ГЛАВА 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

3.1 Классификация уравнений 2-го порядка

Многие физические процессы могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями с частными производными 2-го порядка. Общий вид таких уравнений:

n		∂2u		n	∂u
X				X
			+			+ cu = f,	(1)
	aik			bk
		∂xi∂xk
i,k=1				k=1	∂xk
где u = u(x1, ..., xn) – искомая функция, aik,			bk, c – коэффициенты, зависящие, вообще говоря, от

x1, ..., xn, и f = f(x1, ..., xn) – заданная функция.

Для выделения одного решения из множества всех решений уравнения (1) следует привлекать дополнительные условия, т.н. начальные или краевые (граничные) условия; при этом для уравнений различных типов требуются условия различных видов. Задачу о нахождении решения дифференциального уравнения при дополнительных условиях называют обычно краевой задачей.

Будем считать, что коэффициенты уравнения (1) постоянны, вещественны, и что матрица коэффициентов при вторых производных A = {aik} симметрична, т.е. aik = aki. Тип уравнения (1) определяется по матрице A.

	n
Составим квадратичную форму матрицы Φ(q1, ..., qn) = (A~q, ~q) =	P
	aikqiqk, где ~q – вектор-
	i,k=1

столбец из евклидова пространства Rn. Если сделать преобразование ~q = P ω~ с невырожденной квадратной матрицей P , то квадратичная форма преобразуется к виду Φ = (A~eω, ω~), где Ae = P AP , или

		n							1
	P
ars =		piraikpks.
e	i,k=1
	Если в дифференциальном уравнении (1) сделать замену независимых переменных ~x = (P )− ξ~,
	~					n
где ~x, ξ		– вектор-столбцы из пространства R , то уравнение приобретёт вид
		n	∂2u	n	∂u + cu = f,			n
		ars		+ br			br = (P ~b)r = pkrbk.
		X e		Xe			e	X
			∂ξr∂ξs		∂ξr
		r,s=1		r=1				k=1
	Пусть замена ~q = P ω~ приводит квадратичную форму к каноническому виду Φ = µ1ω12 +µ2ω22 +...+

µnω2

, т.е. ars = µsδrs, тогда дифференциальное уравнение в новых переменных ξ~ = P ~x будет иметь

вид n

e

µ1

∂2u

+ µ2

∂2u

+ ... + µn

∂2u

+

n

br

∂u

+ cu = f.

∂2ξ1

∂2ξ2

∂2ξn

rXe

=1

В частности, в качестве матрицы P можно взять ортогональную матрицу T , составленную из собственных векторов-столбцов матрицы A, тогда T = T −1, µk = λk (k = 1, ..., n), где λk – собственные числа матрицы A.

58

Пусть, например, λ1 6= 0, тогда уравнение можно ещё больше упростить: положим u = eγξ1 v,

γ = − eb1 , при этом уравнение преобразуется к виду

2λ1

λ1	∂2u	+ λ2	∂2u	+ ... + λn	∂2u	+ eb2	∂u	+ ... + ebn	∂u	+ cu = fe.
	∂2ξ1		∂2ξ2		∂2ξn		∂ξ2		∂ξ2
										e

Здесь cue = c + λ1γ2 + eb1γ, fe = e−γξ1 f. Если λ1 = 0, то соответствующий член с первой производной устранить нельзя.

Итак, в каноническом виде дифференциальное уравнение не содержит смешанных производных и (по возможности) первых производных.

Замечание: для определения типа уравнения нет необходимости вычислять собственные числа матрицы A, достаточно привести квадратичную форму к каноническому виду, например, выделением квадратов.

