в) f0(x)		θ(x);	г) f(~x)		Dm1	...Dmn δ(~x), ~x		Rn.
					1	n

4.46.Доказать правило дифференцирования свёртки: (f g)0(x) = (f0 g) = (f g0).

4.47.Рассмотрим линейный одномерный дифференциальный оператор с постоянными коэффици-

ентами

L = a0Dn + a1Dn−1 + ... + an−1D + an.

Показать, что L(f g) = (Lf g) = (f Lg).

2.9Дифференциальные уравнения с обобщёнными функциями

2.9.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение

Ly(x) = f(x), ( )

где L = a0(x)Dn +a1(x)Dn−1 +...+an−1(x)D+an(x), ak(x) C∞, x R. Из курса анализа известно, что если a0(x) 6= 0, то при любой непрерывной правой части f(x) уравнение имеет классическое решение y(x) Cn; это означает, что при подстановке y(x) в уравнение получается равенство, верное в каждой точке. В частности, при f(x) ≡ 0 уравнение имеет n линейно независимых классических решений.

Уравнение ( ) можно рассматривать также в смысле обобщённых

функций: (Ly(x), φ(x)) = (f(x), φ(x)), φ K или φ S. Обычно это соотношение записывают в

виде	(		)
(y(x), L φ(x)) = (f(x), φ(x)),

где L – оператор, сопряжённый (в смысле Лагранжа) с L; он получается в результате интегрирования по частям. Множество обобщённых решений шире, чем множество классических: если y(x) – классическое решение, то оно удовлетворяет соотношению ( ), но не всякое обобщённое решение является классическим. Например, классическое решение уравнения xy0 = 0 имеет вид y = C1, а обобщённое решение – вид y = C1 + C2θ(x) (проверить!)

Теорема. Пусть a0(x) 6= 0, тогда:

1)если f(x) K0, f(x) = 0, то любое решение уравнения Ly = 0 является классическим;

2)если f(x) K0, f(x) = 0 на интервале (a, b), то любое решение уравнения Ly = f(x) на этом

интервале является классическим.

Аналогичные утверждения справедливы и для пространства S0.

4.48. Доказать, что уравнение y0 = 0 имеет только классическое решение y = C.

	Указание. Выберем какую-нибудь функцию	φ0	(x)	K такую, что
∞				x
R	φ0(x) dx = 1. Для любой φ K положим ψ(x) =			(φ(t) − Aφ0(t)) dt, тогда φ(x) = ψ0	(x) + Aφ0(x).
	∞			R
−∞				−∞

нибудь обобщённое решение. Тогда (y, φ) = (y,Rψ0) + (1, φ) C = (−y0	, ψ) + (C, φ) = (C, φ), где C = (y, φ0).
Очевидно, ψ C∞. Выберем постоянную A = φ(x) dx = (1, φ), при этом будет ψ K. Пусть y(x) – какое-
−∞

4.49. Найти все решения уравнения y0 = f(x) при f(x) K0.

Указание. По той же схеме, что и в задаче 4.48, получаем: (y, φ) = (y, ψ0)+A(y, φ0) = −(f, ψ)+C(1, φ).

4.50. Найти все решения уравнения p(x)y0 + q(x)y = 0 в классе K0. Здесь p(x) 6= 0, p(x), q(x)

C∞.

49

= ∂x∂22 + ∂y∂22 + ∂z∂22 , для уравнения теплопроводности

Указание. Классическое решение: y = exp(− R pq dx). С помощью подстановки y = z exp(− R pq dx) задача сводится к 4.48.

4.51.Найти общий вид решений уравнения xy0 = 1.

2.9.2Уравнения с частными производными

Линейное дифференциальное уравнение порядка m для неизвестной функции u(x1, x2, ..., xn) = u(~x) имеет вид Lu(~x) = f(~x), где L – оператор, действующий на функцию u(~x) по формуле

	X		∂mu		X	∂m−1u
	Lu(~x) =	am~(~x)		+	bm~(~x)			+ ... + c(~x)u.
			∂x1m1 ...∂xnmn			∂x1m1	...∂xnmn
	Sm				Sm−1

Здесь Sk означает суммирование по неотрицательным ms таким, что m1 +...+mn = k; "мультииндекс" m~ означает набор чисел m1, ..., mn.

Примеры: для уравнения Лапласа L =

L = ∂t∂ −a2 , для волнового уравнения L = ∂t∂22 −a2 , для уравнения Шрёдингера L = ih∂t∂ + 2hm2 −U.

Для краткости частные производные часто обозначают просто индексами внизу, например, ux = ∂u∂x . В таких обозначениях уравнение Лапласа запишется в виде uxx + uyy + uzz = 0.

Классическое решение уравнения Lu = f – это обычная функция, в каждой точке удовлетворяющая этому уравнению. Обобщенное решение – это обобщённая функция u(~x) такая, что для любой основной функции φ(~x) выполняется соотношение

(Lu(~x), φ(~x)) = (f(~x), φ(~x)),

или, что равносильно,

(u(~x), L φ(~x)) = (f(~x), φ(~x)).

Здесь L – сопряжённый оператор: (p(~x)Dm) u(~x) = (−D)m(p(~x)u(~x)), D означает дифференциро-

вание по какой-нибудь координате. Например, ∂t∂ = − ∂t∂ , = .

4.52.Проверить, что функция u(x, t) = 21a θ(at + x)θ(at − x) есть решение уравнения utt − a2uxx =

δ(x, t).

4.53.Проверить, что:

1

x2

2

а) функция u(x, t) =

2a√

exp(−

) есть решение уравнения ut − a

uxx = δ(x, t);

4a2t

πt

1

x2+y2

2

б) функция u(x, t) =

exp(−

4a2t ) есть решение уравнения ut − a

(uxx + uyy) = δ(x, y, t).

4a2πt

1

4.54. Проверить, что функция

ikr, где

r = px

2

2

2,

u(x, t) = −4πr e

+ y

+ z

k > 0, есть решение

уравнения u + k2u = δ(~x).

Указание: см. зад. 4.36.

Для обобщённых функций U(~x, t), зависящих от параметра t, можно ввести дифференциальные уравнения несколько в ином смысле. Например, уравнение теплопроводности ut − a2 u = f(~x, t) можно понимать как равенство

∂t∂ (U(~x, t), φ(~x)) = a2(U(~x, t), φ(~x)), φ(~x) K.

4.55. Проверить, что при t > 0:

1

x2

∂U

2

а) функция U(x, t) =

2a√

exp(−

) есть решение уравнения

− a

Uxx = 0;

4a2t

∂t

πt

б) функция U(x, y, z, t) =

1

exp(−

x2

+y2+z2

) есть решение уравнения

∂U

− a

2

U = 0.

(2a√

)3

4a2t

∂t

πt

50