ГЛАВА 2

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

2.1 Пространство K основных функций

Основной функцией пространства K называется всякая функция φ(x), определённая на вещественной оси R и обладающая следующими свойствами:

1)φ(x) бесконечно дифференцируема, φ(x) C∞(R);

2)φ(x) финитна, т.е. φ(x) = 0 при x < a и при x > b, где a и b – некоторые числа, a < b. Основные функции называют также пробными. Для краткости будем вместо термина "бесконечно

дифференцируемая функция"говорить "гладкая функция". Промежуток [a, b], вне которого основная функция равна нулю, вообще говоря, свой для каждой функции.

Множество всех основных функций образует линейное пространство K; иногда это пространство обозначают буквой D.

4.1. Показать, что функция

( exp ( 2a2 2 ), |x| < a,

ζa(x) = | |x≥−a

0, x a

принадлежит пространству K.

4.2. Пусть φ(x) – основная функция, h(x) – какая-нибудь гладкая функция. Проверить, что функции h(x)φ(x), φ(k)(x), φ(αx + β) принадлежат пространству K; здесь α и β – произвольные вещественные числа.

Предельный переход в пространстве K.

Последовательность функций φn(x) K сходится в пространстве K при n → ∞ к нулевой функции φ(x) ≡ 0, если:

1)существует конечный промежуток [a, b], вне которого все функции φn(x) равны нулю;

2)сама последовательность φn(x) и последовательность производных любого порядка от φn(x) сходятся равномерно по x R к нулю:

φn(x) = 0, φ(nk)(x) = 0 n → ∞, k = 1, 2, ...

Символ = означает равномерную сходимость. Для равномерной сходимости к нулю последовательности функций φn(x) необходимо и достаточно, чтобы αn → 0, где αn = max |φn(x)|, x R.

Сходимость φn(x) к нулю в пространстве K записывается в виде

φ (x) K 0

n → .

По определению, φ (x) K φ(x), если φ(x) K и φ (x) φ(x) K 0. n → n − →

4.3. Выяснить, сходятся ли в пространстве K последовательности:

а)	1	ζ1(x), где функция ζa(x) введена в задаче 4.1;
	n
б)	1	ψ(x), где ψ(x) – какая-нибудь фиксированная основная функция;
	n
в)	1	ζn(x);	г) 1 ζ1(nx);	д) 1	ζ1( x );	е)	1	ζ1(x) sin nx;
	n		n	n	n		n

40

( exp		(x−n)2		−a2			, |x − n| < a.
0, |x		− n| ≥ a,
ж) φn(x) =			1

4.3. Доказать, что если φn(x) K→ φ(x) при n → ∞, то для любой гладкой функции h(x) будет

h(x)φ (x) K h(x)φ(x)

n → .

2.2 Пространство S основных функций

Основной функцией пространства S называется всякая функция φ(x), определённая на вещественной оси R и обладающая следующими свойствами:

1)φ(x) C∞(R);

2)сама функция и её производные любого порядка стремятся при |x| → ∞ к нулю быстрее любой отрицательной степени x, т.е.

lim xkφ(m)(x) = 0 k, m = 0, 1, 2, ...

|x|→∞

Основные функции называют также пробными. Множество всех основных функций образует линейное пространство K. Очевидно, пространство K есть часть пространства S.

Предельный переход в пространстве S.

Последовательность функций φn(x) S сходится в пространстве S при n → ∞ к нулевой функции φ(x) ≡ 0, если при любых k, m = 0, 1, 2, ... последовательности вида xkφ(nm)(x) сходятся

равномерно по x R к нулю:

xkφ(nm)(x) = 0 n → ∞.

Сходимость φ (x) к нулю в пространстве S записывается в виде φ (x) S 0. По определению, φ (x) S

n n → n →

φ(x), если φ(x) S и φ (x) φ(x) S 0.

n − →

4.4.Проверить, что функция e−x2 принадлежит пространству S.

4.5.Можно ли в пространстве S: а) дифференцировать основные функции? б) умножать их на полиномы? в) умножать их на любые гладкие функции?

4.6.Выяснить, сходятся ли в пространстве S последовательности:

а)	1 e−x2	;	б)	1 x20e−x2	;	в)	1 e−nx2	;	г)	1 e−(x−n)2	; д) e−n−nx2 .
	n			n			n			n

2.3 Регулярные и сингулярные обобщённые функции

Функционал f над пространством K – это правило, которое каждой основной функции φ(x) K сопоставляет некоторое число, называемое значением функционала на функции φ; обычно это число обозначают (f, φ) или (f(x), φ(x)).

Функционал f называется линейным, если для любых функций φ K, ψ K и любого постоянного числа α R выполняются равенства

(f, αφ) = α (f, φ), (f, φ + ψ) = (f, φ) + (f, ψ).

Функционал f называется непрерывным, если для любой последовательности функций, сходя-

щейся к нулю в пространстве K, значения функционала стремятся к нулю: (f, φ ) 0, если φ K 0

n → n →

при n → ∞.

