z=−a

z=af(z) = res

1.1.6 Вычеты и их применение

Вычисление вычетов

Пусть z = a – простой полюс функции f(z). Имеет место формула

res z=af(z) = lim (z − a)f(z).

z→a

Пусть f(z) = ψφ((zz)) , где φ(z), ψ(z) – регулярные функции в окрестности точки z 0, ψ0(a) 6= 0, тогда a – простой полюс функции f(z) (или у.о.т.), при этом

φ(a) res z=af(z) = ψ0(a).

Пусть z = a – полюс кратности m функции f(z). Имеет место формула

res

f(z) = lim

1

dm−1

(z

−

a)mf(z).

−

−

z=a

z

→

a (m

1)! dzm

1

= a, ψ(a) =

(◦)

Примечание: при вычислении вычета в полюсе кратности p можно использовать формулу (◦) не только с m = p, но и с m > p.

Пусть функция f(z) регулярна в точке z = ∞. Тогда
		res z=∞f(z) = zlim		z (f(∞) − f(z)).
			→∞
Тогда	f(z)	представима в виде	f(z) = φ z			φ(ζ)	регулярна в точке	ζ = 0	.
Пусть функция				1	, где функция

res z=∞f(z) = −φ0(0).

Внекоторых случаях вычет удобнее находить, разлагая функцию в ряд Лорана.

Взадачах 1.66 – 1.75 требуется найти вычеты данных функций во всех изолированных особых точках и на бесконечности (если она не является предельной для особых точек). В случае конечного числа особых точек следует проверить ответ, зная, что сумма всех вычетов (включая вычет на бесконечности) равна нулю.

1

z4+2

ez

1.66. а)

.

б)

.

в)

.

z(1−z2)

z3−z5

z2(z2+9)

1.67. а)

1

. б)

2z3ez

.

в)

z

.

sin z

(z

2

e

z

+1) sin z

+1

1.68.

sin z

.

Указание: хотя z = 0 – полюс 3-го порядка, следует применить формулу (◦) с m = 4 или

z4

разложить функцию в ряд Лорана.

1.69.

1

.

1.70.

cos(1/z)

.

1.71. 631 ctg 3z.

2

)

sin(z

1+z

1.72. ez+ z1 .

Указание: см. задачу 1.57.

1.73. sin

z

.

√

z+1

1.74. zn sin z1 , где n – целое число.

1.75.

z

.

sin √

z

1.76. Доказать, что для чётной функции f(z) имеет место равенство res z=af(z) = − res z=−af(z), а для нечётной – равенство res f(z).

Интегралы по замкнутому контуру

Пусть γ – простой замкнутый контур на плоскости, D – ограниченная им односвязная область, f(z) – функция, регулярная в D и непрерывная в замкнутой области D# = D γ, за исключением конечного числа особых точек a1, a2, ..., an внутри области. Тогда

I	f(z) dz = 2πi	n	res z=ak f(z).	(??)
		X

γk=1

13

Если D – p-связная область, граница которой состоит из простого замкнутого контура γ1 и расположенных внутри него (p − 1) простых замкнутых контуров γs, s = 2, 3, .., p, то формула (??) остаётся справедливой, если под символом γ понимать всю границу области D, проходимую таким образом, что область остаётся слева. В этом случае формула приобретает вид

							p I		n
							X		X
								f(z) dz = 2πi	res z=ak f(z).
							s=1γs		k=1
Вычислить интегралы:
1.77.				dz	, где γ – окружность x2			+ y2 = 2x.
	z			4
γ				+1
H						dz
1.78.							.
						(z−1)2(z2+1)
z	−		1−i|=2
|				H

		|z|H=2		dz
	1.79.						.
			(z−3)(z5−1)
		z5		z+1
	1.80.	|z|H=3 z5(−z−2) dz.
	1.82.	|z|H=4	z	1		dz.
				e	3z
			z+3
	1.84.	|z| H
			ctg 1 dz.
		=1/4			z
	1.86.	|z|H=7		zdz
			sin z (1−cos z)

Указание: использовать вычет на бесконечности.

1.81.	|z|H=1			ez			dz.
			z2(z2−9)
		1
		|z|H=1		ze z
1.83.					dz.			Указание: замена t = 1/z.
				z+2
	|z|H						z
1.85.				z cos				dz.
		=10				z+1

dz. Указание: воспользоваться результатом задачи 1.76.

1.87. Разложить функцию ctg z в ряд Лорана:

а) в окрестности точки z = 0; б) в кольце π < |z| < 2π.

