Очевидно, F −1[φ(x)](ξ) =

где W (ξ) – вронскиан решений u и v, W (ξ) = u(ξ)v0(ξ) − u0(ξ)v(ξ).

4.63. Доказать: если функция Грина G(x, ξ) существует, а f(x) – обычная функция, то u(x) =

b

R

G(x, ξ)f(ξ) dξ есть решение краевой задачи (•).

a

4.64. Найти функцию Грина на интервале x [0, 1] для оператора Lx = dxd22 − a2 (a > 0) при условиях:

а) y(0) = 0, y(1) = 0; б) y0(0) = 0, y(1) = 0.

2.11 Преобразование Фурье

Преобразование Фурье основных функций.

Для φ(x) S вводятся: преобразование Фурье

		∞
F [φ(x)](ξ) =		Z		e−iξxφ(x) dx
	−∞
и обратное преобразование Фурье:
	1			∞
F −1[φ(x)](ξ) =				Z	eixξφ(x) dx.
		2π

−∞

21π F [φ(−x)](ξ) = 21π F [φ(x)](−ξ).

Теорема обращения: F −1[F [φ]] = F [F −1[φ]] = φ.

Теорема: 1) F [φ] S для любой φ S; 2) множество всех функций F [φ], где φ S, совпадает со всем пространством S.

Справедливы формулы:

F [Dφ(x)] = iξF [φ(x)], DF [φ(x)] = F [−ixφ(x)],

F [eiaxφ(x)] = F [φ(x)](ξ − a), eiaξF [φ(x)] = F [φ(x + a)].

Здесь D = d/dx, a – постоянное число.

Для функций многих переменных φ(~x) вводятся: преобразование Фурье

	F [φ(~x)](ξ~) = Zn e−i(~x·ξ~)φ(~x) dx1...dxn
		R
и обратное преобразование Фурье
	F −1[φ(~x)](ξ~) =	1	Zn	~
				ei(~x·ξ)φ(~x) dx1...dxn.
		(2π)n
			R
~	+ ... + xnξn.
Здесь (~x · ξ) = x1ξ1				б) F [e−|~x|2/2], |~x| = q
4.65. Вычислить: а) F [e−x2/(2a)], x R, a > 0;					x12 + ... + xn2	, ~x Rn.

Преобразование Фурье обобщённых функций.

Для функций f(x) S0 прямое и обратное преобразования Фурье вводятся по формулам

( F [f(x)](ξ), φ(ξ) ) = ( f(x), F [φ(ξ)](x) ), F −1[φ(x)] =	1	F [φ(−x)].
	2π

52

Справедливы формулы:
F [Df(x)] = iξF [f(x)], DF [f(x)] = F [−ixf(x)],			(@)
F [eiaxf(x)] = F [f(x)](ξ − a), eiaξF [f(x)] = F [f(x + a)].			(@@)
	∞	∞
	R
Для таких регулярных обобщённых функций f(x) S0, для которых		|f(x)| dx < ∞, преобразо-
	−∞	f(x)e−iξxdx.
вание Фурье имеет тот же вид, что и для основных функций: F [f(x)](ξ) =
		R
	−∞
Данные определения переносятся очевидным образом на многомерный случай.
4.66. Доказать формулы (@) и (@@).
4.67. Доказать, что: а) F [δ(x)] = 1(ξ);	б) F [1(x)] = 2πδ(ξ).
4.68. Найти F [δ(~x)] и F [1(~x)], где ~x Rn.
4.69. Пусть k N; найти: а) F [δ(k)(x)];	б) F [xk].
Указание: применить формулы (@).

4.70.Найти F [δ(x − a)] и F [δ0(x − a)], где a – постоянное число.

4.71.Найти F [x2+1 a2 ] и F [x2x+2a2 ], где a > 0 – постоянное число.

4.72.Найти F [θ(x)].

Указание. 1-й способ: θ(x) = lim e−xθ(x), отсюда F [θ(x)] =	lim	1	= ( i)(ξ	−	i0)−1	, см. зад. 4.42.
→+0	→+0	+iξ	−

2-й способ: (1, φ(ξ)) = (F [δ(x)], φ(ξ)) = (F [θ0(x)], φ) = (θ(x), −DxF [φ(ξ)](x)) = (θ, F [iξφ(ξ)]) = (iξF [θ], φ(ξ)), отсюда iξF [φ] = 1. Это означает, что F [φ] есть одно из решений уравнения ξy = −i, или F [φ] = −i ξ−1 + Aδ(ξ), см. зад. 4.16(б). Постоянную A можно найти, взяв в качестве пробной функции e−x2 .

