в) f(z) = 1 + z2 − 21 z3 + 65 z4 − 43 z5 + ..., |z| < 1.

2

−

−

+

2k

5

|z| > 2

f(z) = n=0

zn

, где c−2k = (−i)

3

2.11. а) при

:

∞

c−n

2k

1

22k−3

2 −

k+1 2

P

− ... + (−1)

, c−2k−1 = 2c−2k,

k = 1, 2, 3, ...;

5

2k−1

∞

zn

∞

c−n

1

P

nP

, где A = arctg 2 , c−1 = 2iA,

zn

б) при 1 < |z| < 2: f(z) = iA n=0 2n +

=1

c−2k

= 2

i A − m=0 (2m+1)22m+1

!, c−2k−1 = 2c−2k, k = 1, 2, 3, ....

2k

k−1

(−1)m

P

2.12. а) Нет;

б) да, все три ветви допускают разложение;

в) разложение допускают две ветви

√

√

все ветви допускают разложение, а именно, Arc-

(из четырёх), для которых q1 +z

1 = ± 2; г)

3

5

7

sin z = arcsin z + 2π, arcsin z =

dζ

= z + 1

z

+

12·3

z

+ 1·33·5 z

+ ...,

z < 1;

−

R

√1

ζ2

2 ·

3

2

·

2!

· 5

2

·

3!

7

| |

0

д) все ветви допускают разложение, а именно, Arctg z =

arctg z + nπ =

1

ln

ii+−zz

= π2 + nπ +

2i

∞

(−1)k+1

kP

2.13. f(x − i0) = f(x + i0)e2πpi.

=0 (2k+1)z2k+1 ,

|z| > 1.

2.15. Угол φ = arg z изменяется в пределах: на 1-м листе 0 < φ < 2π, на 2-м листе 2π < φ < 4π, на 3-м листе 4π < φ < 6π. Введём сокращения: н.б.= нижний берег, в.б.= верхний берег. Схема склеек: н.б. 1-го листа и в.б. 2-го листа; н.б. 2-го листа и в.б. 3-го листа; н.б. 3-го листа и в.б. 1-го листа. После трёхкратного обхода точки ветвления функция вернётся к исходному значению.

2.16. а) Крест-накрест, т.е. н.б. 1-го листа и в.б. 2-го листа, в.б. 1-го листа и н.б. 2-го листа; б) f(z) = |f(z)|ei(2φ1+φ2)/3, где φ1 = arg z, φ2 = arg (z − 1). Н.б. 1-го листа склеить с в.б. 3-го листа, н.б. 2-го – с в.б. 1-го, н.б. 3-го – с в.б. 2-го листа.

2.17. а) На каждом разрезе крест-накрест; б) на каждом разрезе склейки как в задаче 2.15.

√

2.18. На каждом из четырёх листов – разрез (А) по лучу y = 0, x < 0; на двух листах, где 1 = +1, назовём эти листы 2-й и 3-й, – ещё один разрез (Б) по лучу y = 0, x > 0. Склейка листов крестнакрест: 1-й и 2-й листы по разрезу (А), 3-й и 4-й по разрезу (А), кроме того, 2-й и 3-й листы по разрезу (Б).

2.19.			π	.			2.20.			π		.
								2 cos(pπ/2)
		sin pπ
2.21.			π(1−p)				; при p = 1 интеграл равен 0, 5.
		4 cos(pπ/2)
2.22.		π		(p + 1 − 2p).						2.23. 0.						2.24. π ctg pπ.
		sin pπ
2.25.			1 π√			.	2.26.			π		2p	1		p	−	1 .
					3									−				1/2 √3
	−π									sin pπ					2
	6
2.27.				(sin(pπ/2) + cos(pπ/2) − 1).													2.28. 3−	π	4	.
			sin pπ

2.29.а) π/12; б) 14 (π + 2).

