Переменные разделяются: w = R(r)Φ(φ), r2R00 + rR0 λR = 0, Φ00 ± λΦ = 0. Знак (±) перед λ выбирается в соответствии с тем, по какой из переменных (радиусу или углу) будет поставлена задача на собственные значения.

5.35.Область имеет форму полукольца: a < r < b, 0 < φ < π. Найти гармоническую функцию, равную нулю на прямолинейных участках границы и на дуге r = a, 0 < φ < π, и равную f(φ) на дуге r = b, 0 < φ < π.

5.36.Область имеет форму полукруга: 0 < r < b, 0 < φ < π. Найти гармоническую функцию, равную нулю на прямолинейном участке границы, и равную sin2 φ на дуге r = b, 0 < φ < π.

5.37.Найти функцию, гармоническую в полукруге 0 < r < b, 0 < φ < π и удовлетворяющую граничным условиям: ∂u∂y |y=0 = 0, u(b, φ) = φ.

5.38.Найти функцию, гармоническую в круге 0 < r < a и принимающую на окружности заданные значения: u(a, φ) = f(φ).

Указание. Однозначность решения u(r, φ) в каждой точке круга означает для угловой функции Φ(φ) периодичность с периодом 2π, откуда Φ = An cos nφ + Bn sin nφ, n = 0, 1, 2, ....

5.39. Область D имеет форму полукольца: 1 < r < e, 0 < φ < π. Найти гармоническую в D функцию u(r, φ), принимающую на границе области такие значения: нуль на дуговых участках границы, нуль при φ = 0, 1 < r < e, и g(r) при φ = π, 1 < r < e.

3.3 Три или четыре независимых переменных

Уравнение теплопроводности

1. Пусть D – теплопроводящая пластина на плоскости R2, ограниченная кусочно-гладким контуром = ∂D, u(~x, t) – температура пластины в точке ~x R2 в момент времени t; считается, что тепло может распространяться только в плоскости. Функция u(~x, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности ut − a2 u = 0, где a > 0, – оператор Лапласа. Начальное условие: u|t=0 = h(~x). На кривой поставлено граничное условие (αu + β ∂n∂u ) | = 0, где n – внешняя нормаль к контуру, α/β – коэффициент внешней теплопроводности.

При разделении переменных ищут частные решения уравнения в виде w = T (t)Ψ(~x), что приводит к двухмерной задаче типа Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа: −ΔΨ(~x) = λΨ(~x), с гранич-

ным условием (αΨ + β ∂n∂ Ψ) | = 0, и уравнению T 0(t) + a2λT (t) = 0. Пусть λk – собственное значение оператора Лапласа, Ψk(~x) – соответствующая собственная функция, k = 1, 2, ... Собствен-

ные значения вещественны, а собственные функции ортогональны:

Z

Ψi(~x)Ψk(~x) d~x = 0, i 6= k, d~x = dx dy.

D

Решение задачи получается в виде ряда по собственным функциям:

				u(~x, t) =		∞	Tk(0)e−a2λktΨk(~x),
						X
						k=1
1			R		2	R	2
где Tk(0) =		D h(~x)Ψk(~x) d~x, ||Ψk||				= D Ψk(~x) d~x.
	||Ψk||2
2. Пусть D – теплопроводящее тело в пространстве R3, ограниченное кусочно-гладкой поверх-
ностью S = ∂D, и				u(~x, t) – температура тела в точке ~x R3 в момент времени t. Функция u(~x, t)
удовлетворяет уравнению теплопроводности ut − a2 u = 0, где a > 0,									– оператор Лапласа. На-
чальное условие: u|t=0 = h(~x). На поверхности S – граничное условие									αu + β ∂n∂u	|S = 0, где n –
внешняя нормаль к поверхности, α/β – коэффициент внешней								теплопроводности.