Указание. Для разложения в окрестности нуля воспользоваться результатами задач 1.45 – 1.46. Пусть это

разложение имеет вид	+∞	+∞	cn◦ zn. Тогда cn◦	ctg z	ctg z
	ctg z =	cnzn, а в кольце ctg z =		= cn+ res z=π zn+1	+ res z=−π zn+1
	−∞	−∞
(доказать!)	P	P

1.88. Разложить функцию 1e−zz в ряд Лорана:

а) в окрестности точки z = 0; б) в кольце 1 < |z| < 2. (Cм. указание к 1.87).

Пусть функция f(z) непрерывна во всех точках контура l, за исключением бесконечного разрыва в точке b, не совпадающей с началом и с концом контура. Удалим из контура малый его участок, расположенный в кружке K : |z−b| < , и обозначим оставшуюся часть контура через l . Предел интеграла

R

f(z) dz при → 0 (если он существует) называется несобственным интегралом в смысле главного

l

R

значения и обозначается v.p. f(z) dz.

l

Пусть γ – простой гладкий замкнутый контур (пробегаемый в положительном направлении), D – ограниченная им область, f(z) – функция, регулярная в D и непрерывная в замкнутой области D γ, за исключением простого полюса в точке b контура γ. Тогда главное значение интеграла существует и равно

v.p. I	f(z) dz = πi res z=bf(z).	(@)
l

Если внутри контура имеются особые точки функции a1, ..., an, то к правой части данной формулы надо

n

P

добавить слагаемое 2πi res z=ak f(z). Если контур кусочно-гладкий, причем b – угловая точка с

k=1

внутренним углом θ, то правая часть формулы (@) имеет вид θi res z=bf(z).

1.89. Найти главное значение интеграла:

14

2+cos z

dz

a) v.p.

1

=1

z

dz;

б) v.p. z =2

.

z(z2

−4)

|z−H|

|

|H

Интегралы вида

2π

R(cos φ, sin φ) dφ, где R(u, v) – рациональная функция, сводятся к интегралам

0

R

iφ

и применением формул Эйлера.

по замкнутому контуру заменой z = e

В задачах 1.90 – 1.94 вычислить определённые интегралы.

1.90. а)

2π

dφ

a > 1;

б)

π

dφ

, a > 1.

,

a+cos φ

(a+cos φ)

2

0

π

2π

R

−R

1.91.

cos2 φ dφ

.

0

13+12 cos φ

R

1.92.

2π

dφ

, a –

комплексное число, a 6= ±1.

0

1 2a cos φ+a2

−

R

Указание: при |a| = 1, a 6= ±1 интеграл следует понимать в смысле главного значения; при a = ±1 главное значение не существует.

π	tg (x + ia)dx, Im a = 0.
1.93. R		1.94. v.p.

0

1.95. Rπ cos2 φ−cos2 a n einφdφ, 0 < a < π/2,

−π

sin φ−sin a

2π		φ , −1 < a < 1.
	a+sindφ
R
0

n = 1, 2, 3, ....

Вычисление интегралов по бесконечному промежутку

+∞

Интегралы вида R Pm(x) dx, где Pm(x) и Qn(x) – полиномы степеней, соответственно, m и n, можно

−∞ Qn(x)

вычислять с помощью вычетов в корнях a1, ...ak полинома Q(z) при условии, что n ≥ m + 2 и Im as 6=

0, s = 1, ..., k:

+∞	Pm(x)			Pm(z)				Pm(z)
Z
		dx = 2πi	Im as>0 res z=as			= −2πi	Im as<0 res z=as		.
	Qn(x)			Qn(z)				Qn(z)
−∞			X				X

Эта формула получается в пределе R → ∞ из интеграла по конечному замкнутому контуру, состoящему из отрезка [−R, R] вещественной оси и полуокружности радиуса R в верхней или в нижней полуплоскости.

Вычислить интегралы:

∞	dx
R
1.96.	(x2+4)(x2+9)	.
−∞
∞	1
R

1.99. 1+x2n dx, n N.

0

∞		xdx				∞ x2	+1
R						R
1.97.	(x2+4x+13)2			.	1.98.	x4	+1 dx.
−∞	∞					0
		x2m
	R					n, m N.
1.100.		1+x2n	dx,		m < n,
	0

∞	x2
R			dx, a > 0.
1.101.	(x2+a2)3
0	∞
			dx
	R
1.102. v.p.		(x−1)(x2+1)(x2+4)		. Указание. Если вычислять интеграл через сумму вычетов в полюсах верх-
	−∞

ней полуплоскости, то следует добавить слагаемое πi res z=1f(z); если же пользоваться полюсами в нижней полуплоскости, то это слагаемое надо взять со знаком минус.