Линейные непрерывные функционалы над пространством основных функций K называются обобщенными функциями. Множество обобщённых функций обозначается K0.

Аналогично определяются обобщённые функции над пространством основных функций S. Множество обобщённых функций в этом случае обозначается S0. Поскольку K S, то S0 K0.

41

Хотя обобщённая функция f – это не функция в обычном смысле слова, часто вместо формул вида (f, φ) пишут (f(x), φ(x)), чтобы явно указать, как основная функция φ зависит от своего аргумента.

Обобщённая функция f называется регулярной, если её действие на основные функции задаётся формулой

	+∞		( )
(f, φ) =	Z	f(x)φ(x) dx.

−∞

Здесь f(x) – некоторая обычная функция, абсолютно интегрируемая на любом конечном промежутке; если функция f(x) имеет разрывы, то интеграл понимается как несобственный (относительно точек разрыва). Под термином "обычная функция"подразумевается правило, сопоставляющее каждому x из области определения некоторое число y = f(x). Регулярные обобщённые функции обычно обозначают так же, как и порождающие их обычные функции. Например, обобщённая функция 1, или 1(x),

вводится по формуле (1, φ(x)) =		1 · φ(x) dx.				. Любой обычной функции, независимо от её поведе-
Отметим важное отличие	пространств		K0	и	S0
		R

ния на бесконечности, можно в пространстве K0 сопоставить регулярную обобщённую функцию, так как пробные функции финитны. Но в пространстве S0 допустимы лишь те регулярные функционалы, которые порождаются обычными функциями, не слишком быстро (не быстрее полинома) растущими при x → ±∞. Поэтому это пространство называют "пространством функций медленного роста".

Обобщённая функция, действие которой на основные функции нельзя свести к виду ( ), называется сингулярной обобщённой функцией.

+∞	R
R
Замечание. В дальнейшем для краткости вместо	f(x)φ(x) dx будем писать обычно f(x)φ(x) dx.
−∞

4.7. Являются ли обобщёнными функциями функционалы, заданные формулами:

б) (f, φ) =	R P (x)φ2(x) dx, где P (x) – полином;
а) (f, φ) =	P (x)φ(x) dx, где P (x) – полином;
в) (f, φ) =	R ex2 φ(x) dx;	г) (f, φ) = φ(0);	д) (f, φ) = φ2(0);
	R

n

P

е) (f, φ) = akφ(bk), где ak и bk – некоторые числа;

k=0

n

ж) (f, φ) = P akφ(k)(0).

k=1

Ответы дать отдельно для φ K и для φ S.

4.8. Дельта-функция δ(x) задаётся формулой: (δ(x), φ(x)) = φ(0). Доказать, что δ(x) – сингулярный функционал.

Указание. Доказательство от противного; в качестве пробной функции взять ζ (x).

2.4 Действия с обобщёнными функциями

В этом параграфе обсуждаются действия, или операции, с обобщёнными функциями в пространстве K0; отличия в случае пространства S0 отмечаются в тексте.

Операции над обобщёнными функциями вводятся по следующей схеме. Сначала рассматривают

R

операцию O для обычной функции f(x) и интеграл (Of(x), φ(x)) = Of(x) φ(x) dx, задающий регулярную обобщённую функцию. Затем преобразуют этот интеграл так, чтобы перенести данную операцию на пробную функцию: R f(x)O φ(x) dx. Полученную формулу переписывают в символическом "скобочном"виде (Of(x), φ(x)) = (f(x), O φ(x)) и принимают полученное равенство за определение операции для любых обобщённых функций.

1. Равенство обобщённых функций.

42

Обобщённые функции f(x) и g(x) считаются равными, если для любой основной функции φ K выполняется равенство

(f(x), φ(x)) = (g(x), φ(x)).

Нулевая обобщённая функция при действии на любую основную функцию даёт в результате нуль.

2. Сложение и умножение на число.

Если f1 и f2 – обобщённые функции, α1 и α2 – числа, то обобщённая функция f = α1f1 + α2f2 определяется равенством:

(f, φ) = α1(f1, φ) + α2(f2, φ), φ K.

3. Дифференцирование обобщённых функций.

Производная обобщённой функции f вводится по правилу:

(f0, φ) = −(f, φ0).

Для регулярных обобщённых функций эта формула означает просто интегрирование по частям. 4.9. Обычная функция Хевисайда (называемая также "включённой единицей"), определяется фор-

мулой		0, x < 0,
θ(x) =		0, x = 0,
		1, x > 0.

Обобщенная функция Хевисайда вводится как регулярный функционал θ, соответствующий обычной функции Хевисайда.

1)Если значение θ(0) задать вместо 0 каким-либо другим числом, то с точки зрения классического анализа, при разных значениях θ(0) получатся различные функции Хевисайда. Различаются ли соответствующие обобщённые функции?