Наиболее важны следующие три типа уравнений:

1. Уравнение (1) называется эллиптическим, если все числа µk положительны (или все отрица-

тельны). Пример: уравнение Лапласа u = 0, где =	∂2	+	∂2	+	∂2	; здесь µ1 = µ2 = µ3 = 1.
	2		2		2
	∂x		∂y		∂z

2. Уравнение (1) называется гиперболическим, если одно из чисел µk положительно, а все осталь-

ные отрицательны (или наоборот). Пример: волновое уравнение ∂∂t22u − a2 u = 0, здесь µ1 = 1, µ2 =

µ3 = µ4 = −a2.

3. Уравнение (1) называется параболическим, если одно из чисел µk равно нулю, а все остальные положительны (или все отрицательны). Пример: уравнение теплопроводности ∂u∂t − a2 u = 0, здесь

µ1 = 0, µ2 = µ3 = µ4 = −a2.

Определение. Краевая задача поставлена корректно, если в заданном классе функций:

1) решение существует; 2) решение единственно; 3) решение непрерывно зависит от параметров задачи (начальных или граничных данных, правой части уравнения, коэффициентов уравнения, размеров области и т.п.) Термин "непрерывно зависит"означает, что при малых изменениях параметров решение меняется мало (в каком-либо смысле).

Для эллиптических уравнений корректны граничные задачи, для гиперболических и параболических – начальные и смешанные (начально-граничные) задачи.

Для заданных уравнений определить тип, найти канонический вид, а также преобразование пере-

n

P

менных xi = gikξk, приводящее уравнение к каноническоиу виду. Для краткости частные производ-

s=1

ные обозначаются индексом внизу, например, uxy означает ∂x∂y∂2u .

5.1. 2uxy + c(x, y)u = f(x, y).

Указание. В данном случае удобно воспользоваться ортогональной приводящей матрицей.

5.2. uxx + 2uxy + 2uyy + 4uyz + 5uzz + ux = f(x, y).

Указание. Собственные числа матрицы – корни кубического уравнения, причем иррациональные. В данном случае удобнее привести дифференциальное уравнение к каноническому виду неортогональным треугольным преобразованием.

5.3.uxy + uyz + uzx = 0. Указание: удобно умножить уравнение на 2.

5.4.5uxx + 2uyy + 2uzz − 2uxy − 2uxz + 4uyz + ux = 0.

5.5.ih∂∂tΨ = −2hm2 ΔΨ + U(~x)Ψ, Ψ = Ψ(~x, t) ("волновое уравнение"Шрёдингера).

5.6.Стержнем называется тонкий прямолинейный проводник тепла, изолированный от окружающей среды. Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности стержня: найти температуру в каждой точке x (0, l) стержня в момент времени t > 0, т.е. функцию u(x, t), удовлетворяющую

при t > 0, 0 < x < l уравнению ut − a2uxx = f(x, t), а также начальному условию u(x, +0) = h(x) и граничным условиям u(+0, t) = A(t), u(l − 0, t) = B(t). Здесь f(x, t), h(x), A(t), B(t) – заданные непрерывные функции. Задача рассматривается в классе функций u(x, t), дважды непрерывно дифференцируемых по x и один раз по t. Доказать единственность решения.

59

Примечание. Обычно начальное условие записывают короче: u|t=0 = h(x) или u(x, 0) = h(x). Аналогичная запись применяется и для граничных условий.

Указание. Пусть u1 и u2 – два решения задачи. Их разность w = u1 − u2 удовлетворяет однородному уравнению wt = a2wxx и однородным условиям при t → +0 и x → +0, x → 1 − 0. Умножим обе части од-

1

1

нородного уравнения на w и проинтегрируем: R 12 ∂t∂ w2dx = −a2 R wxxw dx. Интегрируя по частям, получим:

				0	0
1			1	1
	d		R	R
21	dt	W (t) = −a2	wx2dx ≤ 0, где W (t) =	w2dx.	Отсюда, с учётом условия w(x, +0) = 0, получаем, что
			0	0

R w2dx ≤ 0 при t > 0, что возможно только если w ≡ 0.