Интеграл Фурье от рациональной функции f(x) = P (x)/Q(x) имеет вид	+∞eiαxf(x) dx, где
	R
	−∞

Im α = 0, P (x) и Q(x) – полиномы. Пусть степень P (x) меньше степени Q(x), и все корни a1, ..., an

15

полинома Q(z) не вещественные. При α > 0 имеет место формула

+∞
Z	eiαxf(x) dx = 2πi	Im as>0 res z=as eiαzf(z).	(•)
−∞		X

Если на вещественной оси имеются простые полюсы b1, ..., bp функции f(z), то каждый такой полюс добавляет к правой части формулы (•) слагаемое вида πi res z=bs eiαzf(z), s = 1, ..., p, при этом интеграл понимается в смысле главного значения.

При α < 0 в формуле (•) сумма составляется из вычетов в полюсах нижней полуплоскости и берётся со знаком минус. Каждый вещественный полюс даёт при этом вклад в правой части вида

−πi res z=bs eiαzf(z).

Вычислить интегралы:

∞∞

R

x cos x dx

R

x sin x dx

1.103. а)

;

б)

.

−∞

x2

−2x+10

x2−2x+10

∞ x sin 2λx

−∞

1.104. F (λ) =

R

1+x4

dx, Im λ = 0. Указание: F (λ) – нечётная функция.

0

∞ eitx dx,

1.105.

∞ cos x2dx2 .

1.106. v.p.

Im t = 0.

R

R

0

(1+x )

x

−∞

∞ x cos x dx

∞

sin x dx

R

R

1.107. v.p.

x2−5x+6 .

1.108. v.p.

(x−1)(x2+4)

dx.

∞

−∞

−∞

∞ cos 2tx dx

sin tx

1.109.

R

dx,

Im t = 0.

1.110. v.p.

R

1+x3 , Im t = 0.

0

x(x2+1)

−∞

∞ cos tx4dx ,

1.111. v.p.

Im t = 0.

R

1−x

−∞

1.112.

∞ 2

2

sin ax dx,

Im a = Im b = 0.

R

x2

−b2

x +b

x

0

−

∞ cos 2ax

cos 2bx

1.113.

R

x

2

dx, Im a = Im b = 0.

0

1+i

∞ etz

1.114.

1−Ri∞

dz,

t > 0. Указание: замкнуть контур в левую полуплоскость.

z2+1

1.115.

R

t > 0. Указание: контур замкнуть вверх – для eitx, вниз – для e−itx.

i+∞ z cos tz2 dz,

i−∞

(z+1)

1.1.7 Принцип аргумента. Теорема Руше

Пусть D – односвязная область, f(z) – функция, регулярная в D за исключением конечного числа полюсов, – простой замкнутый контур, расположенный внутри области D и не проходящий через полюсы и нули функции f(z). Символом var w(z) обозначается приращение функции w(z) при обходе точкой z контура .

Принцип аргумента. Когда точка z пробегает весь контур в положительном направлении, приращение аргумента функции f(z) равно умноженной на 2π разности между числом нулей N и числом P полюсов функции внутри контура:

var arg f(z) = 2π (N − P ),

причем каждый нуль и каждый полюс учитывается столько раз, какова его кратность. Аргумент arg f(z) функции f(z) – это непрерывная вещественная функция ψ(z) в представлении f(z) = |f|eiψ.

16

Принцип аргумента может дать полезную информацию о расположении на комплексной плоскости нулей регулярных функций, в частности, полиномов. Именно, чтобы узнать, сколько нулей имеет данная регулярная функция в интересующей нас области, следует совершить обход области по её границе и выяснить, сколько полных оборотов вокруг точки w = 0 совершит при этом точка w = f(z), т.е. образ точки z.

В некоторых случаях ещё удобнее применять теорему Руше.

Теорема Руше. Пусть D – односвязная область, F (z) и f(z) – функции, регулярные в D, – простой замкнутый контур, расположенный внутри области D. Если на контуре выполняется неравенство |f(z)| < |F (z)|, то число нулей функции F (z) + f(z) внутри контура равно числу нулей в той же области функции F (z), с учётом их кратностей: NF +f = NF .

Примечание. Утверждение принципа аргумента остаётся справедливым, если функция регулярна в области (кроме полюсов) и непрерывна вплоть до границы, при этом в качестве контура можно взять границу области. Аналогично обстоит дело и с теоремой Руше.

1.116. Пользуясь теоремой Руше, найти количество лежащих в круге |z| < 1 корней данных уравнений:

а) z9 − 2z6 + z2 − 8z − 2 = 0; б) 2z5 − z3 + 3z2 − z + 8 = 0; в) 4z4 + z3 − 2 = 0; г) ez − 4zn + 1 = 0, n N.

1.117. Найти количество корней уравнения z4 + 2z3 + 3z2 + z + 2 = 0: а) в правой полуплоскости; б) в первом квадранте.

