2.5 Локальное поведение обобщённых функций

Для обобщённой функции, в отличие от обычной функций, нет смысла ставить вопрос о её значении в отдельных точках. Все свойства обобщённой функции приходится изучать, наблюдая её действие на пробные функции.

Возьмём интервал (a, b) и рассмотрим множество K(a,b) основных функций φ(x) K таких, что φ(x) = 0 при x < a и x > b.

Определения.

1. Обобщённые функции f(x) и g(x) равны на интервале (a, b), если на любую пробную функцию из множества K(a,b) они действует одинаково:

(f(x), φ(x)) = (g(x), φ(x)), φ(x) K(a,b).

Вчастности, f(x) = 0 на интервале (a, b), если (f(x), φ(x)) = 0 при всех φ K(a,b).

2.Носитель обобщённой функции f(x) (обозначение: supp f(x)) – это множество точек вещественной оси R, полученное в результате удаления из R всех интервалов γ, на которых f(x) = 0: suppf(x) = R\ ( γ).

3.Обобщённая функция называется финитной, если её носитель – ограниченное множество. Из определения носителя вытекает, что носитель – замкнутое множество.

4.25.Найти носители функций θ(x), δ(x) и δ0(x − a).

4.26.Доказать: если f(x) K0 и f(x) = 0 на (a, b), то на том же интервале f0(x) = 0. Следствие: при дифференцировании обобщённой функции её носитель не расширяется (почему?).

4.27.Доказать: носитель суммы двух обобщённых функций не шире объединения носителей этих функций.

4.28.Пусть h(x) C∞ и h(x) = 0 на интервале (a, b). Доказать, что для всякой обобщённой функции f(x) K0 будет h(x)f(x) = 0 на (a, b). Следствие: если любую обобщённую функцию умножить на финитную гладкую функцию, то получится финитная обобщённая функция (доказать).

4.29.Пусть h(x) C∞, h(x) = 0 при x (−∞, a), и пусть f(x) K0, f(x) = 0 при (b, +∞), a < b. Доказать, что тогда supp h(x)f(x) (a, b).

2.6Основные и обобщённые функции многих переменных

Вещественное n-мерное евклидово пространство обозначим Rn. Длину (норму) вектора ~x Rn обо-

значим |~x| или просто r; r =		x12 + ... + xn2 .	C∞	) финитных функций	φ(~x)	. Функ-
Пространство K	основных функций состоит из гладких (класса
		q

ция φ(~x) называется финитной, если она равна нулю вне некоторого шара: φ(~x) = 0, |~x| > R. Пространство S основных функций состоит из гладких функций φ(~x) таких, что сами функции и

любые их частные производные при |~x| → ∞ стремятся к нулю быстрее любой отрицательной степени каждой из координат x1, x2, ..., xn. Это означает, что

lim xk11 ...xknn D1m1 ...Dnmn φ(~x) = 0

|~x|→∞

для любых целых неотрицательных k1, ..., kn и m1, ..., mn. Здесь Di означает частную производную по

координате xi: Diφ =	∂	φ.
	∂xi
	1
4.30. Показать, что функция ζa(~x) = ( exp				, r < a,
			r2−a2

0, r ≥ a,

45

где a > 0, принадлежит пространству K.

4.31. Показать, что функция e−r2 принадлежит пространству S.

Последовательность функций φν(~x) K сходится в пространстве K при ν → ∞ к нулевой функции, если:

1)существует шар |~x| < R, вне которого все функции φν(~x) равны нулю;

2)сама последовательность φν(~x) и последовательность частных производных любого порядка от φν(~x) сходятся равномерно по ~x Rn к нулю.

Последовательность функций φν(~x) S сходится в пространстве S при ν → ∞ к нуле-

вой функции, если при любых целых неотрицательных k1, ..., kn и m1, ..., mn последовательности вида xk11 ...xknn D1m1 ...Dnmn φν(~x)

сходятся равномерно по ~x Rn к нулю, когда ν → ∞.

4.32. Сходятся ли в пространствах K или S последовательности функций: а) 1			ζa(~x);	б) 1	ζν(~x); в)
1 e−r2	; г) 1 e−νr2	ν		ν
		?
ν	ν

Линейные непрерывные функционалы над пространством K называются обобщенными функциями; они образуют пространство K0. Соответственно, обобщённые функции над пространством S образуют пространство S0. Поскольку K S, то S0 K0.

Регулярные обобщённые функции порождаются обычными (локально интегрируемыми) функция-

ми:

Z Z Z

(f, φ) = ... f(~x)φ(~x) dx1...dxn.

Rn

Все нерегулярные обобщённые функции называются сингулярными.

