3.27. Отобразить на верхнюю полуплоскость всю плоскость z с разрезами по лучу 0 ≤ x < +∞, y = 0 и по отрезку [−i, i].

Указание: луч arg z = π делит область на две симметричные части.

3.28.Отобразить на верхнюю полуплоскость всю плоскость z с разрезами по лучу −1 ≤ x < +∞, y = 0 и по отрезку [−i, i].

3.29.Отобразить на верхнюю полуплоскость "внешность креста", т.е. всю плоскость z с разрезами по отрезкам [−1, 1] и [−i, i].

1.3.3Функция Жуковского

Функция G(z) =	1	z + 1	называется функцией Жуковского. Поскольку G(z) и G(1/z) равны,
	2	z

то функция Жуковского на всей плоскости z не однолистна. В точках z = 1 и z = −1 нарушается конформность отображения, так как G0(±1) = 0, поэтому эти точки не могут находиться внутри отображаемой области.

Обратная функция Жуковского может быть определена на плоскости w с разрезом между точками

√ √

w = ±1 формулой z(w) = w + w2 − 1, где w2 − 1 означает ту или другую ветвь.

3.30.Найти образы: а) окружностей |z| = R, б) лучей arg z = β, при отображении w = G(z).

3.31.Выяснить, во что переходят при отображении w = G(z) области:

а) полуплоскость Im z > 0; б) полуплоскость Im z < 0; в) круг |z| < 1;

г) область |z| > 1;	д) полукруг |z| < 1, Im z > 0; е) круг |z| < 1/2;
ж) область |z| > 2;	з) область 1 < |z| < R, Im z > 0;
и) угол π/4 < arg z < 3π/4.

В задачах 3.32 – 3.37 отобразить на верхнюю полуплоскость заданные области.

3.32 а) круг |z| < 1 с разрезом по радиусу [0, 1]; б) круг |z| < 2 с разрезом по радиусу [0, 2];

в) круг |z| < 2 с разрезом по радиусу [1, 2].

3.33. а) область |z| > 1 с разрезом по лучу [1, +∞); б) область |z| > 1 с разрезом по отрезку [1, 2].

3.34. а) полукруг |z| < 4, Im z > 0; б) сектор 0 < arg z < π/3, 0 < |z| < 2.

3.35. Верхнюю полуплоскость Im z > 0 с полукруглым вырезом |z| < 1, Im z > 0 и разрезом по отрезку [i, 2i].

3.36. Внешность эллипса x2 + y2 = 1, где 0 < b < a, a2 − b2 = 1.

a2 b2

Указание: обратная функция Жуковского переводит область, в зависимости от выбора ветви, во внешность окружности |z| = R или внутренность окружности |z| = r, где R = a + b, r = a − b.

3.37. Область между ветвями гиперболы cosx22 θ − siny22 θ = 1, где 0 < θ < π/2.

Указание: обратную функцию Жуковского следует рассматривать на плоскости с разрезами (−∞, −1] и [1, +∞).

1.3.4 Функции exp z, ln z, sin z и cos z

Отображение w = ez локально конформно: так как w0(z) 6= 0, то окрестность любой точки z0 взаимнооднозначно отображается на окрестность точки w(z0). При этом, так как функция ez периодическая (период 2πi), то она бесконечно-листна: каждая полоса вида 2kπ < Im z < (2k+2)π, k = 0, ±1, ±2, ...

отображается на плоскость w с разрезом Im w = 0, 0 < Re w < +∞. Вместе все эти эти листы составляют риманову поверхность над плоскостью w. Обратное отображение z = ln z переводит эту риманову поверхность в плоскость z.

32

Отображение w = sin z локально конформно, за исключением точек z = (k + 12 )π, k Z. Так как функция sin z периодическая, то она бесконечно-листна.

Отображение w = cos z локально конформно, за исключением точек z = kπ, k Z. Так как функция cos z периодическая, то она бесконечно-листна.