Указание: воспользоваться принципом аргумента, взяв в качестве контура границу полукруга (или четверти круга) большого радиуса, с центром в начале координат.

1.118. Доказать, что все пять корней уравнения z5 + z + 1 = 0 лежат в кольце 0, 5 < |z| < 2, причем имеется один вещественный корень z1 < 0 и четыре комплексных корня, по одному корню в каждом квадранте.

Указание: cм. указание к задаче 1.117.

1.119. Доказать теорему: если функции f(z) и g(z) регулярны в окрестности точки z = a, и a – простой нуль функции f(z), то в некоторой окрестности этой точки уравнение f(z) + g(z) = 0 при всяком достаточно малом | | имеет единственный корень z( ), причем z( ) = a − g(a)/f0(a) + O( 2).

1.120. Пусть F (z) = z − a − wf(z), причем функция f(z) регулярна в окрестности точки z = a. Доказать, что при достаточно малом |w| существует круг K с центром в точке a, в котором функция F (z) имеет только один нуль (простой).

1.121. Пусть z = z(w) – однозначная функция, определенная при достаточно малом |w| уравнением z − a − wf(z) = 0, функция f(z) регулярна в окрестности точки z = a и f(a) 6= 0. Доказать, что для всякой функции Φ(z), регулярной в окрестности точки z = a, при достаточно малом |w| имеет место разложение

	Φ(z)			= Φ(a) +	∞	wn		dn	[Φ(a)(f(a))n].
	−				X
1		wf0(z)				n! dan
					n=1

Указание. Если C – окружность того круга K, в котором функция F (z) (см. задачу 1.120) имеет только один корень, то

1 − wf0	(z)		= 2πi CI		ζ − a − wf(ζ) dζ.
Φ(z)			1		Φ(ζ)

Подынтегральную функцию разложить в ряд и оценить остаточный член.

∞

wn

dn−1

nP

1.122. Пользуясь обозначениями задачи 1.121, доказать формулу Лагранжа Φ(z) = Φ(a)+

n!

dan−1 [Φ0(a)(

Отсюда получить разложение самой функции z = z(w) в ряд Тейлора:

=1

w

w2

wn

d

z = a +

f(a) +

D[(f(a))2] + ... +

Dn−1[(f(a))n] + ...,

D =

.

1!

2!

n!

da

17

Указание. Применить к функции Φ(z)(1 − wf0(z)) решение предыдущей задачи.

1.123. Функция z = z(w) определена в окрестности точки w = 0 равенством w = ze−az. Разложить z(w) в ряд по степеням w.

1.124. Разложить по степеням w функцию z = z(w), определенную в окрестности точки w = 0

уравнением Кеплера z − a = w sin z, где a 6= 0, ±π, ±2π, ...

1.1.8Разложение функций в ряды простых дробей и в бесконечные произведения

Функция называется мероморфной в области D, если она не имеет в этой области особых точек, отличных от полюсов. Функция, мероморфная во всей конечной плоскости, называется для краткости

мероморфной функцией.

Пусть f(z) – мероморфная функция с простыми полюсами в точках a1, a2, ..., причем 0 < |a1| ≤

|a2| ≤ . . ., и an → ∞ при n → ∞, и пусть An = res z=an f(z). Допустим, что существует последовательность замкнутых контуров Cm такая, что:

а) на Cm нет полюсов функции f(z);

б) каждый контур Cm находится внутри Cm+1;

в) минимальное расстояние Rm от контура Cm до начала координат стремится к бесконечности при m → ∞;

г) отношение длины Lm контура Cm к Rm ограничено:

Lm ≤ B · Rm, m → ∞;

д) функция f(z) ограничена на всех контурах:

|f(z)| ≤ Const, z Cm, m → ∞.

Тогда имеет место разложение функции на простейшие дроби:

∞	z		1an − a1n .
f(z) = f(0) + n=1 An
X			−

Ряд сходится равномерно во всякой замкнутой области, не содержащей полюсов функции f(z), если под знаком суммы сгруппировать слагаемые, относящиеся к полюсам, заключенным между Cm и

Cm+1.

1

CHm

f(ζ) dζ

Замечание. Данные утверждения можно доказать, применяя теорему о вычетах к интегралу

.

2πi

ζ (ζ−z)

1.125. Доказать справедливость разложений:

1

∞

2z

1

1

∞

( 1)n2z

P

nP

а) ctg z = z

+

−

n2π2

;

б) sin z = z

−

z2

+

z2− n2π2 ;

n=1

=1

в) tg z = ∞

8z

;

г)

z

= 1

z +

∞

2z2

;

−

1

−

z

nP

2 )2π2

4z2

e

−

1

− 2

P

=1 (n

n=1 z2+4n2π2

1

∞

1

2

P

д)

sin2 z

= n=−∞

(z−nπ)2

. Указание: ( ctg z)0

= −1/ sin

z.