Дельта-функция вводится по формуле ~ .

(δ(~x), φ(~x)) = φ(0)

Сложение обобщённых функций, умножение их на число или на гладкую функцию, а также диффе-

ренцирование (Dm = ∂ ) вводятся по аналогии с одномерным случаем:

∂xm

(α1f1(~x) + α2f2(~x), φ(~x)) = α1(f1(~x), φ(~x)) + α2(f2(~x), φ(~x)),

(h(~x)f(~x), φ(~x) = (f(~x), h(~x)φ(~x)), (Dmf(~x), φ(~x)) = −(f(~x), Dmφ(~x)).

Линейная замена аргумента обобщённой функции определяется исходя из соответствующих свойств кратных интегралов:

1)Пусть ~a – постоянный вектор. Обобщённая функция f(~x − ~a) действует по формуле (f(~x − ~a), φ(~x)) = (f(~y), φ(~y + ~a)).

2)Пусть A – постоянная вещественная невырожденная n × n матрица. Обобщённая функция f(A~x) действует по формуле

(f(A~x), φ(~x)) = det1 A(f(~y), φ(A−1~y)).

4.33. Повороту системы координат в евклидовом пространстве соответствует ортогональная матрица A. Показать, что дельта-функция "сферически симметрична", т.е. δ(A~x) = δ(~x) для всякой ортогональной матрицы A.

В задачах 4.34 – 4.36 дифференцирование понимается в смысле обобщённых функций.

4.34. Функция u(x, y) задана следующим образом: u = 1 при x > 0, y > 0; u = 0 при всех прочих

значениях x и y. Вычислить f(x, y) =					∂2	u(x, y).
	∞ ∞			∂x∂y
Указание: (f(x, y), φ(x, y)) =			∂2		φ(x, y)dxdy = φ(0, 0).
			∂x∂y
	0	0
	R R						2		2
4.35. Пусть u(x, t) = θ(at+x)θ(at−x), где a > 0 – постоянная. Вычислить f(x, t) =							∂	− a2	∂	u.
							∂t2		∂x2

46

Указание. В интеграле по переменным x, t сделать замену ξ = at + x, τ = at − x.

Лапласа).

u, где u = 1/r, r = p

x

+ y

+ z

,

= ∂x2 +

∂y2

+ ∂z2

4.36. а) Вычислить

2

2

2

∂2

∂2

∂2

(трёхмерный оператор

Указание. Пусть B – шар r ≤ R, вне которого φ ≡ 0. Тогда (Δu, φ) =

R u φ dxdydz = lim

R

u φ dxdydz, где K( ) – область ≤ r ≤ R.

B→0K( )

R ~ R , ~

Из формулы Гаусса-Остроградского div A dxdydz = AndS полагая A = u grad φ − φ grad u, мож-

Ω	∂Ω
но получить формулу Грина (u φ − φ u) dxdydz =	(u∂n∂φ − φ∂n∂u )dS.
Ω	∂RΩ
поверхности ∂Ω области Ω. R

Поскольку (в смысле обычных функций) u = 0 при r 6= 0, то (Δu, φ) =

Здесь n – внешняя нормаль к

1 ∂φ		∂ 1
SR( ) r ∂n	− φ	∂n r	dS; здесь

означает сферу . В пределе → получаем − ~ .

S( ) r = 0 4πφ(0)

б) Вычислить u, где u = ln r, r =

,

=

∂2

+

∂2

(двухмерный оператор Лапласа).

x2 + y2

2

2

R

∂x

∂y

формула Грина:

−

Указание. В двухмерном случае

p

(u

φ

φ

u) dxdy =

Ω

R (u∂n∂φ − φ∂n∂u )ds, где ds – элемент длины дуги.

∂Ω

2.7Предельный переход в пространстве обобщённых функций. Обобщённые функции, зависящие от параметра

Пусть fν K0 – последовательность обобщённых функций. Если f K0 и для любой основной функ-

ции φ			K0	→	(f, φ) при ν	→ ∞
		K справедливо (fν, φ)				, то говорят, что fν сходится в пространстве K0
к f, и пишут: fν			→ f, ν → ∞. Аналогично вводится сходимость в пространстве S0.

Обобщённая функция f(x; t), или f(x, t), зависящая от параметра t, понимается как функционал, действующий на пробные функции вида φ(x) K, при этом результат H(t) = (f(x; t), φ(x)) зави-

сит от параметра t как обычная функция. Предел g(x) = lim f(x; t) понимается в том смысле, что

t→t0

(f(x; t), φ(x)) → (g(x), φ(x)) для любой φ K. Говорят также, что f(x; t) непрерывна по параметру t, если непрерывна функция H(t). Производная по параметру понимается как (∂t∂ f(x; t), φ(x))) = ∂t∂ (f(x; t), φ(x)); аналогично вводится интегрирование по параметру.