0

5.7. Струной называется тонкая, гибкая, упруго растяжимая нить, натянутая между двумя неподвижными опорами. Рассмотрим смешанную задачу для уравнения колебаний струны: найти отклонение от положения покоя в каждой точке x (0, l) струны в момент времени t > 0, т.е. функцию u(x, t), удовлетворяющую при t > 0, 0 < x < l уравнению utt − a2uxx = f(x, t), а также начальным условиям u(x, +0) = h(x), ut(x, +0) = g(x) и граничным условиям u(+0, t) = A(t), u(l − 0, t) = B(t). Здесь f(x, t), h(x), g(x), A(t), B(t) – заданные непрерывные функции. Задача рассматривается в классе функций u(x, t), дважды непрерывно дифференцируемых по x и по t. Доказать единственность решения.

Указание: см. указание к предыдущей задаче. Умножить обе части однородного уравнения на wt и проинтегрировать по x, а затем применить интегрирование по частям.

5.8. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в трёхмерной области D ставится следующим образом: найти функцию u(~x) = u(x, y, z), удовлетворяющую при ~x D уравнению u = f(~x) и граничному условию u|∂D = g(~x). Здесь f, g – заданные непрерывные функции; граница ∂D области D предполагается гладкой (или кусочно-гладкой). Доказать единственность решения в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций.

Указание. Обе части однородного уравнения w = 0 умножить на w и проинтегрировать по области D,

	2	R	R	R
затем применить формулу интегрирования по частям:			uvx dx dy dz = − uxv dx dy dz +	uv cos (n, x) dS.
R		D	D	∂D
Отсюда получится, что интеграл Дирихле (grad w) dx dy dz = 0, откуда w ≡ 0.

D

3.2Метод разделения переменных (метод Фурье). Элементаpные функции

3.2.1 Две независимых переменных

Уравнение теплопроводности

Обозначим через u = u(x, t) температуру в момент времени t в точке x теплопроводящего стержня, 0 ≤ x ≤ l. Функция u(x, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности ut − a2uxx = 0 (a > 0), начальному условию u|t=0 = h(x) и граничным условиям на концах стержня:

(α0u + β0ux)x=0 = 0, (α1u + β1ux)x=l = 0.

(2)

Здесь заданы: начальное распределение температуры h(x), коэффициенты αi, βi, отвечающие за тепловой контакт на концах стержня, и коэффициент внутренней теплопроводности a2. Требуется найти функцию u(x, t) при 0 < x < l, t > 0.

Будем искать решения частного вида w = X(x)T (t) уравнения (2) c неизвестными пока функциями X(x), T (t). Подставим w в уравнение и перепишем полученное равенство в виде

T 0(t)	=	X00(x)	.
a2T (t)
		X(x)

60

Штрих означает производную по аргументу.

Поскольку левая часть равенства не зависит от x, а правая от t, то оба отношения равны некоторой постоянной, обозначим её −λ. Получились два обыкновенных дифференциальных уравнения:

X00 + λX = 0, T 0 + a2λT = 0.

Функция w будет удовлетворять граничным условиям (2), если X(x) подчинить граничным условиям

(α0X + β0X0)x=0 = 0, (α1X + β1X0)x=l = 0.

(3)

Уравнение X00 + λX = 0 совместно с условиями (3) составляет задачу Штурма-Лиувилля (см. том 2 задачника). Собственные функции Xk(x), соответствующие собственным значениям λk, образуют ортогональную систему, замкнутую в классе непрерывных функций h(x), подчиняющихся граничным условиям (3). Каждому λk отвечает частное решение wk = Xk(x)Tk(t) уравнения теплопроводности, где Tk(t) = Cke−a2λkt, Ck – произвольная постоянная. Начальному условию можно удовлетворить, если составить ряд из частных решений:

∞

u(x, t) = X Cke−a2λktXk(x). (4)

k=1

∞

P

При t = 0 получаем равенство h(x) = CkXk(x), которое означает разложение функции h(x) в ряд

k=1

Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Коэффициенты разложения находятся стандартным образом, при помощи умножения обеих частей разложения на собственную функцию и интегрирования по x [0, l]:

		1		Z	l	||Xk(x)||2 = Z	l
Ck =					h(x)Xk(x) dx,		Xk2(x) dx.
		Xk(x)	2
||		||		0		0

Ряд (4) сходится равномерно при t ≥ 0, x [0, l].