3.38.Выяснить, во что преобразуются при отображении w = ez: а) прямоугольная сетка x = C, y = C;

б) прямые y = kx + b;

в) полоса α < y < β, где 0 ≤ α < β ≤ 2π; г) полуполоса x < 0, 0 < y < α ≤ 2π;

д) полуполоса x > 0, 0 < y < α ≤ 2π;

е) прямоугольник α < x < β, γ < y < δ, где δ − γ ≤ 2π.

3.39.Выяснить, во что преобразуются при отображении w = ln z: а) полярная сетка |z| = R, arg z = θ;

б) логарифмические спирали r = Aekφ (A > 0); в) угол 0 < arg z < α ≤ 2π;

г) сектор |z| < 1, 0 < arg z < α ≤ 2π;

д) кольцо r1 < |z| < r2 с разрезом по отрезку [r1, r2].

3.40.Выяснить, во что преобразуются при отображении w = sin z: а) прямоугольная сетка x = C, y = C;

б) полуполоса −π/2 < x < π/2, y > 0; в) полуполоса 0 < x < π/2, y > 0;

г) полоса −π/2 < x < π/2;

д) полоса −π/2 < x < π/2 с разрезом 0 < x < π/2, y = 0.

3.41.Выяснить, во что преобразуются при отображении w = cos z: а) прямоугольная сетка x = C, y = C;

б) полуполоса 0 < x < π, y < 0;

в) полуполоса −π/2 < x < π/2, y > 0; г) полоса 0 < x < π.

В задачах 3.42 – 3.50 отобразить указанные области на верхнюю полуплоскость.

3.42.а) Полосу 0 < y < 1; б) полосу 0 < y < 2 с разрезом y = 1, 0 < x < +∞.

3.43.а) Полуполосу x > 0, 0 < y < 1; б) полуполосу x > 0, 0 < y < 2 с разрезом y = 1, 1 < x <

+∞.

3.44.Область между окружностями |z − i| = 1 и |z − 2i| = 2. Указание: перевести точку z = 0 в

w = ∞.

3.45.Плоскость, из которой вырезаны два круга: |z| ≤ 2 и |z − 3| ≤ 1.

3.46.Область, определённую неравенствами: |z − 1| > 1, |z + 1| > 1, Im z > 0.

3.47.Полосу −π/2 < x < π/2 с разрезом y = 0, 0 < x < π/2.

3.48. Плоскость, из которой вырезаны два круга: |z − 1| ≤ 1 и |z + 1| ≤ 1, и проведён разрез y = 0, 2 < x < +∞.

3.49. а) Внутренность параболы y2 = 4 (x + 1) с разрезом по лучу arg z = 0; б) внутренность той же параболы (без разреза). Указание к (б): провести вспомогательный разрез по лучу y = 0, −1 < x < +∞ и воспользоваться принципом симметрии.

33

3.50. Плоскость z с разрезами по лучу arg z = 0 и по двум отрезкам: [−1 + i, 1 − i] и [−1 − i, 1 + i].

Указание: дважды применить принцип симметрии.

1.3.5 Интеграл Кристоффеля-Шварца

Пусть область P – ограниченный многоугольник на w-плоскости, Ak (k = 1, 2, ..., n) – вершины многоугольника, расположенные в порядке положительного обхода его границы, и αkπ – его внутренние углы (0 < αk ≤ 2, α1 + ... + αn = n − 2). Функция w = f(z), конформно отображающая верхнюю полуплоскость Im z > 0 на многоугольник P , определяется по формуле Кристоффеля-Шварца

z
f(z) = C Z (ζ − a1)α1−1(ζ − a2)α2−1...(ζ − an)αn−1 dζ + C1,	( )
z0

где ak – точки на оси Im z = 0, переходящие в вершины A1, ..., An многоугольника, −∞ < a1 < a2 <

... < an < +∞, z0, C и C1 – некоторые постоянные. Обычно полагают z0 = 0.

