в) Написать решение задачи о вынужденных колебаниях неограниченной струны при начальных данных ( )

Указания. (а) Построить свёртку фундаментального решения (см. задачу 4.81) и функции F (x, t).

(в) К решению задачи (а) добавить свободные колебания.

3.4.2Ограниченная струна

5.51.Найти решение задачи о колебаниях полубесконечной струны, закреплённой на конце: utt = a2uxx, u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = 0, u(0, t) = 0.

Указание. Воспользоваться формулой Даламбера (задача 5.49).

5.52. Найти решение задачи о колебаниях ограниченной струны, закреплённой на обоих концах: u(0, t) = u(l, t) = 0.

3.5 Метод разделения переменных. Специальные функции

3.5.1 Цилиндpические функции

Решения дифференциального уравнения Бесселя

w00(x) + xw0		(x) + 1 − x2 ! w(x) = 0
1			ν2

называются цилиндрическими, или бесселевыми функциями. Здесь x – вещественная или комплексная переменная, ν – вещественный или комплексный параметр.

Примечание. Уравнение Бесселя имеет особую точку x = 0; особые точки обыкновенных линейных дифференциальных уравнений изучаются в главе "Дифференциальные уравнения в комплексной плоскости".

Стандартные решения уравнения Бесселя:

1)Jν(x) – функция Бесселя с индексом ν;

2)Nν(x) – функция Неймана с индексом ν;

3)Hν(1)(x) и Hν(2)(x) – функции Ханкеля 1-го и 2-го рода, соответственно, с индексом ν. Функции Jν(x), Nν(x), Hν(1)(x) и Hν(2)(x) попарно линейно независимы. При ν ≥ 0 функция Jν(x)

ограничена, когда x → +0, остальные цилиндрические функции имеют при этом бесконечный предел. При вещественных положительных значениях x и ν функции Бесселя и Неймана вещественны.

Имеют место формулы:

∞

(

1)k

x

2k+ν

Jν(x) = k=0 k! (k−+ ν + 1)

2

,

1

X

Nν(x) =

[Jν(x) cos πν

− J−ν(x)],

ν 6= 0, ±1, ±2, ...

sin πν

Hν(1)(x) = Jν(x) + i Nν(x),

Hν(2)(x) = Jν(x) − i Nν(x),

J1/2(x) = r

sin x,

N1/2(x) = −r

cos x,

πx

πx

2

2

H1/2(x) = −ir

eix; H1/2(x) = ir

e−ix,

πx

πx

(1)

2

(2)

2

x−ν(xνJν(x))0 = Jν−1(x),

xν(x−νJν(x))0 = −Jν+1(x),

0

−

(xJ1(x))0 = xJ0(x).

в частности, J0 (x) =

J1(x),

70

Асимптотика цилиндрических функций при ν > 0, x → +∞:

πν

π

Jν(x) = r

2

cos

x −

−

+ O(x−1) ,

πx

2

4

πν

π

2

sin

x −

−

+ O(x−1)

,

Nν(x) = rπx

2

4

2

πν

π

Hν(1)(x) = r

ei(x−

2 −

4 )[1 + O(x−1)],

πx

Hν(2)(x) = r

2

πν

π

e−i(x−

2 − 4 )[1 + O(x−1)].

πx

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах r, φ, z:

∂2u 1 ∂u 1 ∂2u ∂

2u

+

+

+

= 0.

∂r2

r ∂r

r2 ∂φ2

∂z2

Переменные разделяются: пусть u = R(r) Φ (φ)Z(z), тогда

R00

+

R0

+

Φ 00

+

Z00

= 0.

rR

Z

R

r2 Φ

Отсюда получаем три уравнения: Z00

= λ2Z,

Φ 00 = −ν2 Φ , R00 + 1r Rλz0 + λ2 −

ν2

R = 0, где λ, ν

r2

– постоянные. Первое уравнение (при λ = 0) имеет решения вида e±

, второе (при ν = 0) – ви-

6

6

да cos νφ, sin νφ, а третье уравнение пpевpащается в уравнение Бесселя при замене масштаба: если r = λx, то ddx2R2 + x1 dRdx + (1 − xν22 )R = 0. Таким образом, R(r) = ζν(λr), где ζν(x) – какая-нибудь цилиндрическая функция. В частном случае, когда u не зависит от φ, получается уравнение Бесселя с

индексом ν = 0.

Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя

	1				ν2	! R = 0, ν ≥ 0,
R00	+		R0 + λ2	−
		r			r2

на промежутке 0 < r < a заключается в нахождении таких значений λn параметра λ, при которых существуют собственные функции, т.е. нетривиальные (не равные тождественно нулю) решения Rn(r) уравнения, ограниченные при r → 0 и удовлетворяющие при r = a граничному условию вида αRn + βRn0 = 0. Поскольку среди всех решений уравнения только функция Бесселя Jν(λr) ограничена в нуле, то собственные функции имеют вид Rn(r) = AnJν(λnr), а собственные числа λn находятся из уравнения αJν(λa) + β dad Jn(λa) = 0. Собственные числа вещественны, собственные функции ортогональны на промежутке [0, a] с весом r. В случае простейшего граничного условия R(a) = 0, нормировка Rn(r) имеет вид

a		a2		d
Z
	rJν2(λnr) dr =		[Jν0 (λna)]2, Jν0 (x) =		Jν(x).
		2		dx
0

5.53. На боковой поверхности кругового цилиндра 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ z ≤ h температура pавна нулю, на нижнем основании задана температура f(r), на верхнем основании температура g(r). Найти температуру u(r, z) внутри цилиндра.

Указание. В соответствии с физическим смыслом задачи, для радиального множителя R(r) следует выбрать то решение уравнения Бесселя, которое ограничено в центре пластинки, то-есть R = J0(λr). Равенство

71

J0(λa) = 0 – это уравнение для собственных значений, оно имеет счётное множество корней λn = ξn/a, где ξn – положительные нули функции Бесселя J0(ξ), 0 < ξ1 < ξ2 < ξ3 < ..., причем ξn → +∞ при n → ∞. Собственные функции: Rn(r) = J0(λnr).

5.54. На боковой поверхности кругового цилиндра 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ z ≤ h задано распределение температуры u(a, z) = F (z), на обоих основаниях цилиндра температура нулевая. Найти распределение температуры u(r, z) внутри цилиндра.

Указание. Следует искать решение в виде ряда по собственным функциям Zn(z) = sin λnz, λn = nπh ; радиальные множители будут вида Rn(r) = AnJ0(irλn) (вещественные функции!).

5.55. На краю r = b круглой теплопроводящей пластинки 0 ≤ r ≤ b поддерживается нулевая температура, в начальный момент времени t = 0 температура u(r, 0) = f(r). Найти температуру u(r, t) пластинки при t > 0.

Указание: см. задачу 5.53.

5.56.Внутренняя окружность плоской кольцеобразной пластинки a ≤ r ≤ b теплоизолирована, т.е.

ur|r=a = 0, на внешней окружности r = b температура нулевая. В начальный момент u(r, 0) = f(r). Уравнение теплопроводности: ut = u. Найти температуру u(r, t) пластинки при t > 0.

5.57.Построить решение u(r, t) задачи о симметричных колебаниях круглой мембраны 0 ≤ r ≤ b при условии, что край неподвижно закреплен, а в начальный момент мембрана имела смещение u = f(r) и нулевую скорость.

5.58.На краю r = b круглой теплопроводящей пластинки 0 ≤ r ≤ b поддерживается нулевая температура, в начальный момент времени температура u(r, φ, 0) = f(r, φ). Уравнение теплопроводности: ut = u. Найти температуру u(r, φ, t) пластинки при t > 0.

5.59.На круглую мембрану, закреплённую по краю, действует внешняя гармоническая сила, непрерывно распределённая по всей площади мембраны. Смещения мембраны удовлетворяют уравнению

utt = a2 u + A sin ωt. Доказать, что вынужденные колебания мембраны выражаются формулой

u = A sin ωt J0(ωr/a) − 1 , ω2 J0(ωb/a)

где b – радиус мембраны.

Указание. Решение имеет вид произведения R(r) sin ωt.

3.5.2 Сфеpические функции

Уравнение Лапласа в сферических координатах r, θ, φ:

∂r2 + r ∂r + r2	∂θ2	+ ctg θ ∂θ !		+ r2 sin2	θ ∂φ2 = 0.
∂2u 2 ∂u 1 ∂2u			∂u	1			∂2u

1. Случай осевой симметрии: u(r, θ).

