ГЛАВА 4

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

Асимптотические формулы бывают часто полезны для приближённого вычисления функций, представленных интегралами с параметром, в частности, при исследовании поведения решений дифференциальных уравнений.

4.1 Понятие асимптотического разложения

4.1.1 О-символика. Асимптотическая последовательность

1. Символы o и O. Пусть функции f(x) и g(x) определены на некотором множестве B и пусть x0 – предельная точка этого множества, т.е. в любой окрестности точки x0 имеются другие точки множества B. Переменная x предполагается вещественной или комплексной. Если x вещественна, то B обычно

– окрестность или полуокрестность точки x0, в комплексном случае B – луч или сектор с вершиной в точке x0.

Стандартные обозначения:

а) f(x) = o(g(x)) при x → x0, x B, означает, что

lim f(x) = 0;

x→x0 g(x)

б) f(x) = O(g(x)) при x → x0, x B, означает, что существует постоянное число C и такая окрестность V точки x0, что

|f(x)| ≤ C|g(x)| x V ∩ B.

в) f(x) = O(x−∞) при x → ∞ означает, что f(x) = O(x−N ) для любого целого N ≥ 0.

Замечание. Обычно в подобных случаях слово "при"для краткости заменяют запятой.

6.1. Показать, что

а) sin x = O(1), x → ±∞;

б) sin z = O(eIm z), z → ∞, причем 0 ≤ arg z ≤ π; в) ln n = O(na), n → ∞, если a > 0;

г) e−λ = O(λ−∞), λ → ∞, причем | arg λ| ≤ π/2 − , где > 0; д) xa = o(xb), x → 0, если a > b;

е) xa = o(xb), x → ∞, если a < b.

6.2. Доказать:

а) если f(x) = O(g(x)) и g(x) = O(h(x)), то f(x) = O(h(x)); б) если f(x) = o(g(x)) и g(x) = O(h(x)), то f(x) = o(h(x)); в) если f(x) = O(g(x)) и g(x) = o(h(x)), то f(x) = o(h(x)).

80

b

R

6.3. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в открытом интервале x (a, b), и интеграл g(x) dx

a

сходится (возможно, как несобственный). Доказать: а) если f(x) = O(g(x)) при x → b, и g(x) ≥ 0, то

bb

ZZ

f(ξ) dξ = O ( g(ξ) dξ);

xx

б) если f(x) = o(g(x)) при x → b, то

bb

ZZ

f(ξ) dξ = o ( g(ξ) dξ).

xx

Указание: применить правило Лопиталя.

6.4.Верно ли, что из соотношения f(x) = O(g(x)), x → x0, следует соотношение f0(x) = O(g0(x))? Рассмотреть пример: sin(x4) и x2 при x → +∞.

6.5.Пусть функции f(x) и S(x) непрерывны на замкнутом промежутке [a, b], и M = max S(x).

Доказать, что при λ → +∞		a≤x≤b
b
Za	f(x)eλS(x)dx = O(eλM ).	( )

2. Если последовательность функций φ0(x), φ1(x), φ2(x), ... такова, что для каждого n = 0, 1, 2, ... выполняется соотношение

φn+1(x) = o(φn(x)), x → x0, x B,

(1)

то {φn(x)} называется асимптотической последовательностью (АП)

при x → x0, x B. Упоминание о множестве B обычно опускают, если из контекста ясно, о чем идет речь.

6.6.Показать, что степенные´ последовательности:

a)1, z, z2, ... при z → 0, б) 1, z−1, z−2, ... при z → ∞,

являются асимптотическими.

Замечание: в большинстве случаев применяются именно степенные´ АП.

6.7. Образуют ли функции ln x, ln ln x, ln ln ln x, ... АП при x → +∞?

6.8. В каком секторе плоскости z последовательность функций exp(−z), exp(−z2), exp(−z3), ..., z → ∞, является асимптотической?

4.1.2 Асимптотическое разложение функции

1. Формальные ряды. Пусть φ0(x), φ1(x), ... - асимптотическая последовательность при x → x0, и пусть a0, a1, ... – произвольная числовая последовательность. Составим частичные суммы

σ0(x) = a0φ0(x), σ1(x) = a0φ0(x) + a1φ1(x), ...,

σn(x) = a0φ0(x) + a1φ1(x) + ... + anφn(x), ...

Последовательность частичных сумм {σn(x)} называется формальным асимптотическим рядом по АП {φn(x)}, x → x0. Для формальных рядов используют такую же запись, что и для обычных сходящихся функциональных рядов:

	∞
	X
a0φ0(x) + a1φ1(x) + a2φ2(x) + ...,	akφk(x),
	k=0

81

хотя здесь не идёт речи о пределе при n → ∞ последовательности частичных сумм σn(x) для каких-

либо значений переменной x. Формальный асимптотический ряд может быть расходящимся, как по-

∞

казывает пример P n!xn, x → 0, x 6= 0; тем не менее, формальные ряды могут успешно применяться

n=1

для приближённого представления функций.