Дельта-образная последовательность – это последовательность регулярных обобщённых функций, сходящаяся к дельта-функции.

4.37. Выяснить, являются ли при ν → ∞ следующие последовательности дельта-образными:

а) gν

(x) =

0, x

≥ 1/ν,

x

< 1/ν

;

б) gν(x) = Aνe

−

ν2x2 , A = const.

ν (1| |

ν x

),

|

|

−

| |

Указание: применить теорему о среднем.

4.38. Найти lim

h

.

π (x2

+h2)

h→0

4.39. Доказать следующую теорему:

Пусть последовательность непрерывных функций gν(x) ≥ 0 такова, что при ν → ∞:

+∞

β

1)

gν(x) dx → 1,

2)

α gν(x) dx → 0 для каждого промежутка (α, β), не содержащего точки

−∞

R

R

x = 0. Утверждается, что gν(x) → δ(x).

4.40. Пусть U(x, t) =

√

1

exp(−

(x−2ta)2

). Найти lim U(x, t) при t → +0.

2πt

n

n/2

~x 2

K0

4.41. Пусть ~x R ,

U(~x, t) = (2πt)−

exp(−

|2|t

). Доказать, что U(~x, t)

→ δ(~x) при t → +0.

47

4.42. Обозначим предел (в смысле пространства K0) при h → +0 функции f(x) = (x ± ih)−1 через (x ± i0)−1. Найти для этой обобщённой функции формулу, выражающую её через уже известные функции ("формула Сохоцкого").

A

Указание. ((x + ih)−1, φ(x)) = R φ(0)+φ(x)−φ(0) dx, где (−A, A) – промежуток, вне которого φ = 0. x+ih

								−A
	1		x ih			A
						−RA	x ih
Далее,		=	x2−+h2	,	φ(0)		x2−+h2	dx	→ −iπφ(0),
	x+ih

A

R φ(x)−φ(0) dx → (x−1, φ(x)) при h → +0, см. задачу 4.10. x+ih

−A

2.8 Свёртка

Классическая свёртка

Классическая свертка двух обычных функций f(x) и g(x) определяется равенством

(f g)(x) =	+∞
	Z	f(y)g(x − y) dy.

−∞

Свёртку обозначают также f g или f(x) g(x). В многомерном случае интеграл берётся по всему пространству Rn.

Для существования свёртки надо, чтобы функции f и g, во-первых, не имели слишком сильных особенностей и, во-вторых, убывали на бесконечности достаточно быстро (например, одна из функций может быть финитной).

Отметим важные свойства классической свёртки: 1) f g = g f, т.е. свёртка коммутативна; 2) f (g h) = (f g) h, т.е. свёртка ассоциативна; 3) (f g)0 = f0 g = f g0, если законно дифференцирование интеграла по параметру.

В задачах 4.43 и 4.44 найти классическую свёртку функций f(x) и g(x).

4.43.f(x) = g(x) = θ(x).

4.44.f(x) = U(x, t), g(x) = U(x, s), где t и s – параметры,

а) U(x, t) = (2πt)−1/2 exp(	x2	);	б) U(x, t) =	t		.
				2	2
−	2t			x +t

Обобщённая свёртка

Сопоставим классической свёртке h(x) = (f g)(x) регулярную обобщённую функцию h по прави-

+∞	+∞	+∞
R	R	R
лу (h, φ) = (f g)(x)φ(x) dx, φ(x) K. В полученном повторном интеграле	−∞	φ(x) dx f(t)g(x−
−∞		−∞

t) dt поменяем порядок интегрирования и далее в интеграле по x сделаем замену y = x − t, тогда по-

+∞ +∞

R	R
лучим: ((f g)(x), φ(x)) =	f(t) dt g(y)φ(y + t) dy, или
−∞	−∞
((f g)(x), φ(x)) = (f(x), (g(y), φ(x + y)).		(•)

Это равенство принимают за определение обобщённой свёртки. Определение (•) корректно, если для всякой φ K функция ψ(x) = (g(y), φ(x + y)) принадлежит пространству основных функций K, что будет, например, когда g(x) – финитная обобщённая функция. Определение (•) можно распространить и на ситуацию, когда supp ψ(x) ∩ supp f(x) – ограниченное множество. Это имеет место, например, когда ограничен supp f(x), или если носители f(x) и g(x) ограничены с одной и той же стороны.

Свёртка коммутативна и ассоциативна.

4.45. Пусть f(x) K0. Найти: а) f(x) δ(x); б) f(x) δ(x − a);

48