Переменные разделяются: u = R(r) Θ (θ), получаются два уравнения:

R00 + 2r R0 − λR = 0, Θ 00 + ctg θ Θ 0 + λ Θ = 0.

Удобно перейти к новой независимой переменной x = cos θ, при этом второе уравнение преобразуется к виду (1 −x2)dxd22 Θ −2xdxd Θ + λ Θ = 0. Это уравнение, называемое уравнением Лежандра, имеет две особые точки: x = −1 и x = +1. Решения, ограниченные при x = −1 и x = 1, существуют только для значений параметра λ, равных n(n + 1), где n = 0, 1, 2, ... Такие решения представляют собой

полиномы Лежандра:

	1 dn
Pn(x) =	2nn! dxn (x2 − 1)n.

72

Полиномы Лежандра ортогональны на промежутке [−1, 1]:

	1		2
	Z	Pk(x)Pn(x) dx =		δkn.
			2n + 1
	−1

Все нули полинома степени n вещественные, простые, и все они лежат внутри промежутка (−1, 1). Система полиномов Лежандра замкнута в классе непрерывных функций.

Уравнение R00 + 2r R0 − n(n + 1)R = 0 имеет общее решение Arn + Br−n−1.

5.60. Найти электростатический потенциал u(r, θ) внутри шара 0 ≤ r ≤ a, если на сфере r = a потенциал u = f(θ). В частности, рассмотреть случай f = 1 + cos θ.

Указание. Радиальный множитель R(r) должен быть ограничен во всём шаре, отсюда B = 0.

5.61. Найти электростатический потенциал u(r, θ) вне сферы r = a, т.е. при r > a, если на сфере r = a потенциал u = f(θ). В частности, рассмотреть случай f = 1 + cos θ.

Указание. Радиальный множитель R(r) должен cтремиться к нулю при r → ∞, отсюда A = 0.

5.62. На поверхности r = a теплопроводящего шара поддерживается нулевая температура, внутри шара имеется распределённый источник тепла с мощностью F (r, θ) = r(1 + 3 cos 2θ). Найти температуру u(r, θ) внутри шара.

Указание. Процесс описывается уравнением urr + 2r ur + r12 (uθθ + ctg θ uθ) = F (r, θ). Функция F (r, θ) равна

4rP2(cos θ).

5.63. Теплопроводящая плёнка имеет форму сферы r = b. В начальный момент времени температура плёнки была равна u(0, θ) = f(θ). Найти температуру u(t, θ) при t > 0.

Указание. Процесс описывается уравнением теплопроводности ut = a2 u, где r ≡ b, u = b12 (uθθ + ctg θ uθ).

5.64. Шар 0 ≤ r ≤ b заполнен теплопроводящим веществом, на поверхности шара поддерживается нулевая температура. В начальный момент времени температура в шаре равна f(r, θ). Найти температуру u(r, θ, t) в шаре при t > 0. Рассмотреть также частный случай: f(r, θ) = g(r) cos θ.

Указание. Процесс описывается уравнением ut = urr + 2 ur +			1	(uθθ + ctg θ uθ). Отделив угловую пере-
			2
		r	r
			2					n(n+1)
менную, для радиального множителя R(r) получаем уравнение вида R00 + r R0 +						µ2			R = 0, которое
								r2
заменой R = v(r)/√		сводится к уравнению Бесселя с полуцелым индексом.			h		−		i
	r

5.65. На внутренней поверхности r = a шарового слоя a ≤ r ≤ b потенциал u равен V0, на внешней поверхности r = b потенциал u = f(θ). Найти потенциал u(r, θ) внутри слоя.

2. Общий случай: u(r, θ, φ).

