(

1

x

−

1

3x

, x < 0,

4.73. а) E(x) =

1 e−2|x|; б) E(x) =

61e

e

−

10

4

e−2x, x > 0.

15

4.74. а) E(x) =

(x 1)ex, x < 0,

−1−, x > 0;

б) E(x) =	0, x < 0,
	0, 001 [20x − 8 + e−x(8 cos 2x − 6 sin 2x)], x > 0.

4.75.а) E(x) = ex − x − 1 при x > 0 (контур проведён ниже обоих полюсов); б) E(x) = x + 1 − ex при x < 0 (контур проведён выше обоих полюсов).

4.76.E(x) = ( ch x − 1)θ(x); G(x, ξ) = ( ch (x − ξ) − 1)θ(x − ξ) + C ( sh 1 − ch 1 sh x + sh (x − 1)),

C = [1 − ch (1 − ξ)]/[(1 − ch 1) sh 1].

4.77. E(x, y, z) = −

1

; u(x, y, z) = −

1

√

f(ξ,η,ζ)

dξdηdζ

4πr

4π

R3

(x

ξ)2

+(y

η)2

+(z

ζ)2

(т.н. ньютонов потенциал).

R

−

−

−

4.79. E(x, t) =

θ(t)

exp(−

2

);

2a√

x

4a2t

πt

1

∞ dτ

∞

(x−ξ)2

u(x, t) =

2a√

0

√

f(ξ, τ) exp(−

4a2(t−τ)

) dξ.

π

τ

R

−∞

θ(t)

R

|~x|2

4.80. E(~x, t) =

(2a√

)3

exp(−

).

4a2t

πt

4.81. E(x, t) =

1

θ(at + x)θ(at − x) =

1

θ(at − |x|).

2a

2a

1

at+bx

4.82. E(x, y) =

.

4.83. E(x, t) = −θ(t)θ(−x)e

.

π (x+iy)

1

∞

−

(x−ξ)2

4a2t

4.85. При t > 0,

U(x, t) = E(x, t), u(x, t) = 2a√πt −∞ f(ξ)e

dξ.

R

4.86.При t > 0, U(x, t) = 21a θ(at − x)θ(at + x).

2.11.1Дополнение

Д1. Найти обобщённые функции y(x), удовлетворяющие следующим уравнениям: а) (x3 − x)y(x) = 0; б) (x3 − 3x + 2)y(x) = 0; в) (x3 − 3x + 18)y(x) = 0. Д2. Вычислить f00(x), если f(x) = |x2 + 5x − (5x − 11)|x| − 12|.

Д3. Найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям: а) y00 − 3y0 + 2y = δ(x), y → 0, x → ±∞;

б) y00 − 4y0 + 3y = δ(x), y|x<0 ≡ 0;

в) y00	−	4y0 + 3y = δ(x), y x>0	≡	0;
		|

г) y00 + 4y = δ(x), y(−x) = y(x).

Ответы.

Д1. а) y(x) = C1δ(x) + C2δ(x − 1) + C3δ(x + 1); б) y(x) = C1δ(x + 2) + C2δ(x − 1) + C3δ0(x − 1);

в) y(x) = Cδ(x + 3).

Д2. f00(x) = g(x) + 36δ(x + 1) − 22δ(x) + 16δ(x − 1) − 16δ(x − 3),

						12,		x < 1,
где g(x) – классическая производная, g(x) =						−12, −1−< x < 0,
						8, 0 < x < 1 x > 3,
						−8,		1 < x < 3.
					1
	x		2x			3x			x
Д3. а) y(x) = (e			e	)θ( x); б) y(x) =	(e				e )θ(x);
		−		−	2		−

в) y(x) = 12 (ex − e3x)θ(−x); г) y(x) = 14 sin(2|x|).

57