Функция f(z) называется целой, если она регулярна на всей конечной плоскости. Обозначим через W (z) логарифмическую производную функции f(z):

W (z) = (ln f(z))0 = f0(z).

f(z)

Очевидно, W (z) – функция мероморфная, причем каждый нуль функции f(z) является простым полюсом функции W (z).

Если W (z) удовлетворяет условиям (а) – (д) разложения мероморфной функции на простые дроби, то из этого разложения интегрированием получается разложение целой функции f(z) в бесконечное

18

произведение:

f(z) = f(0)e f(0)

n=1 1 − azn

ean .

f0(0)

∞

z

Y

1.126. Доказать справедливость разложений:

;

а) sin z = z n=1

1 − n2

π2

;

б) cos z = n=0 1 − (2n+1)π

∞

z2

∞

2z

2

Q

Q

∞

1 +

z2

в) ez − 1 = zez/2 n=1

4n2π2 .

Ответы.

Q

√

5 + i;

1

в) 1; г) i; д)

44−5i

1.1. а)

−

б)

−

−

i

3

;

.

2

318

1.2. a) концентрические окружности |w| = 1/C;

б) окружности вида (u − a)2 + (v − b)2 = R2, если

C 6= |w0|; прямая линия uu0 + vv0 = 0, если C = |w0|.

1.3. a) cos(π/2) + i sin(π/2); б) 3(cos π + i sin π);

в) √

2(cos(5π/4) + i sin(5π/4));

г) √

2(cos(π/4) +

i sin(π/4)); д) cos(−π/2) + i sin(−π/2); е) 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).

√

1.4. а) 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6));

б) 2

2 +

√

в)

3(cos φ + i sin φ), где φ = arctg (2 − 3);

cos(6π/7) + i sin(6π/7); г) 2(cos π + i sin π).

q

1.5. а) Верхняя полуплоскость; б) полоса;

в) луч; г) прямой угол с биссектрисой y = 0, x ≤ 0.

1.6. а) Внешность круга;

б) кольцо с центром в точке

1 + i; в) круг; г) часть круга, имеющая

форму "луночки".

2

2

1.7. а) Прямая x = 1;

б) эллипс x16 + y7 = 1; в) нижняя ветвь гиперболы 12y2 − 4x2 = 3.

1.8. а) Окружности; б) лучи;

в) спирали вида r = ekφ.

1.10. cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x;

sin 5x = 5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x + sin5 x;

cos 8x = cos8 x − 28 cos6 x sin2 x + 70 cos4 x sin4 x − 28 cos2 x sin6 x + sin8 x.

1.12. а) √

= ±(1+i)/√

;

б)

√3

= cos(π6 + 32 πk)+i sin(π6 + 32 πk), k = 0, 1, 2, или: (√

±i)/2,

−i;

i

2

i

3

в) √

= 23/4[cos(−π6

+ πk) + i sin(−π6 + πk)],

k = 0, 1;

2 − 2i

г) √3

= 1,

√

±i

;

√4

=

1

i, 1

3

д)

i,

−

1

−

4

−

±

±

−

2

е) √3

= √

[cos(π4 + 32 kπ) + sin(π4 + 32 kπ)], k = 0, 1, 2.

−2 + 2i

2

1.13. а) 2−1/12 exp[i(−

5

π + 31 kπ)],

k = 0, ..., 5;

72

б) exp[

i

(−π + 4kπ)],

k = 0, 1, 2;

3

в) 2−1/16 exp[i(

5

π +

1 kπ)],

k = 0, ..., 7.

96

4

√

πi), −√

1.14. а) −2 + i, −3 + i;

б) −1, 2i;

в) 0,

exp(±

5

exp(±

5

πi).

3

3

12

12

1.15. а) (z − 2)(z − 3);

б) (z + 1)(z + 0, 5 + 0, 5

√

√

3 i)(z + 0, 5 − 0, 5 3 i);

в) (z + 1)4; г) (z − 1)(z + 1)(z − i)(z + i).

k Z;

1.16. а) 0, 5(ln 5 − ln 2) exp[i arctg (1/3) + 2kπi],

б) exp(−π/2 + 2kπ),

k = Z;

в) 5eφ+2kπ · ei(ln 5−φ−2kπ),

φ = arctg 34 ,

k Z.