Переменные разделяются: пусть u = R(r) Θ (θ) Φ (φ), тогда получаются три уравнения:

		µ				2
Φ 00 + µ Φ = 0, Θ 00	+ ctg θ Θ 0	+ λ −		Θ = 0,	R00	+		R0 − λR = 0.
			sin2 θ				r

Первое уравнение имеет 2π-периодические решения при µ = m2, где m = 0, 1, 2, ... Второе уравнение после замены x = cos θ приобретает вид присоединенного уравнения Лежандра:

(1 − x2)dx2		Θ − 2xdx Θ + λ −		1 − x2 !	Θ = 0.
	d2		d	m2

Решения, ограниченные при x = −1 и x = 1, существуют только при значениях параметра λ, равных n(n+1), где n = 0, 1, 2, ... Такие решения представляют собой присоединенные функции Лежандра:

m dm
Pn(m)(x) = (1 − x2) 2	dxm Pn(x), m = 0, 1, ..., n.

73

Присоединённые функции Лежандра ортогональны на промежутке [−1, 1]: если k 6= n, то

1

Z

Pk(m)(x)Pn(m)(x) dx = 0.

−1

Нормировка присоединённых функций Лежандра:

		1	2 (n + m)!
	Z [Pn(m)(x)]2 dx =
				·				.
			2n + 1		(n	−	m)!
	−	1

5.66.Для значений n = 0, 1, 2 выписать присоединённые функции Лежандра, как функции от cos θ

иsin θ.

5.67.Найти функцию, гармоническую в шаре x2 + y2 + z2 ≤ a2, если на поверхности заданы её значения: u|r=a = f(θ, φ). Рассмотреть также частный случай: f = sin 2θ cos φ.

Указание. В данном частном случае ряд состоит из одного слагаемого: n = 2, m = 1.

5.68.Найти функцию, гармоническую вне сферы x2 + y2 + z2 = a2, если на сфере заданы значения этой функции: u|r=a = f(θ, φ). Рассмотреть также частный случай f = sin 2θ cos φ.

5.69.Теплопроводящая плёнка имеет форму сферы r = b. В начальный момент времени температура плёнки была равна u(0, θ, φ) = f(θ, φ). Найти температуру плёнки u(t, θ, φ) при t > 0.

Указание. Процесс описывается уравнением теплопроводности ut = a2 u, где r ≡ b, u =	1	uθθ + ctg θ uθ +	1	u
	b2		sin2 θ

Ответы.

5.1.Гиперболический тип. Канонический вид: uξξ − uηη + cu = f. Ортогональная замена перемен-

√√

ных: x = (ξ − η)/ 2, y = (ξ + η)/ 2.

5.2. Эллиптический тип. Треугольная замена переменных: x = ξ, y = −ξ + η, z = 2ξ − 2η + ζ, преобразованный вид:

uξξ + uηη + uζζ + uξ + uη = f.

Канонический вид: vξξ + vηη + vζζ − 0, 5 v = e(ξ+η)/2f, где u = e−(ξ+η)/2v.

5.3. Гиперболический тип. Канонический вид: 2uξξ − uηη − uζζ = 0.

Ортогональная замена переменных:

ξ

η

ζ

ξ

η

ζ

ξ

2η

x =

√

+

√

+

√

,

y =

√

+

√

−

√

,

z =

√

−

√

.

3

6

2

3

6

2

3

6

5.4. Параболический тип. Ортогональная замена переменных:

2ξ

η

ξ

η

ζ

ξ

η

ζ

x = −

√

+

√

,

y =

√

+

√

+

√

,

z =

√

+

√

−

√

.

6

3

6

3

2

6

3

2

2

1

Преобразованное уравнение: 6uξξ + 3uηη −

√

uξ

+

√

uη

= 0.

6

3

6vξξ + 3vηη −

1

v = 0, где u = e

√

√

Канонический вид:

6(ξ− 2η)/36v.

18

5.5. Для уравнения Шрёдингера данная классификация неприменима, так как имеется невещественный коффициент.

Замечание: по свойствам решений это уравнение отчасти сходно с гиперболическим (допускает распространение волн), отчасти сходно с параболическим (т.н. "расплывание волновых пакетов").

5.9. a) u = e−t sin x;

б) u =

9

∞

1

e−(2l+1)2t sin(2l + 1)x.

2

−

−

π

lP

=0 (4l

1)(2l+3)

5.10. u =

8

∞

1

e−(2l+1)2

π2t sin(2l + 1)πx; u

0 при t + .

3

3

π

lP

→

→ ∞

=0 (2l+1)

74

5.11. u =

8

∞

(−1)n

2

e−(n+0,5)2π2t sin(n + 0, 5)πx.