2. Асимптотическое разложение функции. Пусть функция f(x) определена на множестве B, и пусть {φn(x)} – асимптотическая последовательность при x → x0, x B. Если существуют числа c0, c1, c2, ... такие, что для каждого n = 0, 1, 2, ... выполняется соотношение

n
X
f(x) = ckφk(x) + o(φn(x)), x → x0, x B,	(2)

k=0

то говорят, что функция f(x) имеет при x → x0 асимптотическое разложение (АР) по АП {φn(x)},

и записывают это в виде

∞

X

f(x) ckφk(x), x → x0, x B.

k=0

Если соотношение (2) выполняется только для n = 0, 1, ..., N, то говорят об асимптотическом разложении функции до N-го члена. В частном случае N = 0 говорят об асимптотическом представлении функции. Например, при x → 0 асимптотическое разложение экспоненты до 2-го члена: ex 1 + x + x2/2; асимптотическое представление тангенса: tg x x (здесь φ0(x) = x).

Определение АР (2) означает, что для функции f(x) в окрестности точки x0 имеется последовательность приближённых формул:

f(x) ≈ a0φ0(x), f(x) ≈ a0φ0(x) + a1φ1(x), ...,

причем каждая последующая формула уточняет предыдущую в том смысле, что погрешность последующего приближения по сравнению с погрешностью предыдущего есть бесконечно малая при x → x0. Это, однако, не означает на практике, что чем больше слагаемых ряда использовать для приближённого вычисления функции, тем меньше будет погрешность. Вопрос о том, сколько членов асимптотического разложения следует взять для приближения функции, не является простым. В ряде случаев разность между данной функцией и частичной суммой АР может быть представлена в виде некоторого интеграла, который поддается оценке.

В общей ситуации можно придерживаться правила: обрывать ряд не далее того места, после которого общий член начинает возрастать. Как правило, общий член АР при возрастании его номера сначала убывает, а затем, начиная с некоторого "критического"номера, может начать возрастать. Этот критический номер n обычно зависит от значения x: чем ближе x к своему пределу, тем больше n . На практике следует ограничиваться конечным отрезком формального ряда, обрывая этот ряд до критического номера. Для описания качественного поведения функции обычно достаточно 1-го члена разложения. Асимптотические разложения и представления коротко называют словом "асимптотика".

∞

Отметим ещё раз, что формальный асимптотический ряд P ckφk(x) не обязан сходиться в обыч-

k=0

n

P

ном смысле, т.е. может не существовать предел lim ckφk(x). Более того, даже если формальный

n→∞ k=0

ряд сходится, его сумма может быть равна другой функции.

6.9. Показать, что:

∞

а) ex P k1! xk при x → 0 (ряд сходится к данной функции);

k=0

∞

б) ex + e−1/x P k1! xk при x → +0 (ряд сходится к другой функции!)

k=0

82

1/x

6.12. Доказать, что если вместо соотношений (2) потребовать для каждого n = 0, 1, 2, ... выполне-

ния соотношений

n

6.11. а) Получить АР при x → 0 для функции f(x) =

б) интегрируя по частям, получить АР функции f(x) = dt при x → 0 до 3-й степени x.

Указание. Воспользоваться формулой Тейлора с остаточным членом.

R sin t t

∞

0

dt;

x

R sin t t

6.10. Доказать, что если функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки x0 6= ∞,

		∞	1		(k)		k
		kP				(x0)(x − x0)
то её ряд Тейлора =0 k! f								является асимптотическим разложением этой функции при
x → x0. Рассмотреть, в частности, пример:
	f(x) =		e−1/x2 , x = 0.
				0, x = 0,
						6

X

f(x) =

ckφk(x) + O(φn+1(x)), x → x0, x B,

k=0

то мы получим определение АР, равносильное исходному.

3. Свойства асимптотических разложений.

1. АР данной функции по данной АП единственно. Для коэффициентов имеют место рекуррентные

формулы

f(x)

f(x) − c0φ0(x)

c0

=

lim

,

c1 =

lim

, ...,

φ0(x)

x→x0

x→x0

φ1(x)

n

f(x) −

=0 ckφk(x)

cn+1 =

lim

kP

.

φn+1(x)

x→x0

2. а) Если f(x)

∞

akφk(x) и g(x)

∞

bkφk(x), то

0

0

∞

P

P

αf(x) + βg(x)

0

(αak + βbk)φk(x), т.е. АР можно почленно складывать и умножать на число;

P

∞

б) если f(x)

ckφk(x), и g(x) 6= 0 – какая-нибудь непрерывная функция, то

0

P

∞

ckg(x)φk(x).

g(x)f(x) 0

P

3. Пусть функция f(z) регулярна внутри сектора S : |z| ≥ R, α ≤ arg z ≤ β, 0 ≤ β − α ≤ 2π, и

имеет при z → ∞, z S, степенное асимптотическое разложение

∞

f(z) k=0 fkz−k.

P

Тогда справедливы утверждения (доказать!):

a)

∞

∞ 1

z [f(ζ) − f0 − f1z−1] dζ k=1 k fk+1z−k, z → ∞, z S;

R

P

б) если f0(z) разлагается в асимптотический степенной ряд при z → ∞, z S, то

∞

f0(z) − P kfkz−k−1, z → ∞, z S.

k=1

Указание: при доказательстве (б) использовать (а).

83