Взадачах 5.9 – 5.13 найти температуру u(x, t) стержня при заданной начальной температуре h(x)

иуказанных граничных условиях. Для краткости везде принято, что a = 1.

5.9. а) h(x) = sin x, u(0, t) = u(π, t) = 0; б) h(x) = sin2 x, u(0, t) = u(π, t) = 0.

5.10.h(x) = x(1 − x), u(0, t) = u(1, t) = 0. Каков предел u(x, t) при t → +∞?

5.11.h(x) = x, u(0, t) = ux(1, t) = 0.

5.12. h(x) = x, ux(0, t) = ux(1, t) = 0. Каков предел u(x, t) при t → +∞?

Указание. Одно из собственных чисел равно нулю.

5.13. h(x) = π − x, ux(0, t) = 0, u(π, t) + ux(π, t) = 0.

Указание. Уравнение для собственных чисел не решается точно; для больших номеров его можно решить приближенно.

Если уравнение теплопроводности имеет вид ut − a2uxx = f(x, t), т.е. на стержне имеется распределённый источник тепла с мощностью f(x, t), то схема построения решения несколько изменяется.

	∞
Именно, следует строить решение задачи сразу в виде ряда u(x, t) =	kP
	Tk(t)Xk(x) по собственным
	=1

функциям Xk(x) задачи Штурма-Лиувилля, и подставить этот ряд в уравнение. Получится равенство

∞

X(Tk0 (t) + a2λkTk(t))Xk(x) = f(x, t),

k=1

61

означающее, что f(x, t) как функция от x разложена при каждом t в ряд по системе собственных функций Xk(x). Умножая обе части равенства на Xk(x) и интегрируя по x [0, l], приходим к дифференциальному уравнению для каждой из функций Tk(t):

			1		Z	l
Tk0 (t) + a2λkTk(t) = fk(t),	fk(t) =					f(x, t)Xk(x) dx.
			Xk(x)	2
	||			||	0

∞

Начальное условие для Tk(t) получается из равенства P Tk(0)Xk(x) = h(x) в виде Tk(0) =

Таким образом,		k=1	.
	Tk(t) = e−a2λkt Tk(0) + Zt ea2λkτ fk(τ) dτ
		0

	1		l
			h(x)Xk(x
||	Xk(x)	2
	||		R
			0

5.14.Найти температуру u(x, t) стержня, если ut = 4uxx + t, u(x, 0) = h(x), u(0, t) = 0, u(π, t) = 0

вдвух случаях: а) h(x) = 0; б) h(x) = sin x.

5.15.Найти температуру u(x, t) стержня, если ut = uxx + e−t sin x, u(x, 0) = u(0, t) = u(π, t) = 0.

Если граничные условия неоднородные, например, u(0, t) = A(t), u(0, t) = B(t), то с помощью подстановки u(x, t) = w(x, t) + v(x, t) можно сделать эти условия однородными. Вспомогательная функция w(x, t) должна удовлетворять неоднородным граничным условиям, а в остальном она произвольна. Например, можно искать её в виде линейной функции w(x, t) = a(t) + b(t)x, тогда a(t) = A(t), b(t) = (B(t) − A(t))/l. Начальное условие перепишется в виде v(x, 0) = h(x) − w(x, 0), уравнение в виде vt − a2vxx = f(x, t) − wt + a2wxx.

5.16.Уравнение ut = uxx, начальное условие u(x, 0) = 0, на концах стержня u(0, t) = 1, u(1, t) = t. Найти u(x, t).