1.3Конформные отображения

Функция f(z), определённая на множестве E точек плоскости z, задаёт отображение w = f(z) множества E на множество E0 = {f(z)} точек плоскости w. Отображение w = f(z) называется взаимно однозначным, если различным точкам множества E соответствуют различные точки множества E0; в этом случае функция f(z) называется однолистной на множестве E. Функция, обратная к однолистной функции, также однолистна.

Теорема. Если функция f(z) регулярна в области D и непрерывна вплоть до границы области, то образ области D при отображении w = f(z) есть также область.

Если однолистная в области D функция f(z) регулярна, то отображение w = f(z) области D на область D0, которое задаёт эта функция, называется конформным отображением (или конформным

28

преобразованием).

Теорема. Если отображение w = f(z) конформно, то во всех точках области f0(z) 6= 0. Геометрически это означает, что угол между всякими двумя линиями, выходящими из любой точки

z0 области D, равен углу между образами этих линий в точке w0 = f(z0).

Примечание. Условие f0(z) 6= 0 необходимо, но не достаточно для конформности отображения w = f(z).

Если функция f(z) однолистна и мероморфна в области D, то отображение w = f(z) также называется конформным. В частности, если функция однолистна и регулярна внутри простого замкнутого контура γ, за исключением одного простого полюса внутри контурa, и непрерывна вплоть до контура, то она конформно отображает область, ограниченную контуром γ, на внешность образа γ0 контура γ.

Теорема Римана. Для любой односвязной области, граница которой состоит более чем из одной точки, существует мероморфная в этой области функция f(z), конформно отображаюшая её на круг |w| < 1. Функция f(z) единственным образом определяется условиями f(a) = 0, arg f0(a) = θ, где a

– произвольная точка области, θ – произвольное вещественное число.

Теорема ("принцип соответствия границ").

Пусть γ – простой замкнутый контур на плоскости z, ограничивающий область D, γ0 – простой замкнутый контур на плоскости w, и пусть функция f(z), регулярная в D и непрерывная в D γ, взаимно однозначно отображает γ на γ0, с сохранением направления обхода. Тогда функция f(z) однолистна в области D и, следовательно, конформно отображает её на область D0, ограниченную контуром γ0.

Теорема ("принцип симметрии").

1-я формулировка: Если функция w(z) конформно отображает область D, симметричную относительно вещественной оси Im z = 0, на область D0, причем вещественные точки z D, Im z = 0, переходят в вещественные точки w D0, Im w = 0, то область D0 симметрична относительно вещественной оси Im w = 0.

2-я формулировка: Пусть область D находится в верхней полуплоскости, часть γ её границы ∂ D находится на вещественной оси, и пусть функция w(z), непрерывная в D вплоть до γ, конформно отображает область D на область D0, расположенную в полуплоскости Im w > 0, причем на отрезке γ функция принимает вещественные значения. Тогда регулярная функция w1(z) = w(z) отображает область D , симметричную области D относительно вещественной оси Im z = 0, на область (D )0, симметричную области D0 относительно вещественной оси Im w = 0.

Замечания. 1) Функция w1(z) = w(z) является аналитическим продолжением функции w(z) из области D через часть границы γ в область D . На практике обычно та же формула, которая задаёт функцию w(z) в области D, даёт и аналитическое продолжение этой функции в область D . Поэтому, если данная область D обладает симметрией относительно прямолинейного отрезка β D, то достаточно отобразить половину данной области на половину требуемой области D0, обеспечив при этом отображение β на соответствующий прямолинейный отрезок β0 D0. Полезно пометить на чертеже отрезок β, проведя по нему, например, пунктирную линию, чтобы при каждом последующем отображении проследить, во что этот отрезок переходит.

2) Принцип симметрии обобщается на случай, когда область D симметрична относительно части β какойлибо окружности (или прямой), и образ β0 этой дуги – также часть некоторой окружности (или прямой).