√

√

1.18. а) 2kπ ± 0, 5i ln(2 +

3), π + 2kπ ± 0, 5i ln(2 +

3),

k = 0, ±1, ±2, ...;

k = 0, ±1, ±2, ...;

б) 2kπ + 0, 5i ln 3, π + 2kπ + 0, 5i ln 3,

в) нет корней.

1.19. 2πi;

πi; 2πi; πi.

1.20. | sin z| → ∞; tg z → ±i; нет предела.

1.21. а) Регулярна при всех z;

б) регулярна при z 6= 0; в) нерегулярна при всех z;

г) – е) регулярна

при всех z.

19

1.25. ∂∂ ur = 1r ∂∂ φv , 1r ∂∂ φu = −∂∂ vr .		1.27. а) z2 + z; б) i/z.
1.28. zez + 2i cos z + z3 − iz + iC,		Im C = 0,	C = const.
1.29.	2i ln z − (2 − i) z + C.	1.30. eiCz2ez.
1.31.	а) u = C1x + C2, f(z) = C1z + C2 + iC3;		б) u = C1(ax + by) + C2; f(z) = C1(a − bi)z +

C2 + iC3.

1.32. а) u = C1 ln(x2 + y2) + C2,

f(z) = 2C1 ln z + C2 + iC3;

б) u = C1 arctg (y/x) + C2,

f(z) = C2 − iC1 ln z + iC3;

в) не существует.

1.33. а) (1) f(z) = ai ln z + λ, (2) f(z) = λeai ln z,

(3) f(z) = λea ln z; б) (1) f(z) =

a +

z

λ,

(2) f(z) = λea/z,

(3) f(z) = λeai/z;

в) (1) f(z) = iaz2 + λ, (2) f(z) = λeiaz2 ,

(3) f(z) = λeaz2 ,

где a – вещественная, λ – комплексная произвольные постоянные.

1.34. а) |z| < 1;

б) |z| < ∞;

в) z = 0;

г) |z| < e;

д) |z| < 1;

е) |z| < 1/e.

б) сходится (условно) во всех точках, кроме z = 1;

1.35. а) Расходится во всех точках;

в)

сходится (абсолютно) во всех точках.

∞

n anzn

1.36.

nP

n

n

|b/a|.

=0(−1)

bn+1 , |z| <

√

i

∞

(2−3i)

−(2+3i)

n

1.37.

nP

z

,

|z| <

13.

∞

z2n+1

1

∞

22n−1z2n

6

=1

13n

nP

∞

P n

z2n+1

1.38.

2

+ n=0

(2n)!

,

|z|

< ∞.

1.39.

=0

n!(2n+1)

,

|z| < ∞.

nP

∞

n

2n

2n+1

1.40.

=0(−1)

(2n+1)!(2n+1)

,

|z| < ∞.

1

2nP 1

4

1

3

1

5

1.41. а)

0, 25

=0(−0, 25)

(z − 1)

+ (z

−

1)

, |z − 1| < 2;

б) cos 3 (1 −

t

+

t

− ...) − sin 3 (t −

t

+

t

− ...),

t = z − 1, |z − 1| < ∞;

2!

4!

3!

5!

∞

n+1 (z−1)n

в) − ln 2 +

nP

2

1

6

1 3

2 5

4

1

=1(−1)

n

,

|z − 1| < 1.

1.42. а) 1 + z

+ 3 z

+

z

+ ...;

б) z + 3 z

+

z + ...;

120

15

в) 1 − 41 z2 −

1

z4 + ....

96

∞

n 22kB2n z2n

1.46. 1 +

nP

z(z+a)

,

|z| < π.

=1(−1)

(2n)!

1.47. а)

z

;

б)

;

в) π−x .

(1−z)

2

(a−z)

3

2

I2 = −πR2.

1.48. а) I1 = 2 + i,

I2 = 1 + 0, 5i;

б) I1 = iπR2,

1.49. 0 при n 6= −1,

2πi при n = −1.

1.50. а) −2(1 − i);

б) −4.

1.51.

∞

−n,

|z| > 1.

=0 z

∞

nP

∞

− 23 ∞ (z2 )n,

в) ∞ (−2 − 3 ·

1.52. a)

(2 − 3 · 2−n−2) zn, |z| < 1;

б) −2

1

1 < |z| < 2;

n

zn

n

2

P

P

P

P

n=−1

n=2

n=0

n=0

2 ) z− − , |z| > 2.

√

1

∞

n (2+i)n+1−(2−i)n+1

n

1.53. a)

−

nP

n

5n+1

(z − 2) ,

0 < |z − 2| <

5;

z

2 + i

=0(−1)

∞

n

1

∞

z

б)

P

1nP

3

2

2 n=1(−1) z2n

−

=0 2n+1

, 1 < |z| < 2.