66

При разделении переменных ищут частные решения уравнения вида w = T (t)Ψ(~x), что даёт трёхмерную задачу типа Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа: −ΔΨ(~x) = λΨ(~x), с граничным

условием
αΨ + β	∂	Ψ |S = 0,
	∂n

и уравнение T 0(t) + a2λT (t) = 0. Пусть λk – собственное значение оператора Лапласа, Ψk(~x) – соответствующая собственная функция, k = 1, 2, ... Собственные значения вещественны, а собственные функции ортогональны:

Z	Ψi(~x)Ψk(~x) d~x = 0, i 6= k, d~x = dx dy dz.
D

Решение задачи имеет такой же вид, что и в двухмерном случае.

5.40. Края прямоугольной пластинки 0 < x < a, 0 < y < b имеют нулевую температуру. В начальный момент времени пластинка была нагрета до температуры u = f(x, y). Распространение тепла

описывается уравнением ut = γ u.
а) Найти температуру пластинки u(x, y, t) при t > 0.
б) Найти решение в частном случае f(x, y) = sin 2πx sin	πy .
a	b

Указание. Проверить, что функции Ψm,n(x, y) = sin mπxa sin nπyb – собственные функции оператора Лапласа в прямоугольнике D : 0 < x < a, 0 < y < b с условием u = 0 на всех сторонах. Решение задачи имеет вид двойного ряда по функциям Ψm,n(x, y).

5.41.Края плоской квадратной пластинки 0 < x < π, 0 < y < π теплоизолированы от остальной части плоскости, т.е. производная от u по нормали к контуру равна нулю. При t = 0 температура равна f(x, y). Найти температуру u(x, y, t) пластинки при t > 0. Каков предел u при t → +∞?

5.42.Шар 0 ≤ r ≤ a имел при t = 0 температуру u(r, 0) = f(r). Поверхность шара теплоизоли-

рована: ∂u	= 0 при r = a. Внутри шара тепловой процесс описывается уравнением ut = γ u. Найти
∂r

температуру u(r, t) шарa при t > 0.

Указание. Радиальная часть оператора Лапласа в сферических координатах имеет вид ∂r∂22 + 2r ∂r∂ . Если сделать подстановку u = v(r, t)/r, то для новой неизвестной функции v(r, t) получится уравнение vt = γvrr, с начальным условием v(r, 0) = rf(r). Граничные условия будут: avr − v = 0 при r = a, и v = 0 при r = 0. Последнее равенство вытекает из естественного требования, что температура в центре шара непрерывна.

5.43. "Ядерный реактор". Шар 0 ≤ r ≤ a ("реактор") наполнен радиоактивным веществом, в котором происходит цепная реакция деления ядер атомов с выделением нейтронов. Нейтроны хаотически движутся внутри шара, сталкиваясь с ядрами вещества и вызывая тем самым деление ядер. Количество нейтронов, вновь рождающихся при этом за единицу времени, пропорционально количеству уже имеющихся нейтронов (закон цепной реакции). Поверхность шара покрыта специальным составом, в котором происходит частичное отражение и частичное поглощение нейтронов. Найти зависимость количества нейтронов в реакторе от времени. Получить уравнение критического состояния реактора.

Указание. Обозначим количество нейтронов в шаре в момент времени t через u(r, t), тогда количество рождающихся нейтронов будет bu(r, t), где b > 0 – кэффициент цепной реакции. Процесс описывается уравнением диффузии ut = α2 u + bu; здесь a2 – коэффициент диффузии нейтронов. На поверхности шара имеет место граничное условие −∂u∂r = γu, где число γ > 0 имеет смысл коэффициента прозрачности оболочки, т.е. способности окружающей среды поглощать нейтроны. См. также задачу 5.42.

Волновое уравнение

1. Мембрана – упруго pастяжимая, гибкая плёнка, натянутая на плоский замкнутый кусочногладкий контур. Поперечные колебания мембраны описываются волновым уравнением utt − a2(uxx + uyy) = 0. Здесь u(x, y, t) = u(~x, t) – смещение мембраны, т.е. отклонение от положения покоя, a – скорость распространения волн по мембране, ~x R2. На контуре должно выполняться граничное

67

∂w~ ∂t

условие, в простейшем случае – условие закрепления u| = 0. Начальные условия: начальное смещение u|t=0 = f(~x) и начальная скорость ut|t=0 = g(~x). Требуется найти функцию u(~x, t).