Решая задачи на конформные отображения, следует изображать на рисунке области как на плоскостях переменных z и w, так и на плоскостях всех промежуточных переменных. Большинство задач имеет не единственный ответ (это зависит от нормировки отображения); приводится один из возможных вариантов.

1.3.1 Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция w = azcz++db , где ad − bc 6= 0, конформно отображает расширенную плоскость z на расширенную плоскость w. Если c = 0, то w(z) – линейная функция, и отображение сводится к растяжению, повороту и переносу, при этом w(∞) = ∞. Если c 6= 0, то отображение сводится к растяжению, повороту, переносу и инверсии, при этом w(∞) = a/c, w(−d/c) = ∞. Фактиче-

29

ски дробно-линейная функция содержит три независимых параметра: три отношения коэффициентов a, b, c, d.

Две точки P1 и P2 называются симметричными относительно окружности с центром в точке A

и радиусом R, если эти точки лежат на одном и том же луче, выходящем из точки A, и |AP1|·|AP2| = R2. Прямую линию можно считать предельным случаем окружности, при этом точки P1 и P2 симметричны относительно прямой, если прямая – серединный перпендикуляр к отрезку P1P2.

Любую окружность (или прямую) на плоскости z дробно-линейная функция переводит в окружность 0 (или прямую) на плоскости w, при этом каждая пара точек, симметричных относительно , переходит в пару точек, симметричных относительно 0.

3.1.Найти линейную функцию az + b, отображающую треугольник с вершинами в точках 0, 1, i на подобный ему треугольник с вершинами 0, 2, 1 + i.

3.2.Найти линейное преобразование w = az + b с неподвижной точкой 1 + 2i, переводящее точку i в точку −i.

3.3.Для функции w = 1/z найти образы следующих линий:

а) семейств окружностей x2 + y2 = ax и x2 + y2 = by; б) пучка параллельных прямых y = x + b;

в) пучка прямых y = kx;

г) координатных линий x = C и y = C.

3.4. Выяснить, на какую область отображается указанная область при заданных отображающих функциях:

а) квадрант x > 0, y > 0; w = zz−+ii ; б) угол 0 < φ < π/4; w = z−z 1 ;

в) кольцо 1 < |z| < 2; w = z−z 1 .

3.5. Найти дробно-линейные функции, переводящие точки −1, i, 1 + i соответственно в точки: а)

0, 2i, 1 − i; б) i, ∞, 1.

3.6. Найти дробно-линейные функции, переводящие точки −1, ∞, i соответственно в точки: а) i, 1, 1 + i; б) ∞, i, 1; в) 0, ∞, 1.

3.7. Доказать, что дробно-линейное преобразование w(z), переводящее точки z1, z2, z3 соответ-

ственно в точки w1, w2, w3, находится по формуле
	z − z1	z3 − z2	=	w − w1		w3 − w2	.
	z − z2	· z3 − z1		w − w2
					· w3 − w1

3.8.Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки −1, 0, 1 соответственно в точки 1, i, −1,

ивыяснить, во что при этом отображении переходит верхняя полуплоскость.

3.9.Доказать, что при вещественных коэффициентах a, b, c, d и условии ad − bc > 0 дробно-

линейная функция w = az+b отображает верхнюю полуплоскость Im z > 0 "на себя", т.е. на верхнюю

cz+d

полуплоскость Im w > 0.

3.10.Найти отображение верхней полуплоскости на себя при условии, что w(0) = 1, w(i) = 2i.

3.11.Найти точки, симметричные с точкой 2+i относительно окружностей а) |z| = 1; б) |z−i| = 3.

3.12. Отобразить круг	|	z	|	< 2	на полуплоскость Re w > 0	так, чтобы w(0) = 1, arg w0(0) = π/2.