1.54. f(z) =

−

+

;

2(z−1)

z−2

2(z−3)

∞

1

∞

z

n

∞ z

n

nP

P

P

a)

0, 5

=0

zn+1

+ n=0(2 ) − 0, 5 n=0(3 ) , 1 < |z| < 2;

20

∞

1

∞

2

n+1

nP

P

б) 0, 5

=0 zn+1

− n=0(z )

1

∞

2 n

2

∞

t

n

nP

P

в) 2t

2 n

−

=0( t ) + 3 n=0(

3 )

nP

−

,

1.55. а) и б):

∞ z

=0

n!

∞

− 0, 5 P (z3 )n, 2 < |z| < 3;

n=0

∞

3 P ( t )n, t = z + 1, 2 < |z + 1| < 3.

8 n=0 4

0 < |z| < ∞.

1.56. cos 1

sin 1

∞

(−1)k42k−1

(z

2)2−4k + cos 1

∞

(−1)k42k

(z

2)−4k, 0 < z 2

< .

−

kP

(2k

−

1)!

−

P

(2k)!

−

| − |

∞

=1

k=1

∞

∞

∞

1

1.57. n=0 cnzn + n=1 c−nz−n,

cn

= c−n = n=0

, n = 0, 1, ....

k!(n+k)!

1.58. P

P

∞

–

P

а) Да;

б) да;

в) нет (

не изолированная особая точка);

г) то же, что в случае (в); д) нет

(функция не однозначна в окрестности точки z = 0);

е) то же, что в случае (д).

∞∞

1.59. а)

zP

an cos nφ;

б)

P

an sin nφ.

n=1

±

n=1

∞1

1.60. а)

= 0, z =

1 – простые полюсы, z =

у.о.т. (нуль 3-го порядка); б) z = 1 – полюс 2-

–

го порядка, z = ∞ – полюс 3-го порядка;

в) z =

– существенно особые точки, где k = ±1, ±2, ...;

kπ

z = 0 – точка, предельная для существенно особых точек;

z = ∞ – существенно особая точка.

1.61. а) z = 2kπi – простые полюсы, где k = ±1, ±2, ...; z = ∞ – точка, предельная для полюсов;

√

б) z

= 0 – полюс 3-го порядка;

z = 2kπ ± i ln (2 +

3) – простые полюсы, где k = 0, ±1, ±2, ...;

z = ∞ – точка, предельная для полюсов;

в) z = 1 – существенно особая точка, z = ∞ – у.о.т.

1.62. а) z = kπ – простые полюсы, где k = 0, ±1, ±2, ...; z = ∞ – точка, предельная для полюсов;

б)

z

1

– простые полюсы, где k =

±

±

z =

∞

– точка, предельная для полюсов; в) б)

= kπ

1,

2, ...;

z

=

– простые полюсы, где k

= ±1, ±2, ...;

z

= 0 – точка, предельная для полюсов;

z = ∞ –

kπ

полюс 1-го порядка.

1.63. Примеры: а) z2;

б)

1

+ z.

2

z

n

n

A

c−k

k

1.64. а)

kP

P

−

n

−

a)k

z

a

+ B или A + Bz;

б) =0 (z

или k=0 ck(z − a) ;

в) z12

+ C;

г)

=1 zAkak

+ B + Cz, где C · A1 · A2 · ... · An = 0.

kP

−

res z=±1f = −0, 5 , res z=∞f = 0;

1.66. а) res z=0f = 1,

б) res z=0f = 2,

res z=±1f = −1, 5 , res z=∞f = 1;

в)

res z=0f

= 1/9, res z=3if

= −

1

(sin 3 − i cos 3),

res z=−3if = −

1

(sin 3 + i cos 3),

res z=∞f =

54

54

(sin 3 − 3)/27.

1.67. а) res z=kπf = (−1)k, k = 0, ±1, ±2, ...;

б) res z=kπf =

2 (−1)k(kπ)3ekπ

k = 0, ±1,

±2, ...;

res z=if

= −1 + i ctg 1,

1+k2π2

,

res z=−if = −1 − i ctg 1;

в) res z=iπ(2k+1)f = −iπ(2k + 1),k

k = 0, ±1, ±2, ...

1.68. −1/6.

1.69.

res z=0f = 0,

res z=±√

f =

(−1)

,

kπ

±

2√

kπ

res z=

i√

f

=

(−1)ki

,

k = 1, 2, ....

±

kπ

√

2 kπ

1.70. res z=0f = 1 − cos 1,

res z=−1f = cos 1, res z=∞

1.71. res z=kπf

= −1,

k = 0, ±1, ±2, ...

∞

1

1.72. res z=0 = − res z=∞ = n=0

.

n!(n+1)!