Если одна из точек ak является бесконечно удалённой, формула ( ) упрощается. Пусть, например, an = ∞, тогда

z
f(z) = C Z (ζ − a1)α1−1(ζ − a2)α2−1...(ζ − an−1)αn−1−1 dζ + C1.	( )
0

Если какая-либо из вершин многоугольника Ak находится на бесконечности, то формула ( ) остаётся в силе, если под αkπ понимать угол между соответствующими лучами в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус. Угол между параллельными прямыми равен нулю.

Если P – внешность ограниченного многоугольника, то точка w = ∞ принадлежит P , тогда формула Кристоффеля-Шварца принимает вид

z
f(z) = C Z (ζ − a1)α1−1(ζ − a2)α2−1...(ζ − an)αn−1		dζ	+ C1,
	(ζ	a)2
0		−

где a – та точка из верхней полуплоскости Im z > 0, которая переходит в точку w = ∞.

Интегралы, возникающие из формул Кристоффеля-Шварца, как правило, не берутся в элементарных функциях. Но основная трудность – в определении постоянных ak, C и C1. В случае n = 3 (отображение на треугольник, α1 + α2 + α3 = 1), все постоянные находятся непосредственно. При n > 3 можно произвольно задать три точки из {ak}, а для остальных постоянных написать систему уравнений, решить которую, вообще говоря, удаётся лишь приближенно.

3.51. Как уже известно (задача 3.41), функция z = cos w отображает полуполосу 0 < Re w <

π, Im w < 0 на верхнюю полуплоскость Im z > 0. Получить этот же результат из интеграла КристоффеляШварца.

Указание. Полуполоса – неограниченный треугольник, здесь α1 = α2 = 1/2, α3 = 0. Воспользоваться формулой ( ), задав точки ak таким образом: a1 = −1, a2 = 1, a3 = ∞. Под знаком интеграла записывать (ak − ζ) иногда бывает удобнее, чем (ζ − ak).

3.52. Найти отображение верхней полуплоскости на ограниченный треугольник с вершинами A1 = 0, A2 = 1, A3 = (1 + i)/2.

Указание: задать a1 = 0, a2 = 1, a3 = ∞.

3.53. Найти отображение верхней полуплоскости на неограниченный треугольник с вершинами A1 = 0, A2 = 1, A3 = ∞ и соответствующими угловыми параметрами α1 = 2, α2 = 1/2, α3 = −3/2.

Указание. Область представляет собой плоскость w с вырезанным из неё прямым углом 0 ≤ arg (w − 1) ≤ π/2 и с разрезом [0, 1]. Вершина z = 0 разреза – это вершина угла раствора 2π. В качестве z0 удобно взять 1.

34

3.54. Отобразить верхнюю полуплоскость на полосу 0 < Im w < π с разрезом по лучу (−∞ + iπh, iπh], где 0 < h < 1.

Указание. Область – неограниченный четырёхугольник (см. рис. 3.1) с вершинами: A1 = iπh; A2 = ∞ ("пересечение"отрицательной вещественной полуоси и разреза); A3 = ∞ ("пересечение"двух сторон полосы), A4 = ∞ ("пересечение"разреза и прямой Im w = π). Соответствующие угловые параметры: α1 = 2, α2 = α3 =

α3 = 0.

———————————————————

A4
——————— ◦ A1 = iπh	A3
A2

———————————————————

Рис. 3.1. Неограниченный четырёхугольник.

1.3.6 Применение конформных отображений в электростатике

Так называемые плоские задачи электростатики могут быть в ряде случаев решены при помощи конформных отображений. Плоскими называются задачи, в которых отсутствует зависимость от одной из координат. Такие задачи имеют в трёхмерном пространстве следующий смысл: точке (a, b) на плоскости (ξ, η) соответствует в пространстве (ξ, η, ζ) прямая линия ξ = a, η = b, ζ (−∞, +∞), кривой линии F (ξ, η) = 0 на плоскости – цилиндрическая поверхность F (ξ, η) = 0, ζ (−∞, +∞) в прострaнстве.