2

π

nP

(2n+1)

=0

5.12. u =

1

4

∞

1

e−(2l+1)

2

2

t cos(2l + 1)πx; u → 1/2

при t → +∞.

2

−

=0

π

π2

(2l+1)2

lP

5.13. Собственные функции: Xn(x) = cos λnx, где числа λn – это корни уравнения λ = ctg λπ,

0 < λ1 < λ2 < ..., причем nlim λn = ∞;

∞

→∞

температура:

u =

4(1−cos λnπ)

λn2 t

cos λnx.

2πλ2

+cos λ π e−

=1

n

n

nP

(−1)

n

1 − e−

4n2t

2

t sin nx.

1 ∞ 1

5.14. а) u =

−n5

− 4n

8π n=1

б) u = e−4t

2

P

sin x + ua(x, t), где ua(x, t) – решение из (а).

5.15. u = te−t sin x.

5.16. v(x, t) = 1 + (t

−

1)x,

u = v(x, t)+

2 ∞

1

2

π

2

1

2

2

π n=1 hn e−n

t + (−1)n n3π3 (1

− e−n π

t)i sin πnx.

P

5.17. u = x + t.

5.18. a) u = cos at · sin x;

б) u =

4γ

∞ (

−

1)k sin (2k+1)

sin (2k + 1)at

· sin (2k + 1)x.

πa

=0

(2k+1)2

5.19. u =

kP

∞ (−1)

n+1

sin (πnat) · sin (πnx);

u = u1(x − at) + u2(x + at),

2

aπ2

=1

1

n2

nP

∞ (

−

1)n+1

где u1(x − at) =

cos πn (x

− at),

aπ2

=1

n2

1

nP

n+1

u2(x + at) = −

∞ (−1)

cos πn (x + at).

aπ2

=1

n2

0,8

∞

nPk

1

1

(−1)

5.20. u =

π2

=0

cos [(k +

2 )πat] · sin [(k + 2 )πx].

(2k+1)2

kP

5.21. u = 1 + cos 2πat · cos 2πx = 1 + [cos 2π(x − at) + cos 2π(x + at)]/2.

5.22. u =

2

∞

cos λnπ

sin λnat

· cos λnx, где λn = ξn/π, ξn – положительные корни

a n=1

λn(πβλn2 +cos2 λnπ)

уравнения

ctg ξ.

βξ = πP

5.23. u =

t

∞ sin(2k+1)x

−

1

∞

1

sin 2(2k + 1)t · sin(2k + 1)x.

=0

k=0

π

n3

2π

(2k+1)4

kP

P

4Q ∞ (2k+1) sin t

sin(2k+1)t

2Q

5.24. u =

π (sin t − t cos t) sin x +

π

−

sin(2k + 1)x.

=1

2k(2k+1)(2k+2)

5.25. u = u1 + u2, u1 = sin t

∞

kP

∞

2

=1 qn(n

− 1) sin nx − 2 cos t n=1 qn sin nx,

∞

nP

P

u2 = e− t n=1 qn[2 cos µnt + (2 2 − n2 + 1) sin µnt] sin nx,

P

0, n = 2k

qn =

4Qαn

, αn = 1, n = 2k + 1, µn = √n2 − 2.

πn[(n2−1)2+4 2]

5.26. u = x + t +

16

∞

1

· [1

− cos(n + 1/2)πt] · sin(n + 1/2)πx.

π3

=0

(2n+1)3

∞ 1

nP

c+

5.27. u =

2K

sin nπc sin nπx sin nπat

, где K/ρ = lim

F (x) dx – импульс силы F (x) удара

aπρ n=1 n

l

l

l

→0c−

молоточка о струну.

R

P

5.28. Период T определяется из уравнения a1 tg 2πl1

+ a2 2πl2

= 0.

T a1

T a2

5.30. u =

32

∞

1

sh (k + 0, 5)πy · sin(k + 0, 5)πx.

π3

=0

(2k+1)3 sh (k+0,5)π

kP

n

5.31. u = 2

∞

(−1) 4−λn

sh λ

n

y

·

cos λ

n

x, λ

n

= (2n + 1)π/4.