Переменные разделяются так же, как в задаче о теплопроводности: w = T (t)Ψ(~x). Пусть λk – собственные значения, Ψk(~x) – собственные функции двухмерной задачи типа Штурма-Лиувилля, тогда смещение мембраны представимо в виде ряда

∞

X

u(~x, t) =

Tk(t)Ψk(~x).

k=1

Функции Tk(t) – решения уравнения Tk00 + a2λkTk = 0 с начальными условиями

Tk(0) =

1

Z

f(~x)Ψk(~x) d~x,

Tk0 (0) =

1

Z

g(~x)Ψk(~x) d~x.

Ψk

2

Ψk

2

||

||

D

||

||

D

5.44. Построить решение задачи о колебаниях квадратной мембраны 0 < x < l, 0 < y < l при условии, что края неподвижно закреплены, а в начальный момент t = 0 мембрана имела смещение u = f(x, y) и нулевую скорость.

2. Распространение звука в газах и жидкостях описывается трёхмерным волновым уравнением utt = α2(uxx + uyy + uzz). Здесь u(~x, t) – потенциал скорости ~v движения частиц среды в точке ~x в момент времени t, т.е. ~v = grad u(~x, t) = , где w~ – отклонение частицы среды от положения покоя; ~x, ~v, w~ R3, α – скорость распространения волн в среде. Пусть тело D ограничено замкнутой поверхностью S = ∂D. На границе S должно выполняться граничное условие, например, ∂n∂u |S = 0. Начальные условия: u|t=0 = f(~x) и ut|t=0 = g(~x).

В методе разделения переменных решение получается в виде ряда по собственным функциям подобно решению задачи о колебаниях мембраны.

5.45. Проверить, что функции Ψijk(x, y, z) = sin iπxa sin jπyb sin kπzc – собственные функции оператора Лапласа в прямоугольном параллелепипеде D : 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c, с условием u = 0 на всех гранях. Построить решение задачи о звуковых колебаниях (utt = u) в области D при начальных условиях u|t=0 = 0, ut|t=0 = xy.

5.46. Шар 0 ≤ r ≤ a наполнен газом, в котором возможны звуковые колебания (скорость волн α). Поверхность шара отражает звук, так что на ней ∂u/∂n = 0. В начальный момент смещения u(r, 0) = 0, ut(r, 0) = f(r). Найти u(r, t).

Указание. См. задачу 5.42.

Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа u(x, y, z) = 0 допускает разделение переменных в декартовых, цилиндрических, сферических и некоторых других системах координат. Методом разделения переменных можно решать краевые задачи с "координатными"границами, т.е. с границами, образованными координатными поверхностями.

1. Пусть D – прямоугольный параллелепипед 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c. Если на гранях

x = 0, x = a граничные условия для функции u(x, y, z) однородные, то переменная x отделяется: w = X(x)Ψ(y, z), тогда X00 + λX = 0, 2Ψ − λΨ = 0, где 2Ψ = Ψyy + Ψzz. Пусть λi и Xi(x) (i = 1, 2, ...) – соответственно собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля по

λiΨi = 0		0 < y	∞
			P
переменной x, тогда u(x, y, z) =			i=1 Ψi(y, z)Xi(x). Здесь Ψi(y, z) – решение краевой задачи 2Ψi −
	в прямоугольнике		< b, 0 < z < c.

Далее, если на гранях y = 0, y = c условия однородные, то переменные y и z также разделяются: Ψi = Y (y)Z(z), Y 00 + µY = 0, Z00 − (λi + µ)Z = 0. Пусть µj и Yj(y) (j = 1, 2, ...) – соответствен-

68