Поле, созданное распределёнными в пространстве неподвижными
~	~	~

электрическими зарядами, описывается уравнением Максвелла div E = 4πρ. Здесь E = E(x, y, z) –

напряжённость поля, ρ = ρ(x, y, z) – плотность распределения зарядов. Потенциал электрического

		~
поля U(x, y, z) вводится по формуле grad U(x, y, z) = −E, он удовлетворяет уравнению
U = −4πρ(x, y, z),	=	∂ 2		∂ 2		∂ 2
			+		+		.
		∂ x2		∂ y2		∂ z2

В области, где нет зарядов, потенциал – гармоническая функция, он удовлетворяет уравнению Лапласа U = 0.

Пусть ρ ≡ 0. Задача электростатики ставится следующим образом: найти потенциал U(x, y, z) внутри области D, если на границе области = ∂ D заданы его предельные значения: U| = ϕ(x, y, z). В математике задача о нахождении гармонической функции внутри области по её предельным значениям на границе называется задачей Дирихле. Если область конечная, граница гладкая, а функция ϕ(x, y, z) непрерывная, то задача Дирихле имеет решение, и это решение единственное.

Далее задачи электростатики рассматриваются на плоскости z = x + iy. Пусть D – область на плоскости z, и пусть функция w(z) регулярна в области D и непрерывна вплоть до её границы . Функция w(z) называется комплексным потенциалом в области D; её вещественная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа:

u(x, y) = 0, v(x, y) = 0,	=	∂ 2	+	∂ 2	.
		∂ x2
			∂ y2

В электростатике принято в качестве физического потенциала U(x, y) использовать мнимую часть

комплексного потенциала . Напряжённость поля ~ может быть выражена через комплекс- v(x, y) w(z) E

ный потенциал: ~ − − 0 −∂ v − ∂ u . Линии – это эквипотен-

E = grad v(x, y) = ( i) w (z) = ∂ x i∂ x Im w(z) = C

циальные линии, Re w(z) = C – силовые линии.

35

Итак, плоская задача электростатики может быть поставлена следующим образом: найти в заданной области D регулярную, непрерывную вплоть до границы, функцию w(z), мнимая часть v(x, y) которой принимает на границе = ∂ D заданные значения: v(x, y)| = ϕ(x, y).

Пусть известно конформное отображение ζ = f(z) области D плоскости z на область D0 плоскости ζ, при этом "старая"граница = ∂ D отображается на "новую"границу 0 = ∂ D0. Заданные на старой границе значения потенциала ϕ(x, y) перераспределяются на новой границе и образуют новую граничную функцию Φ(ξ, η) по правилу: Φ(ξ, η) = ϕ(x(ξ, η), y(ξ, η)), где ξ + iη = ζ 0.

Предположим, что для новой области D0 удалось найти комплексный потенциал Ω(ζ), т.е. регулярную в D0 функцию со значениями мнимой части на границе Φ(ξ, η). Утверждается, что функция w(z) = Ω(f(z)) является комплексным потенциалом исходной задачи. В самом деле, функция w(z) регулярна в D как композиция регулярных функций ζ = f(z) и w = Ω(ζ), а её мнимая часть

v(x, y) = Im Ω(f(z)) принимает в точках границы D как раз те значения, которые были назначены в условии задачи: если z0 = x0 + iy0 D, то ζ0 = ξ0 + iη0 = f(z0) D0, и тогда v(x0, y0) = Im w(z0) = Im Ω(f(z0)) = Im Ω(ζ0) = Φ(ξ0, η0) = ϕ(x0, y0). В качестве области D0 выбирают обычно верхнюю полуплоскость, единичный круг |ζ| < 1 или кольцо r < |ζ| < R.

В задачах 3.55 – 3.67 на отдельных частях границы значения потенциала задаются постоянными. Физически эти части границы можно трактовать как обкладки конденсатора – бесконечные металлические пластины, ортогональные к плоскости z и изолированные друг от друга, а саму область D – как конденсатор c вакуумным наполнением.

3.55. Сторона Im z = 0 полосы 0 < Im z < 1 заряжена до потенциала V0, сторона Im z = 1 – до потенциала V1. Найти комплексный и физический потенциалы поля внутри полосы.

Указание: поле внутри плоскопараллельного конденсатора однородно, т.е. потенциал – линейная функция.