=0

λn

nP

75

π

5.32. u =

∞

(An ch λnx + Bn sh λnx) sin λny,

λn = (n + 0, 5)π,

n=0

(

n2

n 2(2

ch λn)

1) P

A

n

=

− 2

,

B

n

= ( 1)

2−

.

λn

−

λn sh λn

5.33. u =

ab2

∞

(−1)m+n+1

sin mπx sin nπy , λm,n = (m22

+ n22 )π2.

π

mnλm,n

a

b

a

b

m,n=1

P

5.34. u = y + (1 − y)x.

2

∞

sin nφ

n

n

R

P

5.35. u = π n=1

1−(a/b)n

[(r/b)

− (a/r)

]

0

f(ξ) sin nξ dξ.

π

4 ∞ cos(2k+1)φ

r

2k+1

5.36. u = (r/b)2 sin 2φ.

5.37. u =

−

b

.

2

π k=0

(2k+1)2

5.38. u = 21π

2π

∞

ar

n

· [cos nφ

2Pπ

f(ξ) dξ + π1

f(ξ) cos nξ dξ+

2π

R

P

R

R

0

n=1

0

f(ξ) sin nξ dξ].

1

sin nφ

0

2

∞

1

R

t

P

5.39. u = π n=1

sh (nπ2)

0

g(e ) sin(nπt) dt · sin(nπφ) sin(nπ ln r).

4

∞

a b

mπx

nπy

R R

5.40. а)

2

P

2,1

sin

b ,

u = ab m,n=1 e−λm,nγ t

0 0

f(x, y) dxdy! · sin

a

λm,n = π [(m/a)

2

2

];

б)

u = e−

λ

γ t

sin

2πx

sin

πy

+ (n/b)

a

b .

π π

∞

Am,ne−(m2+n2)a2t cos mx cos ny,

5.41. u =

1

f(x, y) dxdy+

2

π

RπRπ

P≥

0 0

m+n 1

Am,n =

1

R R

f(x, y) cos mx cos ny dxdy,

π π

π π

Nm,n

0 0

R R

→ ∞

R R

1

Nm,n =

cos2 mx cos2 ny dxdy;

lim

u =

f(x, y) dxdy.

2

0 0

t

+

π

0 0

5.42. Задача Штурма-Лиувилля: R00 + λ2R = 0 при 0 < r < a, R = 0 при r = 0, aR0 − R = 0 при r = a. Собственные числа и собственные функции: λ0 = 0, R0 = r; 0 < λ1 < λ2 < ... – корни уравнения tg λa = λa, Rn = sin λnr. Температура в шаре:

u =

3

a

2

1

∞ sin λnr

e−

γλ2t

a

a

sin2 λna

.

a3

r

f(r) dr + r

Nn

rf(r) sin λnr dr,

Nn = 2

− 2aλn2

R

P

R

0

n=1

0

a

a

u = 1

nP

5.43. Количество нейтронов

∞ Ane(b−α2λn2 ) t sin λnr, где An =

r

=1

R

1

r2f(r) sin λnr dr, Nn = sin2 λnr dr, λn – положительные корни уравнения tg aλ = aλ , 0 <

R

Nn 0

0

1−aγ

λ1 < λ2 < ...

Реактор находится в критическом состоянии, если его параметры таковы, что b = α2λ21. В этом случае с течением времени количество нейтронов будет стабилизироваться. Но если при этом немного уменьшить значение параметра γ (т.е. улучшить отражающую способность оболочки шара), то число λ1 уменьшится, и баланс "рождение-поглощение нейтронов"будет нарушен в пользу избытка рождений над поглощениями, т.е. процесс станет лавинообразным (взрыв!). Наоборот, увеличение поглощающей способности оболочки увеличит и число λ1, что приведёт к затуханию процесса.

		∞			mπx	nπy
		P			l l	sin l ,
5.44. u = m,n=1 Am,n cos λm,nat · Ψm,n(x, y), Ψm,n(x, y) = sin l
λm,n = π √			, Am,n =	1	f(x, y)Ψm,n(x, y) dxdy,
		m2 + n2
l l				Nm,n	R R
l					0 0
R R
Nm,n =		Ψm,n2 (x, y) dxdy.
0	0

76

4

πx

πy

∞

1

π (2l+1) z

λk = πqa12

+ b12

+ kc22

.

lP

sin λ2l+1t · sin c

,

5.45. u =

π

sin

a

sin

b

=0 (2l+1)λ2l+1

rf(r) sin(λnr) dr! sin(λnαt)·sin(λnr),

5.46. u = a3

0

r2f(r) dr+αr n=1 λnNn

0

3t

a

1 ∞

1

a

R

P

R

λn = ξn/a,

ξn – положительные корни уравнения tg ξ = ξ.