Вычисление фундаментальных решений с помощью преобразования Фурье.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Пусть P (λ) – полином степени n : P (λ) = a0λn +an−1λn−1 +...+an−1λ+an, D = d/dx, a0, ..., an

– постоянные коэффициенты.

Для построения фундаментального решения (ф.р.) дифференциального оператора L = P (D) применим к обеим частям уравнения P (D)E(x) = δ(x) преобразование Фурье. Получится равенство

P (iξ)F [E(x)](ξ) = 1.

Функция P (iξ) называется символом оператора P (D).

Пусть y(ξ) – решение уравнения P (iξ)y(ξ) = 1 в пространстве S0, тогда искомое ф.р. находится с помощью обратного преобразования Фурье:

E(x) = F −1y(ξ).

В частности, если полином P (iξ) не имеет корней на вещественной оси ξ, то y обобщённая функция, и ф.р. находится в виде интеграла

		1	∞	iξx
	E(x) =		Z	e	dξ,
		2π		P (iξ)

−∞

	=	1	– регулярная
		P (iξ)

который вычисляется по вычетам (отдельно для x < 0 и для x > 0). Заметим, что каждый вычет есть решение однородного уравнения P (D)u = 0. Полученное ф.р. замечательно тем, что оно экспоненциально убывает при x → ±∞.

53

Если на вещественной оси ξ есть корни полинома P (iξ), то при интегрировании следует провести контур ниже (или выше) этих корней. В обоих случаях фундаментальное решение будет регулярной обобщённой функцией из пространства S0, но убывания на бесконечности уже не будет.

Замечания. 1) Вместо интегрирования по вещественной оси можно взять комплексный контур, состоящий из лучей −∞ < ξ < −R и R < ξ < +∞ и соединяющей их дуги в верхней (или нижней) полуплоскости. Получится также ф.р., но из-за добавленных решений однородного уравнения Lu = 0, растущих при x → −∞ или +∞ такое ф.р. будет принадлежать не пространству S0, а более широкому пространству K0.

2) Фундаментальное решение для оператора порядка n – регулярная обобщённая функция, непрерывная и имеющая (n − 2) непрерывных производных, а производная порядка (n − 1) имеет в точке x = 0 скачок.

В задачах 4.73 и 4.74 найти при помощи преобразования Фурье фундаментальные решения для заданных дифференциальных операторов (обозначение: D = d/dx).

4.73.а) L = D2 − 4; б) L = (D − 1)(D + 2)(D − 3).

4.74.а) L = D(D − 1)2; б) L = D2(D2 + 2D + 5).

4.75.Для оператора L = D2(D − 1) найти ф.р., равное нулю: а) при x < 0; б) при x > 0.

4.76.Для уравнения y000 − y0 = f(x) с граничными условиями y(0) = 0, y0(0) = 0, y(1) = 0 найти функцию Грина G(x, ξ) (см. зад. 4.62).

Указание. G(x, ξ) = E(x − ξ) + A + B sh x + C sh (x − 1).

2. Уравнения с частными производными.

Преобразование Фурье позволяет находить фундаментальные решения для линейных уравнений с частными производными, если коэффициенты уравнения постоянны. Именно, применяя преобразова-

ние Фурье к обеим частям уравнения	~	~
	LE(~x) = δ(~x), получим равенство P (iξ)F [E] = 1, где P (iξ)

– полином, называемый символом оператора L. Символ получается из оператора L заменой каждого входящего в него оператора дифференцирования Dk на соответствующий множитель iξk. Таким образом, ф.р. будет иметь вид

				E(~x) = F −1[y(ξ~)],
где y(ξ~) – какое-нибудь решение уравнения P (iξ~)y = 1,								y S0. Свёртка u(~x) = (E f)(~x) является
решением неоднородного уравнения Lu = f(~x).
		4.77. Найти фундаментальное решение E(x, y, z) для трёхмерного оператора Лапласа =								∂2	+
										2
	∂2	+	∂2					u = f(~x) в виде свёртки.		∂x
				и записать решение неоднородного уравнения
	2		2
∂y		∂z
		Указание. Сделаем трёхмерное преобразование Фурье, тогда
		1					ei(xξ+yη+zζ)
				E = − R→∞ (2π)3 ~ Z			ξ2 + η2 + ζ2
				lim					dξdηdζ.

|ξ|<R

Систему координат (ξ, η, ζ) выберем так, чтобы ось ζ была параллельна вектору ~x, и перейдем в интеграле к

		~	угол между вектором
сферическим координатам, при этом будет: xξ +yη +zζ = rρ cos θ, где r = |~x|, ρ = |ξ|, θ –
R	R	R	∞
			R	sin t
ξ и осью ζ. Интегрировать следует в таком порядке:	dφ	dρ Q(ρ, θ, φ)dθ. Показать, что			dt = π .
			0	t	2

4.78. Показать, что преобразование Фурье Fx по переменной x от δ(x, t) равно δ(t)1(ξ).