3.56. На полуоси y = 0, x > 0 потенциал равен V0, на полуоси y = 0, x < 0 он равен V1. Найти потенциал поля в верхней полуплоскости.

Указание. При вещественном A мнимая часть функции A ln(z −b) постоянна на каждом луче, выходящем из точки z = b.

3.57.На луче arg z = π потенциал равен 0, на отрезках (0, 1), (1, 2), ...,(n − 1, n), соответственно, V1, V2, ..., Vn, на луче y = 0, x > n равен 0. Найти потенциал поля в верхней полуплоскости.

3.58.На луче y = 0, 1 < x < +∞ потенциал равен V0, на луче y = 0, −∞ < x < −1 он равен V1. Найти потенциал поля на плоскости вне данных лучей.

3.59.Обкладки конденсатора Re z = 0 и Re z = 2 заземлены, а на обкладке Re z = 1, 0 < Im z < +∞ потенциал равен V . Найти комплексный потенциал внутри конденсатора.

3.60.Окружность x2 + y2 = 4 заземлена, на отрезке (0, 2) потенциал U0 = 1000 вольт. Каков потенциал поля в точке (−1, 0) ?

3.61.Конденсатор образован двумя цилиндрическими обкладками; их поперечные сечения имеют уравнения x2 + y2 = 9 и x2 + y2 = 1. На внутренней обкладке потенциал равен 10 вольт, внешняя обкладка заземлена. Найти поле внутри конденсатора. Каков потенциал на окружности x2 + y2 = 4?

Указание. Мнимая часть функции i ln ζ постоянна на каждой окружности с центром в точке ζ = 0.

3.62. Конденсатор образован двумя цилиндрическими обкладками; их поперечные сечения имеют уравнения |z−3| = 9 и |z−8| = 16. На внутренней обкладке потенциал V , внешняя обкладка заземлена. Найти поле внутри конденсатора.

Указание: см. задачу 3.18

2	2
3.63. Внешняя обкладка конденсатора – эллиптический цилиндр с поперечным сечением x2	+ y2 =
a	b

1, где 0 < b < a, a2 − b2 = 1, а внутренняя обкладка – плоская пластина с поперечным сечением y = 0, −1 ≤ x ≤ 1. Внешняя обкладка заземлена, внутренняя заряжена до потенциала V . Найти комплексный потенциал электрического поля.

Указание: с помощью обратной функции Жуковского отобразить область на кольцо.

36

Точечный заряд величины q, расположенный в точке a, в отсутствие других зарядов и проводников создаёт вокруг себя поле w(z) = −2iq ln(z − a). Термин "точечный заряд q в точке a"означает, что в пространстве имеется равномерно заряженный бесконечный прямолинейный проводник, перпендикулярный к z-плоскости в точке a, причем на единицу длины проводника приходится заряд q. Для полей точечных зарядов справедлив принцип суперпозиции: поле системы зарядов равно сумме полей отдельных зарядов.

Пусть на прямой линии y = 0 потенциал v(x, 0) равен нулю, а в точке a, Im a > 0, расположен точечный заряд q. Комплексный потенциал w(z) в верхней полуплоскости находится с помощью принципа отражения: в точку a, симметричную точке a, помещают фиктивный заряд −q, и тогда cовместное поле этих двух зарядов 2iq ln zz−−aa совпадает в верхней полуплоскости с искомым полем w(z).

3.64.Стороны прямого угла arg z = 0 и arg z = π/2 заземлены, а на биссектрисе угла расположены два точечных заряда: q1 в точке 1 + i и q2 в точке 2 + 2i. Найти поле внутри угла.

3.65.Найти поле на плоскости, если:

а) лучи y = 0, x > 1 и y = 0, x < −1 заземлены, а в точке z = 0 находится заряд q; б) отрезок y = 0, −1 < x < 1 заземлен, а в точке z = i находится заряд q.

3.66.Окружность |z| = 2 заземлена, заряд q находится в точке z = 1. Найти поле внутри круга.