5.17.Уравнение ut = uxx+1, начальное условие u(x, 0) = x, на концах стержня u(0, t) = t, ux(1, t) = 1. Найти u(x, t).

Уравнение колебаний струны

Струна натянута между точками x = 0 и x = l оси x. Обозначим через u = u(x, t) смещение (отклонение) струны от прямолинейного положения покоя. Функция u(x, t) при t > 0, 0 < x < l

удовлетворяет уравнению utt − a2uxx = 0 (a > 0), начальным условиям u|t=0 = h(x), ut|t=0 = g(x) и граничным условиям на концах струны:

(α0u + β0ux)x=0 = 0, (α1u + β1ux)x=l = 0.

(5)

Здесь заданы: начальное смещение h(x) и начальная скорость g(x), коэффициенты αi, βi, связанные с характером закрепления струны на её концах, и скорость распространения волн a. Требуется найти функцию u(x, t) при 0 < x < l, t > 0.

Действуя по той же схеме, что и в случае задачи о теплопроводности, получаем равенство

		T 00(t)		X00(x)
			=				= −λ,
		a2T (t)		X(x)
откуда следуют два обыкновенных дифференциальных уравнения:
X00 + λX = 0, T 00 + a2λT = 0.
Граничные условия имеют вид (3). Решение задачи – сумма ряда
∞
X			p					p
u(x, t) =	(Ak cos at				λk + Bk sin at				λk) Xk(x).

k=1

62

При t = 0 получаем равенства

∞	∞
X	X p
h(x) =	AkXk(x), g(x) = a λkBkXk(x),
k=1	k=1

откуда коэффициенты Ak, Bk находятся стандартным образом.

Замечание. Метод Фурье даёт решение в виде бесконечной суммы стоячих волн, или гармоник. Преобразуя произведение тригонометрических функций, можно переписать решение в виде наложения волн, бегущих вдоль струны.

В задачах 5.18 – 5.22 найти смещение струны u(x, t) при заданных начальных данных и указанных граничных условиях.

5.18. а) h(x) = sin x, g(x) = 0, u(0, t) = u(π, t) = 0;				<
б) h(x) = 0, u(0, t) = u(π, t) = 0, g(x) =	γ,	|x −	π/2|
	0,	x	π/2	>
		| −	|

5.19.h(x) = 0, g(x) = x, u(0, t) = u(1, t) = 0. Записать решение также в виде суммы бегущих

волн.

5.20.h(x) = 0, 1 x, g(x) = 0, u(0, t) = ux(1, t) = 0.

5.21.h(x) = 2 cos2 πx, g(x) = 0, ux(0, t) = ux(1, t) = 0.

Указание: 2 cos2 α = 1 + cos 2α.

5.22. h(x) = 0, g(x) = 1, ux(0, t) = 0, u(π, t) + βux(π, t) = 0.

Если уравнение колебаний струны имеет вид utt − a2uxx = f(x, t), т.е. на струну воздействует рас-

пределённая сила с плотностью f(x, t), то решение задачи следует строить в виде ряда по собственным

∞

P

функциям u(x, t) = Tk(t)Xk(x), подставить этот ряд в уравнение и получить равенство

k=1

∞

X(Tk00(t) + a2λkTk(t))Xk(x) = f(x, t).

k=1

Умножая обе части равенства на Xk(x) и интегрируя по x [0, l], приходим к дифференциальному уравнению для каждой из функций Tk(t):

			1			Z	l
Tk00(t) + a2λkTk(t) = fk(t),	fk(t) =						f(x, t)Xk(x) dx.
			Xk(x)		2
	||			||		0

Начальные условия для Tk(t) получаются из равенств

∞	∞	(0)Xk(x) = g(x).
Tk(0)Xk(x) = h(x),	Tk0
X	X
k=1	k=1

Если граничные условия неоднородные, то с помощью подстановки u(x, t) = w(x, t) + v(x, t) можно сделать их однородными. Вспомогательная функция w(x, t) должна удовлетворять неоднородным граничным условиям, а в остальном она произвольна.