∞

Указание. Пусть φ(ξ, t) S, тогда (Fx[δ(x, t)], φ(ξ, t)) = (δ(x, t), Fx[φ(ξ, t)])= (δ(x, t), R e−ixξφ(ξ, t) dξ)=

−∞

=(δ(t), (1(ξ), φ(ξ, t))).

Примечание. Пусть f(x) и g(y) – обобщённые функции, тогда прямым произведением этих функций называется обобщённая функция f(x)g(y) от двух переменных x и y, действующая по правилу: (f(x)g(y), φ(x, y)) = (f(x), (g(y), φ(x, y))). Примеры: δ(x, y) = δ(x)δ(y), 1(x, y) = 1(x)1(y). Произведение δ(t)1(ξ) обычно записывают в виде δ(t).

54

t→+0

t→+0

4.79. Найти ф.р. E(x, t) для одномерного оператора теплопроводности L = ∂t∂ − a2 ∂x∂22 . Написать выражение в виде свёртки для решения уравнения Lu(x, t) = f(x, t).

Указание. Сделав преобразование Фурье по x, получим уравнение ∂E/∂te + a2ξ2Ee = δ(t) для ф.р. Ee оператора Le = ∂/∂t + a2ξ2. Применяя метод задачи 4.59(а), получим Ee = θ(t)e−a2ξ2t. Интеграл от exp(−bx2) вычислен в задаче 4.65.

4.80. Найти ф.р. E(x, y, z, t) для трёхмерного оператора теплопроводности L = ∂t∂ − a2 .

Указание. Сделать преобразование фурье по ~x.

4.81. Найти ф.р. E(x, t) для одномерного волнового оператора (оператора колебаний струны) L =

∂t∂22 − a2 ∂x∂22 .

Указание. Действовать так же, как при решении зад. 4.79.

4.82. Найти ф.р. E(x, y) для оператора Коши-Римана L = 12 ∂x∂ + i∂y∂ .

Указание. Сделав преобразование Фурье по y, найдём, как и в задаче 4.79, функцию Ee в виде 2θ(x)e−xη. Для того, чтобы Ee была обобщённой функцией медленного роста, добавим к ней подходящее решение однородного

уравнения ( ∂x∂ + η)w = 0, а именно, w = −2θ(−η)e−xη. Таким образом, E = π1									∞
									(θ(x) − θ(−η))e−xη−iyη dη.
									R
4.83. Найти ф.р. E(x, t) для оператора									−∞
		L =	∂2		∂		∂	+ ab, b > 0.
				− a		− b
			∂t∂x		∂x		∂t

Для дифференциальных уравнений, содержащих производные по времени, имеет смысл задача Коши. Например, для одномерного уравнения теплопроводности ut − a2uxx = 0 задача Коши ставится так: найти при t > 0 решение u(x, t) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

lim u(x, t) = f(x).

t→+0

Обобщённая функция U(~x, t), зависящая от t как от параметра, причем t (0, +∞), называется

фундаментальным решением задачи Коши для уравнения ∂U/∂t = LxU, если U удовлетворяет

при t > 0 этому уравнению, а также начальному условию lim U(~x, t) = δ(~x).

t→+0

4.84. Пусть f(x) – финитная обобщённая функция из пространства K0. Доказать: свёртка (по переменной ~x) v(~x, t) = (f U)(~x, t) функции f(~x) и фундаментального решения задачи Коши U(~x, t)

является решением задачи Коши с начальным условием lim v(~x, t) = f(~x).

t→+0

Указание: (v(~x, t), φ(~x)) = (f(~x), (U(~y, t), φ(x + y))) → (f(~x), φ(~x)).

4.85. Пользуясь преобразованием Фурье по переменной x, найти ф.р. U(x, t) задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности. Сравнить U(x, t) и ф.р. E(x, t) оператора теплопроводности (см. зад. 4.79).

Написать выражение для решения задачи Коши ut − a2uxx = g(x, t),

lim u(x, t) = f(x).

t→+0

4.86. По определению, фундаментальное решение U(x, t) задачи Коши для одномерного волнового уравнения utt − a2uxx = 0 удовлетворяет этому уравнению при t > 0 и начальным условиям

lim U(x, t) = 0,	lim Ut(x, t) = δ(x).
t→+0	t→+0

а) Найти ф.р. U(x, t) задачи Коши.

б) Показать, что свёртка (по x) v(x, t) = (f U)(x, t) является решением задачи Коши vtt −a2vxx = 0 (t > 0), lim v(x, t) = 0, lim vt(x, t) = f(x).