2)Найти производную от функции Хевисайда: а) в смысле классического анализа; б) в смысле обобщённых функций.

4.10. Обобщённая функция x−1 вводится по формуле

+∞

, φ(x)) = v.p. Z

(x)

(x−1

φ

dx.

( )

x

−∞

а) Является ли x−1 регулярной обобщённой функцией?

б) Показать, что формулу ( ) можно преобразовать к виду

(x−1, φ(x)) =

+∞

φ(x)−φ(−x) dx.

R

0

x

в) Показать, что формулу ( ) можно преобразовать к виду

1

A φ(x)−φ(0)

(x−

, φ(x)) = −RA

dx,

x

где (−A, A) – промежуток, вне которого φ = 0.

4.11. Регулярная обобщённая функция ln |x| вводится по формуле

+∞

R

ln |x|φ(x) dx.

(ln |x|, φ(x)) =

−∞

Найти (обобщённую) производную для ln |x|.

4. Умножение обобщённых функций на гладкую функцию.

Пусть f(x) – обобщённая функция из пространства K0, h(x) – произвольная гладкая функция, h C∞. Произведение обобщённой функции f(x) и гладкой функции h(x) вводится по правилу:

(h(x)f(x), φ(x)) = (f(x), h(x)φ(x)), φ(x) K.

43

4.18. f(x) = sin|x|x .

В случае, когда f(x) – обобщённая функция пространства S0, на множитель h(x) накладывается ограничение: при x → ±∞ функция h(x), как и всякая её производная, может расти не быстрее некоторой степени x.

4.12. Доказать, что: а) xδ(x) = 0; б) xδ0(x) = −δ(x); в) (δ(x) + δ(x − π/2)) cos x = δ(x).

4.13. Доказать, что произведение обобщённой функции на гладкую функцию можно дифференцировать по обычному правилу: (h(x)f(x))0 = h0(x)f(x) + h(x)f0(x).

4.14. Упростить выражения: а) x2δ00(x); б) (x2δ0)0(x); в) ((x − 1)θ(x))00; г) (sin2 x · θ(x))000.

4.15.Проверить, что: а) обобщённая функция y(x) = x−1 – одно из решений уравнения xy(x) = 1; б) δ(x) – одно из решений уравнения xy(x) = 0.

4.16.а) Выберем какую-нибудь функцию φ0(x) K такую, что φ0(0) = 1. Доказать, что любую основную функцию φ(x) K можно представить в виде φ(x) = φ(0)φ0(x) + xψ(x), где ψ(x) K.

Указание. Введём обозначение ω(x) = φ(x) − φ(0)φ0(x); очевидно, ω(x) K, ω(0) = 0. Далее, ψ(x) =

1 ω(x) = 1		x	(ξ)dξ. Сделать замену ξ = xt.
		ω0
x	x	R
		0

б) Доказать, что общее решение уравнения xy(x) = 1 имеет вид y(x) = x−1 + Cδ(x), где C – произвольная постоянная.

Указание. Пусть y(x) – какое-нибудь решение. Рассмотреть выражение (y(x), φ(x)) и применить представление, полученное в (а).

Пусть кусочно-непрерывная обычная функция f(x) имеет в точках x = ak скачки σk = f(ak + 0) − f(ak − 0) (k = 1, 2, ..., n), а внутри интервалов непрерывности f(x) существует обычная ("классическая") производная f0(x), которая непрерывна или кусочно-непрерывна. Пусть g(x) – регулярная обобщённая функция, соответствующая классической производной, а f0(x) – обобщённая производная от регулярной обобщённой функции, соответствующей обычной функции f(x). Тогда

n

f0(x) = g(x) + X σkδ(x − ak).

k=1

В задачах 4.17 – 4.20 вычислить обобщённые производные f0(x) для заданных функций f(x).

4.17. f(x) = sign x =		−1, x < 0,
		0, x = 0,

1, x > 0.

4.19.f(x) = x − [x], где [x] – целая часть x.

0, x < −a,

4.20.f(x) = b, −a < x < a, где a, b > 0.

0, x > a.

4.21.Найти f00(x), если f(x) = h(x)θ(x − a), h(x) C∞.

4.22. Найти f00(x), если: а) f(x) = x x	+ xθ(x);	б) f(x) = sin	|	x	;
| |				|
в) f(x) = sin |x|.

5. Замена аргумента обобщённой функции.

Пусть f K0 или f S0. При a 6= 0, обобщённая функция f(ax + b) действует, по определению, следующим образом:

	(f(ax + b), φ(x)) = f(y),	1		φ(	y − b	) .
		|a|			a

4.23.Доказать, что δ(−x) = δ(x), δ(2x) = 12 δ(x).

4.24.Исходя из свойств интегралов, предложить для обобщённых функций определение нелиней-

ной замены аргумента вида x = x(t), где x0(t) 6= 0. В качестве примера рассмотреть δ(x5 + 3x).

44