3.67.На "восьмёрке", состоящей из окружностей |z − i| = 1 и |z + i| = 1, потенциал равен нулю, а

вточке z = 1 заряд q. Найти поле вне восьмёрки.

Ответы.

3.1. w = (1 + i)(1 − z). 3.2. w = (2 + i)z + 1 − 3i.

3.3. а) Семейства прямых u = 1/a и v = −1/b; б) семейство окружностей b (u2 + v2) + u + v = 0,

касающееся в начале координат прямой v = −u; в) пучок прямых v = −ku;

г) семейства окружностей

C(u2 + v2) = u и C(u2 + v2) = −v.

3.4. а) В полукруг |w|

< 1, Im w < 0;

б) в область, полученную из нижней полуплоскости удале-

√

в) в двухсвязную область,

нием находящейся в этой полуплоскости части круга |2w − 1 + i| < 2;

граница которой состоит из прямой u = 0, 5 и окружности |3w − 4| = 2.

3.5. а) w = −

2i (z+1)

б) w =

(1+2i)z+6−3i

4z−1−5i

;

5 (z−i)

.

3.6. а) w =

(1+i)z+1+3i

; б) w = iz+2+i ;

в) w = 1−i (z + 1).

(1+i)z+3+i

z+1

2

3.8. w =

izz−−i1

; верхняя полуплоскость переходит в единичный круг.

3.10. w =

2+4z

. 3.11. а) (2 + i)/5;

б) 4, 5 + i. 3.12. w =

22ii+−zz

.

2−z

3.13. w =

−

4

iz+2

.

3.15. w = 2z−1

.

3.16. w =

−

20/z.

z−2−4i

2−z

√

3.17. Точки, симметричные относительно прямой и окружности : y = 0, x = ± 3. Отображение:

√ √

w = zz+−√33 ; µ = 2 + 3.

3.18. Точки, симметричные относительно обеих окружностей: z = 0,

z = −24; отображение: w = z+242z eiα или w = z+243z eiα, где α – произвольное вещественное число,

ρ = 2/3.

3.19. а) На угол −π/4 < arg w < π/4; б) на угол 0 < arg w < π/4.

3.20. а) На верхнюю полуплоскость; б) и в) на плоскость с разрезом по положительной вещественной полуоси; г) на плоскость с разрезом по отрицательной вещественной полуоси; д) на семейство парабол v2 = 4C2(C2 − u); е) на семейство парабол v2 = 4C2(C2 + u); ж) на двухлистную риманову поверхность.

3.21. w = z1/α.

3.22. а) w = z+1

2;

б) w =

−

2z+√

−i

3/2;

3

3

z−

1

4

2z−√3−i

3/2

2z+√

√

3

πi

в) w =

−

−i

;

г) w =

z−

2(1−i)

. 3.23. w = e 3

z+1 .

2z−√3−i

z−√2(1+i)

z−1

37

3.24. а) w = √

=

earg z/2

, 0 < arg z < 2π; б) w = √

;

|z|

z

−z

wp

qz−R

w =

w =

1−z

z + h

z

q

√

2

2

в) w =

z+R

;

г)

=

1+z

.

3.25. а)

; б)

√z2

+h2

.

3.26. w = r

3.27. w = q1 + √z2 + 1.

z+1−

+ tg 2

2 .

3.28. w = q

z

1

2

α

3.29. w = r

√2 + √z2 + 1

.

√2−√z2

+1 .

√2+√z2

+1

3.30.а) Софокусные эллипсы ua22 + vb22 = 1, где a = 12 (R + R1 ), b = 12 |R − R1 |; б) софокусные гиперболы cosu22 β − vβ2 = 1. Кривые этих семейств пересекаются под прямым углом.

3.31.а) и б): вся плоскость с разрезами по лучам v = 0, −∞ < u < −1 и v = 0, 1 < u < +∞;

в) и г): вся плоскость с разрезом по отрезку [−1, 1]; д) нижняя полуплоскость; е) и ж): внешность

эллипса с полуосями a = 5/4,

b = 3/4;

з) верхняя половина внутренности эллипса с полуосями

a = 21 (R +

1

), b = 21 |R −

1

|; и) область между ветвями гиперболы u2 − v2 = 2.

