптотика интегралов типа Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3.1Монотонная фазовая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3.2Немонотонная фазовая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4Асимптотика кратных интегралов типа Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5 Метод перевала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.1Неособые точки уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1.2Регулярная особая точка уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2Уравнения с линейными коэффициентами:

построение решений методом Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.1Случай 1-й: A0 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.2Случай 2-й: A0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3

ГЛАВА 1

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1.1 Однозначные регулярные функции

1.1.1 Комплексные числа

Комплексные числа – это пары вещественных чисел (a, b). Запись комплексного числа z в алгебраической форме: z = a + bi, где a – вещественная часть, b – мнимая часть числа z, i – мнимая единица. Стандартные обозначения: a = Re z, b = Im z. Два комплексных числа равны, если равны соответственно их вещественные и мнимые части. Комплексное число с нулевой мнимой частью, т.е. a + 0i, отождествляется с вещественным числом a.

Сумма комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i определяется формулой z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i, произведение – формулой z1z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2) i. В частности, i2 = −1.

Для комплексного числа z = a + bi число a − bi является сопряженным, оно обозначается z.

√

Модуль комплексного числа: |z| = a2 + b2 ≥ 0. Очевидно, z · z = |z|2 = a2 + b2. Деление

числа z1 на число z2 выполняется при помощи умножения числителя и знаменателя дроби z1 на число,

z2

сопряжённое знаменателю.

Комплексное число z = x + iy изображается на плоскости x, y точкой с координатами (x, y). Расстояние между двумя точками z и z0 равно |z −z0|. Комплексному числу z = x + iy можно сопоставить также радиус-вектор точки (x, y). Угол между положительной полуосью Ox и радиусом-вектором называется аргументом комплексного числа. При отсчёте против часовой стрелки угол считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным. Аргумент комплексного числа, не равного нулю, определяется с точностью до целого числа полных поворотов вокруг начала координат, т.е. 2πn, n Z.

Показательная форма комплексного числа: z = r eiφ.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В частности, если n – целое число, то zn = rn einφ.

Корень степени n из комплексного числа z = reiφ при r 6= 0 имеет n различных значений:

Логарифм комплексного числа z 6= 0 имеет счётное множество значений:

Ln z = ln r + i (φ + 2πk), k = 0, ±1, ±2, ...

4

1.20.Исследовать поведение функций sin z, tg z, sh z при y → ±∞.

1.1.2Условия Коши-Римана

Окрестностью точки z0 на плоскости z называется какой-либо круг с центром в этой точке. Функция f(z), имеющая производную в окрестности точки z0, называется регулярной, или голоморфной, функцией в этой окрестности.

Пусть f(z) = u(x, y) + iv(x, y), где u(x, y) и v(x, y) – дифференцируемые вещественные функции в окрестности D точки z0. Для регулярности функции f(z) в D необходимо и достаточно, чтобы в этой

Условия ( ) можно записать в другом виде. Если учесть, что x = (z + z)/2, y = (z − z)/(2i), и подставить эти выражения в u(x, y) + iv(x, y), то мы получим некоторую функцию f, зависящую, вообще говоря, от z и z. Условия Коши-Римана равносильны тому, что f фактически не зависит от z, т.е. что

≡ 0.

Множество точек на плоскости называется открытым, если каждую точку множества можно окружить окрестностью, все точки которой принадлежат множеству. Открытое множество называется связным, если любые две его точки можно соединить ломаной, все точки которой принадлежат множеству. Открытое связное множество называется областью. Если область лежит внутри какого-либо круга, то она называется ограниченной, в противном случае – бесконечной, или неограниченной. Функция, имеющая производную во всех точках области, называется регулярной (или голоморфной) в этой области.

1.21. Пользуясь условиями Коши-Римана, исследовать на регулярность функции: а) z2; б) z−1; в) z|z|; г) x2 − y2 − 32y + y3 + i (2xy + x3 − 3xy2);

д) ez; е) cos z + (cos z).

1.22.Доказать теорему: пусть функция f(z) регулярна в области D, лежащей в верхней полуплоскости Im z > 0, тогда функция f(z) регулярна в области D , симметричной D относительно вещественной оси.

1.23.Доказать формулы:

f0(z) = ∂∂ ux − i∂∂ uy = ∂∂ yv + i∂∂ xv .

1.24.Пусть функция f(z) регулярна в области D и её производная равна нулю во всех точках области. Доказать, что f(z) ≡ const.

1.25.Записать условия Коши-Римана в полярных координатах.

1.26.Пусть функция f(z) регулярна в области D. Доказать,что если одна из функций:

u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z),

ρ(x, y) = |f(z)|, φ(x, y) = arg f(z),

cохраняет в области D постоянное значение, то и f(z) ≡ const.