5.23. Найти смещение u(x, t) струны, если utt = 4uxx + t, u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, u(0, t) = u(π, t) =

0.

5.24. Найти смещение u(x, t) струны, если utt = uxx + Q sin t, u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, u(0, t) = u(π, t) = 0.

Замечание. Частота вынуждающей силы совпадает с одной из собственных частот струны. Это приводит к неограниченному нарастанию амплидуды со временем, т.е. наблюдается резонанс.

63

5.25. Найти смещение u(x, t) струны, если utt = uxx + Q sin t − 2 ut, > 0, u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, u(0, t) = u(π, t) = 0.

Замечание. Данное уравнение описывает колебания струны в среде, обладающей небольшой вязкостью. Член с ut моделирует трение; благодаря его присутствию, даже при малых значениях не будет бесконечного возрастания амплитуды колебаний, когда t → +∞.

5.26. Уравнение utt = uxx + 1, начальные условия u(x, 0) = x, ut(x, 0) = 0, на концах струны u(0, t) = t, ux(1, t) = 1. Найти u(x, t).

5.27.Струна длиной l закреплена на концах x = 0 и x = l и в начальный момент времени получает

вточке x = c удар от молоточка (струна пианино). Предполагается, что во время удара молоточек касается очень малого участка струны и что сам удар длится очень недолго по сравнению с периодом колебания струны. Найти отклонение u(x, t) струны.

Указание. Начальное смещение равно нулю, начальная скорость равна нулю при всех x за исключением малого участка [c − , c + ], на котором скорость положительна. Получить ответ при конечном и перейти к пределу при → 0. См. также задачу 5.18б.

5.28. Две разнородные струны, длиной l1 и l2, связаны между собой в точке x = l1 и закреплены на концах x = 0 и x = l1 + l2. Скорости распространения волн: a1 и a2, соответственно. Найти период свободных колебаний струны.

Указание. В точке соединения струн непрерывны u(x, t) и ux(x, t).

5.29. Струна, закреплённая на концах, состоит из двух частей длиною l1 и l2, причем в точке соединения помещается шарик массы M. Доказать, что период T поперечных колебаний струны определяется из уравнения

1	ctg	2πl1	+	1	ctg	2πl2	=	2πM	,
						T a2
a1		T a1		a2				T F0

где F0 – сила натяжения струны.

Указание. Следует принять во внимание условия в точке x = l1:

M(u1)tt = M(u2)tt = −F0(u1)x = −F0(u2)x.

Уравнение Лапласа

А. Уравнение Лапласа: u = 0, где u = uxx + uyy; его решения u(x, y) называют гармоническими функциями. Физический смысл u(x, y): установившееся распределение температуры плоской пластинки или потенциал электростатического плоского поля (см. также главу "Конформные отображения").

Метод разделения переменных применим для решения краевых задач в областях специальной формы, например, в прямоугольниках и круговых секторах.

Краевая задача в прямоугольнике: найти гармоническую функцию u(x, y) в прямоугольнике x

	[0, a], y [0, b], на границах которого выполнены условия
	(u + α0ux)x=0 = f0(y), (u + α1ux)x=a = f1	(y),	(6)
	(u + β0uy)y=0 = g0(x), (u + β0uy)y=b = g1(x).

Частный случай (а): f0(y) ≡ f1(y) ≡ 0, переменные разделяются в виде w = X(x)Y (y), для X(x) получается задача Штурма-Лиувилля

X00 + λX = 0, X(0) + α0X0(0) = 0, X(a) + α1X0(a) = 0,

а для Y (y) – уравнение Y 00 − λY = 0. Решение задачи строим в виде ряда по собственным функциям

Xk(x):

∞
X	p		p
u(x, y) =	(Ak ch y λk + Bk sh y λk) Xk(x).

k=1

64

Коэффициенты Ak и Bk определяются из условий на сторонах y = 0 и y = b.