R

R

q

q

1+z1

q

1

1

1

51

−

1

3.32. а) w =

1 +

1

(z +

1 );

б) w =

1 +

1 (z +

2 ); в) w =

1+z1

, z1

=

1 (z

+ 2 ).

q

2

z

2 2

z

/4 z

2 2

z

1 z

2

4

z

2

5/4−z1

1

2

1

z

9

1 z3

8

2

3.33. а) w =

1 +

(z +

);

б) w = √1 + z

, z

=

, z1

=

(z +

).

3.35. w = q

3.34. а) w = −2 (4 + z );

б) w = −2 (

+

).

4 (z + z )2 +

.

8

z3

16

√

√

1+z3

1

1

2

2

3.36. w =

1−z3 , z3 = 2

(z2

+

), z2 = z1/a1, z1

= z +

z

− 1, a1 = a +

a − 1. На плоскости

z2

разрез по

отрезку

.

z

q

1]

[−1,π

= z + √z2 − 1. На плоскости z разрезы по лучам y = 0, x < −1 и

3.37. w = (z1e−iθ)

π−2θ

, z1

y = 0, x > 1.

3.38. а) В полярную сетку ρ = const, θ = const;

б) в спирали ρ = e(θ−b)/k, а при k = 0 в лучи

θ = b; в) в угол α < θ < β, а при α = 0, β = 2π – в плоскость с разрезом по лучу v = 0, 0 < u < +∞; г) в сектор ρ < 1, 0 < θ < α, а при α = 2π – в единичный круг с разрезом по радиусу v = 0, 0 < u < 1; д) в область ρ > 1, 0 < θ < α, а при α = 2π – во внешность единичного круга с разрезом по лучу v = 0, 1 < u < +∞; е) в область eα < ρ < eβ, γ < θ < δ, а при δ − γ = 2π получается кольцо с

разрезом по отрезку θ = γ, eα < ρ < eβ.

3.39. а) В декартову сетку u = const, v = const;

б) в прямые;

в) в полосу 0 < v < α; г) в

полуполосу u < 0, 0 < v < α; д) в прямоугольник ln r1 < u < ln r2, 0 < v < 2π.

3.40. а) Линии x = C – в

семейство софокусных гипербол

u2

v2

= 1

, линии

y = C –

в

sin2 C

− cos2 C

u2

v2

семейство софокусных эллипсов

+

= 1;

ch 2C

sh 2C

б) в верхнюю полуплоскость;

в) в первый квадрант; г) в плоскость с разрезами по лучам v =

0, −∞ < u < −1 и v = 0, 1 < u < +∞; д) в плоскость с разрезами по лучам v = 0, −∞ < u < −1 и

v = 0, 0 < u < +∞.

семейство софокусных гипербол

u2

v2

, линии

3.41. а) Линии x = C – в

cos2 C

− sin2 C

= 1

y = C –

u2

v2

в семейство софокусных эллипсов

+

= 1; б) в верхнюю полуплоскость;

в) в правую

ch 2C

sh 2C

полуплоскость с разрезом по отрезку [0, 1];

г) в плоскость с разрезами по лучам v = 0, −∞ < u < −1

и v = 0, 1 < u < +∞.

w = q

w = e

1+z1

, z1

z1

2

3.42. а)

πz;

б)

z1

= eπz.

q1

4π/z

3.43. а) w = cos(iπz);

б) w =

, z1

= cos (iπz/2).

z1+ sh 2(π/2)

z

4

1

1

3.44. w = e .

3.45. w = e

, z1 = 3

πi (

+ 4 ).

z−2

3.48. w = r

sin(π/z)

3.46. w = − sin(π/z).

3.47. w = q

sin z

.

.

1+sin z

1+sin(π/z)

3.49. а) w = eπ√

б) w = iq

.

;

1 + ch (π√

)

z

z

при x > 0, y =

+0. q

3.50. w = r2 +

2 +

√4 + z4. Ветвь многозначного выражения фиксирована условием w(z) > 0

38

tdt + iπh.