1.73. res

z=−1

=

−

res

z=∞

=P cos 1.

−

−

∞

( (2k+1)! , k = 0, 1, 2, ...

1.74. res z=0 =

res z=

0, n < 0 n = 2k + 1,

= (−1)k

1.75. res z=k2π2 f = (−1)k2k2π2,

k = 1, 2, ...

1.77. −πi/

√

1.78. −πi/2.

1.79. −πi/121.

2.

f = −1.

1.80. 2πi.

1.81. −92 πi.	1.82. −163 πi.	1.83. π/2.	1.84. 4πi −	2πi	.
				3

21

1.85. −πi (cos 1 + 2 sin 1).

1.86. 0.

1.87. а)

1

+

∞ (

−

1)n

22nB2n

z2n−1, где B2n – числа Бернулли (см. задачу 1.45), при 0 <

|

z

|

< π;

z

=1

(2n)!

nP

3

∞ π2n

∞

n 22nB2n

2

2n 1

б) z + 2 n=1

+ n=1 h(−1)

+

i z

−

, при π <

|z| < 2π.

z2n+1

(2n)!

π2n

P

n

P

n

1

∞

n

∞ 1

∞

,

cn =

=0

;

1.88. а) n=0 cnz

k!

б) n=0(cn − e)z

− e n=1 zn .

P

kP

P

P

1.89. а) 3πi;

б) −πi/4.

1.90. а) 2π/√

;

б) 2πa (a2 − b2)−3/2.

a2 − 1

1.91. 0, 4π.

1.92.

2π/(1

a2),

a

< 1,

2π/(a2−

1),

|a|

> 1,

0,

a

−

|

|

|

|

= 1, a = 1 ( ).

6 ±

1.94. π/√

1.93. πi sign a (при a = 0 главное значение).

1

−

a2

.

1.95. π21−n in.

1.96. π/30.

1.97. −π/27.

1.98. π/√

.

2

1.99.

q

, q = π/(2n).

1.100.

q

,

q = π/(2n).

sin q

sin(

q(2m+1))

1.102. −2π/15.

1.101.

π

.

16a3

б) π (3 cos 1 + sin 1)/(3e2).

1.103. а) π (cos 1 − 3 sin 1)/(3e2).

1.104. 0, 5πe−|λ|√

sin λ√

.

1.105. 2π/e.

2

1.106. π sign t.

2

1.107. π (1 sin 2 − 3 sin 3).

1.108. π5 (cos 1 −

1

).

e2

1.109. 0, 5π (1 − e−|t|) sign t.

+ √

sin t

+ e

t √

(sin

cos t) .

1.110.

3

t

3

(π/3)

t

| |

−| |

|

|

π (e−

ab

1.111. 0, 5π (e−|

| + sin |t|).

1.112.

− 0, 5).

1.113. π (b − a).

1.114. 2πi sin t.

1.115. π (t − i) eit.

1.116. а) 1;

б) 0;

в) 4;

г) n.

1.117. а) 2; б) 1.

1.123. z(w) =

∞ (an)n−1

w

n

,

|eaw| < 1.

=1

n!

nP

∞ wn

dn−1

n

1.124. z(w) = a +

(sin

a).

n!

dan−1

1.125. Указание: в

n=1

качестве расширяющихся контуров удобно взять квадраты.

P

Дополнение

√

Д1. Имеют ли уравнения z3 = 1 и (z − 12 + i 23 )3 = −1 общие корни? Какие?

Д2. Найти корни уравнения (z − 1 + i)4 = 16i, для которых Im z > 0.

Д3. Найти корни уравнения 2 cos z = ie−iz − 2.

Д4. Найти корни уравнения (z − 1 − i)5 = i, лежащие в круге |z| < 1.

Д 5. Изобразить множество точек Re (3 + i)z > −1.

Д 6. Для указанных ниже функций разложение в ряд Тейлора в окрестности точки z0 = 0 имеет вид

∞

P akzk. Найти радиус сходимости ряда и вычислить коэффициенты a0, a1, a2, a3:

k=0

а) f(z) = [2 + tg (z − π4 )]−1;

б) ln

21 + sin(

π+z

)

,

ln 1 = 0.

6

Д 7.

Разложить функцию в ряд Лорана в заданном кольце:

z5+z

f(z) =

, 1 < |z| < 2.

z4−4z3+5z2−4z+4

Д 8.

Вычислить интегралы:

π

[(1+2i) cos ϕ+(2+i) sin ϕ]−1 dϕ

∞ cos x

−R

б) v.p.

R

−

1 dx;

а) v.p.

π 2 cos 2ϕ−cos ϕ−1+i(2 sin 2ϕ−sin ϕ) ;

0 x4

22