Частный случай (б): g0(x) ≡ g1(x) ≡ 0, задача Штурма-Лиувилля

Y 00 + λY = 0, Y (0) + β0Y 0(b) = 0, Y (b) + β1Y 0(b) = 0.

Решение краевой задачи:

∞
X	p		p
u(x, y) =	(Ak ch x λk + Bk sh x λk) Yk(y).

k=1

Коэффициенты Ak и Bk определяются из условий на сторонах x = 0 и x = a.

В задачах 5.30 – 5.32 найти гармоническую в указанном прямоугольнике функцию u(x, y), при заданных граничных условиях.

5.30.0 < x < 2, 0 < y < 1; u(0, y) = 0, u(2, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, 1) = x(2 − x).

5.31.0 < x < 2, 0 < y < 1; ux(0, y) = 0, u(2, y) = 0, u(x, 0) = 0, uy(x, 1) = x(2 − x).

5.32. 0 < x < 1, 0 < y < 1; u(0, y) = y, u(1, y) = 2y, u(x, 0) = 0, uy(x, 1) = 0.

Б. Неоднородное уравнение Лапласа u = F (x, y), или уравнение Пуассона, описывает установившееся распределение температуры в плоской пластинке при воздействии на неё источника тепла с плотностью F (x, y). Если на двух противоположных сторонах прямоугольника граничные условия однородные, то решение краевой задачи можно сразу искать в виде ряда по собственным функци-

ям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Пусть, например, u(0, y) = 0,

u(a, y) = 0, тогда

∞

u(x, y) =

Yk(y)Xk(x). Здесь Xk(x) – собственные функции, а функции Yk(y) удовлетворяют урав-

нению

=1

kP

1

a

Yk00 − λkYk = Fk(y), Fk(y) =

Z

F (x, y)Xk(x) dx.

(7)

Xk(x)

2

||

||

0

Коэффициенты Ak и Bk

p

y = 0

y = b

Очевидно, Yk(y) = Ak ch y

(λ) + Bk sh y√λ + φk(y), где

φk(y) – частное решение уравнения (7).

находятся из граничных условий на сторонах

и

.

Неоднородные граничные условия можно, как и в случае уравнений теплопроводности или струны, преобразовать к однородным при помощи вспомогательной функции, при этом в уравнении Лапласа (Пуассона) правая часть изменится.

В. Неоднородное уравнение Лапласа, при однородных граничных условиях, можно решать в виде ряда по системе собственных функций оператора Лапласа. Именно, пусть uxx + uyy = f(x, y) в

прямоугольнике D : 0 < x < a, 0 < y < b, причем u|∂D

= 0. Легко видеть, что Ψm,n(x, y) =

sin mπx sin nπy – собственная функция оператора Лапласа в D, отвечающая собственному значению

a

b

λm,n = π2[(m/a)2 + (n/b)2], где m, n = 1, 2, ... (проверить)! Решение краевой задачи:

∞

∞ fmn

2

a b

2

u(x, y) = − m=1 n=1

λm,n

Ψm,n(x, y),

||Ψm,n||

=

0 0

Ψm,n(x, y) dx dy,

P

P

1

a b

R R

fmn =

f(x, y)Ψm,n(x, y) dx dy.

Ψm,n

2

||

||

0 0

R R

5.33. В прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b выполняется уравнение

u = xy, на контуре

функция u(x, y) равна нулю. Найти u(x, y) в данном прямоугольнике.

5.34. Найти температуру в плоской квадратной пластинке, если

u = 0,

u(0, y) = y, u(1, y) =

1, u(x, 0) = x, u(x, 1) = 1.

Г. В полярных координатах x = r cos φ, y = r sin φ уравнение Лапласа на плоскости имеет вид

∂2u

1 ∂u

1 ∂2u

+

+

= 0.

∂r2

r2 ∂φ2

r ∂r

65