(t−1)(t−1+1/h)

z

1

√

R

dt

1

R

dt

z

3.53. w = 1 − (1 + 2 )

1 − z.

[t(1

−

t)]3/4 , C−

[t(1

−

t)]3/4 .

3.52. w = C

=

0

0

= ∞. Четвёртая точка пока неизвестна, пусть a4 =

3.54. Решение. Положим a1

= 0, a2

= 1, a3

−b, b > 0. По формуле ( ):

z

tdt

w = C Z

+ iπh.

(t

−

1)(t + b)

0

Пусть γ – полуокружность |z − 1| = ,

Im z > 0, z1 = 1 − , z2 = 1 + . Образы точек z1, z2 лежат

на сторонах четырехугольника: w1 =πw(z1) A1A2, w2 = w(z2) A2A3, поэтому w2 − w1 = −iπh.
	R	tdt	= −iC	R	1+ eiφ
C = h (1 + b).
Но w2 − w1 = C	γ (t−1)(t+b)			0 1+ eiφ+b dφ → −iCπ/(1 + b) при → 0. В пределе получаем:

Для точки z = −b аналогично получается, что h − 1 = −bh, откуда: C = 1, b = 1/h − 1. Оконча-

тельно,

z

R

w =

0

3.55. w = (1V2 − V1)z + iV1.

U(x, y) =

1

(V1 − V0) arg z,

3.56. w = π (V1 − V0) ln z + iV0,

π

где arg z = arccos(x/

x2 + y2

) (0, π).

3.57.

1

ln z + (V

V

) ln(z

1) + (V

V

) ln(z

2) + ... + (V

V

) ln(z

n + 1) +

w = π

[−V1

1 −

−

−

−

n−1 −

−

p

1

2

2

3

n

Vn ln(z − n)],

U(x, y) =

π

[−V1 arg z + (V1 − V2) arg (z − 1) + (V2 − V3) arg (z − 2) + ... + (Vn−1 −

Vn) arg (z − n + 1) + Vn arg (z − n)].

3.58.

iV

+

1

(V

V

)[ln(ζ

1)

ln(ζ + 1)],

ζ =

z

1 .

w = V

0

π

1 −

0

−

−

√

qz+1−

iπz

.

3.59. w =

π

[ln(ζ − 1) − ln(ζ + 1)], ζ =

1 + e

3.60.

V

[ln(√

ln(√

ζ)], ζ(z) =

1 +

1

(z + 2 ); w(

1) =

V [ln(√

ln(√

w(z) =

2+ζ)

2

2+i/2)

2

π

√

−

−

q

2 2

z

−

π

−

−

2

2

i/2)], U(−1, 0) =

π V arctg

≈ 432, 7 (вольт).

4

ln √

3.61. w = 10i (1

−

1

ln z),

U(x, y) = 10 (1

−

x2+y2

);

U(x, y) = 10 (1

−

ln 2 ) при x2

+ y2 = 4.

ln 3

ln 3

ln 3

iV

2z

V

3.62. w = −

ln 1,5

ln

z+24

; U(x, y) = −

ln 1,5

[ln

(x + 24)2 + y2−

ln

+ ln 2];

E~ (x, y)

=

24V

p

.

x2 + y2

p

|

|

ln 1,5√(x2+y2)[(x+24)2

+y2]

ln ζ

√

2

3.63. w = iV (1 −

), где ζ = z +

z

− 1.

ln(a+b)

3.64. w = 2iq1 ln

ζ+2i

+ 2iq2 ln ζ + 8iζ − 8i, ζ = z2.

ζ−2i

3.65. а)

ζ+i

,

z

1

;

б)

2iq ln

ζ+i

,

ζ =

1 z

.

w = 2iq ln

ζ−i

ζ = qz+1−

w = π/z

π

ζ−i

q

1+−z

3.66. w = 2iq ln

24z−−z2

.

3.67. w = 2iq ln

e +e

.

eπ/z−eπ

39