Указание. Задачу удобно решать в обратном порядке: преобразование z1 = (w−1)/(w+1) переводит правую w-полуплоскость в единичный круг |z1| < 1, причем z1(1) = 0. Далее следует сделать растяжение и поворот:

z= 2z1eiθ, чтобы получить круг |z| = 2. Для нахождения угла θ полезно учесть, что arg w0(z) = − arg z0(w).

3.13.Отобразить круг |z − 4i| < 2 на полуплоскость v > u так, чтобы центр круга перешел в точку −4, а точка окружности 2i перешла в начало координат. Указание: центру круга симметрична точка z = ∞.

30

3.14. Доказать, что общий вид функции, отображающей единичный круг |z| < 1 на себя, т.е. на круг

|w| < 1, таков: w = eiθ z−a .

1−az

3.15.Отобразить круг |z| < 1 на круг |w| < 1 так, чтобы w(1/2) = 0, arg w0(1/2) = 0.

3.16.Отобразить кольцо 2 < |z| < 5 на кольцо 4 < |w| < 10 так, чтобы w(5) = −4.

3.17.Полуплоскость Re z > 0 с выкинутым кругом |z − 2| ≤ 1 отобразить на кольцо 1 < |w| < µ и найти число µ ("модуль двусвязности").

Указание: найти пару точек, симметричных относительно прямой и относительно окружности и перевести одну из них в точку w = 0, другую в точку w = ∞.

3.18. Эксцентрическое кольцо, ограниченное окружностями |z −3| = 9, |z −8| = 16, отобразить на кольцо ρ < |w| < 1 и найти ρ.

Указание. Найти пару точек, симметричных относительно обеих окружностей и перевести их: одну в точку w = 0, другую в точку w = ∞.

3.19. На какую область отображает функция w =	z		области, расположенные в первом квад-
	z−1−i
ранте и ограниченные линиями:
а) |z − 1| = 1, |z − i| = 1; б) |z − 1| = 1, x = y ?

1.3.2 Степенная´ функция

Степенную функцию w = zp будем рассматривать при p > 0, p 6= 1.

Если p – натуральное число, то отображение w = zp переводит луч arg z = α в луч arg w = pα, окружность |z| = R в окружность |w| = Rp, пробегаемую p раз. Так как w0(0) = 0, то в точке z = 0 нарушается конформность, поэтому эта точка не может находиться внутри отображаемой области.

Если p > 0 – не целое число, то на плоскости z с разрезом по лучу arg z = θ степенная функция определяется формулой w = |z|peip arg z, где θ < arg z < θ + 2π. В точке z = 0 отображение не конформно.

3.20. На какое множество отображает функция w = z2:

а) угол 0 < arg z < π/2; б) полуплоскость Im z > 0;

в) полуплоскость Im z < 0; г) полуплоскость Re z > 0; д) прямые x = C; е) прямые y = C; ж) всю плоскость z ?

В задачах 3.21 – 3.26 отобразить на верхнюю полуплоскость данные области:

3.21.Угол 0 < arg z < α (0 < α ≤ 2π).

3.22.а) Полукруг |z| < 1, Im z > 0;

б) круговой двуугольник (луночку) |z| < 1, |z − i| < 1;

√ √

в) |z| < 1, |z − i| > 1; г) |z| > 2, |z − 2| < 2.

Указание: сначала дробно-линейным преобразованием перевести одну из вершин двуугольника в начало координат, а вторую – в бесконечность.

3.23.Внешность единичного верхнего полукруга.

3.24.Плоскость с разрезами:

а) по лучу arg z = 0; б) по лучу arg z = π;

в) по лучам (−∞, −R] и [R, +∞); г) по отрезку [−1, 1]. 3.25. Полуплоскость Im z > 0 с разрезом:

а) по отрезку [0, ih]; б) по лучу [ih, i∞).

3.26. Верхнюю полуплоскость Im z > 0 с разрезом по дуге окружности |z| = 1 от точки z = 1 до точки z = eiα, где 0 < α < π.

В задачах 3.27 – 3.29 следует воспользоваться принципом симметрии.

31