Ответы.
4.3. а), б) – да; в), г), д), е) – нет.	4.4. Да.

55

4.5.а) Да; б) да; в) нет, например, на ex.

4.6.а) Да; б) да; в) нет; г) да; д) да.

4.7.а), в) (для K), г), е), ж) – да; б), в) (для S), д) – нет.

4.9.(1) Нет. (2): а) θ0(x) = 0, x 6= 0; б) θ0(x) = δ(x).

4.10. Нет.	4.11. (ln |x|)0 = x−1.
4.14. а) 2δ(x);	б) 0; в) δ(x) − δ0(x); г) −2 sin 2x θ(x) + 2δ(x).
4.17. 2δ(x).	4.18.	cos x	−	|x|xsin3	x	.
		|x|
+∞

4.19. δ(x − n). Примечание: при действии ряда на финитную функцию фактически остаётся лишь n=−∞

конечное	число слагаемых		.
	P
4.20. b (δ(x + a) − δ(x − a)). 4.21. h(0)δ0(x) + h0(0)δ(x) + h00(x)θ(x).
4.22. а) f00		= 2 sign (x) + δ(x);		б) f00 = − sin |x| + 2δ(x);
в) f00 = −δ(x) − δ(x − 1) + g(x),				0, x < 0 x > 1,
				где g(x) = 2, 0 < x < 1.

4.24. Пусть функция y = h(x) C∞ отображает взаимно однозначно всю ось −∞ < x < +∞ на

всю ось

−∞

< y < +

∞

, причем h0(x) = 0. Функция f(h(x)) действует по формуле (f(h(x)), φ(x)) =

6

(f(y),

1

φ(x(y))). В частности, (δ(x5

+ 3x), φ(x) =

(δ(y),

1

φ(x(y))) = (1 δ(y), φ(x(y))) =

|h0(x(y))|

5x4+3

3

1

φ(0), или δ(x5 + 3x) =

1

δ(x).

3

3

supp δ(x) = {0}, supp δ0(x − a) = {a}.

4.25. supp θ(x) = [0, +∞),

4.32. а) Сходится в K и в S;

б) сходится в S, не сходится в K;

в) сходится в S;

г) не сходится.

4.34. δ(x, y).

4.35. 2aδ(x, t).

4.36. а) −4πδ(x, y, z);

б) −2πδ(x, y).

4.37. а) Является;

б) является при A = 1/√

.

π

4.38. δ(x).

4.40. δ(x − a).

4.42. (x ± i0)−1 = x−1 iπδ(x).

4.43. θ(x)

θ(x) = x

=

0, x ≤ 0,

+

x, x > 0.

4.44. а) и б):

U(x, t) U(x, s) = U(x, t + s).

4.45. а) f(x);

б) f(x − a);

в) f(x);

г) D1m1 ...Dnmn f(~x).

4.49. (y(xx), φ(x)) = −(f(x), ψ(x)) + (C, φ(x)),

где

∞

∞

ψ(x) =

(φ(t) − Aφ0(t)) dt, A =

φ(t) dt,

φ0(t) dt = 1.

−∞

−∞

−∞

R

R

R

q(x)

4.50. Общее решение – классическое: y = exp(

dx).

4.51. y = ln |x| + C1 + C2θ(x).

− R p(x)

4.60. а) E(x) = θ(x)

sin ax

;

б) E(x) = θ(x)

sh ax

.

a

a

4.61. E(x) = θ(x − ξ)

ξ

(xξ )a − (xξ )a .

2a

1

sh ax sh a(ξ

1), 0 x

ξ

1,

4.64. а) G(x, ξ) =

sh aξ sh a(x

−

1), 0 ≤

ξ

≤ x

≤

1;

a sh a

−

≤

≤

≤

1

ch ax sh a(ξ 1), 0 x ξ

1,

б) G(x, ξ) =

ch aξ sh a(x

− 1), 0

≤ ξ

≤ x

≤ 1.

a ch a

4.65. а) √

−

≤

≤

≤

2πae−aξ2/2;

б) (2π)n/2e−|~x|2/2.

~

F [1(~x)] = (2π)

n

~

4.68. F [δ(~x)] = 1(ξ),

δ(ξ).

4.69. а) F [δ(k)(~x)] = (iξ)k;

б) F [xk] = 2πikδ(k)(ξ).

4.70.F [δ(x − a)] = e−iaξ, F [δ0(x − a)] = e−iaξiξ.

4.71.F [x2+1 a2 ] = πa e−a|ξ|, F [x2x+2a2 ] = 2πδ(ξ) − a2 πa e−a|ξ|.

4.72.F [θ(x)] = −iξ−1 + πδ(ξ).

56