Пусть задана вещественная часть u(x, y) регулярной функции f(z). Зная u(x, y), можно найти v(x, y) – мнимую часть функции, а тем самым и саму функцию f(z). Именно, в силу условий КошиРимана, дифференциал функции v(x, y) равен dv(x, y) = −u0y(x, y)dx + u0x(x, y)dy. Найти функцию

6

по её полному дифференциалу можно при помощи криволинейного интеграла 2-го рода (см. 2-ю часть данного задачника):

Начальная точка (x0, y0) и постоянная v(x0, y0) произвольны. В силу произвола в выборе пути интегрирования, соединяющего начальную и конечную точки, можно составить этот путь из отрезков прямых, параллельных осям:

xy

ZZ

Если вместо вещественной части задана мнимая часть регулярной функции, то вещественная часть находится аналогично.

Пусть ξ(t) и η(t) – непрерывные функции, имеющие кусочно-непрерывные производные. Кривая γ : x = ξ(t), y = η(t), t [t0, t1] называется контуром. Контур γ простой, если он не имеет самопересечений. Контур γ замкнутый, если его начальная и конечная точки совпадают: ξ(t0) = ξ(t1), η(t0) = η(t1). Контур бесконечный, если lim z(t) = ∞ при t → t0 или t → t1.

Область называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно при помощи непрерывной деформации стянуть в точку, принадлежащую области. Например, семейство окружностей x2 + y2 = α2 непрерывно стягивается в точку (0, 0) при α → 0. Неодносвязные области называются многосвязными. Примеры: круг – односвязная область, кольцо – двусвязная область. Если область D многосвязна, то в результате интегрирования ( ) может получиться неоднозначная функция (см. главу "Многозначные функции"). Если же D – односвязная область, то при любом выборе пути интегрирования внутри D значение полученной функции зависит только от точек (x0, y0) и (x, y).

Более короткая процедура нахождения регулярной функции по её вещественной части основана на аналитическом продолжении с вещественной оси (см. также параграф "Многозначные функции"): если область регулярности функции f(z) содержит отрезок [a, b] вещественной оси, то значения этой функции при комплексных z полностью определяются её значениями на вещественном отрезке. Значения функции v(x, y) при y = 0 находятся по формуле

Теперь f(z) известна на отрезке вещественной оси: f(x) ≡ u(x, 0) + i v(x, 0). Это тождество продолжается в комплексную область простой заменой x на z, т.е. f(z) = u(z, 0) + i v(z, 0).

Примечание. Для того, чтобы функция u(x, y) была вещественной или мнимой частью регулярной функции в области D, необходимо и достаточно, чтобы она была гармонической, т.е. дважды непрерывно дифференцируемой и удовлетворяющей уравнению Лапласа u00xx + u00yy = 0.

В задачах 1.27 – 1.30 восстановить регулярную функцию f(z) по заданной функции:

1.27. a) Re f = x2 − y2 + x, f(0) = 0; б) Im f = x2+xy2 .

1.28. Re f = ex (x cos y − y sin y) + 2 sin x sh y + x3 − 3xy2 + y. 1.29. Im f = ln(x2 + y2) + x − 2y. 1.30. |f| = (x2 + y2)ex.

В задачах 1.31 и 1.32 выяснить, существуют ли гармонические функции указанного вида, и в случае существования – найти их, а также соответствующую регулярную функцию f(z) = u + iv.

7

1.31.a) u = ψ(x); б) u = ψ(ax + by), где a и b – вещественные числа.

1.32.а) u = ψ(x2 + y2); б) u = ψ(xy ); в) u = ψ(x2 + y).

1.33.Найти регулярные функции, у которых вдоль каждой линии данного семейства сохраняет по-

стоянное значение: вещественная часть (1), или модуль (2), или аргумент (3): а) y = Cx; б) x2 + y2 = Cx; в) xy = C.

1.1.3 Степенные´ ряды. Ряд Тейлора

∞

Степенной ряд имеет вид P cn(z − a)n. Каждый степенной ряд имеет свой радиус сходимости

n=0

R и круг сходимости |z − a| < R. Внутри круга сходимости ряд сходится (и притом абсолютно), а вне круга расходится. В любом меньшем замкнутом круге |z − a| ≤ R1 < R степенной ряд сходится равномерно.

Cумма степенного ряда S(z) есть регулярная функция в круге сходимости. Внутри круга сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам

В случае R = 0 степенной ряд сходится только в точке z = a, в случае R = ∞ ряд сходится в любой точке плоскости z.

∞∞

д) P zn!; е) P cos(in)zn.

n=0 n=0

Исследовать поведение степенного ряда на границе круга сходимости:

Регулярная в круге |z − a| < R функция f(z) может быть разложена в этом круге в ряд Тейлора: f(z) = f(a) + 1!1 f0(a)(z − a) + 2!1 f00(a)(z − a)2 + ... + n1!f(n)(a)(z − a)n + ...,

и такое разложение единственно.

Фактически радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки a до ближайшей особой точки функции (см. также параграф "Ряд Лорана и особые точки функции").

Для разложения функции в степенной ряд часто оказываются полезными следующие "основные"разложения

8