4

∞

1

P

a b

5.47. u = ab m,n=1 sh µm,nc [Am,n sh µm,n(c − z) + Bm,n sh µm,nz],

apb

R R

µm,n = π

(m/a)2 + (n/b)2,

Am,n =

f(x, y)Ψm,n(x, y) dxdy,

0 0

Bm,n =

g(x, y)Ψm,n(x, y) dxdy,

Ψm,n(x, y) = sin mπx sin nπy .

R R

x+at

a

b

0

0

5.49. u(x, t) = 21 [ φ(x − at) + φ(x + at) ] +

1

ψ(ξ) dξ.

2a

1

R

x−at

5.50. б) u = ut = 0 при t = 0.

в) u(x, t) = 2 [ φ(x − at) + φ(x + at) ]+

1

x+at

1

t

x+aτ

R

R

R

2a x−at ψ(ξ) dξ + 2a 0 dτ x−aτ F (ξ, t − τ) dξ.

a

Nn = R sin2(λnr) dr,

0

5.51.u(x, t) = 12 [ φ(at + x) − φ(at − x) ], причем функция φ продолжена на отрицательную полуось нечётно: φ(−x) = −φ(x).

5.52.Ответ имеет такой же вид, как в задаче 5.51, причём функция φ продолжена на всю ось нечётно

и2l - периодически: φ(−x) = −φ(x), φ(x + 2l) = φ(x).

	∞	1
	nP
		Mn sh λnh [An
	5.53. u =
	=1

λn = ξn/a > 0, J0(ξn) = 0,

a

R

An = rf(r)J0(λnr) dr, Bn

0

sh λn(h − z) + Bn sh λnz],

a

Mn = R rJ02(λnr) dr = 0, 5a2J12(λna),

0

a

R

=rg(r)J0(λnr) dr.

0

5.54. u = h n=1

Qn(a)

0

f(z) sin

h

dz! sin h ,

2

∞

Qn(r)

h

nπz

nπz

P

R

Qn(r) = J0(iπnr/h) =

∞

1

nπr

2k

> 0.

2

kP

b

2h

(k!)

5.55. u = n=1

=0

rf(r)J0(λnr) dr! J0(λnr),

Mn e−a

λn t

0

∞

1

2

2

R

P

b

λn = ξn/b > 0, J0(ξn) = 0,

Mn = rJ2(λnr) dr = 0, 5 b2J2(λnb).

R

0

1

0

5.56. u =

∞

An e−λn2 tRn(r), где λn > 0 – корень уравнения

nP

b

=1 Mn

N0 (λa)J0(λb) J0 (λa)N0(λb) = 0,

An = rf(r)Rn(r) dr,

b

− 0

R

0

a

Mn = rR2 (r) dr,

Rn(r) = N0 (λna)J0(λnr) J0 (λna)N0(λnr).

R

− 0

a n

0

b

∞

An

b

nP

λn = ξn/b > 0,

J0(ξ) = 0,

5.57. u =

=1 Mn cos λnat · J0(λnr),

An = rf(r)J0(λnr) dr,

Mn = rJ02(λnr) dr.

R

R

0

0

∞

1

λ2

t

· J0

(λ0,nr)+

5.58. u = n=1 h2πM0,n A0,ne−

0,n

P

77

1 ∞

1

λ2

t

· Jm(λm,nr) , где λm,n (n = 1, 2, ...) – корни уравне-

π m=1 Mm,n (Am,n cos mφ + Bm,n sin mφ)e− m,n

P

ния Jm(λb) = 0,

m = 0, 1, 2, ...;

2π b

2π b

Am,n =

rf(r, φ) cos mφ drdφ,

Bm,n =

rf(r, φ) sin mφ drdφ,

0

0

b

0

0

π b

R R

2R R

A0,n =

0

0

rf(r, φ) drdφ,

Mm,n =

0

rJm2 (λm,nr) dr.

R R

∞ (n + 1 )

R

π

5.60. u =

r

n AnPn(cos θ),

An =

f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ.

n=0

2

a

0

1 + ar cos θ.

В частномPслучае u =

R

5.61. u =

∞ (n + 1 )

a

n+1 AnPn(cos θ),

An =

π

f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ.

n=0

2

r

0

5.62. u =

4P2

r

R

5 r

P2(cos θ) ln a .

5.63. u =

∞ (n + 1 )e−n(n+1)(a/b)2 tAnPn(cos θ),

=0

2

π

nP

An =

0

f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ.

R

1

∞

∞

µ2

t

5.64. u =

√

Am,ne− m,n

Jn+ 1 (µm,nr)Pn(cos θ), где µm,n –

r

n=0 m=1

2

положительные корниP Pуравнения Jn+ 21 (µb) = 0,

Am,n = (n +

1 )

1

π b

f(r, θ)J

1 (µm,nr)Pn(cos θ)r√

sin θ drdθ,

r

Mm,n

2

0 0

n+ 2

b

R R

Mm,n =

J2

1 (µm,nr)r dr = 0, 5 b2 [J0

1 (µm,nb)]2.

0

n+ 2

n+

2

В частномR

случае ряд по полиномам Лежандра состоит из одного слагаемого с n = 1, при этом

3

2

sin x

cos x), поэтому

J2 (x) = qπx

( x − 2

u = 1

∞

Am,1e−µm,1tJ3 (µm,1r) cos θ, причем µm,1 = ξm/b, где ξm – положительные корни урав-

r

m=1

2

нения

tg ξ

= ξ.

P

5.65. u = A0

+

1 B0 +

∞ (Anrn +

Bn

) Pn(cos θ),

n+1

r

=1

r

π

nP

π

A0 =

1

[2b

f(θ) sin θ dθ − aV0],

B0 =

ab

[V0 − 21

f(θ) sin θ dθ],

b

a

b a

0

−

0

−

+1

π

R

An =

bn R

(n + 0, 5)

f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ,

b2n+1−a2n+1

0

a2n+1bn+1

R

π

Bn = −

(n + 0, 5)

f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ.

b2n+1

−

a2n+1

0

R

5.66. a) n = 0: P (0) = 1;

б) n = 1: P (0) = cos θ, P (1) = sin θ;

0

1

1

в) n = 2: P2(0) = 21 (3 cos2 θ − 1),

P2(1) = 3 cos θ sin θ,

P2(2) = 3 cos2 θ.

∞n

5.67.u = P (r/a)n P (Am,n cos mφ + Bm,n sin mφ) Pn(m)(cos θ),

	n=0				m=0
	1			2π		π	(m)
				R		R
Am,n =					cos mφ dφ		f(φ, θ)Pn		(cos θ) sin θ dθ,
	Qm,n			0		0
	1			2π		π	(m)
				R		R
Bm,n =					π		f(φ, θ)Pn	(cos θ) sin θ dθ,
	2π
	Rm,n			0	sin mφ dφ	0
Qm,n = R
		cos2 mφ dφ R [Pn(m)(cos θ)]2 sin θ dθ,

00

78

		2π		π
	Rm,n = R		sin2 mφ dφ R [Pn(m)(cos θ)]2 sin θ dθ.
		0		0
	Учитывая нормировку присоединённых функций, получаем:
	Q0,n =	4π		, Qm,n = Rm,n =	2π		(n+m)!	, m = 1, 2, ..., n.
		2n+1			2n+1 (n−m)!
	В частном случае u = (r/a)2 cos φ sin 2θ.

5.68. Ответ аналогичен ответу задачи 5.67, только вместо радиального множителя rn следует взять множитель r−(n+1).

∞ n

5.69. u = P P e−(a/b)2n(n+1 t)(Am,n cos mφ + Bm,n sin mφ) Pn(m)(cos θ).

n=0 m=0

Коэффициенты Am,n и Bm,n определяются из равенства

∞ n

f(θ, φ) = X X (Am,n cos mφ + Bm,n sin mφ) Pn(m)(cos θ)

n=0 m=0

так же, как в задаче 5.67.

79